Transcript FORMÁLIS MÓDSZEREK_vegleges

FORMÁLIS MÓDSZEREK
NGM_IN003_1
PETRI HÁLÓK
Történelmi áttekintés
• Carl Adam Petri (1926-2010)
• német matematikus
• a Petri hálók jelölésrendszerét 1939-ben
találta ki
• a Petri hálók matematikai alapjait a doktori
disszertációjában dolgozta ki 1962-ben
• eredetileg kémiai folyamatok leírására szánta
Alapok
• automataelmélet
• logika
Mire használhatók?
• konkurens: ha benne egyidejűleg működő, önálló egységek
kommunikálnak egymással úgy, hogy ezen egységek
egymáshoz képest tetszőleges működési fázisban vannak
• aszinkron: eseményvezérelt rendszer
• elosztott: egyes rendszerelemek között funkcionális
tagolódás van
• párhuzamos: nagyon hasonlítanak a konkurensekre,
lényeges különbség azonban, hogy párhuzamos esetben a
rendszerelemek között szoros szinkronizáció áll fenn
• nemdeterminisztikus: egy-egy adott állapotából nem
egyértelmű, melyik állapot lesz a következő
• és/vagy sztochasztikus
rendszerek modellezésére.
Alapvető tulajdonságok
• Egyidejűleg
– grafikai
– matematikai reprezentáció
• Struktúrával fejezi ki
– vezérlési struktúra
– adatmodell
Felépítése
• a Petri hálók építőelemeit 3 csoportba
soroljuk
– helyek
– élek
– átmenetek / tranzíció
• működésükhöz szükség van tokenekre is
Struktúrája
• Strukturálisan: irányított, súlyozott, páros gráf
• Két típusú csomópont:
– hely: p ∈ P, jelölése: kör
– tranzíció: t ∈ T, jelölése: téglalap
• Élek e ∈ E = (P × T) ∪ (T × P) (páros gráf!):
– hely – tranzíció
– tranzíció – hely
– jelölése: nyíl
Petri háló állapota
• Állapotjelző: token
– ezeket a helyek közepébe tett pontok jelölik
• Helyek állapota:
– a bennük található tokenek száma
• A rendszer állapota
– tokeneloszlás, az egyes helyek állapotainak
összessége
– állapotvektor: a π = |P| komponensű M token
eloszlás vektor
Példa Petri hálóra
Példa Petri hálóra
Példa Petri hálóra
Példa Petri hálóra
Állapotvektor
P2
Általánosan
𝑚1
M= ⋮
𝑚𝜋
P1
P3
Jelen esetben
1 P1
M = 0 P2
3 P3
A kezdőállapotot mindig az M0 állapotvektor jelöli
Matematikai reprezentáció
•
•
•
•
•
•
•
•
Petri-háló: PN=(P,T,E,W, M0)
Helyek halmaza: P={p1, p2, …}
Átmenetek halmaza: T={t1, t2, … }
Élek halmaza: E⊆(PXT) ∪ (TXP)
Súlyfüggvény: W:E→ N+
Tokeneloszlás: M:P → N+
Kezdeti tokeneloszlás: M0:P → N+
Ősök és utódok: ●t, t●, ●p, p●
Működés
• Nem más mint állapotváltozás
• Állapot megváltozása: átmenetek „tüzelése”
– Mikor mehet végbe állapotváltozás?
• Engedélyezettség ellenőrzése
• Tüzelés
– Token elvétele a bemeneti helyről
– Token kirakása a kimeneti helyre
• Tokeneloszlás megváltozik új állapot -> új állapotvektor
Működés
• Engedélyezettség ellenőrzése
– Bemeneti helyek / tokenek / bemenő élek
– Bemeneti helyeken van-e elég token?
Példa működésre
Példa működésre
Példa működésre
Példa működésre
Példa működésre
Példa működésre
Példa működésre
Példa működésre
Példa működésre
Példa működésre
Példa működésre
Példa működésre
Példa működésre
Példa működésre
Példa működésre
Példa működésre
Példa működésre
Jellemzők - Azonnali tüzelések
• nem külön - külön vánszorognak a tokenek
egyik tüzelési oldalról a másikra, hanem
egyszerre – elemi (atomi) esemény
Jellemzők - Aszinkron tüzelések
• egymással párhuzamos tüzelések lehetnek,
azok sorrendje nem függ egymástól.
Pakolás a
bőröndbe
Utazás
külföldre
Mozijegy
vásárlás
Film
nézés
Jellemzők - Nem determinisztikus
• nem hogy nem függ egymástól a sorrend, de
fogalmunk sincs hogy úgy amúgy mi lesz az
repülő
hajtogatás
papír
firkálás
toll
Jellemzők - Két tranzíció nem tüzel
egyszerre
tej
tejes kávé
kávé
Ír kávé
whiskey
Jellemzők - Neminterpretált
• nem feltétlenül kell nekünk a
világmindenséget leírni, tudni, van amit csak
megnevezünk, és nem mondjuk el, hogy mit is
csinál pontosan
alvás
hibás
hibátlan
munka
Jellemzők - Absztrakció és finomítás
• bármelyik tranzíció helyére berakhatunk egy
fél világmindenséget leíró részt
alvás
késésben
munka
öltözés
reggeli
utazás
Jellemzők - Összefoglalás
Petri hálók
jellemzők
Modellezési
tulajdonságok
azonnali „tüzelések”
elemi (atomi) esemény
aszinkron tüzelések
események szekvenciájának
függetlensége
nem determinisztikus
konkurencia
két tranzíció nem tüzel egyszerre
konfliktus
neminterpretált
absztrakt tulajdonságok
absztrakció és finomítás
hierarchikus modellezés
Többszörös élek
• Bármely e  E élhez rendelhető w*(e)  N+
súlyt lehet rendelni
• A w*(e) súlyú e él ugyanaz, mint we darab
párhuzamos él => nem rajzolunk párhuzamos
éleket, élsúlyt használunk
3
Topológia példa
• Határozzuk a következő hálózat topológiáját!
Topológia példa megoldás
Szomszédossági mátrix
• Súlyozott szomszédossági mátrix: W = ||w(t, p)||
• Dimenziója: τ × π = |T| × |P|
• Ha t tüzel, mennyit változik a p-beli tokenszám
w+(t, p) − w−(p, t)
• w(t,p) =
0
ha (t, p) ∈ E
ha (t, p) /∈ E
• Tipp írjuk fel külön w+ és w- majd vonjuk össze a
kettőt
Szomszédossági mátrix
• w+ azok a számok kerülnek, amiket egy
átmenet „belebakol” a helybe
• w- azok, amiket egy átmenet kivesz a helyből
• W mátrix összeáll ha a w+ ból kivonjuk a wmátrixot
Szomszédossági mátrix
• Határozzuk meg az ábrán látható hálózat
szomszédossági mátrixát!
Szomszédossági mátrix
Szomszédossági mátrix
• Határozzuk meg az ábrán látható hálózat
szomszédossági mátrixát!
Szomszédossági mátrix
Előző órán
•
•
•
•
•
Mi is az a PETRI háló?
Működése
Jellemzői
Topológia meghatározás
Szomszédossági mátrix
A továbbiakban
• Tüzelési szemantika módosítása
• Tulajdonság modellek
– strukturális és
– dinamikus tulajdonságok
• Dinamikus tulajdonságok vizsgálata
• Speciális topológiájú Petri hálók
Tüzelési szekvencia
• Állapot átmeneti trajektória
– egymást követő tüzelések hatására felvett állapotok
• Tüzelési szekvencia
σ = 〈Mi0 ti1 Mi1 … tinMin 〉 → 〈ti1 … tin 〉
• Ha az összes tranzíció kielégíti a tüzelési szabályt:
• – Min állapot Mi0-ból elérhető a σ tüzelési
szekvencia által:
Mi0 [σ > Min
Tüzelési szemantika módosítása
• Miért is lesz jó nekünk ha ez?
• Hogyan módosítunk tüzelési szemantikát?
Tüzelési szemantika módosítása
• Korábbiakban volt szó a Petri hálók
nemdeterminisztikus működéséről
• A nemdeterminisztikus működés nem előnyős,
mert nem tudjuk megmondani melyik állapot
következik
• Cél: ezen működés korlátozás
Tüzelési szemantika módosítása
• Hogyan érhető ez el?
– Prioritás rendelése a tranzíciókhoz
– Tiltó élek bevezetése
– Kapacitás rendelése a helyekhez
Prioritás rendelés a tranzíciókhoz
• Az engedélyezett tranzíciók közül egy
alacsonyabb prioritású mindaddig nem
tüzelhet, amíg van
– engedélyezett ÉS
– magasabb prioritású tranzíció
• Azonos prioritási szinten továbbra is
nemdeterminisztikus választás!
• Prioritás bevezetése a formális definícióba
Π:T→N
Tiltó élek bevezetése
• Klasszikus Petri hálónál:
– Ponált tüzelési feltételek
– Bemenő helyeken a feltételek megléte
• Tiltás
– Tiltó él bevezetése
– Ha a feltételek megfelelőek a tüzelés akkor se
hajtódhat végre
Tiltó él
• Tiltó él használatakor a tüzelési szabályt a
következő képen kell egészíthetjük ki:
– ha a t tranzícióhoz kapcsolódó bármely (p, t ) tiltó
él p bemenő helyén a w− (p, t ) élsúlynál nagyobb
vagy egyenlő számú token van ⇒a tüzelés nem
hajtható végre
P1
T
P2
P3
Helyek kapacitáskorlátja
• Minden egyes p helyhez K(p) kapacitás
hozzárendelése
• Ez a kapacitás lesz az adott helyre maximálisan
betölthető tokenek száma
• A tüzelési szabály újabb kiegészítése:
– a tranzíció egyetlen kimenő p helyre sem tölthet a
hely K(p) kapacitásánál több tokent
Tüzelés véges kapacitású Petri hálóban
• Egy t ∈ T tranzíció tüzelése akkor engedélyezett,
ha elegendő token van a bemeneti helyeken:
∀ p ∈ •t : mp ≥ w− (p, t )
• Kapacitáskorlát (M[t > M’ tüzelés után):
∀ p ∈ t• : m’p = mp + w + (t, p) ≤ K(p)
• Engedélyezett tranzíció tetszés szerint tüzelhet
• A tüzelés után:
∀ p ∈ P : m’p = mp + w + (t, p) - w− (p, t )
A kapacitáskorlát kiküszöbölése
T1
2
P1
P2
K(P2)=4
T2
• Hogyan szüntetjük meg a P2
kapacitáskorlátját?
Kiegészítő helytranszformáció
• Minden egyes korlátos véges kapacitású p
helyhez
– rendeljünk hozzá egy járulékos p’ adminisztrációs
helyet
– a p’ adminisztrációs hely kezdőállapota
M0(p’) = K(p) - M0(p)
azaz a p hely még kihasználatlan kapacitása.
Kiegészítő helytranszformáció
T1
2
P1
P2
K(P2)=4
T2
P’
Kiegészítő helytranszformáció
• A p’ hely és a t ∈ •p ∪ p• tranzíciók között
kiegészítő éleket húzunk be
• Az élek iránya attól függ, hogy t tüzelése növeli
vagy csökkenti-e a p helyen levő tokenek számát:
– a t tranzíció és p’ hely között (t, p’ ) élet húzunk be
|w(t, p)| súllyal, ha w(t, p) < 0, azaz a tüzelés elvesz
tokent a p helyről
– a p’ hely és a t tranzíció között (p', t) élet húzunk be
w(t, p) súllyal, ha w(t, p) > 0, azaz a tüzelés berak
tokent a p helyre
Kiegészítő helytranszformáció
T1
2
2
P1
P2
K(P2)=4
T2
P’
Tulajdonság modellek
• Tulajdonság modellek két csoportra
oszthatók:
– strukturális tulajdonságok:
• ezek a kezdőállapottól függetlenek
• elemzése a hely-tranzíció, topológia, illetve tüzelési
szabályok alapján
– dinamikus tulajdonságok:
• kezdőállapottól függenek
• elemzés egy adott állapotból
Strukturális tulajdonságok
•
•
•
•
•
•
Strukturális élőség
Vezérelhetőség
Strukturális korlátosság
Konzervatívság
Ismételhetőség
Konzisztencia
Dinamikus tulajdonságok - általános
tulajdonságok
• Elérhetőség
– Adott állapot, ill. állapothalmaz elérhető-e?
• Korlátosság
– Létezik-e a tokenek számának felső korlátja?
• Élő tulajdonság
– A tüzelések engedélyezetté válnak-e?
– Holtpontmentesség vizsgálata.
Dinamikus tulajdonságok - ciklikus
működés jellemzése
• Megfordíthatóság, ill. visszatérő állapot
– Van-e a rendszer működése során ciklus?
• Fedhetőség
– Van-e a rendszer működése során egy korábbi
állapotot magában foglaló állapot?
Dinamikus tulajdonságok párhuzamos működés jellemzése
• Perzisztencia
– Engedélyezett tranzíciók letiltják-e egymást?
– Párhuzamos működés vizsgálatára.
• Fair tulajdonság
– Tranzíciók tüzelése mennyire függ egymástól –
hányszor tudnak egymás nélkül tüzelni.
– Párhozamos működés vizsgálatára.
– Típusai:
• Korlátozott fairség
• Globális fairség
Elérhetőség
•
•
•
•
Jelölés (marking) = állapot
Tokeneloszlás = állapotváltozó
Tüzelés = állapotátmenet
Tüzelési sorozatok hatására M0, M1, …, Mn
állapotsorozat
• Állapotsorozat: trajektória az állapottérben
• Mn állapot elérhető az M0 kiinduló állapotból:
∃σ :M0 [σ > Mn
Elérhetőségi analízis
• Az M0 kiinduló állapotból az N Petri hálóban
– Elérhető állapotok
• Állapotra vonatkozó kérdések
– Végrehajtható tüzelési sorozatok
• Állapotátmenetekre (eseményekre) vonatkozó kérdések
Elérhetőségi probléma
• Petri hálók elérhetőségi problémája:
– Mn állapot elérhető-e valamilyen M0 kiinduló
állapotból
• Rész-tokeneloszlási probléma:
– helyek egy részhalmazára korlátozva elérhető-e
Mn állapot az adott helyekre megadott
tokeneloszlással?
Elérhetőségi probléma
megoldhatósága
• Az elérhetőségi probléma elvileg megoldható azonban
(legalább) exponenciális az általános esetben
• Az egyenlőségi probléma megoldására nem létezik
algoritmus
– feladat: két Petri-háló lehetséges tüzelési sorozatai
azonosságának eldöntése
– Az egyenlőségi probléma eldönthető (exponenciális
időben) 1-korlátos (tokenek száma a helyeken ≤ 1, ún.
biztos) Petri hálókra
Korlátosság
• k -korlátosság (korlátosság)
– bármely állapotban minden helyen maximum k
token lehet (M0 kiinduló állapot függő!)
– Biztos Petri háló: korlátosság speciális esete (k =
1)
– végesség kifejezése
– korlátosság ⇔ véges állapottér
– erőforrás használat, illetve általános értelemben
vett feladatkezelés modellezése
Élőség
• Holtpont (deadlock) -mentesség
– Minden állapotban legalább egy átmenet tüzelhető
• Élő tulajdonság
– Átmenet egyszer/többször/végtelenszer tüzelhet-e?
– Gyenge élő tulajdonságok egy t átmenetre:
• L0-élő (halott): t sohasem tüzelhető egyetlen
• L1-élő: t legalább egyszer tüzelhető valamely
• L2-élő: bármely adott k > 0 egészre t legalább
k-szor tüzelhető valamely
• L3-élő: t végtelen sokszor tüzelhető valamely
– L4-élő: t L1-élő bármely
állapot trajektóriában
állapotban
Élőség
• Egy (P, T, Mo) Petri háló Lk-élő
– ha minden t ∈T átmenete Lk-élő
• L4-től L1-ig az élő tulajdonságok tartalmazzák egymást
• Egy (P, T, Mo) Petri háló élőnek nevezünk
– ha L4-élő, azaz minden t ∈T átmenete L4-élő
– Bejárási úttól függetlenül garantáltan holtpontmentes
• köztes állapottól függetlenül minden átmenet újra tüzelhető
• holtpontmentesség ⇐ élőség
– Bizonyítása költséges lehet
• szerencsés esetben nem (invariánsok!)
• ideális rendszert tételez fel
Élőség példa
• t0 L0 élő (halott)
• t1 L1 élő
• t2 L2 élő
• t3 L3 élő
Megfordíthatóság és visszatérő állapot
• Megfordíthatóság:
– A kezdőállapot bármely követő állapotból elérhető
– Gyakran ciklikus működésű hálózat
• Visszatérő állapot:
– Van olyan, a kezdőállapotból elérhető állapot, amely
bármely őt követő állapotból elérhető
– Gyakran ciklikus (rész)hálózat inicializáló szekvenciával
Fedhetőség
• Fedhetőség definíciója:
– Létrejön-e korábbi működést magában foglaló
állapot?
– M’ állapot fedi M állapotot, ha
• M állapot fedhető M’ állapottal
• M’ ≥ M jelentése:
– M a t átmenetet engedélyező minimális
tokeneloszlás
• t akkor és csak akkor nem L1-élő, ha M nem fedhető le
• tehát M lefedhetősége garantálja t L1-élő voltát
Perzisztencia
• Perzisztencia elemzés:
– Tüzelések kölcsönhatásának vizsgálata
– Két tetszőleges engedélyezett átmenet közül egyik
tüzelése sem tiltja le a másik engedélyezettségét
• engedélyezett átmenet engedélyezve marad tüzelésig!
– Rendszerbeli funkcionális dekompozíció
megmarad-e?
– Párhuzamos működések befolyásolják-e egymást?
Fair tulajdonság
• Fair tulajdonság:
– Az irodalomban nem egységes a fairség definíciója
– Korlátozott fairség (B-fairség)
• egy tüzelési szekvencia korlátozottan fair, ha bármely
átmenet maximum korlátos sokszor tüzelhet másik tüzelése
nélkül
– Globális fairség
• egy tüzelési szekvencia globálisan fair, ha az összes átmenet
végtelen sokszor szerepel benne, amennyiben nem véges
– Párhuzamos folyamatok nem tartják-e fel egymást?
– Valamennyi folyamat végbemegy-e (előbb-utóbb)?
Dinamikus tulajdonságok vizsgálata
Lehetséges módszerek
• Állapottér bejárása:
– elérhetőségi gráf analízise
• Algebrai megközelítés
• Gráf-redukciós algoritmusokra alapuló
módszerek
• Szimuláció
Állapottér bejárása
• Elérhetőségi gráf:
– M0 kezdőállapotból induló állapotgráf
• csomópontok: tokeneloszlások, állapotátmenetek: tüzelések
• legfeljebb annyi új csomópont, ahány engedélyezett átmenet
– Szélességi típusú bejárás az állapotból tüzelések mentén
– Nem korlátos Petri háló → végtelen sok állapot a térben
• Fedési gráf: végtelen állapottér esetére is
– Hasonló felépítés: M0 kezdőállapot, élek: tüzelések
– Kritikus részek: token „túlszaporodás”
• trajektória: M0 … M”… M’ és M” ≤ M’ → fedett állapot!
• speciális szimbólum: ω a végtelenség kifejezője
Fedési fa generálása
• Lvizsgálandó := { M0 }
• Amíg Lvizsgálandó ≠ ∅
1. A következő M ∈ Lvizsgálandó állapot kiválasztása
2. Ha M a gyökértől idáig vezető úton már szerepelt
Akkor M -et „régi állapotként” jelöljük ↵ (ciklus)
3. Ha M-ben nincs engedélyezett tüzelés
Akkor M -et „végállapotként” (halott állapot)
jelöljük ↵ (ciklus)
Fedési fa generálása
Egyébként, (van M -ben engedélyezett átmenet)
Minden egyes t engedélyezett átmenetre:
Az M’ rákövetkező állapot meghatározása:
Ha létezik az M0-tól M -ig vezető úton olyan M”, amelyet M’
fed
Akkor M” fedett állapot
M’ állapotot jelölő tokeneloszlásban a fedett helyek jelöléseit
-val helyettesítjük
M’ új állapot: Lvizsgálandó := Lvizsgálandó  M’
M -ből M’ -höz egy t -vel jelölt élet húzunk  (ciklus)
Példa
Petri háló
Petri háló fedési fája
Példa
Petri háló
Petri háló fedési gráfja
Fedési fa analízise
Közvetlenül is leolvasható tulajdonságok:
– Petri háló korlátos  R (N, M0) elérhetőségi gráfja
véges  Fedési fában  nem jelenik meg címkeként
– Petri háló biztonságos  Csak 0 és 1 jelenik meg
csomópont címkeként a fedési fában
– Petri háló egy átmenete halott  átmenethez tartozó
tüzelés nem jelenik meg élcímkeként a fedési fában
Redukció
• Redukció:
– Érthető modellből kompakt modell
• redundancia eliminálása
• Modellezés: szempont a valósághűség és érthetőség
• Elemzés: szempont a tulajdonságok egyszerű és gyors
kimutatása
– További egyszerűsítés: modell kifejezőereje csökken
• ellenőrzött változtatások, de a funkcionalitás megváltozik
• a kiválasztott tulajdonságokat megőrzi!
• eredeti modellt a tulajdonságok szerint „fedő” modell jön
létre
– Sokféle tulajdonságmegőrző transzformáció létezik
Transzformációk
• Egyszerű tulajdonságmegőrző transzformációk:
–
–
–
–
–
–
soros helyek összevonása
soros tranzíciók összevonása
párhuzamos helyek összevonása
párhuzamos tranzíciók összevonása
önhurkot alkotó helyek törlése
önhurkot alkotó tranzíciók törlése
• Megőrzik az
– élő,
– korlátos és
– biztos tulajdonságokat.
Soros összevonások
Soros helyek összevonása (FSP)
Soros tranziciók összevonása (FSP)
Párhuzamos összevonások
Párhuzamos helyek összevonása (FPP)
Párhuzamos tranziciók összevonása (FPT)
Önhurok törlése
önhurkot alkotó helyek törlése (ESP)
önhurkot alkotó tranzíciók törlése (EST)
Példa
• t1 tüzel
• t1 és t2 összevonása, soros tranzíciók p1 -> t12
• t3 és t4 összevonása, soros tranzíciók p3 -> t34
Példa (folyt.)
• t12 önhurok tranzíció törlése
• p4 önhurok hely törlés
Példa (folyt.)
Speciális topológiájú Petri hálók
• Állapotgép (State Machine, SM)
– minden átmenetnek pontosan egy be és kimeneti
helye van
– van konfliktus, nincs szinkronizáció
Speciális topológiájú Petri hálók
• Jelölt gráf (Marked Graph, MG)
– minden helynek pontosan egy be- és kimeneti
tüzelése
– van szinkronizáció, nincs konfliktus
Speciális topológiájú Petri hálók
• Szabad választású háló (Free-Choice Net, FC)
– minden helyből kifelé mutató él vagy egyedüli kimenő él,
vagy egyedüli bemenő él egy átmenetbe
– lehet konkurencia és konfliktus is, de nem egyszerre
– dekomponálható MG és SM komponensekre
Speciális topológiájú Petri hálók
• Kiterjesztett szabad választású háló (EFC)
– többszörös szinkronizáció is lehetséges
Speciális topológiájú Petri hálók
• Aszimmetrikus választású háló (AC)
– lehetséges az (aszimmetrikus) konfúzió is
Speciális topológiájú Petri hálók
•
•
•
•
Állapotgép (SM) nem enged meg szinkronizációt
Jelölt gráf (MG) nem enged meg választást
Szabad választású háló (FC) nem enged meg konfúziót
Aszimmetrikus vál. háló (AC) megenged aszimmetrikus
konfúziót, de nem enged meg szimmetrikus konfúziót
Invariánsok a Petri hálókban
• Petri hálók különböző jellemzőiből
számíthatók
• nagy segítség az elemzésben
• Két féle invariáns létezik
– T- (tranzíció-)
– P- (place-)
T-invariáns
• olyan tüzelési szekvencia, amely végrehajtása
nem változtatja meg a Petri-háló
tokeneloszlását
• bizonyítható a rendszer ciklikus működése
• ha létezik:
– rendszer élő
– holtpontmentes
P-invariáns
• általa kijelölt helyeken a tokenek súlyozott
összege nem változik
• azaz a tokenek egy részhalmaza (vagy akár
teljes halmaza) a helyek egy (rész)halmazában
kering
• A P-invariánsok által meghatározott helyeken
biztosan nem nő a tokenek száma - > a háló
korlátos
• el sem veszik token -> a háló élő
Martinez-Silva algoritmus
• Példa
Martinez-Silva algoritmus
t 0 t1
p0   1 1 


p1  1  1


p1  1  1
Martinez-Silva algoritmus
 1 0 0  1 1  p0


Q 0   0 1 0 1  1 p1
 0 0 1 1  1 p2


Martinez-Silva algoritmus
Martinez-Silva algoritmus
1 1 0 0 0  p0  p1

Q1  
1 0 1 0 0  p0  p2

Martinez-Silva algoritmus
Felhasznált irodalom
• Benyó Balázs – Formális módszerek (2008)
• BME MIT (Pararicza, Gyapay, Bartha,… )
• NetAcademia-tudástár – (Petri-hálók
modellezése és analízise, Formális módszerek
az informatikában (1), Formális módszerek az
informatikában (2)