Transcript Six Sigma

Chapter 04
流程能力與績效分析
Outline

基本定義

流程能力(製程能力)分析

流程績效分析

計數值資料之流程能力與績效分析

非常態流程能力分析

注意事項
Pg 2
Introduction





企業常會關心產出(相對於規格)到底會有多少比例是不
良？進行流程能力與績效分析可提供上述相關之訊息。
流程(製程)能力指的是流程製造之產品能符合規格之能
力，簡言之即流程的一致性(uniformity)。
造成流程能力不足的主要兩個原因為：流程平均值偏離
規格中心值與流程變異過大。
改善流程能力不足有許多方法，但主要原則為：(1)降低
流程變異， (2)調整機台參數使流程平均值接近規格中
心值， (3)放寬規格界限。
基本上「流程能力」乃評估流程的短期能力，而「流程
績效」則評估流程的長期能力。
Pg 3
定義(Definition)
估計標準差(Estimation of s)

樣本平均數 x 和變異數s2分別是為母群體的平均數m
和變異數s²的不偏估計量(unbiased estimators)
E( x )  m and E(s 2 )  s 2

樣本標準差 s 不是一個母群體標準差s的不偏估計量
(unbiased estimator)
E ( s) 
2
Γ(n / 2)

s
n  1 Γ((n  1) / 2)
 c4s

c4 
4( n  1)
4n  3
母群體標準差s的不偏估計量可經由下式估計之.
sˆ  s / c4
Pg 5
變異定義(Definition—Variation)

固有流程變異(Inherent process variation)
 流程變異僅來自共同原因(common causes)
 製程變異可經由經由下二式估計之：
R / d 2 or s / c4

總流程變異(Total process variation)
 流程變異來自共同原因與特殊原因
 變異可經由各樣本標準差估計之：
( xi  x ) 2
s 
n 1
i 1
n
Pg 6
製程能力與績效之定義(Definition—
Capability & Performance)

製程能力(Process capability)
 六個標準差範圍內之固有製程變異(The 6s range of a
process’s inherent variation)
(製程能力: 所有造成流程不穩定的非機遇原因被排除後，流程處
於統計的管制狀態下的流程能力)
 s 可經由 R / d2 估計之

製程績效(Process performance)
 六 個 標 準 差 範 圍 內 之 製 程 總 變 異 (The 6s range of a
process’s total variation)
 s 通常由樣本標準差(s)估計之。
Pg 7
短期與長期變異(Short-Term vs. Long-Term
Variability)

短期變異
(短期間所蒐集的樣本)
 共同原因(組內變異)
 Cp and Cpk 常用來評估潛在的短期能力

長期變異
(長期間所蒐集的樣本)
 長期流程變異來自共同原因與特殊原因
 Pp and Ppk常用來評估大致上的長期能力
Pg 8
長期估計標準差(Long-Term Estimate of s)

公式(formula)
sˆ  s 
( xi  x )

n 1
i 1
n
2
or
s
sˆ 
c4
同時考慮了流程一般原因與特殊原因的變異
Pg 9
短期估計標準差(Short-Term Estimate of s)

若 x-bar and R 管制圖已建構完成，利用：
sˆ 

若 x-bar and s管制圖已建構完成，利用：
sˆ 

R
d2
s
c4
若 x-MR管制圖已建構完成，利用：
sˆ 
MR
MR

d 2 1.128
其中MR 為移動全距之平均值
Pg 10
短期估計標準差

有m個樣本組與樣本大小為 n
sˆ 
m
Sp 
sp
c4 (d )
n
2
(
x

x
)
 ij i
i 1 j 1
m
 (n
i 1

i
 1)
 m 
d    ni   m  1
 i 1 
利用實驗設計與ANOVA
Pg 11
製程能力分析
Process Capability Analysis
製程能力評估(Assessing Process Capability)

短期之流程能力分析一般使用於進料檢驗或產品最
終檢驗與測試等，它可迅速反映出供應商之原料或
產品當時的品質。

「流程能力指標」被使用來評估一流程滿足規格的
能力
Bad
High dispersion
(變異大)
Better
Low dispersion, Off target
(低散佈，目標值偏移)
Best
Low dispersion, On target
(低散佈，目標值準確)
Pg 13
假設(Assumptions)

當計算「流程能力指標」時，通常需首先檢
查
 資料是否符合常態分配之假設
 流程是否處於統計管制狀態下，亦即判斷是否資
料點都在管制界限內，並呈現自然隨機之變動

樣本大小考量(Sample size considerations)
 最少須30個，最好超過100個樣本
Pg 14
符號(Notation)
LSL：規格下限
USL：規格上限
m：規格中心值
T：目標值
m：流程平均數
s：流程標準差
ppm (parts per million)：每百萬產出之不合格數
Pg 15
製程能力指標: Cp & Cpk
Cp 
USL  LSL
6s
s 通常是使用短期變異來進行估算
 USL  m m  LSL 
C pk  min
,
3s 
 3s
Cp 只考慮流程的變異;
Cpk 同時考慮流程的變異與流程平均值偏離規格中心之情形.
關係：C pk to C p is C pk  C p (1  k ), where k 
m μ
( USL  LSL) / 2
.
m = (USL + LSL)/2
Pg 16
能力比(Capability Ratios)
1
CR 
Cp
1
PR 
Pp

CR 代表被變異使用之規格寬度
 CR = 0.3  30% 的規格寬度被使用
Pg 17
Example 4.1: The Problem

從流程中抽取20組樣本，每組樣本有5個觀測值，用來量度某
品質特性，希望建立管制圖來管制該流程
No.
1
2
3
樣本組量測值
28
32
29
29
:
18
19
20
32
26
36
30
平均值
全距
28.6
30.4
32.4
5
3
6
:
:
:
30
31
28.8
29.8
33.8
4
13
6
30.95
5.15
27
30
32
30
29
32
27
31
42
31
Averages:
規格s: USL = 40, LSL = 20
樣本點6與19超出管制界線.
Pg 18
Example 4.1: Calculation

由於經繪製 x 管制圖之後得知樣本點6與樣本點19超出管制
界限，因此將此兩個樣本點剔除後再重新計算，得
sˆ 

R 4.842

 2.082
d 2 2.326
Cp的估計值為 Cˆ p  USL  LSL  40  20  1.601
6sˆ
6  2.082
此估計值大於1.33，表示此流程為一有能力之流程。

流程能力比
CR 
1
6s

 0.5
C p USL  LSL
表示流程占用50%之規格寬度(CR越小越好，表示流程變異越小)。
Pg 19
Cp and ppm
Cp
0.25
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
2.0
單邊規格
226628
66807
35931
17865
8198
3467
1350
484
159
48
14
4
1
0.17
0.03
0.0009
雙邊規格
453255
133614
71861
35729
16395
6934
2700
967
318
96
27
7
2
0.34
0.06
0.0018
3個標準差
6個標準差
Pg 20
可接受之最小流程能力指數



Cp 值越大表示流程能力越好，產出的不合格率越低。
通常建議最小的流程能力指數為 1.33 (4s)； 但是
Motorola在六標準差活動中，提出致力於獲得單一
流程一個最小的 Cp 值為2.0 以及 Cpk 值為 1.5。
Acceptance criteria is
organizational standard.
typically
based
on
Pg 21
Example
LSL
s  10
USL
100
130 145
190
Cp  1.50
Cp  1.50
C pk  1.00
C pk  1.50
Pg 22
Cp and Cpk比較

通 常 Cp 值 用 以 衡 量 流 程 的 潛 在 能 力 (potential
capability) ， 而 Cpk 值 用 以 衡 量 流 程 的 實 際 能 力
(actual capability)。

如果流程平均值不在目標值上，則Cp > Cpk 。

Cp 與Cpk 間差異在於製程平均值偏移目標值多寡
 若平均值=目標值, Cp = Cpk
 若 Cpk = 0, 平均值=規格界限
 若Cpk < 0, 平均值落於規格界限外
Pg 23
Cp, Cpk and ppm
s水準
Cp
平均值在目
標值上
平均值偏移
1.5s
Cpk
1
0.34
317310.5
697672.1
0.00
2
0.67
455001.1
308770.2
0.17
3
1.00
2700.0
66810.6
0.50
4
1.34
63.4
6209.7
0.83
5
1.67
0.6
232.7
1.17
6
2.00
0.0
3.4
1.5
7
2.34
0.0
0.0
1.83
8
2.67
0.0
0.0
2.17
9
3.00
0.0
0.0
2.50
3個標準差
6個標準差
Pg 24
Example 4.2
LSL
USL
Case 2
Case 1
100
130 145
190
Case 1
m  145
s  15
C pk  1.00
Case 2
m  130
s  10
C pk  1.00
Pg 25
Cpm Index
C pm 


USL  LSL
6 (m  T ) 2  s 2
田口博士認為目標值(target, T)比規格界限還
重要
變異來自二項：製程變異(s) 與趨近製程中心
(process centering)， (m - T).
當製程平均數不等於目標值時，Cpm比Cpk更精確。
• 當流程變異變大或流程平均值越偏離目標值時，Cpm 會變小 (Cpm < Cp)。
• 當流程平均值在目標上，則Cp = Cpk = Cpm 。
Pg 26
Example 4.3
LSL
USL
Case 2
Case 1
100
130 145
190
Case 1
m  145
s  15
C pk  1.00
C pm  1.00
Case 2
m  130
s  10
C pk  1.00
C pm  0.832
Pg 27
製程績效分析
Process Performance Analysis
製程績效指標: Pp & Ppk
USL  LSL
Pp 
6s
Pp 不考慮製程中心值.
 USL  m m  LSL 
Ppk  min
,
3s 
 3s
s 通常是使用長期變異來進行估算
此二類績效指標亦可作為長期製程能力與績效指標。
Pp 與 Ppk 之差別，就如同Cp 與 Cpk之差別。但是請注意流程變異
之計算是不一樣的，例如：
( xi  x ) 2
源自 x and R chart, sˆ  
n 1
i 1
n
Pg 29
Example 4.4: The Problem

從流程中抽取20組樣本，每組樣本有5個觀測值，用來量度某
品質特性，希望建立管制圖來管制該流程
No.
1
2
3
Subgroup Measurements
28
32
29
29
:
18
19
20
32
26
36
30
Mean
Range
28.6
30.4
32.4
5
3
6
:
:
:
30
31
28.8
29.8
33.8
4
13
6
30.95
5.15
27
30
32
30
29
32
27
31
42
31
Averages:
規格: USL = 40, LSL = 20
兩個樣本點超出管制界限：Points 6 and 19.
Pg 30
Example 4.4: 長期觀點

經繪製x-bar管制圖之後得知樣本點6與樣本點19超出管制界
限，今假設暫不將此二個樣本點剔除

長期流程績效
sˆ  s 
n

i 1
sˆ 
x
 x)

n 1
i
100

i 1
xi  33.92 )2
100  1
 3.368
3.368
3.368

 3.376
c4 (100) 0.9975
若n  25, c4 
4(n  1)
 0.99748
4n  3
USL  LSL
40  20
Pˆp 

 0.987
6sˆ
6  3.376
 30.95  20 40  30.95
Pˆpk  min
,
  0.894
3  3.376 
 3  3.376
Pˆp  Pˆpk  流程之平均值偏離目標值
Pg 31
Example 4.4: 短期觀點

經繪製x-bar管制圖之後得知樣本點6與樣本點19超出管制界
限，今假設暫不將此二個樣本點剔除

短期流程績效
sˆ 
R
5.15

 2.214
d 2 2.326
USL  LSL
40  20
ˆ
Cp 

 1.506
6sˆ
6  2.214
 30.95  20 40  30.95
Cˆ pk  min
,
  1.363
3  2.214 
 3  2.214
Cˆ p  Cˆ pk  流程之平均值偏離目標值
此外可以發現所計算出來的短期流程能力指標值大於長期流程績
效指標值。
Pg 32
Example 4.4:短期觀點

利用 s
sˆ 
s 2.093

 2.227
c4 0.940
USL  LSL
40  20
Cˆ p 

 1.497
6sˆ
6  2.227
 30.95  20 40  30.95
Cˆ pk  min
,
  1.355
3  2.227 
 3  2.227
與上頁之計算, 相差不大。
Pg 33
Example 4.4:短期觀點

使用共同樣本標準差(pooled standard deviation)
 x
m
Sp 
n
i 1 j 1
m
 n 1)
i 1
sˆ 
ij  xi )
Sp
c4 (80)

2

434.4
 2.330
80
i
2.330
 2.337
0.9969
 m 
d    ni   m  1  20 5  20  1  80
 i 1 
USL  LSL
40  20
Cˆ p 

 1.426
6sˆ
6  2.337
 30.95  20 40  30.95
Cˆ pk  min
,
  1.291
3  2.337 
 3  2.337
Pg 34
Example 4.5: Calculation-1

經繪製x-bar管制圖之後得知樣本點6與樣本點19超出管制
界限，今假設將此二個樣本點剔除

長期流程績效
sˆ  s 
n

i 1
sˆ 
x
i  x)

n 1
90

xi  30.2)2
i 1
90  1
 2.103
2.103 2.103

 2.109
c4 (90) 0.997
USL  LSL
40  20
Pˆp 

 1.581
6sˆ
6  2.109
 30.95  20 40  30.95
Pˆpk  min
,
  1.430
3  2.109 
 3  2.109
Pg 35
Example 4.5: Calculation-2

經繪製x-bar管制圖之後得知樣本點6與樣本點19超出管制
界限，今假設將此二個樣本點剔除

短期流程績效
sˆ 
R
4.842

 2.082
d 2 (5) 2.326
USL  LSL
40  20
ˆ
Cp 

 1.601
6sˆ
6  2.082
 30.95  20 40  30.95
Cˆ pk  min
,
  1.449
3  2.082 
 3  2.082
因為流程處於穩定中， s  R / d2
所以 Cˆ p  Pˆp , Cˆ pk  Pˆpk
Pg 36
Example 4.6:五個零件裝配

分
別
計
算
產
品
長
度
之
平
均
值
與
標
準
差
一組件由五個零件所裝配而成。Page.147
Part 1
Part 2
Part 3
Part 4
Part 5
B1  0.001
B2  0.001
B3  0.001
B4  0.001
B5  0.001
B ?
(where B  B1  B2  B3  B4  B5 )
3s y  0.0012  0.0012  0.0012  0.0012  0.0012  0.0224
Cp 

USL  LSL
0.06

 1.34
6s
2(0.0224)
假設產品規格為16±0.03
分別計算個別零件之能力/績效指標，可能費時費
力。因此考慮整個產品並進行計算。
Pg 37
計數值資料之製程能力與績效分析
Process Capability/Performance for
Attribute Data
計數值資料之製程能力與績效分析


對於計數值資料，使用計數值管制圖之中心線
值作為流程能力之衡量指標。
以 p chart為例：
p 可作為製程能力估計值
計數值資料之流程能力衡量，其最主要的缺點在於
無法說明產品不符合規格之原因。
Pg 39
非常態流程能力分析
Process Capability/Performance
for Non-normal Data
(skip)
非常態流程能力指標與分析

找出最佳適配的分配(distribution)，並估計機
率

將數據進行轉換，使之靠近常態分配
 最常用方法為運用Box-Cox將資料轉換

Values (Y) are transformed to the power of l (i.e., Yl)
l  2
l  0.5
l 0
l  0.5
l2
Y transformed  1/Y2
Y transformed  1/ Y
Y transformed  ln(Y)
Y transformed  Y
Y transformed  Y 2
Pg 41
Example:非常態流程分析方法



Find XL associated with Pr( )=0.00135
Find XU associated with Pr( )=0.99865
Estimate 6 sigma spread using XU – XL
3 sigma spread: X0.5 – X0.00135 ; X0.99865 – X0.5
Two-sided specification
Pp 
X0.00135
X0.99865
Median
X0.5
USL  LSL
X 0.99865  X 0.00135
One-sided specification
Ppk 
X 0.5  LSL
X 0.5  X 0.00135
Pg 42
Example 4.7

某橡圈內徑上規格界限為12，下規格界限為5，今收集80筆
資料如下表所示。
9.25
4.89
5.12
7.81
5.8
5.02
5.81
7.16

4.32
6.04
5.69
6.18
5.8
7.13
5.35
9.09
5.4
5.05
7.22
6.47
5.17
5.96
5.28
6.44
4.76
4.85
8.25
4.85
4.66
5.23
7.39
6.81
5.74
6.2
4.98
7.72
6.18
5.27
5.96
4.83
5.46
7.19
5.56
5.59
6.08
7.52
4.84
5.35
4.56
6.33
4.92
5.45
7.89
5.29
5.36
5.97
6.47
7.06
6.8
6.82
6.31
5.97
4.94
6.39
6.19
4.75
5.96
4.6
5.59
5.15
5.55
4.63
6.1
9.2
6.2
5.37
4.99
7.6
6.63
4.93
無資料轉換
x  5.98, s  1.11
USL  LSL 12  5
ˆ
Cp 

 1.05
6s
6 1.11
Pg 43
Example 4.7

由於原始資料之直方圖極為偏斜，因此估計出來之流程能力
值並不具代表性。

本例取原始數據的倒數進行轉換
轉換過後之數據近似常態分配

重新估計流程能力如下：
y  0.17, s  0.03
USL  LSL 0.2  0.08
Cˆ p 

 0.67
6s
6  0.03
Pg 44
非常態分配之流程能力指標

Luceño (1996) 提出一非常態分配之流程能力指標
USL  LSL
C pc 
6



2
E Xi T
當品質特性服從常態分配時，上式分母將會等於6s
寬度。
E X i  T 通常 未知，可用
1 n
Xi T

n i 1
進行估計。
Pg 45
Example 4.8

某橡圈內徑上規格界限為12，下規格界限為5，今收集80筆
資料如下表所示。
9.25
4.89
5.12
7.81
5.8
5.02
5.81
7.16

4.32
6.04
5.69
6.18
5.8
7.13
5.35
9.09
5.4
5.05
7.22
6.47
5.17
5.96
5.28
6.44
4.76
4.85
8.25
4.85
4.66
5.23
7.39
6.81
5.74
6.2
4.98
7.72
6.18
5.27
5.96
4.83
5.46
7.19
5.56
5.59
6.08
7.52
4.84
5.35
4.56
6.33
4.92
5.45
7.89
5.29
5.36
5.97
6.47
7.06
6.8
6.82
6.31
5.97
4.94
6.39
6.19
4.75
5.96
4.6
5.59
5.15
5.55
4.63
6.1
9.2
6.2
5.37
4.99
7.6
6.63
4.93
3.1
3.45
1.28
2.03
3.33
2.54
3.22
2.06
3.74
3.65
0.25
3.65
3.84
3.27
1.11
1.69
2.76
2.3
3.52
0.78
2.32
3.23
2.54
3.67
3.04
1.31
2.94
2.91
2.42
0.98
3.66
3.15
3.94
2.17
3.58
3.05
0.61
3.21
3.14
2.53
2.03
1.44
1.7
1.68
2.19
2.53
3.56
2.11
2.31
3.75
2.54
3.9
2.91
3.35
2.95
3.87
2.4
0.7
2.3
3.13
3.51
0.9
1.87
3.57
計算 X i  T
0.75
3.61
3.38
0.69
2.7
3.48
2.69
1.34
4.18
2.46
2.81
2.32
2.7
1.37
3.15
0.59
USL  LSL
2
12  5

 8 .5
2
T
Pg 46
Example 4.8

非常態分配之流程能力指標
1 n
0.75  4.18    3.57
X

T

 2.57

i
n i 1
80
USL  LSL
12  5
Cˆ pc 

 0.36
7.52 2.57

6
 2.57
2
Pg 47
A Case
實務案例問題

某製造商利用射出成型機製造飲料瓶蓋，並於流程中使用電
腦視覺儀器檢測瓶蓋色差，若色差大於某一設定值，則視為
黑點（不良品），需予以報廢或進行重工。由於瓶蓋不良率
過高，因此品管人員著手於品質改善之工作。

品管人員自流程中收集了瓶蓋色差的100筆數據
0.96
2.15
7.64
1.84
0.91
0.73
0.43
10.19
2.89
0.77

3.23
1.1
0.35
0.96
1.28
0.09
0.87
1.49
7.88
1.01
1.24
0.8
2.26
1.02
0.61
2.9
2.78
1.24
0.65
1.71
0.54
0.26
0.21
3.53
0.48
0.36
1
0.43
1.17
5.55
0.69
0.85
1.57
3.88
2.02
0.59
7.59
5.68
0.62
0.25
0.27
0.79
0.15
10.88
0.91
1.08
2.65
3.05
0.11
0.19
0.18
1.7
0.37
0.48
2
0.88
0.49
1.8
0.79
10.98
0.78
6.6
4.2
0.57
1.15
0.78
0.68
0.55
2.26
0.44
0.32
0.76
7.64
3.47
2.47
1.59
1.65
3.08
0.9
0.4
1.16
1.56
0.9
0.47
3.5
0.53
0.92
0.24
0.87
0.95
瓶蓋色差規格之上限為8
Pg 49
x-MR Chart
Pg 50
無資料轉換
C pk  1.11, Ppk  0.87
Pg 51
Box-Cox 資料轉換

A Box-Cox plot
Pg 52
x-MR Chart – 資料轉換後
只有第54個樣本點超出管制界限
Pg 53
製程能力分析(Process Capability
Analysis)

製程能力分析, 利用Box-Cox轉換
C pk  0.67, Ppk  0.63
Pg 54
結論
Conclusions
Notes
在進行流程能力與績效分析時須注意以下基本事項：

確認顧客與公司所認定的計算方式是否一致。也就
是說，所談的指的是短期流程能力或是長期流程績
效，且採用何種方式進行估算s等等，都必須要有一
共識，否則將會導致錯誤之決策結果。

應盡可能使用大家能夠瞭解與理解的指標。

樣本數據必須以常態分配為假設前提。

為使計算出之指標具代表性，樣本數據要夠大。

短期流程能力必須在流程穩定條件下計算出來。
Pg 56
Some Comments (1)

吾輩很難以單一指數或比值為基礎，來評估或
真正瞭解一個流程

所有能力/績效評估應當侷限為單一流程特性，
若要結合或是平均幾個流程的能力/績效結果
成為一個單一指標，是極為不恰當的(AIAG).

能力/績效指標會隨著時間而改變，Wheeler
建議使用x-MR chart來報告流程指標
Pg 57
Some Comments (2)


當使用統計軟體時 (例如 Minitab)， Cp 和 Cpk
必須由組內標準差來決定，而 Pp 和 Ppk 必須由
整體的標準差來決定
必須提出大家能夠瞭解與理解的指標，許多研
究 者 並 不 建 議 將 ppm 轉 為 標 準 差 品 質 水 準
(sigma quality level)，因為其結果會導致混淆
Pg 58