Transcript Linearni dinamički proračun spektrima odgovora

Metode proračuna
-
Linearni statički proračun primjenom ekvivalentnog
statičkog djelovanja,
- Linearni dinamički proračun spektrima odgovora,
-
Nelinearna statička metoda postupnog guranja (push over)
Nelinearni dinamički proračun uporabom zapisa ubrzanja u
vremenu (time history)
Linearni statički proračun primjenom
ekvivalentnog statičkog djelovanja
ili
Metoda bočnih sila
Metoda bočnih sila
OSNOVNI PERIOD OSCILIRANJA T1
T1= CtH3/ 4
H
visina zgrade u m, H < 40(m)
Ct = 0.085 za čelične okvirne konstrukcije bez dijagonala
Ct = 0.075 za armirano-betonske okvirne konstrukcije i čelične okvirne
konstrukcije sdijagonalama
Ct = 0.050 za sve ostale konstrukcije
Za konstrukcije od zidova (betonskih i zidanih)
AC ukupna efektivna površina zidova prvog kata zgrade u m2
Ai efektivna površina poprečnog presjeka i-tog zida prvog kata zgrade u m2
lwi dužina i-tog zida prvog -kata zgrade u pravcu paralelnom s traženom silom u m,
Alternativno:
d
horizontalni elastični pomak vrha zgrade u (m) uslijed gravitacijskog
opterećenja primijenjenog u horizontalnom smjeru
Metoda bočnih sila
Ukupna masa računa se prema sljedećoj osnovi:
Ukupna težina zgrade
Gkj
Qki
ψEi
karakteristična vrijednost stalnog opterećenja ″j″
karakteristična vrijednost promjenjivog opterećenja ″i″
koeficijent kombinacije za promjenjivo opterećenje ″i″
Koeficijent kombinacije za promjenjivo opterećenje
ψ2i
koeficijenti kombinacije koji predstavljaju ″kvazistalne vrijednosti
promjenjivog opterećenja i″ (Eurocode 1)
vrijednosti ovisne o kategoriji opterećene površine (Eurocode 1)
Metoda bočnih sila
RASPODJELA HORIZONTALNE SEIZMIČKE SILE PO VISINI ZGRADE
Fi
Fb
si, sj
mi, mj
horizontalna sila koja djeluje na i-tom katu
ukupna seizmička sila
pomaci masa mi, mj osnovnog perioda
katne mase mi, mj osnovnog perioda
Ako je vlastiti oblik prvog perioda oscilacija približno linearan, horizontalne sile su:
zi, zj visinski položaj masa mi, mj mjereno od gornjeg ruba temelja
Metoda bočnih sila
Za zgrade čiji seizmički odgovor ne ovisi o višim periodima
oscilacija što je ispunjeno ako su zadovoljeni uvjeti:
(1) osnovni period u 2 međusobno okomita smjera
(2) zadovoljavaju kriterije visinske pravilnosti
Metoda bočnih sila
Poprečna sila baze
iz dva nezavisna okomita smjera ako je visina < 10 m
Fb = Sd (T1 ) ⋅ m ⋅ λ
Sd(T1)
T1
m
λ
- ordinata projektnog spektra
- osnovni period oscilacija
- ukupna masa
- korekcijski faktor
λ=0.85 – za T1 < 2Tc i više od 2 kata
ostalo λ=1.0
Linearni dinamički proračun spektrima odgovora
Kod analize vremenskog zapisa nekog potresa izdvajaju se tri
fizikalne feličine u funkciji od vremena t:
- Pomak tla dg(t)
- Brzina tla vg(t)
- Ubrzanje tla ag(t)
Za štete na građevinama su mjerodavni ubrzanje tla, frekventni
sadržaj zapisa kretanja tla i trajanje potresa.
Linearni dinamički proračun spektrima odgovora
Red veličine maksimalnih pomaka, brzina i ubrzanja tla za
umjereno jak potres I = VIII stupanj, M ≈ 6 ÷ 6,5
Dg, max ≈ 0.1 ÷ 0.3 m
Vg, max ≈ 0.1 ÷ 0.3 m/s
Ag, max ≈ 1.5 ÷ 3.0 m/s2 = 0.15 ÷ 0.30 g
Linearni dinamički proračun spektrima odgovora
Vertikalno ubrzanje tla
1/3 do 1/1 horizontalnog ubrzanja na istom mjestu.
Većina tehničkih propisa:
ag, max, vert = 2/3 · ag, max, horiz
Frekventni zapis tla:
Za sve građevine je mjerodavan frekventni opseg f=0.1Hz ÷ 30Hz
Odnosno preko perioda osciliranja T=0,003 s ÷ 10s
Linearni dinamički proračun spektrima odgovora
Zastupljenost pojedinih frekvencija u vremenskim zapisima
kretanja tla ovisi o vrsti i karakteru podloge.
- Čvrsta i stjenovita tla
- Srednje čvrsta tla
- Mekana tla
- Veoma mekano tlo
f ≈ 3 ÷ 10 Hz (T ≈ 0.1 ÷ 0.3 s )
f ≈ 2 ÷ 8 Hz (T ≈ 0.13 ÷ 0.5 s )
f ≈ 0.5 ÷ 2 Hz (T ≈ 0.5 ÷ 2.0 s )
f ≈ 0.3 ÷ 0.5 Hz (T ≈ 2.0 ÷ 3.0 s )
Za građevine je najnepovoljnije kada se njihove osnovne
frekvencije poklapaju sa dominantnim frekventnim opsezima
u vremenskom toku ubrzanja tla.
Linearni dinamički proračun spektrima odgovora
Kod projektiranja konstrukcija potrebno je definirati opterećenje
uslijed mogućeg djelovanja potresa.
Za inžinjerske potrebe potresa bitna je relacija između
maksimalnog ubrzanja tla ag, max i intenziteta potresa I,
odnosno magnitude M.
Linearni dinamički proračun spektrima odgovora
Što su spektri odgovora i kako se određuju
Za inžinjersko vrednovanje zapisa potresa iskazanog u obliku toka
ubrzanja za vrijeme trajanja potresa kao i za projektiranje
koriste se spektri odgovora (response spectra).
Pod pojmom spektri odgovora podrazumjevaju se spektri
pomaka, brzine i ubrzanja.
U praksi se najviše koriste spektri ubrzanja, a predočeni su u
svom jednostavnom “zaglađenom” obliku.
Linearni dinamički proračun spektrima odgovora
Što su spektri odgovora i kako se određuju
Spektar odgovora se može definirati kao skup maksimalnih
odgovora sistema sa jednim stupnjem slobode na pobudu u
obliku akcelerograma potresa.
Radi se niz linearnih dinamičkih analiza iz kojih se izdvajaju samo
maksimalni odgovori i to kao apsolutne vrijednosti.
Spajanjem maksimalnih odgovora dobiva se krivulja koja se
naziva spektar odgovora.
Ulazno opterećenje je akcelerogram potresa.
Rezultat proračuna je vremenski tok promjene promatrane
veličine za koje se želi proračunati spektar odgovora
Linearni dinamički proračun spektrima odgovora
Što su spektri odgovora i kako se određuju
Postupak proračuna spektra odgovora
Linearni dinamički proračun spektrima odgovora
Što su spektri odgovora i kako se određuju
Postupak proračuna spektra odgovora se po koracima može
prikazati:
- Akcelerogram potresa
- Sustav sa jednim stupnjem slobode
- Linearna dinamička analiza sustava
- Određivanje perioda oscilacije T
- Apsolutna vrijednost maksimalnog odgovora
- Unos vrijednosti u spektralni diagram
Linearni dinamički proračun spektrima odgovora
Što su spektri odgovora i kako se određuju
Spektar odgovora je elastičan, jer je dobiven uz pretpostavku o
linearnom – elastičnom ponašanju materijala.
Akcelerogram El Centro, potres u Imperial Valley, California 1940.g.
Linearni dinamički proračun spektrima odgovora
Što su spektri odgovora i kako se određuju
Spektar ubrzanja za akcelerogram potresa, u formatu Sa – T
Na mjestima vrhova diagrama zagrada (između perioda 0.25 s i
0.65 s) maksimalno spektralno ubrzanje je oko 2.5 puta veče
od maksimalnog ubrzanja tla iz akcelerograma koje se
označava sa PGA (peak ground acceleration).
Linearni dinamički proračun spektrima odgovora
Što su spektri odgovora i kako se određuju
Spektri ubrzanja za razne veličine prigušenja
Promatrajući gornji spektar ubrzanja gdje se period osciliranja T
približava nuli, uočava se da je veličina spektralnog ubrzanja
gotovo jednaka apsolutnom maksimalnom ubrzanju tla (PGA)
iza akcelerograma koji je poslužio za konstruiranje spektra
ubrzanja.
Linearni dinamički proračun spektrima odgovora
Što su spektri odgovora i kako se određuju
Akcelerogram el Centro, PGA = 3.417 m/s2. dužina zapisa t = 53.74 s
Linearni dinamički proračun spektrima odgovora
Što su spektri odgovora i kako se određuju
Spektar ubrzanja za akcelerogram El Centro, prigušenje 5%
Linearni dinamički proračun spektrima odgovora
Što su spektri odgovora i kako se određuju
Akcelerogram Mexico City, PGA = 0.98 m/s2, dužina zapisa t = 180, 1 s
Linearni dinamički proračun spektrima odgovora
Što su spektri odgovora i kako se određuju
Spektar ubrzanja za akcelerogram Mexico City, prigušenje 5%
Matematička formulacija spektra odgovora
Sustav sa koncentriranom masom, izložen ubrzanju tla
Matematička formulacija spektra odgovora
Model sustava sa jednim stupnjem slobode
Na mjestu pričvrščenja za podlogu sustav je izložen kretanju tla
iskazanom u obliku vremenskog zapisa ubrzanja tla –
akcelerogram, koje uzrokuju oscilacije koncentrirane mase.
Ukupni pomak koncentrirane mase sastoji se:
- iz pomaka tla gdje se cijeli sustav pomiče iz prvobitnog u novi
položaj,
- i pomaka uslijed deformacije konzole (relativni pomak).
Matematička formulacija spektra odgovora
Oznake na slici su sljedeće:
•
•
•
•
•
•
•
m koncentrirana masa sustava 1SS,
c prigušenje (konstanta prigušenja)
k krutost (krutost "opruge")
ua apsolutni (ukupni) pomak
u relativni pomak
ug pomak tla
üg ubrzanje tla.
Matematička formulacija spektra odgovora
Na koncentričnu masu djeluju sljedeće sile:
• ku
• ců
• müa
elastična sila (sila naprezanja), proporcionalna
relativnom pomaku
sila prigušenja, proporcionalna relativnoj brzini
sila inercije, proporcionalna apsolutnom ubrzanju
Matematička formulacija spektra odgovora
Uvjet ravnoteže sila:
müa + ců + ku = 0
Ukupni pomak tla:
ua = u + ug
Ukupno ubrzanje mase:
üa = ü + üg
Matematička formulacija spektra odgovora
Diferencijalna jednadžba sustava sa jednim stupnjem slobode:
- seizmička sila
Matematička formulacija spektra odgovora
Dijeljenjem sa masom m prethodna jednadžba se može
transformirati u njen standardni oblik:
Ovdje su:
- kružna frekvencija neprigušenih oscilacija
- mjera prigušenja
- vlastita frekvencija osciliranja
- vlastiti period osciliranja
Matematička formulacija spektra odgovora
Riješenje diferencijalne jednadžbe – Duhamel-ov integral
Uz
Gornji izraz u(t) predstavlja vremenski tok relativnog pomaka
promatranog sustava sa jednom masom.
Matematička formulacija spektra odgovora
Za konstruiranje spektra odgovora izdvajamo apsolutne
maksimalne veličine pomaka, brzine i ubrzanja sa jednom
masom.
Matematička formulacija spektra odgovora
Maksimalni pomak
Uz
Matematička formulacija spektra odgovora
Maksimalni pomak
Spektralni pomak (maksimalni relativni pomak) je:
Matematička formulacija spektra odgovora
Maksimalna brzina
Spektralna brzina (maksimalna relativna brzina)
Matematička formulacija spektra odgovora
Maksimalno ubrzanje
Spektralno ubrzanje (maksimalno apsolutno ili ukupno ubrzanje)
Matematička formulacija spektra odgovora
U svim prethodnim jednadžbama t je vrijeme trajanja
potresa, odnosno dužina zapisa kretanja tla akcelerograma.
Za neki promatrani trenutak t mora se uraditi integracija od
početka potresa (točnije početka zapisa) do tog trenutka
vremena, a τ je integracijska varijabla (τ < t).
Za traženi spektar odgovora izdvaja se uvijek maksimalna
vrijednost pojedinog odgovora.
Kod izraza za spektralnu brzinu i spektralno ubrzanje
zanemaren je po jedan član koji se množi sa stupnjem
prigušenja ζ.
Matematička formulacija spektra odgovora
Pseudoubrzanje
Iz jednadžbe za spektralni pomak Sd i spektralno ubrzanje Sa
vrijedi jednostavna relacija da je:
S a ≈ ω2 · Sd
Desna strana jednadžbe naziva se i spektar pseudoubrzanja Spa,
zbog pojednostavljenja, odnosno zanemarenja članova
množenih sa prigušenjem ζ.
Razlika između pseudoubrzanja Spa i točnog apsolutnog ubrzanja
Sa je mala, pogotovo za iznose prigušenja ζ = 2 ÷ 5 %.
Jednadžba omogućava praktičnu primjenu kod upotrebe
projektnih spektra odgovora.
Matematička formulacija spektra odgovora
Pseudoubrzanje
Maksimalnom naprezanju konstrukcija odgovara maksimalni
pomak Umax i odgovarajuća elastična sila Fmax.
U trenutku maksimalnog relativnog pomaka brzina je nula, tako
da nema sile prigušenja.
Za promatrani sustav sa jednim stupnjem slobode, mase m i
krutosti k, vrijedi:
Fmax = k · umax (¤) , odnosno
Maksimalno naprezanje = produktu mase i maksimalnog
apsolutnog ubrzanja, odnosno spektralnog ubrzanja.
Matematička formulacija spektra odgovora
Pseudoubrzanje
Spektri ubrzanja dobiveni “točnim” proračunom i prema izrazu (¤),
akcelerogram El Centro, prigušenje 5 %.
Matematička formulacija spektra odgovora
Pseudoubrzina
Ukoliko u jednadžbi za spektralnu brzinu, koja predstavlja
spektralnu vrijednost relativne brzine, funkciju cosω (t-τ)
zamijenimo sa funkcijom sinω (t-τ) dobivamo spektralne
vrijednosti pseudobrzine Spr. I ovdje prefiks “pseudo”
označava netočnosti koje su uveden ovom zamjenom, kao i
zanemarenjem članova množenih sa prigušenjem ζ koji
nastaju nakon diferenciranja po vremenu za pomak dobiva se:
Matematička formulacija spektra odgovora
Pseudoubrzina
Postoji jednostavna relacija između spektralnih vrijednosti
pomaka, brzine i ubrzanja:
(X)
Razlike između Spv i Sv su značajne u području manjih frekvencija
odnosno dužih perioda osciliranja.
Ovo je predočeno na slici gdje isprekidana linija predstavlja
spektar brzina dobiven približnom formulom (X).
Osin sa povećanjem preioda osciliranja razlike između “točne” i
približne spektralne krivulje rastu sa povećavanjem
prigušenja, što je i za očekivati s obzirom na zanemarenja koja
su predhodila formuli (X).
Matematička formulacija spektra odgovora
Pseudoubrzina
Spektri brzina dobiveni “točnim” proračunom i prema izrazu (X), akcelerogram
El Centro, prigušenje 5 %.