Transcript Két egyenes szöge a síkban:A - clasa10b-anderlikistvan

Egyenes egyenlete a
síkban
“Cserey-Goga” Iskolacsoport
Kraszna
Pitágorász utódai:
Pap Rachel
Baricsán Norbert
Tóth Péter
Darabont Melánia
Editura:Pitagorasz 2010-2011
Mi a szerepe a matematikának
a mindennapi életben?
• A mindennapi elétben oly
sokszor találkozunk
matematikával, hogy néha már
észre se vesszuk
jelenlétet.Fontos,hogy
jártasak legyunk benne a
megélhetéshez. Már az
ókorban is rájottek arra,hogy
milyen fontos szerepet játszik
az ember életeben. A
matematika könnyebbé teszi
az emberek életet!
Használt kifejezések
 d – egyenes
 md – iránytényező
 mAB – az AB egyenes iránytényezője
  - alfa
 tg - az alfa szög tangense
A(x1,y1) – az A pont koordinátái
B(x2,y2) – a B pont koordinátái
Az egyenes iránytényezője
• Egy egyenes iránytényezőjén
az egyenesnek az Ox tengellyel
bezárt szögének a tangensét
értjük.
m  tg
Aszerint,hogy az  mekkora, a következő esetek
lehetségesek:
• I eset:
• II eset:
• III eset:
Két pont által meghatározott egyenes
iránytényezője
• Az A(x1,y1)és B(x2,y2), x1  x2 pontokon
áthaladó egyenes iránytényezője:
y2  y1
mAB 
x2  x1
• Két pont által meghatározott egyenes
iránytényezője:Az ordináták
különbségének és az abszcisszák
különbségének az aránya.
Példák
•
1. A(2,3); B(1, 1)
y2  y1 1  3 4 4
mAB 



x2  x1 1  2 3 3
2.C (0, 3); D(2, 4)
y2  y1 4  3
7
mCD 


x2  x1 2  0
2
Két egyenes szöge a síkban
•
Két egyenes szöge a síkban:A (d2) és (d1) egyenesek szöge az a α E [0°,90°)
szög,amellyel a (d2) egyenest elforgatva a (d1)-gyel párhuzamos, vagy vele
egybeeső egyenest kapunk.
m1  m2
tg 
1  m1  m2
Példa
a)m1=1 m2=-3
m1  m2
4
tg 

 2    18
1  m1  m2
2
b)m1=1 m2=-2
m1  m2
1 2
tg 

 3    27
1  m1  m2 1  1 (2)
Megjegyzés
1
1)Ha 1  m1  m2  0  m1  m2  1  m1 
m
2
akkor
  90  d1  d2
2)HA
m1  m2  0  m1  m2    0  d1|| d 2
Egy pont és egy iránytényező által
meghatározott egyenes egyenlete
Az (x1,y1) ponton áthaladó és m iránytényezőjű
egyenes egyenlete.
y  y1
md 
 y  y1  m  ( x  x1 )
x  x1
Példa
A(1,3) d; m=2
d1 : y  y1  m( x  x1 )
y  3  2( x  1)
y  3  2x  2
2 x  y  1  0
KÉT PONTON ÁTHALADÓ EGYENES
EGYENLETE:
d : y  y1  m  ( x  x1 ) 
y2  y1

 ( x  x1 ) ( x2  x1 ) 
y2  y1
  y  y1 
m
x

x
2
1

x2  x1

 ( y  y1 )  ( x2  x1 )  ( y2  y1 )  ( x  x1 ) 
y  y1 x  x1


y2  y1 x2  x1
Példa
A(1,3); B(2;1)
y  y1 x  x1
y  3 x 1
AB :




y 2  y1 x 2  x1 1  3 2  1
y  3 x 1


 2  ( x  1)  y  3 
2
1
 2 x  2  y  3  2 x  y  5  0
Egyenes egyenletének
tengelymetszetes alakja
Egy tetszőleges d egyenesnek a tengellyel való
metszéspontjait tengelymetszetnek nevezzük.
d  Ox; M ( a; 0)
d  Oy; M (0; b)
x
y
d :

1  0
a
b
Pld:
d  Ox : C (2, 0)
d  Oy : D(0,1)

x y 1
   0  x  2y  2  0
2 1 1
Egyenes egyenletének általános
alakja
• Minden síkbeli egyenes egyenlete felírható
ax+by+c=0, a,b,c e R,alakban, ahol a és b nem
lehet egyidejűleg 0 . Ezt az egyenletet
nevezzük egyenes általános egyenletének.
ax  by  c  0 -általános alak
a  x  b  y  c  0  b  y  a  x  c b( 0)
a
c
y
x
b
b
a
md 
b
-iránytényező
d1 : 2 x  3 y  1  0
a2
b  3
Példák
d2 :  x  2 y  3  0
 a 2 2
md 1 


b 3 3
d 3 : 2x  y  1  0
a2
b  1
 a 2
md 3 
 2
b 1
a  1
b2
md 2
a 1


b
2
Két egyenes kölcsönös
helyzete a síkban
• Adott a d1 es d2 egyenes: -d1:a1x+b1y+c1=0
-d2:a2x+b2y+c2=0
a b c
a)d1 azonos d2-vel ha: 1  1  1
a2 b2 c2
a1 a2  c1 
b) d1 || d2 ha : md1  md 2     
b1 b2  c2 
a1  a2
m

m


1

 1  a1  a2  b1  b2
c) d1  d2 ha: d1 d 2
b1  b2
d) d1  d 2  M 
a1  x  b1  y  c1  0
 M ( x; y )

a2  x  b2  y  c2  0
Példa
d1 :  x  3 y  2  0
d2 : x  y  6  0
d1  d 2  M  ?
 x  3 y  2  0


x  y  6  0
\4 y  4  0
4y  4
y 1
x 1 6  0
x5
M (5;1)
Feladatok
1)Tekintsük az A(5,-4) B(-1,3) C (-3,-4)pontokat.
Határozd meg :
a) az AB,BC,CA egyenes iranytényezőjét;
7 

m

AB
(eredmény) 
6 


5
m 

 BC
2 


1
 mCA   
4

b) az AB,BC,CA egyenes egyenletét ;
(eredmény)  AB : 7 x  6 y  11  0 


BC
:

5
x

2
y

11

0


 CA : 2 x  8 y  22  0 


2)A felsorolt egyenespárok közül melyek:
a)párhuzamosak?
1)(d1):3x-2y+1=0, (d2 ):9x-6y+10=0;
2)(d1):-x+5y+3=0, (d2):x-2y+4=0;
( eredmény) 1)párhuzamos
2)nem párhuzamos
b)merőlegesel?
1) (d1):3x+y-5=0, (d2):x-3y+1=0;
2)(d1):2x+y-1=0, (d2):5x+4y-1=0;
(eredmény) 1)merőleges
2)nem merőleges
Alkalmazás más területen
1.A méhecskék a lépekbe egyenes sorokba rakják a
mézet.A méhkirálynő megbetegedett ezért nem tudja
megnézni h alatvaloi négyzet alakba rakják-e a mézet.
Te segíthetsz neki!Milyen alakot alkotnak a lépsorok
ha d1:5x+y+13=0
d2:5y-x-13=0
d3:5x+y-13=0
d4:x-5y-13=0
Számold ki,hogy mennyi területet foglal el a lépnégyzet.
2.Petya egy
egérkedvelő
kisfiú.Háromszög
alakú sajtot akart
faricskálni
egerének
karácsonyra.Végul
addig faricskálta
míg lap vékonyságú
lett.A csúcsok
koordinátái:A(-1,3)
B(5,7)
C(0,8).Igazold
hogy derékszögű
háromszög e a sajt
majd számitsd ki a
területét.
Könyvészet
• Matematika
tankönyv a X.
osztály számára
• www.google.hu/
képek
Pitágorász utódai
Petya
Melcsy
Ráhi
Barics