Transcript + r

Objemy a povrchy těles
základní přehled vlastností a vztahů
Krychle
Pravidelný šestistěn (hexaedr):
V = a3
S = 6a 2
stěnová úhlopříčka:
us = a√2
ut
us
a
tělesová úhlopříčka:
ut = a√3
Krychle má šest stěn, osm
vrcholů a dvanáct hran.
Kvádr
V=a·b·c
S = 2(ab + bc + ac)
tělesová úhlopříčka:
c
ut
a b c
2
2
2
Kvádr má šest stěn, osm
vrcholů a dvanáct hran.
b
a
ut 
Hranol – podstavy jsou rovnoběžné a tvoří je shodné n-úhelníky,
boční stěny jsou rovnoběžníky
a – podstavná hrana (u pravidelných hranolů mají všechny
podstavné hrany stejnou délku)
v – boční hrana (její délka se nazývá
výška hranolu = vzdálenost podstav)
v
V = Sp · v
S = 2Sp + Spl
Pokud jsou boční hrany rovnoběžné,
ale nejsou kolmé k podstavě,
nazýváme takové těleso kosý hranol.
a
Výška pak není totožná s boční
hranou!!!
Válec – rotační těleso (rotace obdélníku kolem své strany)
r – poloměr podstavy
v – výška válce
v
Pokud jsou boční hrany vzájemně
rovnoběžné, ale nejsou kolmé
k podstavě, nazýváme takový válec
kosý (válec je zešikmený).
V = πr2 · v
r
S = 2πr2 + 2πrv = 2πr(r + v)
Jehlan - podstava je mnohoúhelník, boční stěny jsou trojúhelníky
a – podstavná hrana
s – boční hrana
v – výška jehlanu
vs – výška boční stěny
α – úhel boční hrany
β – úhel boční stěny
v
s
vs
a
3
S p v
S = Sp + Spl
β
α
V 
1
Jehlany, které mají podstavu tvaru
pravidelného mnohoúhelníku,
nazýváme pravidelné.
Kužel - (rotační těleso – rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem
odvěsny)
v – výška kužele
r – poloměr podstavy
s – délka strany kužele
α – úhel boční strany
V 
s
1
2
πr v
3
S = πr2 + πrs = πr(r + s)
v
α
r
Pokud výška kužele neprochází
středem podstavy, nazýváme takový
kužel kosý (kužel je zešikmený).
Existují i další kužele – eliptický
(podstavou je elipsa) ad.
Komolý jehlan
a1 – spodní podstavná hrana
a2 – horní podstavná hrana
s
v
a2
v
v
vs
vs
β
α
a1
Pro praktické výpočty je vhodnější
výška spuštěná z vrcholu menší
podstavy, případně výška spuštěná
ze středu kratší podstavné hrany.
s – boční hrana
v – výšky jehlanu
vs – výška boční stěny
α – úhel boční hrany
β – úhel boční stěny
V 
v
3
S
1

S1  S 2  S 2

S = S1 + S2 + Spl
Komolé jehlany, které mají
podstavy tvaru pravidelného
n-úhelníku, nazýváme pravidelné
n-boké.
Komolý (rotační) kužel
v – výška kužele
r1 – poloměr spodní podstavy
r2 – poloměr horní podstavy
s – délka strany kužele
α – úhel boční strany
r2
v
s
v
V 
πv
3
r
1
2
 r1  r2  r2
2

S = π[r12 +r22 + s(r1 + r2)]
α
r1
Pokud spojnice středů podstav není
kolmá k podstavám, nazýváme takový
kužel kosý (kužel je zešikmený).
Existují i další komolé kužele –
eliptický (podstavou je elipsa) ad.
Koule
S – střed koule
r – poloměr koule
V 
4
3
r
S
πr
3
S = 4πr2
Části koule – úseč
v
ρ
r
r – poloměr koule
ρ – poloměr úseče
v – výška úseče
Povrch úseče se skládá z podstavy
r
a z pláště, kterému se říká vrchlík.
V 
1
6

πv 3  v
2
2
S = 2πrv + πρ2

Části koule – výseč
v
r
r – poloměr koule
ρ – poloměr výseče
v – výška výseče
ρ
r
Povrch výseče se skládá z vrchlíku
a z pláště kužele.
V 
2
2
πr v
3
S = 2πrv + πrρ = πr(2v + ρ)
Části koule – kulová vrstva a pás
r – poloměr koule
ρ1 – poloměr horní podstavy
ρ2 – poloměr dolní podstavy
v – výška vrstvy
ρ1
v
r
ρ2
r
Povrch kulové vrstvy se skládá z
podstav a pláště, kterému se říká
kulový pás.
V 
1
6

πv 31  3  2  v
2
2
2

S = πρ12 + πρ22 + 2πrv
Volné rovnoběžné promítání
Pojmy: průmětna, nárys, půdorys, bokorys, levý a pravý nadhled, levý a
pravý podhled
Vlastnosti:
1.
2.
3.
4.
5.
Průmětem přímky je přímka nebo bod
Průmětem 2 rovnoběžných přímek jsou 2 rovnoběžné přímky nebo 2
body
Zachovávají se geometrické poměry ( AB : BC = A´B´ : C´D´ )
Geometrické útvary ležící v rovinách rovnoběžných s průmětnou se
zobrazí v původní velikosti
Přímky a úsečky kolmé k průmětně se kreslí pod úhlem 45o a délky
úseček se zkracují na 1/2