Transcript ea1_szamrendszerek_pti_2014_2015

Bevezetés az informatikába
Csernoch Mária
http://www.inf.unideb.hu/~csernochmaria/bev_info/
Számrendszerek
Számrendszerek
• A számrendszerek a számok megnevezésével és
lejegyzésével kapcsolatos eljárások összessége.
– nem helyiértékes (pl. egyiptomi, maya, római;
nehézkes bennük a számolás)
– helyiértékes
•
•
•
•
Babilónia (i.e.1750): hatvanas számrendszer (idő-, szögmérés)
India (i.sz. 600): tízes számrendszer (számjegyek: 1, 2, . . . , 9)
arabok (i.sz. 750): megjelenik a 0
Európában 1200–1600 között terjed el általánosan
Bináris
Ternális
Kvintális
Oktális
Decimális
Duodecimális
Hexadecimális
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
10
2
2
2
2
2
2
11
10
3
3
3
3
3
100
11
4
4
4
4
4
101
12
10
5
5
5
5
110
20
11
6
6
6
6
111
21
12
7
7
7
7
1000
22
13
10
8
8
8
1001
100
14
11
9
9
9
1010
101
20
12
10
a
A
1011
102
21
13
11
b
B
1100
110
22
14
12
10
C
1101
111
23
15
13
11
D
1110
112
24
16
14
12
E
1111
120
30
17
15
13
F
10000
121
31
20
16
14
10
Számrendszerek
Definíció: Az r alapú helyiértékes számrendszert a
következő szabály definiálja:
… 𝑎2 𝑎1 𝑎0 . 𝑎−1 𝑎−2 …
∞
𝑟
=
𝑎𝑖 𝑟 𝑖 =
=
𝑖=−∞
= ⋯ + 𝑎2 𝑟 2 + 𝑎1 𝑟 + 𝑎0 + 𝑎−1 𝑟 −1 + 𝑎−2 𝑟 −2 + ⋯ .
Számrendszerek
• r szám: számrendszer alapszáma
• 𝑎𝑖 jelek: a szám számjegyei
• az 𝑎𝑖 számjegy által jelölt 𝑎𝑖 szám: a számjegy alaki
értéke
• 𝑟 𝑖 hatvány: a számjegy helyiértéke
(i = 0;1;2; )
• . (pont): az alappont
… 𝑎2 𝑎1 𝑎0 . 𝑎−1 𝑎−2 …
∞
𝑟
=
𝑎𝑖 𝑟 𝑖 =
=
𝑖=−∞
= ⋯ + 𝑎2 𝑟 2 + 𝑎1 𝑟 + 𝑎0 + 𝑎−1 𝑟 −1 + 𝑎−2 𝑟 −2 + ⋯ .
Számrendszerek
• valódi érték: az alaki érték és a megfelelő helyi
érték szorzata
• érték:
– a szám értékét úgy kapjuk, hogy az egyes
számjegyek értékét szorozzuk a helyiértékükkel, és
mindezt összeadjuk
– valódi értékeket összeadjuk
Számrendszerek
számrendszer
kettes, bináris
alapszám számjegyek
2
0, 1
alaki érték
0, 1
Számrendszerek
számrendszer
alapszám számjegyek
alaki érték
kettes, bináris
2
0, 1
0, 1
nyolcas, oktális
8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Számrendszerek
számrendszer
alapszám számjegyek
alaki érték
kettes, bináris
2
0, 1
0, 1
nyolcas, oktális
8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
tízes, decimális
10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Számrendszerek
számrendszer
alapszám számjegyek
alaki érték
kettes, bináris
2
0, 1
0, 1
nyolcas, oktális
8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
tízes, decimális
10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
tizenhatos,
hexadecimális
16
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
A, B, C, D, E, F
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 11, 12, 13, 14, 15
Számrendszerek
tízes számrendszer
3457,28
3457.28
3E + 4sz + 5t + 7e + 2tized + 8század
3 ∙ 103 + 4 ∙ 102 + 5 ∙ 10 + 7 + 2 ∙ 10−1 + 8 ∙ 10−2
𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−2 … 𝑎2 𝑎1 𝑎0 . 𝑎−1 𝑎−2 … 𝑎−𝑚
𝑛
𝑆
10
𝑎𝑖 ∙ 10𝑖
=
𝑖=−𝑚
Számrendszerek
• számrendszer alapszáma (tetszőleges p>1)
– számjegyek: 0, 1, …, p−1
• kettes számrendszer (bináris)
– p=2
– számjegyek: 0, 1
• nyolcas számrendszer (oktális)
– p=8
– számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
• tizenhatos számrendszer (hexadecimális)
n
i
a

p
 i
i m
n
i
a

2
 i
i m
n
i
a

8
 i
i m
n
i
a

16
 i
– p = 16
i m
– számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
10-es számrendszerbeli szám
• legnagyobb kitevő: n
• legkisebb kitevő: −m
• számjegyek száma: j = (n + 1) + m
n
s(10 
 a  10
i
i m
i
Feladatok
• Számoljuk át tízes
számrendszerbe az
alábbi egész számokat!
• Számoljuk át tízes
számrendszerbe az
alábbi tört számokat!
– 10110011(2
– 10001110.101(2
– 456(8
– 342.23(5
– 235(16
– 367.56(8
– A2E(16
– A5D.F3(16
p-alapú (p>1, egész)
számrendszerbeli szám
n
s(10 
a  p
i
im
i
Legkisebb és legnagyobb
ábrázolható számok
• Mi az adott számú pozíción egy
számrendszerben leírható legnagyobb és
legkisebb szám?
Bináris számrendszer
• legnagyobb
• legkisebb
• összes
Számrendszerek közötti átváltás
Átszámolás p-alapú számrendszerből 10-es számrendszerbe
k db
m db
j db
Számrendszerek közötti átváltás
Tétel: Legyen 𝑟 ≥ 2 természetes szám. Ekkor
tetszőleges 𝑣 ≥ 0 valós szám felírható az 𝑟 alapú
számrendszerben
𝑣 = 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎2 𝑎1 𝑎0 . 𝑎−1 𝑎−2 …
𝑟
alakban, ahol 0 ≤ 𝑎𝑖 ≤ 𝑟 − 1 természetes számok
minden 𝑛, 𝑛 − 1, … esetén és 𝑎𝑛 ≠ 0, ha 𝑛 ≥ 1.
𝑣 egészrésze: 𝑣 = 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎2 𝑎1 𝑎0 . 0
𝑣 törtrésze: 𝑣 = 0. 𝑎−1 𝑎−2 …
𝑟
𝑟
Számrendszerek közötti átváltás
• Legyen 𝑣 ≥ 0 az r-alapú számrendszerben adott
szám. Határozzuk meg 𝑣 számjegyeit az 𝑟 alapú
számrendszerben.
𝑣
= 𝑎𝑛 ∙ 𝑟 𝑛 + 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑟 𝑛−1 +  + 𝑎1 ∙ 𝑟1 + 𝑎0 ∙ 𝑟 0
𝑣 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑟 𝑛 + 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑟 𝑛−1 +  + 𝑎1 ∙ 𝑟 + 𝑎0
𝑣 = 𝑎−1 ∙ 𝑟 −1 + 𝑎−2 ∙ 𝑟 −2 + 
Számrendszerek közötti átváltás
egészrész
A maradékok rendre − növekvő helyiérték szerint − adják
az r-alapú számrendszerbeli számjegyek alaki értékeit.
Feladat
179 3
0 .45
59 2
1 .35
2 .55
19 2
1 .05
1 .65
179.45(10
6 1
0 .15
1 .95
179.85(10
2 0
0 .45
2 .85
0 2
1 .35
2 .55
1 .05
1 .65
0 .15
1 .95
0 .45
2 .85
1 .35
2 .55
1 .05
1 .65
20122.110011001100(3
20122.’1100’1100’1100’(3
20122.211221122112(3
20122.’2112’2112’2112’(3
3
0 .85
3
Feladat
113.45(10
113 2
0 .45
56 1
0 .90
28 0
1 .8
14 0
1 .6
7 0
3 0
1 1
0 1
1100001.0111001100(2
1100001.01’1100’1100’(2
1 .2
0 .4
0 .8
1 .6
1 .2
0 .4
0 .8
2
Számrendszerek közötti átváltás
törtrész
A szorzatok egészrészei rendre − csökkenő helyiérték
szerint − adják az r alapú számrendszerbeli számjegyek
alaki értékeit.
Legnagyobb, összes ábrázolható szám
egész számok
• összes ábrázolható szám j pozíción
(modulus: M)
M p
j
• legnagyobb ábrázolható szám
Max  p  1
j
𝑞𝑛 − 1
𝑆𝑛 = 𝑎1 ∙
𝑞−1
• legkisebb ábrázolható szám
Min  0
Legnagyobb, összes ábrázolható szám
tört számok
k db
m db
M  p j  p k m
j db
• egész rész
• tört rész
– összes
Me  p
– összes
M t  pm
k
– legnagyobb
– legnagyobb
Maxe  p  1
k
– legkisebb
Mine  0
–
1
Maxt  1 m
p
legkisebb
Mint  p  m
Mértékegységek
• bit
– értéke
• 0
• 1
– binary digit
• kettes számrendszerbeli számjegy
• byte, bájt
– 8 bit
Mértékegységek
Mértékegység
B (byte, bájt)
Adatmennyiség
8 bit
Mértékegység
B (byte, bájt)
Adatmennyiség
8 bit
KiB (kibibyte)
1024 byte
kB (kilobyte)
1000 byte
MiB (mebibyte)
1024 kiB
MB (megabyte)
1000 kB
GiB (gibibyte)
1024 MiB
GB (gigabyte)
1000 MB
TiB (tebibyte)
1024 GiB
TB (terabyte)
1000 GB
PiB (pibibyte)
1024 TiB
PB (petabyte)
1000 TB
EB (exbibyte)
1024 PiB
EB (exabyte)
1000 PB
1999, IEC (International Electrotechnical Commission) a számítástechnikában
elterjedt váltószámok megnevezésére új prefixumok (kibi ← kilo binary)
Feladatok
• Számoljuk át tízes
számrendszerből az
alábbi egész számokat!
• Számoljuk át tízes
számrendszerből az
alábbi tört számokat!
– 54(10=x(2
– 45.55(10=x(2
– 54(10=x(8
– 111.45(10=x(4
– 54(10=x(16
– 23.45(10=x(5
– 54(10=x(5
– 23.45(10=x(8
– 54.45(10=x(16
Feladatok
• Számoljuk át tízes számrendszerből az alábbi számokat!
– 45.55(10=x(2
– 111.45(10=x(4
– 23.45(10=x(5
– 23.45(10=x(8
– 54.45(10=x(16
1100001.01’1100’1100’(2
1100001.0111001100(2
S  2  2  S1  S2 


2 3  4 i 
i 0
1
3
1
24
2
2
S1 
 3 4

1
2 2  1 15
1 4
2
1
4
4
1
2
1
2
S2 
 4 4

1
2 2  1 15
1 4
2
S


2  4  4i
i 0
S1 
a1
1 q
a1  2 3 
b1  2  4 
1 2
1
1 3
1 1
9


 
  
 0.45
4 15 15 4 15 4 5 20
S2 
b1
1 r
1
1
2
24
4
,
q

2

3
1
2
4
,
r

2

4
1
24
1100001.01’1100’1100’(2
1100001.0111001100(2
1
𝑆 = 2 + 𝑆𝑖𝑠𝑚
2
𝑆𝑖𝑠𝑚 = 𝐴1 + 𝐴2 + ⋯
3
∞
2−3−𝑖
𝐴=
𝑖=0
𝑆𝑖𝑠𝑚 =
∞
3
2−3∙𝑗−𝑖
𝐴𝑗 =
𝑗=1
𝑗=1 𝑖=0
31
11
1
2
+
3
𝑎1𝐴1== 4 + 𝑞
=
2 23 24 = 2244 = 24
1
1
23+ 1
33
4
𝐴2 = 7𝑎+
=
=
3
2
3
4
4
1 8
2
8
82
2
2
2
2
𝑆𝑖𝑠𝑚 =
=
= 4
= 4∙
=
2 − 1 2 15 15
1−𝑞 1− 1
24
24
1
1 3
15 + 4 ∙ 3 27
9
𝑆 = 2 + 𝑆𝑖𝑠𝑚 = +
=
=
=
= 0,45
2
4 15
60
60 20
Aritmetikai műveletek különböző
számrendszerekben
• Végezzük el az alábbi műveleteket a bináris
számok körében!
11 0 0
 11 1 1
1 0 0 1. 0 1
10 111. 0 1
10 0 0 10. 111
 1 0 0 1. 1 0
 1111. 11
 10 1 110. 111
1 10 1 1
1 0 0 1. 1 1
1 0 0 1. 1 1
10 0 0 0. 1110
110 0. 1 1
 1 0 0 1. 1 0
 1 11. 10
 10 0 1. 111 1
 110 1. 0 1
Aritmetikai műveletek különböző
számrendszerekben
• Végezzük el az alábbi műveleteket a
hexadecimális számok körében!
110 0
A B C D. E F
 11 1 1
 1 9 2 3. 7 A
1 A 5 4 7. 2 3

B E B E. 1 1

C D C D C. C D
10 0 0. 10 1
9 A 7 E. 3 8
 A 0 8 D. E 0 5
10 0 0 0. 1110
A C E. A C E
9 8 6 1. 0 E  D A C. B E  10 0 1. 111 1  5 D E B. 0 1 A
Végtelen, szakaszos tizedes tört
• Minden racionális szám felírható véges vagy
végtelen, de szakaszos tizedestört formában.
• Minden véges vagy végtelen, de szakaszos
tizedestört átalakítható racionális szám formára.
Végtelen, szakaszos p-ados tört
0.
bk
‘
k db
𝑐𝑛
𝑎1 = 𝑘 𝑛
𝑝 ∙𝑝
cn
n db
‘
cn
‘
n db
1
𝑞= 𝑛
𝑝
𝑐𝑛
𝑐𝑛
𝑎1
𝑐𝑛
𝑝𝑛
𝑝𝑘 ∙ 𝑝𝑛 𝑝𝑘 ∙ 𝑝𝑛
𝑆=
=
= 𝑛
= 𝑘 𝑛∙ 𝑛
=
1
𝑝
−
1
1−𝑞 1−
𝑝 ∙𝑝 𝑝 −1
𝑝𝑛
𝑝𝑛
𝑐𝑛
= 𝑘
𝑝 ∙ 𝑝𝑛 − 1
0.01’1100’1100’(2
x
 1. ' 1100 ' 1100 '2
y
x
1100
100  1
y
1111
100
100
1100
 1111
11011
x 11011

y
1111
x
11011

y 111100
x 27

y 60
x
9

y 20
x
 0.45
y
1
1
0
1
1
24
23
22
21
20
1 2 4 1 23
0  2 2 1 21 1 2 0
16  8

1
1
1
1
0
0
25
24
23
22
21
20
0

1 25 1 2 4 1 23 1 2 2
32  16

8

4
2  1  27
0  21 0  2 0

0  0  60
Feladatok
• Írjuk fel bináris, oktális és hexadecimális
számrendszerben az alábbi decimális számokat!
– 3492.326(10
– 1000(10
– 1512.1533(10
– 112.3(10
– 12438.964(10
– 3096.123(10
– 12345.678(10
– 9977.66(10
Feladatok
• Írja át 10-es számrendszerbe a következő
számokat! Az eredményt közönséges tört
alakban adja meg!
– 1.333(5
– 7B.73’5’5…(16
– 102.2’32’32’…(4
– 1320.20’131’131’…(8
– 101110110.101’0101’0101’…(2