Transcript 相対論入門 - 小林晋平

国立群馬工業高等専門学校
一般教科（自然科学）小林晋平
201２年1月2８日
@ 駒場数学ハウス

中学の理科を思い出す
◦ 質量保存の法則、イオンなど・・・化学
◦ 火成岩、夏の大三角形、寒冷前線・・・地学
◦ 細胞膜、両生類、食物連鎖・・・生物
◦ ばねの伸び、直列つなぎ、運動エネルギー・・・物理
どことなく地味、想像しにくい、つまらない？

最も有名な科学理論のひとつ
◦ 世界一有名な方程式：

フレーズやキーワードにインパクト
◦ 光の速さ、タキオン、最近ではニュートリノの話
◦ ４次元？時間が遅れる？ 重くなる？
◦ ブラックホール、ビッグバン、・・・

世界で３人しか理解できない？？？
→ デマ。特殊相対論なら中学３年生で計算可能
（全てではないが）
光の速さ：
物体の速さ：
止まっている人に流れる時間：
動いている物体に流れる時間：
例えば
なら
地上で10年経つ間に、動いていた物体は
8年しか経たない

アインシュタインが提唱、特殊と一般

特殊相対性理論（1905）
◦ 時間と空間が混ざり合う、質量とエネルギーの等価性

一般相対性理論（1916）
◦ 特殊相対論＋重力 → ブラックホールや宇宙そのもの
なぜそんな「ありえない」結果が出るのか？
ありえない ＝ 予想と違う

経験したことがない ← 予想したくてもできない

前提が「ありえない」← タネを仕込んでいる
相対性原理
光速度の不変性

相対性原理
あらゆる物理法則は、どんな慣性系から見ても
同じ形で書ける

慣性の法則が成り立つような「ところ」

慣性の法則：
物体に働く正味の力がゼロならば、
物体は静止し続ける or 等速で運動し続ける

一定の速さで動く電車の中でジャンプしてみる
A
ジャンプ中に電車だけ先へ行ってしまう？

電車の速さが変わらないなら、A地点に戻る
A
真上に飛べば、真下に落ちてくる
静止系と同じ

真上に飛んだつもりでも、電車の速度がある
A
A
始めから、斜めに飛んでいる

加速していく電車の中でジャンプしてみる
A
さっきと同じだろうか？

電車は人が飛んでいる間も加速
A
電車の方が先に行ってしまう
A

真上に飛んだのに、A地点より後ろに着地
A
何の力も働いていないのに後ろへ
慣性の法則

光速度の不変性
光の速さは光源の運動によらず一定で、いかなる
慣性系から見ても一定の速さで伝わる
m/s

光の速さは
秒速30万キロメートル

一秒間に地球を７周半
月まで1.27秒

100メートルを10秒で走る = 10m/s（36km/h）
音の速さ ≒ 340m/s （光の百万分の1）

ガリレオ（1600年頃）
◦ 測定そのものは失敗。非常に速いことを確認。

レーマー（1676）
◦ 木星の衛星イオの「食」の周期を利用
光速が有限であることを発見

フィゾー（1849）
◦ 歯車を使った光速度の測定
など

波動説
◦ 干渉、回折、屈折… ← 波の特徴

光 ＝ 電磁波

電場と磁場が、互いを
生成しながら進んでいく波

目に見える光：可視光
電波、赤外線、紫外線、X線、
ガンマ線も全て電磁波


ヤングの二重スリット実験

電子を１個ずつ打ち込む
何度も繰り返すと、なぜか干渉縞が出る

電子は波なのか？？？

光電効果など

光は波？粒子？

量子力学・場の量子論へ

回折格子
波ならば、何を伝わる波なのか？
波の種類
波を伝えるもの
水の波
水
音波
空気
光（電磁波）
エーテル？

マイケルソン・モーリーの実験（1887）
鏡
エーテルに
対する速さ
ハーフミラー
鏡
光源
干渉計

干渉縞の原因
◦ アームの長さの差
◦ エーテルに対する速度
◦ 2つの光の到達時間にずれが発生

装置を90度回転
◦ 干渉縞がずれる
◦ ずれの大きさから、エーテルに対する速度がわかる

結果：ずれが見つからなかった
→ エーテルは存在しない
光は何かを伝わる波ではない
光の速度は「絶対的」なもの？？？
仮定して理論を作り、実験で検証する

速さ で動く車から速さ
でボールを投げる
ボールの速さは合計で
になる

速さ
のボールを速さ で近づきながら見る
ボールは速さ
で向かってくるように見える

速さ
のボールを速さ で近づきながら見る
ボールは速さ
で向かってくるように見える

速さ
の波を出しながら波源が速さ で動く
波紋の間隔は狭まる
波の先頭の速さは のまま

速さ
の波を、速さ で近づきながら観察する
波の先頭は速さ
で向かってくるように見える

速さ
の光を、速さ で近づきながら観察する
観測者が近付いているのに、
のまま

速さ ＝ 進んだ距離 ÷ かかった時間

「距離」や「時間」という概念を洗い直す
必要がある

もちろん、なぜ自然がそうなっているのかという
疑問には答えられない

実は、電磁気学の結果からこれは予想されていた

当時は力学と電磁気学のみ

力学の基礎：ニュートンの運動方程式

電磁気学の基礎：マクスウェル方程式

マクスウェル方程式を変形する
ここで
速さ で進む波 ＝ 電磁波の存在
しかも、 や
は観測者には無関係な量

ニュートンの運動方程式はガリレイ変換で不変

ニュートンの運動方程式はガリレイ変換で不変
「全ての慣性系で物理法則が同じ」と
つじつまが合いそう

電磁気学も同じ性質のはず
ところが、そうなっていなかった

電磁気現象は、どんな慣性系から見るかによって
変わってしまうのか？
→ それを示す現象が見つからない
→ 電磁気学の方が「正しい」？

実はマクスウェル方程式にも、形を不変に保つ
変換がある

ローレンツ変換
これは何を意味するのか？

速さ で動く筒の中で、光を上に向かって発射
筒の外のAさんと、筒の中のBさんが観測
B
A
光源

速さ で動く筒の中で、光を上に向かって発射
筒の外のAさんと、筒の中のBさんが観測
B
A
光源

筒の中のBさん：
光が速さ で上下往復するのを見る
往復距離
光の速さ
往復に掛かる時間
光源

速さ で動く筒の中で、光を上に向かって発射
筒の外のAさんと、筒の中のBさんが観測

Aさんにも光の速さは に見える

三平方の定理を使う

三平方の定理を使う
動いている人に流れる時間 tB
≠ 止まっている人に流れる時間 tA
光の速さを 、物体の速さを
止まっている人に流れる時間が
動いている物体に流れる時間が
例えば
のとき、
年、 が光速の60%なら
年
地上で10年経つ間に、動いていた物体は
8年しか経たない

速さ
で横に動きながら、上に速さ
で光を発射

Aさんには光の速さが
に見える

Aさんには光の速さが
に見える
どちらの観測者でも時間の進み方は同じ
質量とエネルギーの等価性
ローレンツ収縮
双子のパラドックス etc

ローレンツ収縮

双子のパラドックス

ガレージパラドックス

ミューオンの寿命の問題

質量とエネルギーの等価性

普通、物質には質量がある

質量とエネルギーは等価である

ならば・・・
→ 物質が存在すれば、
それはエネルギーを秘めているということ

数式で表す：世界一有名な方程式

これには続きがある

正確に書くと・・・



時間の遅れなどの物理的意味
→ 時間と空間の混在
時間＋３次元空間 ＝４次元時空
４次元時空の行列による表現：ローレンツ変換
３次元空間の物理から４次元時空の物理へ
→ ニュートン力学から相対性理論的運動学へ
→ 質量とエネルギーの等価性
ある現象を静止したまま見るAさん：S系
＆
Aさんに対して速さ v で動きながら見るBさん：S’系
時間の遅れ
＆
空間の収縮（ローレンツ収縮）

と
の関係
：ローレンツ変換
もっと簡単に書けないものか？
４次元ベクトル
４×４行列
４次元ベクトル



大きさと方向を持った量
cf.) スカラー：質量，温度，密度…
「→」は幾何ベクトル
ベクトルで表すべき量は非常に多い
例：２人が同じ大きさの力で物体を引っ張る
どれ？

矢印で表して、３つの軸に射影する
or


３次元空間での、物体の位置を表す
矢印の先端に物体がいるということ
or


４次元時空での、物体の位置を表す
ある時刻 t における物体の位置
or
ｔ軸はどこに描く？？？

数を並べたもの、ベクトルもその一種
２×２行列
３×１行列
３×３行列
１×４行列

掛け算のルールが決まっている
ベクトルの長さの２乗

行列をベクトルに掛ける
→ ベクトルの移動を表現できる

例：２次元の位置ベクトル

行列をベクトルに掛ける
→ ベクトルの移動を表現できる

例：２次元の位置ベクトル

２次元の位置ベクトルの回転になっている

一般に２×２行列
で
なら、ベクトルの回転を表す
実は、
という特徴も

４次元ベクトルを「回転」させる行列：SO(1,3)

とにかく、４次元で考えた方がよさそう

ニュートン力学は全て３次元
→ それらを全て４次元に
バージョンアップさせてみよう
ニュートン力学
特殊相対性理論
３次元空間
４次元時空
座標
４元座標
速度
４元速度
加速度
４元加速度
力
４元力
運動量
４元運動量

４元速度
なにで微分すればいいのか？
時間は相対的なものでは？
→ 固有時間 τ で考えよう

４元運動量や４元力
第０成分は何を表すのか？？？
ここで
は、動いている座標系の原点にいる人に流れる時間
→ 運動している人が感じる時間：固有時

４次元版運動方程式

４元運動量が満たす式

４元運動量が満たす式

４元運動量が満たす式を微分
(仕事率)



仕事
物体に力を加えて動かす
→ 物体にエネルギーがたまる
= 「仕事をした」という
定義：
仕事率：仕事の時間変化率
＝ 1秒でどのくらいエネルギーがたまるか

４元力の第０成分は仕事率に等しい

４元運動量の中身がわかった！
ようやく世界一有名な方程式が出た！

質量？話はまだ終わらない・・・

質量保存則と運動量保存則が成り立つためには
質量は速度に依存している必要がある
お疲れさまでした！！！