Transcript Albu Daniela

1.PROBLEME
1. Problema reginelor
Să se determine toate posibilităţile de aranjare a n regine pe o tablă de şah de
dimensiune nxn astfel încât reginele să nu se atace reciproc. Regina atacă piesele
aflate pe aceeaşi linie, coloană sau diagonală.
o
Recursiv
type vector=array [1..30] of integer;
var x: vector;
n: integer;
procedure solutie;
var i,j : integer;
begin writeln
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
if x[i]=j then write (‘*’)
else write (‘_’);
writeln;
end;
end;
function continuare (k:integer):boolean;
var i:integer;
ok:boolean;
begin
ok:=true;
for i:=1 to k-1 do
if (x[k]=x[i]) or ( abs(x[k] – x[i]) = (k-1)) then ok:=false
continuare:=ok;
end;
procedure back(k:integer);
var i: integer;
begin
if (k=n+1) then solutie
else
begin
for i:=1 to n do
begin
x[k]:=i;
if continuare(k) then back (k+1);
end;
end;
end;
begin
write(‘n=‘); readln(n);
back(1); readln;
end;.
o
Iterativ
var solutie: array [1..9] of integer;
n:integer;
function valid (k: integer): boolean;
var i: integer;
begin
valid:=true;
for i:= 1 to k-1 do
if (sol [k] = sol [i]) or (abs(sol [k] – sol [i])=abs(k-1)) then
valid:=false
end;
procedure back(k:integer);
var i:integer;
begin
if k=n+1 then begin
for i:=1 to n do
write (sol [i]);writeln;
end
else begin
sol[k]:=0;
while sol [k] < n do
begin
sol [k] :=sol [k] +1;
if valid (k) then back (k+1)
end;
end;
end;
begin
write(‘n’); readln(n);
back(1)
end.
2.Plata unei sume cu bancnote de valori date
Se dau suma S şi n tipuri de bancnote având valori a1,a2,…,an lei. Se cer toate
modalităţile de plată a sumei S utilizând aceste bancnote. Se presupune că se
dispune de un număr suficient din fiecare tip de bancnotă.
o
Recursiv
const=7;
const a: array[1..n] of integer=(1,5,10,50,100,200,500);
type vector= array [1..n] of integer;
var x:integer;
suma, s: integer;
procedure solutie;
var i: integer;
begin
for i:=1 to n do
if x[i] >0 then write (x[i], ‘bacnote de’, a [i], ‘lei’);
writeln (‘============‘);
end;
function continuare (k:integer): boolean;
begin
continuare:=(x [k]* a [k] + s < suma) and (k<=n);
end;
procedure back (k:integer): integer;
begin
if ( s= suma) then solutie
else begin
x[k]:=1;
while continuare(k) do
begin
x[k]:=x [k]+1
s:=s+x[k]*a[k];
back(k+1);
s:=s-x [k] *a [k];
end;
end;
end;
begin
write (‘suma=‘); readln (suma);
back(1);
readln(1);
end.
3.Problema colorării hărţilor
Fiind data o hartă cu n ţări, se cere toate soluţiile de colorare a hărţii, utilizând cel
mult 4 culori, astfel încât două ţări cu frontieră comună să fie colorate diferit.
o
Recursiv
const c: array [1..4] of char= (‘G’,’R’,’A’,’V’);
type vector=array [1..50] of integer;
matrice=array [1..50,1..50] of integer;
var a:matrice; x:vector; n:integer;
procedure citire (var n: integer; var a:matrice);
var i,j:integer;
begin
write(‘n=‘);readln(n);
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
begin
write (‘a[‘, i, ‘,’ , j, ‘]=‘); readln (a[i,j] )
end;
end;
procedure solutie;
var i: integer;
begin
for i:=1 to n do
writeln (‘tara’, I, ‘:’, c [x [i]]);
end;
funtion continuare (k: integer): boolean;
var i: integer;
begin
continuare:= true;
for i:=1 to k-1 do
if (a[i,k]=1) and (x[i]=x [k]) then continuare :=false’
end;
procedure back (k:integer);
var i:integer;
begin
if (k=n+1) then solutie
else for i:= 1 to 4 do
begin
x[k]:=1;
if continuare (k) then back (k+1);
end;
end;
begin
citire (n,a);
back(1);
end;.
4.Săritura calului
Se consideră o tablă de şah nxn şi un cal plasa tî ncolţul din stânga, sus. Se cere
să se afişeze un drum al calului pe table de şah, astfel încât să treacă o singură
dată prin fiecare pătrat al tablei.
o Recursiv
type vector=array [1..400] of integer;
matrice=array [1..20,1..20] of integer;
coust dx:array [1..8] of integer=(-2,-1,1,2,2,1,-1,-2);
dy:array[1..8] of integer=(-1,-2,-2,-1,1,2,2,1);
var a:matrice; x,y: vector; n:integer;
procedure solutie
var i,j: integer;
begin writeln
for i:=1 to n do
begin
for i:=1 to n do
write (a[I,j], ‘ ‘); writeln;
end;
end;
function continuare (k:integer):boolean;
var ok: boolean;
begin
ok::=true;
if (x [k]<1) or (x [k]>n) or (y [k]<1) or (y [k]k>n) or (a[x[k], y[k]]>0) then ok:= false;
continuare:=ok;
end;
procedure back (k:integer);
var i:integer;
begin
if (k= n*n+1) then solutie
else begin
for i:= 1 to 8 do
begin
x [k]:= x [k-1] +dx [i];
y [k]:= y [k-1] +dy [i] ;
a [x [k],y [k] ]:=k;
if contiuare (k) then begin
back(k+1);
a [x [k], y [k] ]:=0;
end;
end;
end;
end;
begin
write(‘n=‘); readln(n);
x[i]:=1; y[1]:=1; a[1,1]:=1;
back (2);
end.
5.Generarea permutărilor unui vector
Se citesc cele n elemente ale unui vector a de numere întregi. Să se genereze
permutările de n elemente ale mulţimii {a1,a2,…,an}. Simulaţi executarea
algoritmului pentru n=3.
 Recursiv
type vactor=array [1..20] of integer;
var a,x: vector; n:integer;
procedure citire(var n: integer; var a: integer);
var i: integer;
begin
write (‘n=‘); readln(n);
for i:= 1 to n do
begin
write(‘a[‘, i, ‘]=‘); readln (a[i]);
end;
end;
procedure solutie;
var I :integer;
begin
for i := 1 to n do
write (a [x [i] ], ’ ‘); writeln;
end;
function continuare (k: integer): boolean;
var i:integer;
begin
continuare := true;
for i:= 1 to k-1 do
if x[i]=x[k] then continuare:= false;
end;
procedure back (k:integer);
var i: integer;
begin
if (k=n+1) then solutie
else for i:= 1 to n do
begin
x[k]:=I;
if continuare (k) then back ( k+1);
end;
end;
begin
citire(n,a);
back(1);
end.
Rezolvare pentru n=3
= 3! = 2 * 3= 6
(1,2,3)
(1,3,2)
(2,1,3)
(2,3,1)
(3,1,2)
(3,2,1)
6.Generarea aranjamentelor de n elemente luate câte p ale unui vector
Se citesc cele n elemente ale unui vector şi numărul natural p. Să se genereze toate
aranjamentele de n elemente luate câte p ale mulţimii {a1,a2,…,an}. Simulaţi
executarea algoritmului pentru n=4 şi p=2.
o
Recursiv
type vector=array [1..20] of integer;
var x: integer;
n,p: integer;
procedure solutie
var i: integer;
begin
for i:=1 to p do
write (x[i], ‘ ‘];
end;
function continuare ( k:integer): boolean;
var i:integer;
begin
continuare := true;
for i:=1 to k-1 do
if x[i]=x[k] then continuare := false;
end;
procedure back (k: integer);
var i: integer;
begin
if (k=p+1) then solutie
else for i:=1 to n do
begin
x[k]:=I;
if continuare (k) then back(k+1);
end;
end;
begin
write (‘n=‘); readln(n);
write (‘p=‘); readln(p);
back(1);
end.
Rezolvare pentru n=4 si p=2
=
(1,2)
(1,3)
(1,4)
=
(2,1)
(2,3)
(2,4)
=
=
(3,1)
(3,2)
(3,4)
= 12
(4,1)
(4,2)
(4,3)
7.Generarea combinărilor de n elemente luate câte p ale unui vector
Se citesc cele n elemente ale unui vector şi numărul natural p. Să se genereze toate
combinările de n elemente luate câte p ale mulţimii{a1,a2,…,an}. Simulaţi
executarea algoritmului pentru n=4 şi p=2.
o
Recursiv
type vector=array [0..20] of integer;
var x:vector;
n,p: integer;
procedure solutie;
var i: integer;
begin
for i:= 1 to p do
write (x[i], ‘ ‘);
writeln;
end;
procedure back (k:integer);
var i:integer;
begin if (k=p+1) then solutie
else for i:= x[k-1] +1 to n do
begin
x [k]:= i;
back (k+1);
end;
end;
begin
write (‘n=‘); readln(n);
write (‘p=‘); readln(p);
back(1);
end.
Rezolvare pentru n=4 si p=2
=
(1,2)
(1,3)
(1,4)
=
=
(2,3)
(2,4)
(3,4)
=6
8.Generarea partiţiilor
Fie mulţimea A={1,2,…,n}. Se numeşte partiţie a mulţimii A, un set de kn
mulţimi care îndeplines ccondiţiile de mai jos:
a) A1UA2U…UAk=A
b) AiAj=, i,j{1,2,…,n}
o
Iterativ
var sol: array [0..10] of integer;
n,i, j,max: integer;
procedure tipar;
begin
max:=1;
for i:=2 to n do
if max< sol[i] then max:= sol[i];
writeln(‘Partitie’);
for i:=1 to max do
begin
for j:=1 to n do
if sol[j]=1 then write(j, ’ ‘);
writeln;
end;
end;
procedure back (k:integer);
var i, j, maxprec: integer;
begin
if k=n+1 then tipar
else begin
maxprec:=0;
for j:=1 to k-1 do
if maxprec< sol[j] then maxprec:= sol[j];
for i:=1 to maxprec+1 do
begin
sol [k]:=i;
back(k+1)
end;
end;
end;
begin
write(‘n=‘); readln(n);
back(1);
end.
2.GRILE
Varianta 16
Varianta 17
Un algoritm generează în ordine
crescătoare toate numerele de n cifre,
folosind doar cifrele3, 5 şi 7. Dacă
pentru n=5, primele 5 soluţii generate
sunt 33333, 33335, 33337,33353,
33355, precizaţi care sunt ultimele 3
soluţii generate, în ordinea generării.
Un algoritm generează în ordine
descrescătoare toate numerele de 5
cifre, fiecare dintre ele având cifrele
în ordine strict crescătoare. Ştiind că
primele 5 soluţii generate sunt
56789,46789, 45789, 45689, 45679,
precizaţi care sunt ultimele 3 soluţii
generate, în ordinea generării.
Rezolvare:
Rezolvare:
Ultimele trei solutii generate in
ordinea generarii sunt: 77773,
77775, 77777.
Ultimele trei solutii generate in
ordinea generarii sunt: 12347,
12346, 12345.
Varianta 19
Un algoritm generează în ordine
crescătoare, toate numerele de n cifre
(n<9), cu cifre distincte,care nu au
două cifre pare alăturate. Dacă pentru
n=5, primele 5 soluţii generate sunt
10325, 10327, 10329, 10345, 10347,
precizaţi care sunt următoarele 3
soluţii generate,în ordinea obţinerii
lor.
Varianta 20
Un algoritm generează în ordine
descrescătoare, toate numerele de n
cifre (n<9), cu cifrele în ordine strict
crescătoare, care nu au două cifre
pare
alăturate. Dacă pentru n=5, primele 5
soluţii generate sunt 56789, 45789,
45679, 45678, 36789, precizaţi care
sunt următoarele 3 soluţii generate,în
ordinea obţinerii lor.
Rezolvare:
Următoarele 3 soluţii
generate în ordinea obţinerii lor
sunt: 10349, 10352, 10354.
Rezolvare:
Următoarele 3 soluţii
generate,în ordinea obţinerii lor
sunt: 35789, 35689, 35679.
Varianta 21
Următoarele probleme se referă la
mulţimea de numere reale M={x1,
x2, …, xn} (n>1000).Care dintre
acestea, comparativ cu celelalte,
admite un algoritm care se încheie
după un număr minim de paşi?
Varianta 22
In timpul procesului de generare a
permutărilor mulţimii {1,2,…,n} prin
metoda backtracking, în tabloul
unidimensional x este plasat un
element xk (1≤k≤n). Acesta este
considerat valid dacă este îndeplinită
condiţia:
Rezolvare:
Rezolvare:
c. determinarea elementului
minim al mulţimii M
a. xk∉{x1, x2, …, xk-1}
Varianta 32
În vederea participării la un concurs,
elevii de la liceul sportiv au dat o probă
de selecţie, în urma căreia primii 6 au
obţinut punctaje egale. În câte moduri
poate fi formată echipa selecţionată
ştiind că poate avea doar 4 membri,
aleşi dintre cei 6,şi că ordinea acestora
în cadrul echipei nu contează?
a. 24 b. 30 c. 15 d. 4
Rezolvare:
=
c) 15
= 15
Varianta 34
Completarea unui bilet de LOTO
presupune colorarea a 6 numere dintre
cele 49, înscrise pe bilet. O situaţie
statistică pe o anumită perioadă de timp
arată că cele mai frecvente
numere care au fost extrase la LOTO
sunt: 2, 20, 18, 38, 36, 42, 46, 48. Câte
bilete de 6 numere se pot completa
folosind doar aceste valori, ştiind că
numărul 42 va fi colorat pe fiecare
bilet?
a. 21 b. 6! c. 42 d. 56
Rezolvare:
=
= 21
a) 21
Varianta 38
Utilizăm metoda backtracking pentru
generarea tuturor modalităţilor de a
scrie numărul 9 ca sumă a cel puţin
două numere naturale nenule distincte.
Termenii fiecărei sume sunt în ordine
strict crescătoare. Soluţiile se generează
în ordinea: 1+2+6, 1+3+5, 1+8, 2+3+4,
2+7, 3+6 şi 4+5.Se aplică exact aceeaşi
metodă pentru scrierea lui 8.Câte soluţii
vor fi generate?
a. 3 b. 4 c. 6 d. 5
Varianta 40
Utilizăm metoda backtracking pentru
generarea tuturor modalităţilor de a
scrie numărul 6 ca sumă a cel puţin
două numere naturale nenule. Termenii
fiecărei sume sunt în ordine crescătoare.
Soluţiile se generează în ordinea:
1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+2, 1+1+1+3,
1+1+4, 1+5, 2+2+2, 2+4 şi 3+3. Se
aplică exact aceeaşi metodă pentru
scrierea lui 9. Câte soluţii de forma 2+...
vor fi generate? (4p.)
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5
Rezolvare:
Rezolvare:
1+2+5
1+3+4
1+7
2+6
3+5
d) 5
2+2+2+3
2+2+5
2+3+4
2+7
c) 4
Varianta 45
Utilizând metoda backtracking se
generează toate cuvintele de câte 3
litere din mulţimea {a,b,c}. Dacă
primele patru cuvinte generate sunt,
în acestă ordine: aaa, aab, aac, aba,
care este cel de-al optulea cuvânt
generat?
a. acb b. acc c. aca d. bca
Rezolvare:
Varianta 49
Se generează în ordine strict
crescătoare numerele de câte şase
cifre care conţin: cifra 1 o singură
dată, cifra 2 de două ori şi cifra 3 de
trei ori. Se obţin, în această ordine,
numerele: 122333, 123233, 123323,
…, 333221. Câte numere generate
prin această me-todă au prima cifră 1
şi ultima cifră 2?
a. 1 b. 3 c. 4 d. 8
Rezolvare:
5. abb
6. abc
7. aca
8. acb
a) acb
123332
132332
133232
133322
c) 4
Variante 54
Utilizând metoda backtracking se
generează în ordine lexicografică toate
anagramele cuvântului caiet ( cuvinte
formate din aceleaşi litere, eventual în
altă ordine). Care este a şasea soluţie?
a. catei b. actie c. actei d. catie
Rezolvare:
caiet -> 12345
1. 12345
2. 12354
3. 12435
4. 12453
5. 12534
6. 12543
a) catei
Varianta 74
Prin metoda backtracking se generează toate anagramele (cuvintele obţinute prin permutarea literelor )unui
cuvânt dat.Ştiind că se aplică această
metodă pentru cuvântul solar,precizaţi
câte cuvinte se vor genera astfel încât
prima şi ultima literă din fiecare cu-vânt
generat să fie vocală(sunt consi-derate
vocale caracterele a, e, i , o, u)?
a. 24 b. 6 c. 10 d. 12
Rezolvare:
aslro
asrlo
arslo
arlso
alrso
alsro
6*2=12
d) 12
Varianta 69
Construim anagramele unui cuvânt
c1c2c3c4 prin generarea în ordine
lexicografică a permutărilor indicilor
literelor cuvântului şi obţinem
c1c2c3c4 c1c2c4c3 c1c3c2c4 …
c4c3c1c2 c4c3c2c1. Pentru anagramele cuvântului pateu, după şirul
paetu, paeut, paute cuvintele imediat
următoare sunt:
a. pauet şi ptaeu b. ptaeu şi ptaue
c. pauet şi ptaue d. ptaeu şi patue
Varianta 57
Se utilizează metoda backtracking
pentru a genera în ordine
lexicografică toate cuvintele de câte
patru litere din mulţimea {d,a,n,s},
astfel încât în niciun cuvânt să nu
existe două litere alăturate identice.
Ştiind că primele trei cuvinte generate
sunt, în ordine, adad, adan şi adas,
care va fi ultimul cuvânt obţinut?
a. snns b. nsns c. snsn d. dans
Rezolvare:
Rezolvare:
paute -> 12534
12543 -> paute
13245 -> ptaeu
a) pauet şi ptaeu
adad, adam, adas,..., snsn
c) snsn
Varianta 63
Se generează, prin metoda
backtracking, toate partiţiile mulţimii
A={1,2,3} obţinându-se următoarele
soluţii:{1}{2}{3};{1}{2,3};{1,3}{2}
;{1,2}{3};{1,2,3}. Se observă că
dintre acestea prima soluţie e alcătuită
din exact trei submulţimi.Dacă se
folo-seşte aceeaşi metodă pentru a genera partiţiile mulţimii {1,2,3,4} stabiliţi câte dintre soluţiile generate vor
fi alcătuite din exact trei submulţimi.
a.3 b.12 c. 6 d.5
Varianta 70
Pentru rezolvarea cărei probleme
dintre cele enumerate mai jos se poate
utiliza metoda backtracking ?
a. determinarea reuniunii a 3 mulţimi
b. determinarea tuturor divizorilor unui
număr din 3 cifre
c. determinarea tuturor elementelor mai
mici decât 30000 din şirul lui Fibonacci
d. determinarea tuturor variantelor în
care se pot genera steagurile cu 3 culori
(din mulţimea:”roşu”, ”galben”,
”albastru” şi ”alb”), având la mijloc
culoarea ”galben”
Rezolvati:
{1,2}{3}{4}; {1}{2,3}{4}; {1}{2}{3,4}
a) 3
Rezolvare:
d. determinarea tuturor
variantelor în care se pot genera
steagurile cu 3 culori (din
mulţimea:”roşu”, ”galben”,
”albastru” şi ”alb”), având la
mijloc culoarea ”galben”
Varianta 58
Se utilizează metoda backtracking
pentru a genera în ordine
lexicografică toate cuvintele de câte
trei litere distincte din mulţimea
{d,a,n,s}. Care este cel de-al treilea
cuvânt obţinut?
a. ads b. ans c. dan d. and
Rezolare:
Varianta 55
Se generează în ordine crescătoare,
toate numerele naturale de 5 cifre
distincte, care se pot forma cu cifrele
2,3,4,5 şi 6. Să se precizeze numărul
generat imediat înaintea şi numărul
generat imediat după secvenţa următoare : 34256, 34265, 34526, 34562.
a. 32645 şi 34625 b. 32654 şi 34655
c. 32654 şi 34625 d. 32645 şi 34655
Rezolvare:
1. adn
2. ads
3. ans
b) ans
34256 -> 23145 => 32654,
34256
34562 -> 23451 => 34561,
34625
c) 32654 si 34625
Realizator: ALBU DANIELA
Clasa : a XI-a B