Transcript A ∩ B
Abdul Aziz Karim
Pengolahan suatu gugus :
Pengolahan dasar : Mangkuk (≈ Paduan / Gabungan), U
Tudung (≈ Potongan/ Irisan), ∩
Beda, –
Denah Venn :
(A∩B)
A
(A-B)
(B-A)
S
S = Semesta / Universum
A = gugus A
B = gugus B
(A Ө B) B
OG 17-2
Pengolahan Dasar & Denah Venn
Mangkuk (≈ paduan / gabungan)
∩
1 3
11
4
2
M= A B
A = {1, 2, 3, 4}
5
6
M = {1,2,3,4}
B
B = {3, 4, 5, 6}
∩
S
A
{3,4,5,6}
= {1,2,3,4,5,6}
AUB
εA
∩
x
B
ε
x A atau x
ε B atau xε A&B
OG 17-3
ε
ε
Meskipun a A dan b B ; maka hasil mangkuknya tetap merupakan penggabungan semua unsur
yang ada di masing-masing gugus.
3
A
S
7 1
9 5
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {2, 4, 6, 8}
T = {1,3,5,7,9} U {2,4,6,8}
= {1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
8 4
2 6
B
OG 17-4
Tudung (≈ potongan / irisan)
T = A∩ B
S
A
1 3
11
4
2
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
5
6
T = {1,2,3,4} ∩ {3,4,5,6}
= {3 , 4}
B
A∩B
x
ε A∩ B
ε
x A dan x
εB
OG 17-5
ε
ε
Bila a A dan b B ; maka hasil tudungnya tidak
diperoleh satu unsurpun untuk saling dimiliki.
3
A
S
A = {1, 3, 5, 7, 9}
7 1
9 5
T = {1,3,5,7,9} ∩ {2,4,6,8}
O
8 4
2 6
B = {2, 4, 6, 8}
= {} = O
B
OG 17-6
Beda
–
S = A–B = A∩B
S
3
4
6
D = {1,2,3,4} – {3,4,5,6}
= {1,2,3,4} ∩ {3,4,5,6}
5
A
B = {3, 4, 5, 6}
B
1
2
A = {1, 2, 3, 4}
= {1,2,3,4} ∩ {1 , 2}
= {1 , 2}
εA– B
xεA– B
x
εB
ε
–
xε A dan xε B
x A dan x
x
ε B = xε
–
B
OG 17-7
Beberapa persamaan pengolahan suatu gugus :
1. Kesamaan terhadap
a. Paduan :
AU O = A
AUU = U
b. Potongan :
A∩O = O
A∩ U = A
2. Kesamakuatan terhadap
∩
a. Paduan :
A
b. Potongan :
A∩ A = A
3. Komplemen
–
A A = U
A = A
–
A∩ A = O
=
A = A
OG 17-8
∩
4. Komutasi terhadap
∩
∩
a. Paduan :
A
B = B A
b. Potongan :
A ∩ B = B∩ A
5. de Morgan (dualitas)
– –
A B = A∩ B
– –
A∩B = A B
∩
∩
6. Assosiasi terhadap
∩
∩
∩
∩
a. Paduan :
A (B C) = (A B) C
b. Potongan :
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
OG 17-9
7. Sebaran terhadap
(B∩ C) = (A B) ∩ (A C)
∩
∩
∩
A
∩
a. Paduan :
(B ∩ C) A = (B A) ∩ (C A)
C)∩ A = (B ∩ A)
(A ∩ C)
∩
∩
∩
(B
C) = (A∩ B)
∩
∩
A ∩ (B
∩
b. Potongan :
(C ∩ A)
OG 17-10
CL OGs-01
SL OGs-01
a. Bila B = {x; x bilangan bulat, -3 < x ≤ 4} dan
P = {x; x bilangan bulat positip genap}
B∩ P
∩
Tentukan :
P B
(B – P)
JCL
OGs-01A
(P – B)
b. Bila A = {x; -3 < x ≤ 4} , B = {x; 1 ≤ x < 2} ,
C = {x; 1 ≤ x < 4,5}
B
C
A B C
A ∩ (B C)
(A ∩ B)
∩
∩
∩
∩
∩
(A B)∩ C
A C
∩
A B
∩ ∩
Tentukan :
JCL
OGs-01B
C
OG 17-11
Daftar Keanggotaan
(alat pembuktian untuk persamaan yang lebih rumit)
Mangkuk (≈ paduan / gabungan)
∩
x
A
B
A B
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
(1)
(2)
(3)
OG 17-12
Tudung (≈ potongan / irisan)
x
A
B
A∩ B
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
(1)
(2)
(3)
OG 17-13
Beda & Komplemen
–
A–B = A∩B
x
–
(A
∩
B)
B
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
(1)
(4)
(3)
(2)
OG 17-14
CATATAN “Beda Setangkup”
U
A
(A–B)
(B–A)
B
(A Ө B)
∩
–
A Ө B = (A ∩ B)
–
(B ∩ A)
OG 17-15
(A
∩
B)
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
(1)
(5)
(3)
–
(B ∩ A)
–
∩
–
∩
–
A Ө B = (A ∩ B)
(B
∩
A)
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
(7)
(2)
(6)
(4)
OG 17-16
CL OGs-02
SL OGs-02
a. Buktikan apakah : (semua gugus yang dikemukakan
merupakan anak-anak gugus dari gugus S)
(A – B) = (A U B)
X ∩ (Y–X) = O
(A U B) – C = (A – C) U (B – C)
b. Buktikan kebenaran dari kesamaan pernyataanpernyataan berikut :
(A ∩ B) ∩ (A U B) = O
JCL
OGs-02A
JCL
OGs-02B
A ∩ (A U B) = A U B
OG 17-17