Transcript Oszthatósággal kapcsolatos feladatok

Prímszámok alkalmazási területe
Rendkívül nagy prímszámokat (amelyek nagyobbak,
mint 10100) használnak számos nyílt kulcsú titkosítás
algoritmusában. A prímeket használják még
hasítótáblákhoz (hash tables) és álvéletlenszámgenerátorokhoz.
Kriptográfiai alkalmazásokban (például az RSA
nyilvános kulcsú rejtjelezőnél) gyakran van szükség
nagy (többszáz jegyű) prímszámok keresésére. Ezt
legtöbbször véletlen számok generálásával és
prímtesztelésével végzik.
Hány prímszám van?

Végtelen sok prímszám van. Ennek az állításnak a
legrégibb bizonyítását Euklidész
adta
meg Elemek című

N
;
Adott x
munkájában. Euklidész állítása a következő: „a
prímszámok darabszáma
nagyobb
bármely adott

Z
;
Adott
x
A 0 nem prímszám (hiszen végtelen sok osztója van, minden
(véges)
számnál”
n természetes szám osztja 0=0*n miatt) és - emiatt - nem is
felbonthatatlan. Az 1-et,
bár
„felbonthatatlannak”
lenne
Tágabb
értelemben,
ha az egész számok
gyűrűjében
Találj
példákat
primek
használatára?
tekinthető
ama atág
értelemben,
miszerint
nincs
nem-triviális
vizsgálódunk,
prímszámnak
azokat
a számokat
nevezzük,
csak
pontosan két pozitív
osztójuk
van. Minden, a
Szám
prímtényezős
felbontása.
osztója,
mégsemmelyeknek
tekintjük
prímszámnak
(ennek
valószínű
természetes számok körében prímnek számító szám az egész
Definiáld
a primszámot!
okát ld. lentebb),
és
a prímszámoknak mind a matematikai
számok körében is prím, és ezek ellentettjei is (és ez az
hagyományra épülő,
mind
algebrai vett
számelméletben
összes
tágabbazértelemben
prímszám). Pl. 2 és -2, 3 és -3
és ha z prím, akkor
(és A
csak
akkor) -z is az (az
szokásos definíciójaprímek,
(ld. irreducibilis
elem).
legelső
algebrai
számelméletanyelvén,
a prímek2,egymáshoz
asszociált
(legkisebb) pozitív
prímszámok
következők:
3, 5, 7, 11,
párokat alkotnak, melyeknek ha rendre csak ha a pozitív
13, 17, 19, 23, 29, 31,
37,tekintjük,
41, 43, akkor
47, 53,
59, 61,a természetes
67, 71, 73,számok
79,
tagjait
pontosan
83, 89, 97, 101, 103,
107,prímnek
109, 113,
127,számokat
131, 137,
139,Egy
149,
körében
számító
kapjuk).
még újabb
megfogalmazásban, tágabb értelemben prím egy egész szám
151, …
akkor, ha abszolút értéke (szűkebb értelemben) prím.
Eratoszthenész szitája
Hol alkalmazod ezt a keresési, kiválogatást végző módszert?
Döntsd el egy számról, hogy prím!
Naiv módszer
A legegyszerűbb módszer a következő: az adott egész számot sorra elosztjuk a nála
határozottan kisebb pozitív egész számokkal. Ha van ezek között olyan, 1-től
különböző szám, ami az adott egész számnak osztója, akkor a szám nem prím; ellenben
viszont, ha nincs, akkor ez a szám egy prímszám.
Egy nagyon primitív pszeudokód formájában a következőképp „algoritmizálhatjuk” ezt:
1). legyen s=2; és olvassuk be a tesztelendő n egész számot,
2). ha n=0 vagy n=1, akkor sem nem prím, sem nem összetett; STOP; ha n>2, menjünk
3).-ra
3). Képezzük az m=<n mod s> maradékot; ha ez 0 és m<n, akkor n nem prím, STOP; ha
m=n, akkor n prím, STOP; ha pedig az előző esetek egyike sem teljesül, ekkor tehát
m<n és m nem nulla, legyen s=s+1, és menjünk 3).-ra.
Szekvenciális keresés
Keresd ki 1-től n-ig, ahol n egy természetes szám a prímeket! Hogyan jársz el. Írd le a lépéseket.
Szekvenciális keresés
Keresd meg anélkül a prímeket 1-től n-ig, hogy minden közbeeső számról eldöntöd, hogy prim-e vagy sem!
Adj ötletet!
Eratoszthenész szitája
Animáció
Hol alkalmazod ezt a keresési, kiválogatást végző módszert?
Eratoszthenész szitája a neves ókori görög matematikus, Eratoszthenész
animáció
oldala segítségével
animáció
jobb oldala
módszere,bal
melynek
egyszerű
kizárásos algoritmussal megállapíthatjuk,
hogy melyek a prímszámok – papíron például a legkönnyebben 1 és 100 között.
Az algoritmus
1. Írjuk fel a számokat egymás alá 2-től ameddig a prímtesztet elvégezni kívánjuk.
Ez lesz az A lista. (Az animáció bal oldalán.)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2. Kezdjünk egy B listát 2-vel, az első prím számmal. (Az animáció jobb oldalán.)
3. Húzzuk le 2-t és az összes többszörösét az A listáról.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
4. Az első át nem húzott szám az A listán a következő prím. Írjuk fel a B listára.
5. Húzzuk át az így megtalált következő prímet és az összes többszörösét.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
6. Ismételjük a 3–5. lépéseket, amíg az A listán nincs minden szám áthúzva.
20
Eratoszthenész
szitája
A csapatok végezzék el az A3-as lapon a szűrést négy különböző intervallumra. Minden csapattag egy bizonyos
18
intervallumon dolgozzon.
16
14
1
6
11
16
2
7
12
17
3
8
13
18
4
9
14
19
5
10
15
20
12
18
10
15
8
12
6
2
20
15
6
10
3
5
Eratoszthenész szitája
Szabályok lekövetkeztetése a következő kérdések figyelembevételével:
•Miért nem lett kihúzva a prím, vegyél egy konkrét prímszámot a szitából.
•Írd le azokat a szabályokat, amiért ő nem lett kihúzva.
•Milyen távolságra vanna a prímek egymástól?
•Mit jelent az, hogy a szorzás kommutatív, ebben a feladatban?
•Tehát hányadik többszörösét vesszük legelsőként az aktuális rákövetkező számnak. És
ez a rákövetkező szám a 2-es után a hányas szám? Milyen tulajdonsággal bír?