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Analyse de fonctions
Jacques Paradis
Professeur
Plan de la rencontre
Tableau de variation relatif à f’ et f’’
Analyse de fonctions sans asymptotes
◘ Démarche à suivre
◘ Exemples et exercices
Analyse de fonctions avec asymptotes
◘ Démarche à suivre
◘ Exemples et exercices
Département de mathématiques
2
Tableau de variation relatif à f’ et f’’
Borne inférieure
x
Valeurs de x
Valeurs de f’(x)
f’(x)
Valeurs de f’’(x)
f’’(x)
Valeurs de f(x)
f(x)
Esquisse de f(x)
Nombres critiques Borne supérieure
ou hors du domaine
Esq.
Pour une fn définie sur un intervalle : - - - Département de mathématiques
Max. min, inf ou AV
3
Analyse d’une fonction (sans asymptotes)
Démarche à suivre
◘ Étape 1 : Donner le domaine de la fonction f
◘ Étape 2 : Trouver f’(x) et identifier les
nombres critiques de f
◘ Étape 3 : Trouver f’’(x) et identifier les
nombres critiques de f’
◘ Étape 4 : Compléter le tableau de variation
relatif à f’ et f’’
◘ Étape 5 : Donner une esquisse du graphique
Département de mathématiques
4
Exemple 1
Donner une esquisse du graphique de la fonction
f(x) = x4 – 2x2 – 4.
x
⅓
-1
f’(x)
0
+
+
+
0
0
+
f’’(x)
+
+
+
0
0
+
+
+
f(x)
Esq
0
-
-⅓
-5
-41/9
-4
-41/9
1
-5
(-1,-5)
(-⅓; -4,6)
(0,-4)
(⅓; -4,6)
(1,-5)
min
inf
max
inf
min
Département de mathématiques
5
Exercice 1
Donner une esquisse du graphique de la fonction
f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 9.
x
-1
-
1
3
f’(x)
+
0
0
+
f’’(x)
0
+
+
+
f(x)
Esq
Département de mathématiques
14
-2
-18
(-1,14)
(1,-2)
(3,-18)
max
inf
min
6
Exemple 2
Donner une esquisse du graphique de la fonction
f(x) = 2 x 2 x 6 .
x
-1,5
-
2
f’(x)
+
f’’(x)
f(x)
Esq
f '( x )
0
0
(-1,5;0)
(2,0)
min
min
4x 1
2 2x x 6
2
f ''( x )
49
4 (2 x x 6 )
2
Département de mathématiques
3
7
Exercice 2
Donner2 une esquisse du graphique de la fonction
f(x) = x
x
1 x
-
2
.
0
-1/3
1/3 (0,58)
f’(x)
0
+
+
+
f’’(x)
0
+
+
+
0
f(x)
Esq
f '( x )
0,25
0
0,25
(-1/3;0,25)
(0,0)
(1/3;0,25)
inf
min
inf
2x
(1 x )
2
2
2(1 3 x )
2
f ''( x )
(1 x )
2
Département de mathématiques
3
8
Analyse d’une fonction (avec asymptotes)
Démarche à suivre
◘ Étape 1 : Donner le domaine de la fonction f
◘ Étape 2 : Déterminer les asymptotes
(horizontales, verticales et/ou obliques)
◘ Étape 3 : Trouver f’(x) et identifier les
nombres critiques de f
◘ Étape 4 : Trouver f’’(x) et identifier les
nombres critiques de f’
◘ Étape 5 : Compléter le tableau de variation
relatif à f’ et f’’
◘ Étape 6 : Donner une esquisse du graphique
Département de mathématiques
9
Exemple 1
20 x 28 x 28
2
Donner une esquisse du graphique de f ( x )
x
1
-
7
( x 1)
2
10
f’(x)
+
0
f’’(x)
0
+
f(x)
21
Esq
AV
f '( x )
f ''( x )
20,8
(7,21)
(10;20,8)
max
inf
.
1 2(7 x )
( x 1)
3
2 4( x 1 0 )
( x 1)
Département de mathématiques
4
10
Exercice 1
Donner une esquisse du graphique de la fonction f ( x )
x 1
x
x
-3
-
-2
0
f’(x)
0
+
f’’(x)
0
+
+
+
+
f(x)
-2/9
Esq
f '( x )
-1/4
(-3,-2/9)
(-2,-1/4)
inf
min
2
AV
( x 2 )
x
f ''( x )
3
2( x 3 )
x
4
Département de mathématiques
11
.
Exemple 2
x 4
2
Donner une esquisse du graphique de f ( x )
x
-3
-
0
x 9
2
.
3
f’(x)
+
+
0
f’’(x)
+
+
f(x)
4/9
(0,4/9)
Esq
AV
f '( x )
max
AV
10 x
(x 9)
2
2
30 x 90
2
f ''( x )
(x 9)
2
Département de mathématiques
AH
3
12
Exercice 2
x
Donner une esquisse du graphique de f ( x )
x
-1
-
x 1
2
0
.
1
f’(x)
f’’(x)
+
0
+
f(x)
0
(0,0)
Esq
AV
inf
AV
( x 1)
2
f '( x )
( x 1)
2
2
2 x( x 3 )
2
f ''( x )
( x 1)
2
Département de mathématiques
3
AH
13
Exemple 3
Donner une esquisse du graphique de f ( x )
x
-
2
.
x
3
0
-3
3x
f’(x)
+
0
0
+
f’’(x)
+
+
+
f(x)
-23
(-3, -23)
Esq
max
23
(3 ,23)
AV
min
x 3
2
f '( x )
x
f ''( x )
2
6
x
AO
3
Département de mathématiques
14
Exercice 3
Donner une esquisse du graphique de f ( x )
x
-4
-
-2
x
2
x2
.
0
f’(x)
+
0
0
+
f’’(x)
+
+
+
f(x)
-8
max
f ''( x )
(-4, -8)
Esq
f '( x )
0
(0 ,0)
AV
min
x( x 4 )
(x 2)
2
8
(x 2)
Département de mathématiques
AO
3
15
Exemple 4
Analyser la fonction f(x) =
x
-
-0,5
2
-x
e .
0,5
0
f’(x)
+
+
+
0
–
–
–
f’’(x)
+
0
–
–
–
0
+
f(x)
Esq
e-0,5
1
e-0,5
(-0,5; e-0,5)
(0,1)
(0,71; 0,61)
inf
max
inf
AH
f (x )
1
2
Département de mathématiques
e
1 x
2
2
N ( , )
2
16
Devoir
Exercices 6.3, page 254, nos 1a à 1c, 1e à 1i.
Exercices 6.5, page 280, nos 2a à 2d ,2f, 2g et
3a.
Exercices 8.2, page 340, no 8b
Exercices récapitulatifs, page 284, nos 5a à
5e, 5g, 16b et 16c
Département de mathématiques
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