Transcript 기초적인 군론
기초적인 군론
군(group) 이란?
Multiplication table 이것을 실현하는 것이 representation
Continuous matrix group
Discrete group의 multiplication table을 대신하는 것은? -> Lie algebra 각각을 전개해본다.
한편 위의 두 가지 식을 비교해보면 다음을 얻는다.
또는 Lie algebra Multiplication table의 continuous group 판.
SU(N) Fundamental Representation SO(N) Fundamental Representation
추가적인 조건
다른 Representation
Θ는 동일함
Complex conjugate Representation Equivalent Representation
Lie algebra 만족함
Real, Pseudoreal, 그리고 complex representation
1) 이거나 또는 이것을 만족시키는 unitary변환 을 찾을 수 있다면 R은
real representation
예) SO(N) fundamental rep.
2)
pseudoreal representation
예) SU(2) fundamental rep.
이면 R은 3) 1)도 아니고 2)도 아니면 R은
complex representation
예) SU(N) fundamental rep. for N≥3
Adjoint Representation A
group에 adjoint함 Lie algebra를 만족한다. → Jacobi identity 을 이용해 확인할 수 있다.
: real rep.
Generator의 개수 = dimension of the group
Index
→ 은 R에 따라 다르다.
→ convention: SU(N) fund: ½ , SO(N) fund: 2
Quadratic Casmir
양변에 Trace를 취하면
Reducibility
이 block diagonal 하게 만드는 unitary 변환 을 찾을 수 있다면 R은
reducible
하다.
그렇지 않으면
irreducible
은 과 같은 방식으로 block diagonalize 된다.
예를 들어 과 는 동일한 Lie algebra를 만족한다.
만약 은 block diagonal 하지 않지만 이것의 equivalent representation은 그렇다면?
여기서
따라서 쪼개졌다
Direct product representation
이 field는 과 의 direct product representation에 있다.
또는 Lie algebra 만족함
Direct product의 분배법칙
이 때 여기서
모두 대입해보면 그러므로 쪼개졌다
Trivial(singlet) representation
모든 group은 singlet representation을 갖는다.
Index convention
: “down” index : “up” index Generator입장에서는 Contraction rule?
일반적으로 invariant usual한 contraction rule
Invariant symbol
또한 역시 invariant symbol이다.
양변에 를 취해보면 한편 이므로
따라서 하지만 은 singlet도 가지고 있으므로 SU(N) fundamental rep. 의 경우 이유:
인 경우(real representation) Singlet rep.에 해당하는 invariant symbol이 반드시 있어야 한다.
SO(N) fundamental rep. N
가 symmetric(antisymmetric)하면 변환된 field도 symmetric(antisymmetric)하다.
다음과 같이 분해해 볼 수 있다.
Trace 자유도=1 antisymmetric 자유도= symmetric & traceless 자유도=
그러므로 adjoint rep.
Pseudoreal rep.
과 는 equivalent representation 이므로 여전히 하지만 는 더 이상 invariant symbol이 아니다.
잠시 N개의 SU(N) fundamental index를 갖고 있는 Levi-Civita symbol을 보자.
마찬가지로 SU(2) fundamental rep.의 경우 따라서 adjoint rep.
썰렁한 것 같아 적어보는…
QCD beta function 게이지군은 SU(3) 이고 R=3(fundamental rep.) 여기서
그래서 QCD에서는 따라서 beta function은 이면 asymptotic freedom