Transcript Финансовая математика_Занятие 1

ПРОЦЕНТЫ И
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
ПРОЦЕНТ
– (от лат. per cent – на сотню) сотые доли чего-либо по
отношению к целому
В Древнем Риме
– Октавиан Август взимал налог
в размере 1/100 на товары
Обозначение
– первоначально в Средние века обозначали «cto»
– Матье де ла Порта «Руководство по коммерческой
арифметике» (1685) – наборщик напечатал «%»
В России
– в Смутное время (привязка чеканки монет к
1 из 100 – рубль из 100 копеек);
– ввел в обиход понятие – Петр Первый
ПРОЦЕНТ
«от какой величины считаем»:
Гель для душа раньше продавался в бутылках по 750
мл, теперь же – в бутылках по 1000 мл по той же
цене. Сколько процентов вы получаете в подарок?
Ответ:
либо (1000-750)/750*100% = 33%,
либо (1000-750)/1000*100% = 25%.
ПРОЦЕНТ
«от какой величины считаем»:
Объем продаж в прошлом году составил 10 миллионов
евро. Цель на текущий год – увеличение объема
продаж на 6%. Объем продаж в нынешнем году
составил 10,3 миллиона евро. На сколько процентов
продавец выполнил намеченную цель?
Ответ: если цель –
рост продаж – то на 50% (0,3 от 0,6),
объем продаж – то на 97,2% (10,3 от 10,6).
ПРОЦЕНТ
«операции с процентами»:
Если цена товара увеличилась на 20%, а затем
снизилась на 20%, то каким будет соотношение
начальной и конечной цены?
Цена снизилась на 4%.
Если Иван зарабатывает на 1000% больше Петра, то
он получает в 11 раз больше.
ПАРАДОКС СИМПСОНА
Крупная компания открывает новый завод и создает 250
рабочих мест в службе продаж, монтажа и в складской
службе.
На рабочие места претендовали 355 мужчин и 325
женщин.
Работу получили 190 мужчин (53,5% от претендентов) и
60 женщин (18,5%).
Уровень подготовки мужчин и женщин был абсолютно
одинаков. Можно ли утверждать, что имеет место
дискриминация женщин при приеме на работу?
ПАРАДОКС СИМПСОНА
Исходные данные и расчеты:
Кандидаты
Принято на работу
Служба
Рабочие
места
Продажи
30
25
100
5
25
Монтаж
200
250
25
180
20
Склад
20
80
200
5
15
ИТОГО
250
355
325
190
60
% принятых на работу
Мужчины Женщины Мужчины Женщины Мужчины Женщины
53,5
18,5
ПАРАДОКС СИМПСОНА
Исходные данные и расчеты:
Кандидаты
Принято на работу
% принятых на работу
Служба
Рабочие
места
Продажи
30
25
100
5
25
20
25
Монтаж
200
250
25
180
20
72
80
Склад
20
80
200
5
15
6,25
7,5
ИТОГО
250
355
325
190
60
53,5
18,5
Мужчины Женщины Мужчины Женщины Мужчины Женщины
В действительности процент принятых на работу (от
количества претендентов) в каждом отделе выше
среди женщин.
ПРОЦЕНТЫ В ФИНАНСОВОЙ СФЕРЕ
– ИСТОРИЯ ДЕНЕГ
– обмен излишками между семьями – некоторые
товары становились «базовыми» при обмене
– изображения «базовых» товаров
на табличках, монетах
– первые банкиры – определение
стоимости драгоценных монет
по весу у ювелиров
– хранение монет и выдача расписок
– выдача хранимых денег в долг
другим людям за плату
ПРОЦЕНТЫ В ФИНАНСОВОЙ СФЕРЕ
– КАПИТАЛ И ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
В экономике:
Капитал – фактор производства – совокупность
вложений владельца предприятия в оборудование
или производство.
В финансовой сфере:
Капитал – это сумма денег,
– размещенных на банковских вкладах
с определенной доходностью;
– выдаваемых в виде займов
за определенную плату.
Доходность или плата – процентная ставка
МАТЕМАТИКА
Степень – многократное умножение числа на самого себя.
(ab)n = an bn
an am = an+m
an / am = an−m
(an)m = anm
Решением уравнения ax = b (a > 0, a ≠ 1) называется логарифм числа b по
основанию a: loga(b).
loga1 = 0
logaa = 1
loga(x*y) = logax + logay
loga(x/y) = logax – logay
logaxp = p ∙ logax
logax = (logbx)/(logba)
Десятичный логарифм – логарифм по основанию 10: lg a
Натуральный логарифм – логарифм по основанию e
(число Эйлера e = 2,71828…): ln a
МАТЕМАТИКА
Геометрическая прогрессия – последовательность чисел b1, b2, b3, …
(членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со
второго, получается из предыдущего умножением его на определённое
число q (знаменатель прогрессии):
b1,
b2 = b1q,
b3 = b2q = b1q2, …, bn = bn–1q = b1qn–1
Сумма n членов прогрессии:
qn – 1
Sn = Σ bi = b1 –––––––
i=1
q–1
n
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (0 < q < 1):
b1
Sn → ––––––––
1–q
ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ
Запрашиваем у банка кредит на сумму C0 на срок n
лет под i % годовых.
В конце срока выплачиваем сам кредит и ежегодно
выплачиваем i % от суммы кредита C0 (это плата за
пользование кредитом).
Суммарный объем выплат составит:
Cn = C0 + n∙i∙C0 = C0 (1 + n∙i)
СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
Делаем вклад в банке на сумму C0 на срок n лет
под i % годовых.
Хотим, чтобы ежегодно начисляемые проценты
прибавлялись к вкладу и на них также начислялись
проценты – капитализация процентов.
К концу первого года на счете:
C1 = C0 + i∙C0 = C0 (1 + i)
После второго года:
C2 = C1 + i∙C1 = C1 (1 + i) = C0 (1 + i)2
По итогам n лет:
Cn = C0 (1 + i)n
ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА
Рассмотрим несколько вкладов на разные сроки под
разные проценты. Как определить – какой выбрать?
Эффективная ставка процента
(эквивалентная годовая процентная ставка) –
оценивает финансовую операцию годовой ставкой
сложных процентов ref , дающей то же соотношение
между начальной и итоговой суммой вклада,
которая получена при любой схеме выплат.
ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА
Делаем вклад в банке на сумму C0 на срок n лет
под i % годовых с начислением процентов m раз в
году.
Итоговая сумма вклада:
Эффективную годовую ставку вычислим из:
Cn = C0 (1 + ref)n
Получаем:
СРОКИ ВКЛАДОВ
Делаем вклад в банке на сумму C0 на срок n лет
под i % годовых. На какой срок необходимо сделать
вклад, чтобы первоначальная сумма удвоилась?
За n лет итоговая сумма вклада составит:
Cn = C0 (1 + i)n
Отсюда:
lnCn = lnC0 (1 + i)n = lnC0 + n∙ln(1 + i)
Получаем:
lnCn – lnC0
n = ––––––––––––
ln(1 + i)
ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ И КРЕДИТЫ
Принцип временной неравноценности денег:
«равновеликие, но разновременные денежные суммы
оцениваются по-разному»
Приведение денег во времени – определение стоимости
денежного потока в конкретный момент времени
Наращивание – определение стоимости прошлых выплат в
настоящий или будущий момент времени
FV = Cn = C0 (1 + i)n
Дисконтирование – определение стоимости будущих
выплат в прошлый или настоящий момент времени
PV = C0 = Cn / (1 + i)n
ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ И КРЕДИТЫ
D – размер кредита
n – срок кредита
i – кредитная ставка (простая, сложная)
Yt – размер погашающего платежа в году t
Погашение кредита:
Долг D
Платеж
Y1
Y2
Y3
Yn-1
Yn
Соотношение между платежами и долгом:
Каждый платеж – это сумма платежа по основному долгу и процентов
Yt = Dt + It
ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ И КРЕДИТЫ
Варианты платежей:
1. Выплата процентов и долга в конце срока (разовое
погашение)
Y = D (1 + i)n
2. Выплата долга в конце срока, процентов – в конце
каждого периода
Y1 = Y2 = … = Yn–1 = i∙D
Yn = D (1 + i)
3. Выплата основного долга равными платежами
D1 = D2 = … = Dn–1 = Dn = D / n
I1 = i∙D, I2 = i(D – D/n), …,
, …, In = i∙D/n
ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ И КРЕДИТЫ
Варианты платежей:
4. Выплата кредита равными платежами
Y1 = Y2 = … = Yn = Y
Отсюда:
i
Y = D –––––––––––––
1 – 1 / (1 + i)n
Задача 1.
Клиент положил в банк 10 тыс. руб. сроком на 1 год.
Согласно депозитному договору годовая
процентная ставка до середины второго квартала
составляет 30%, далее до конца третьего квартала
– 25%, с начала четвертого квартала – снова 30%.
Какую сумму клиент получит в конце года, при
условии, что договор предусматривает начисление
а) по сложным процентам, б) по простым
процентам.
Ответ: а) 13080,57 руб.; б) 12812,5 руб.
Задача 2.
Вкладчик внес в банк под определенный процент
сумму 20 тыс. руб. Через год он снял со счета
половину процентной прибавки, а основной вклад
и оставшуюся прибавку оставил в банке. Через год
у вкладчика на счету оказалось 26 400 руб.
Определите, какую процентную ставку
использовал банк.
Ответ: 20%.
Задача 3.
Что выгоднее: вложить 20 тыс. руб. на 1 месяц под
годовую ставку 12% или на 6 месяцев под ставку
12,2%?
Ответ: Выгоднее на один месяц (эффективная
ставка процента по первому варианту 12,68%
больше, чем по второму 12,57%).
Задача 4.
Пусть счет с начальной суммой U у.е. открывается
под простую годовую ставку r в момент времени t =
0. Спустя L лет открывается счет с начальной
суммой V y.e. (V > U) и с той же ставкой.
Определить:
а) момент времени t, когда накопленные суммы на
обоих счетах сравняются;
б) чему равен этот срок, если U = 100 у.е., V = 110 у.е.,
ставка r = 20%, а запаздывание L = 1 год.
Ответ: а)
; б) срок равен 6 годам.
Задача 5.
Компания по переработке древесины владеет
лесоматериалом «на корню», стоимость которого в
году t оценивается по формуле P(t) = 2 + 0,6t.
Годовая процентная ставка в рассматриваемый
период времени при начислении сложных
процентов равна i.
Требуется:
а) получить формулу оптимального года t для
начала переработки лесоматериалов и их продажи
в зависимости от ставки начисления i;
б) дать рекомендации по использованию лесного
массива при условии, что ставка i = 0,1.
Ответ: а)
; б) обрабатывать и
продавать лесной массив через 7 лет.
Задача 6.
У вас есть должник, которому необходимо сегодня
отдать вам 2000 руб., но он просит отсрочить
платеж ровно на год. Ставка банковского процента
составляет 50% годовых.
a) Не меньше какой суммы он должен вам
предложить в качестве платежа на следующий год,
чтобы вы согласились на отсрочку?
b) Как изменится ответ задачи, если он просит
отсрочить платеж на два года?
Ответ: а) не менее 3000 руб.; б) не менее 4500 руб.
Задача 7.
Клиент сделал вклад на текущий счет в банке в
сумме 100 тыс. руб. под простую ставку 14%
годовых. Затем через 3, 6 и 9 месяцев он вложил
еще по 10 тыс. руб. В конце года клиент закрыл
счет. Какую сумму он получил при закрытии счета?
Ответ: 146,1 тыс. руб.
Задача 8.
Предприятие получило кредит 100 тыс. долл. под 10%
годовых на 3 года. Для погашения суммы долга
единовременным платежом создается фонд, куда
ежегодно в конце года вносятся равные суммы, на
которые начисляются проценты по ставке 11%. Найти
расходы должника в случаях ежегодной выплаты
процентов и единовременной выплаты процентов
одновременно с основным долгом.
Ответ: В первом варианте ежегодные проценты – 10 тыс.
долл., ежегодные выплаты в фонд – 32 913,44 долл.
Общие расходы – 118 740,31 долл. (в том числе
проценты 30 тыс.). По второму варианту ежегодные
выплаты в фонд – 39 825,25 долл. При этом общие
расходы – 119 475,78 долл. (в том числе проценты
33 100 долл.).
Задача 9.
Предприятие договорилось с банком о замене трех
платежей (8 000 со сроком 130 дней, 10 000 со
сроком 160 дней и 4 000 со сроком 200 дней) на
один платеж в 21 тыс. долл. Используемая ставка
процента не изменилась и составляет 20% годовых.
Начисление происходит по методу простых
процентов. Определите, в какой момент времени
предприятие должно произвести единый платеж (в
году считать 365 дней).
Ответ: Срок выплаты единого платежа – 66 дней.
Задача 10.
Иванов должен выплатить Петрову 40 тыс. руб. Он
предлагает заменить эту разовую выплату
ежегодными платежами в начале каждого года по
10 тыс. руб. каждый. Сколько лет должен будет
ждать Петров полного погашения долга со стороны
Иванова, если на долг начисляются проценты по
ставке 8% годовых?
Ответ: 4 года.
Задача 11.
Виктор Кузнецов рассматривает два варианта
вложения денег. Первый: вносить на счет в банке
500 долл. каждые полгода под 7% годовых,
начисляемых раз в полгода. Второй: вносить на
счет в банке 1000 долл. под 7,5% годовых,
выплачиваемых раз в год. Первый вклад по
первому варианту может быть сделан через 6
месяцев, по второму – через год. Определить:
а) какой план следует избрать Виктору, если его
заботит только стоимость вложений через 10 лет;
б) изменили бы вы свой совет при изменении ставки
второго варианта до 7%?
Ответ: а) предпочтительней второй вариант;
б) становится предпочтительным первый вариант.
Задача 12.
Робинзону надоело добывать себе пропитание
голыми руками, и он знает, как изготовить сеть
для ловли рыбы. На это Робинзону потребуется 30
дней. Но кушать рыбу хочется каждый день.
Вручную Робинзон ловит две рыбы в день и
съедает. С помощью сети Робинзон мог бы ловить
пять рыб в день, три из которых он бы засушивал и
таким образом высвобождал бы время для других
занятий. Пятница предложил Робинзону кредит в
виде 60 сушеных рыб и требует вернуть долг через
60 дней с процентами. Какой максимальный
процент может получить Пятница (за весь срок
пользования кредитом)?
Ответ: 50%.