Transcript Movimento circular
MOVIMENTO CIRCULAR
Movimento circular uniforme Vetor posição Velocidade angular Período e frequência Aceleração centrípeta Movimento circular uniformemente acelerado Aceleração angular Aceleração total MOVIMENTO EM TRÊS DIMENSÕES
Vetor posição Velocidade Aceleração
1
MOVIMENTO CIRCULAR
2
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME No movimento circular uniforme a velocidade tem porém sua direção muda continuamente módulo constante , Exemplos: As pessoas girando com o movimento da Terra Movimento de satélites artificiais Pontos de um disco num gira discos Pontos de um disco rígido de computador Ponteiros de um relógio
Movimento circular uniforme
MCU
y e
y
r e
x x
Para descrever o MCU utilizamos as coordenadas polares
y
Vetor posição
r
sin
e
y r
r
cos
x r
onde
r r
cos
r
e
x r
r
sin
e
e
y
y r
S x s
r
x r ds
s d
d
é dado por
ds
r d
No movimento circular uniforme
O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória da partícula e é perpendicular ao raio da trajetória
v
B
a c v
r
a c
A Demonstraremos que
•
A aceleração centrípeta aponta para o centro do círculo
•
A aceleração centrípeta é responsável pela mudança da direcção da velocidade
No movimento circular uniforme a velocidade angular é constante
t
A unidade da velocidade angular é
rad s 1
O movimento circular é um movimento periódico O tempo de uma volta completa é o período
T
o tempo que demora para descrever um ângulo de
2
A velocidade angular é
2
T
ou
2
f
onde
f
é a frequência A unidade da frequência no SI é o hertz (Hz)
v
r
r
cos
e
x
r
sin
v
e
y
derivada em ordem ao tempo de
r d r
dt
r
sin
d
dt
e x
v
mas
r
sin
e
x
d
r dt
cos
e
y
O módulo da velocidade é
v
v
r
cos
d
dt
e y
v
v x
y e
y
v y
r e
x
v x
v
v x y
r
sin
r
cos
r
sin
e x
r
cos
e y
r
porque
v
2 2
r
sin 2 2 (
r
cos ) 2 2
r
2 sin 2 2
r
2 cos 2 2
r
2 (sin 2 cos 2 )
v
r v
Como O valor absoluto da velocidade linear não varia mas a direção varia
v
r
,
é constante.
O movimento circular uniforme é acelerado e a única função da aceleração é mudar a direção da velocidade
v
r
sin
e x
r
cos
e y
A aceleração é
a
d v
dt
d dt
r
sin
e
x
r
cos
e
y
r
cos
d
dt
e x
a r
sin
d
dt
2
e y
2 (
r
r
cos
e x
r
sin
e y
) ou
a
2
r
Observe que : a direção da aceleração tem sentido inverso ao do vetor posição
se a aceleração está dirigida para o centro da circunferência e por esse motivo chama aceleração centrípeta É a aceleração centrípeta que faz variar o vetor velocidade !
Vetor posição Vetor aceleração centrípeta
10
v
a c
B
a c
Substituindo
a
v
A O módulo da aceleração centrípeta é
a c
2
r
a c
2
r
como
a c
2
r
v
r
v r v r
2
r
v
2
r r
2
a c
v
2
r
Exemplo 1: Observe a animação abaixo. O carro se move com velocidade linear constante. Em qual das curvas a aceleração centrípeta é maior?
a c
1
v
2
r a c
2
v
2 2
r
12
Exemplo 2.
U m astronauta está numa centrífuga horizontal de raio de 6.0 m.
a) Qual o módulo da velocidade escalar do astronauta se a aceleração centrípeta possui um módulo de 7g, onde g é a aceleração da gravidade
2
a v c
v
20
r
.
3 m/s
v
ra c
6 7 9 .
8
b) Quantas rotações por minuto necessárias para produzir esta aceleração
são É a frequência:
v
r
2
fr
f
v
2
r f
v
2
r
60 20 .
3 60 2 6
f
32 rpm
c) Qual é o período do movimento
T
1
f
60 32 rpm
T
1 .
9 s 13
Exemplo 3 .
Um pião roda uniformemente com frequência de 16 Hz. Qual é a aceleração centrípeta de um ponto na superfície do pião em r = 3 cm ? A velocidade angular é:
2
f
( 2
rad)(16 Hz)
( 2
3 .
14 rad)(16 Hz)
100 .
48 rad s
-1
~ 101 rad s
-1
A aceleração centrípeta será
a c
2
r
( 101 rad s
-1
)
2
( 3
10
2
m)
306 .
0 m s
-2
Exemplo3 : MCU
15
No movimento circular uniforme (MCU) Vetor posição
r
r
cos
e x
r
sin
e y
Vetor velocidade
v
r
sin
e
x
r
cos
e
y
Aceleração centrípeta
a c
2
r
16
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO No movimento circular uniformemente variado, a velocidade linear Como
v
r
A aceleração é , a velocidade angular
a
d v dt
d dt
também não é constante.
r
sin
e
x
r
cos
e y v
não é constante.
a t
a
r
2
r
d
cos
dt
e x
r
sin
d
dt e
y
r
sin
e x
r
cos
e y
r
sin
e x
r
cos
e
y
d
dt
onde
a
d
a c dt
a t
é a aceleração angular
a c
v
a t
é a aceleração tangencial e tem a mesma direção do vetor velocidade
v
a t
r
a
a
t
a c
Módulo da aceleração total
a
a
a c
2
a t
2
Quando a aceleração angular é constante podemos obter
const
0
t
0 0
t
1 2
t
2
MOVIMENTO EM TRÊS DIMENSÕES Para um movimento em três dimensões o vetor posição é
r
x e x
y e y
z
e z v
A velocidade média é
v mx e
x
v my e
y
v mz e
z
v
A velocidade é
v x
e x
v y
e y
v z
e z
z
a
A aceleração média é
a mx e
x
a my e
y
a mz e
z e
x e
z e
y
r
a
a
A aceleração é
x
e x
a y
e y
a z
e z
x y