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MÓDULO 1
Instituto de Ciencias Básicas
Diapositiva Nº 1
Curso de Nivelación 2012
El Módulo 1 tiene como objetivos
1) Resolver ecuaciones algebraicas , numéricas y fraccionarias de
primer y segundo grado.
2) Simplificar expresiones Algebraicas.
3) Evaluar expresiones numéricas.
4) Evaluar expresiones algebraicas.
5) Resolver sistema de ecuaciones lineales numéricos y literales con
dos incógnitas
6) Resolver sistema de ecuaciones no lineales numéricos con dos o
más incógnitas.
Instituto de Ciencias Básicas
Diapositiva Nº 2
Curso de Nivelación 2012
Propiedades del álgebra de los números reales:
1. a  b  b  a
;
ab  ba
( a  b )  c  a  (b  c )
;
( a b ) c  a (b c )
a (b  c )  a b  a c
;
 (a  b)   a  b
a  b   (b  a )
2. (a  b)
(a  b)
Instituto de Ciencias Básicas
2
3
 a
 a
2
3
 2ab  b
2
 3a b  3ab
2
2
 b
a
2
b
2
 ( a  b )( a  b )
a
3
 b
3
 ( a  b )( a
2
 ab  b
2
)
a
3
 b
3
 ( a  b )( a
2
 ab  b
2
)
Diapositiva Nº 3
3
Curso de Nivelación 2012
Propiedades del álgebra de los números reales:
3.
ac
a

b
a

b
a
b
c



n
ab 
n
5 . a (b c )  a b  a c
anb
a
n
a
a

b
a

b
b  a  d  ad
c
b c
bc
d
bc
a
n
ab
b
a

a
m
n

1
m
a
n

b
a
c
b
b c d 
a      b cd
a a a 
 an
m
a

a
m
n
a
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n
a
b
ac
bd
b
4.
b
bd
b d
 
c
ad  bc
d
c

1

n
a
m
a
 
a
b

b
c
 
c
ab 
Diapositiva Nº 4
a 
b
Curso de Nivelación 2012
Resumen del álgebra de los números reales: Logaritmos
log
a
(b )  x
log
Propiedades de los logaritmos:
log
log
log
x
b
(a)  1
(1 )  0
a
( q( x) )

log
a
( q( x) )
( p ( x ) : q ( x ) )  log
a
( q( x) )

log
a
( q( x) )
log
r
a
log
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a
a
( p ( x )  q ( x ) )  log
a
a
a

( P )  r  log
a
(b) 
Diapositiva Nº 5
a(P)
log c ( b )
log c ( a )
5
Curso de Nivelación 2012
Problemas Resueltos:
1. Resolver la ecuación:
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Diapositiva Nº 6
Curso de Nivelación 2012
2.
Resolver la ecuación para la variable x:
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Diapositiva Nº 7
Curso de Nivelación 2012
.
3 . Simplifica r la exp resión
2

x 9
x3

E (x) 

2
 x 2  x  12
x  3x

 a 2 x 2  16 a 2  2
1



2 2
 2x2  7x  3  a2x
a x






Solución :
2

x 9
x3

E (x) 

2
 x 2  x  12
x  3x

2

x 9

E ( x) 
 x 2  x  12


x
2 2
2

 2
a x  16 a
1



2
2
2 2


2x  7x  3  a x
a x

2 2
2
 2x
 3x 
a x  16 a
1



2
2 2
2 2


x3 
2x  7x  3  a x
a x
2
 ( x  3 )( x  3 )
x ( x  3)
E ( x )  

x3
 ( x  4 )( x  3 )
 ( x  3 )( x  3 ) x ( x  3 )
E ( x )  
 ( x  4 )( x  3 )( x  3 )
E ( x) 
E ( x) 
( x  3 )( x  3 ) x ( x  3 )
( x  4 )( x  3 )( x  3 )
2
2
 2x  1

a ( x  16 )




 a2x2
(
2
x

1
)(
x

3
)


2
2
 2x  1

a ( x  16 )



( 2 x  1)( x  3 )  a 2 x 2

2

a ( x  4 )( x  4 )
( 2 x  1)( x  3 )
( x  3 )( x  3 ) x ( x  3 )  a
2

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











2x  1
2
a x
2
 ( x  4 )( x  4 )( 2 x  1)
2
( x  4 )( x  3 )( x  3 )( 2 x  1)( x  3 ) a x
2
E ( x) 




( x  3 )( x  3 ) x ( x  3 )  a  ( x  4 )( x  4 )( 2 x  1)
2
( x  4 )( x  3 )( x  3 )( 2 x  1)( x  3 ) a x
Diapositiva Nº 8
2

2
x4
x
Curso de Nivelación 2012
4. Pruebe que la expresión
E ( x) 
4
a
3
 5a
a a
2
2
4
 4a  4
al ser simplificada es igual
E ( x)  a  1
Desarrollo:
Factorizando el numerador y asociando para factorizar el denominador se tiene que
E ( x) 
(a
2
3
 1)( a
2
 4)
2
(a  a )  (4a  4)
Factorizando nuevamente el numerador y el denominador tendremos
E ( x) 
E ( x) 
E ( x) 
( a  1)( a  1)( a  2 )( a  2 )
2
a ( a  1)  4 ( a  1)
( a  1)( a  1)( a  2 )( a  2 )
( a  1)( a
2
 4)
( a  1)( a  1)( a  2 )( a  2 )
( a  1)( a  2 )( a  2 )
Finalmente simplificando se obtiene lo pedido, es decir
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Diapositiva Nº 9
E ( x)  a  1
Curso de Nivelación 2012
5. Resuelva el siguiente sistema lineal para las variables x e y:
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Diapositiva Nº 10
Curso de Nivelación 2012
6. Simplificar:
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Diapositiva Nº 11
Curso de Nivelación 2012
,
7.
Resolver la ecuación:
log
x 1
(x
4
 8x
2
 2 x  1)  4
Desarrollo:
Si
log
4
x 1
2
( x  8 x  2 x  1)  4
entonces
4
2
( x  8 x  2 x  1) 

x 1

4
( x  8 x  2 x  1)  ( x  1 )
4
x
4
2
 8x
x
2
 2x  1  x
4
 8x
x
4
2
x ·( x
2
2
x
2

0
 9)

0

0
x ·( x  3 )·( x  3 )
donde
2
 2x  1

 9x
2
2
de
2
Por tanto x=0, x=-3 y x=+3.
Analizando los valores encontrados, sólo x=3 es solución a la ecuación.
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Diapositiva Nº 12
Curso de Nivelación 2012
x
8. Resuelva el sistema no lineal
2
 y
2
 8 x  10 y  16  0
3x  y  2  0
Solución:
Despejando la variable y de la segunda ecuación en términos de la variable x,
tendremos:
x
2
 y
2
 8 x  10 y  16  0
y  3x  2
Sustituyendo y=3x-2 en la primera ecuación, se obtiene:
x
2
 (3 x  2 )
2
 8 x  10 ·( 3 x  2 )  16  0
Desarrollando productos, reduciendo términos semejantes y simplificando, se
obtiene la ecuación de segundo grado
x
2
 5x  4  0
Cuyas soluciones son x=1 y x=4. Sustituyendo estos valores en la ecuación y=3x-2
se obtienen los dos valores de y, que nos dan las dos soluciones del sistema dadas
por los pares ordenados (1,1) y (4,10)
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Diapositiva Nº 13
Curso de Nivelación 2012
30  x
1
2
y  0
3
9. Determine los valores de x e y del sistema no lineal
20 ·x 2    0
 ( x  y  60 )  0
Solución:
Despejando la variable a de la primera y segunda ecuación en términos de las variables x
e y, tendremos:
1
  30  x 2  y
  20 ·x
3
2
Igualándolas entre si , se obtiene la ecuación:
30  x
1
2
 y  20 ·x
3
2
De donde se obtiene la igualdad 3y=2x, pero de la tercera ecuación del sistema tenemos
que x+y=60, y amplificando esta última igualdad por 2 tendremos que 2x+2y=120,
sustituyendo y reduciendo términos semejantes y simplificando, se obtiene que x=36 e
y=24, que serán los valores solicitados de x e y.
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Diapositiva Nº 14
Curso de Nivelación 2012
Resolución de ejercicios de álgebra
1).- Se pide resolver la ecuación , indicando restricciones :
x x2
2
x2
 2x
2
x
b  c
 ab  bc  ca   b  a
A  
:

 

abc
b 

  a
2).- Evaluar la expresión
a  1 13 , b  2 ,5
para
y c  0 ,4
3).- Resolver la ecuación para la variable x:
x  ax  b
2
xa
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x  cx  d
2

xc
x  ax  e
2

xa
Diapositiva Nº 15
x  cx  f
2

xc
Curso de Nivelación 2012
4).- Reducir a fracción decimal la expresión
2

1

3 54
27 

2
2 
1

3 54



 :





3
4 
3

2 

1 18

5).- Calcular el valor de
para a = 1 ,75  10
6).- Siendo
y






 3 a 2
( a  2)  a   ( a  2 a  4)
4

1 3
 2 a 
a

a



 ( a  8)
2 
2

3
x 2
x 2
se pide expresar
x2 y x2
en
función de y.
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Diapositiva Nº 16
Curso de Nivelación 2012
x  a  b  x  ab
2
7).- Verificar que el producto de la fracción
por la fracción
xb
x b
x  a  b  x  ab
2
es igual a la unidad.
8).- Establecido que (e + 1) : (e – 1) = u, se pide expresar e en función
1
de u. Asimismo el valor e  e en función de u.
3x  5
2
9).- ¿Qué valor debe tener x en la expresión 4 x 2  1 para que el valor
de ella sea -7?
10).- Resolver la ecuación
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m n
x m

2m
x m

m n
Diapositiva Nº 17
x
 0
Curso de Nivelación 2012
3
11).- Resolver la ecuación x  a 
 x  b   x  c   3 a  x  b  x  c  x 
3
3
12).- Si x = 5, calcular a en la siguiente ecuación:
3x  a
x  a
x  a

3x  a

10
3
13).- Reducir a su forma más sencilla
a
3
 b
3
a  b

a  b 2  4 ab
a  b 2  ab
a  b
2
:
2
4
14).- Calcular el valor numérico de
 ab 
x  

 2 
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1

a2
b
1ab

a2
b , si a  7 ,
Diapositiva Nº 18
b  12
Curso de Nivelación 2012
15).- Racionalizar el dominador de:
3
2 1
3
2 1
16).- Calcular el valor numérico de:
 16


y  1  
2 
 16  x 
 23
.


1  




2
16  x 

x

2




3
2
si
x 2
2
17).- Se pide encontrar dos números racionales x e y tales que:
1 
1
2
3  x  y
3
18).- Encontrar el valor de m si 2a + 1 es un factor de
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Diapositiva Nº 19
8a
3
 2a  m
Curso de Nivelación 2012
a
19.- ¿Qué valor debe tener el valor de la constante a
en la ecuación:
para que esta sea de primer grado? ¿Cuál es, en
este caso, el valor de x?
x  1

3
x  1

5
x  2
20).- Calcular m y n de modo que las raíces de la ecuación
z
2
 mz  n  0
sean iguales a los respectivos duplos de las
2
raíces de la ecuación z  a  b  z  ab  0
21).- Resolver la ecuación:



x 
22).- Si a : b = c : d, demostrar que
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
1  x
 2 
x 
a
Diapositiva Nº 20
8
x 1
 0
 b :
a
2
a  b

c
 d :
c
2
c  d
Curso de Nivelación 2012
23).- Si a es directamente proporcional a b, demostrar que
a b
2
2
2
2
también es directamente proporcional a . a  b
24).-
En la figura, w : x = 1 : 3.
Determine la razón entre el área
del  CBA y el  ADB.
25).- Demostrar que la expresión
b  c
a
 b  a  c 

c  a
b
 c  b  a 

a  b
c
 a  c  b 
vale 0, para cualquier valor de a, b y c.
26).- Demostrar que la expresión
x
2
x  y  x  z 

y
2
y  z  y
 x

z
2
z  x  z
 y
es independiente de x, y, z.
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Diapositiva Nº 21
Curso de Nivelación 2012
27).- Hallar las raíces enteras de la ecuación:
x  3x  5  x  3x  7
2
2
Sugerencia: utilizar el cambio de variable y  x 2  3 x
28).- Para n  Z, si 3 2 n  3 n  1  4 , entonces , hallar el o los valores para la
n
expresión 3
29) Determinar la suma de las raíces de la ecuación: 5 2 x  5 x  5 x  1  5
30).- ¿Qué valor debe tener a para que en el sistema
ax  4 y  119
5 x  ay  34
se verifique que ambas incógnitas tengan el mismo valor. ¿Cuál es ese
valor?
31).- Mostrar que el sistema
x  y  15
x 1 
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no tiene solución.
y 1  5
Diapositiva Nº 22
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ALGUNAS SOLUCIONES
1) x = 1
3) x 
17)
e
1
y
1
2
19) a = 2; x =7/11
bd e f
21) {1,3}
u 1
u 1
9) x  
11) x 
2( u  1)
2
, ee
1

24) 1 : 4
u 1
2
62
27) {-4 , 1}
31
a b c
3
3
3
bc  ac  ab  a  b  c
2
2
2
28) 1
13) 2
29) 1
3
3
15) 3  2 4  2 2
30) a = 3
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,
2
c (e  b )  a ( f  d )
5) 1
8)
x
Diapositiva Nº 23
Curso de Nivelación 2012
Referencia Bibliográfica:
1) http://www.stewartcalculus.com/data/default/upfiles/AlgebraReview.pdf
2) http://mialgebra.blogspot.com/2009/03/ejercicios-resueltos-de-algebra-de.html
3) Carreño Ximena/Cruz Ximena. “Algebra”. 2ª Edición Santiago de Chile,
Ediciones Arrayán.
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Diapositiva Nº 24
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