Transcript Tabel Kebenaran

Logika Matematika
Tabel Kebenaran dan Proposisi Majemuk
AMIK-STMIK Jayanusa
©2009
Tabel Kebenaran
Tabel Kebenaran
• Logika tidak mempermasalahkan pengertian bahasa sehari-hari
(meaning), karena logika lebih mementingkan bentuk dari
pernyataan-pernyataan.
• Perangkai logika atau operator dalam bentuk simbol dipergunakan
untuk membuat bentuk-bentuk logika atau ekspresi logika.
Beberapa perangkai logika dan simbolnya:
Perangkai
Simbol


Dan (and)
Atau (or)

Tidak/bukan (not)
Jika … maka … (if…the…/implies)
→
Jika dan hanya jika (if and only if)
↔
Tabel Kebenaran
Tabel Kebenaran
3.1 Konjungsi (  )
• Konjungsi adalah kata lain dari perangkai “dan (and)”, dengan Tabel
Kebenaran seperti berikut:
A
B
A
B
F
F
F
F
T
F
T
F
F
T
T
T
• A  B disebut nilai fungsi kebenaran dari A dan B, yang nilainya
tergantung dari nilai kebenaran A dan B. Tabel kebenaran
menunjukan bagaimana cara memperlakukan perangkai ,
sedangkan operand-operand dari konjungsi disebut konjung.
Operand di sini sama artinya dengan variabel proposisional.
Tabel Kebenaran
Tabel Kebenaran
Contoh 3.1 Tabel kebenaran untuk nilai konjungsi yang lebih rumit:
A
A
B
(A
 B)  C B  C
A
(B  C)
B
C
F
F
F
F
F
F
F
F
F
T
F
F
F
F
F
T
F
F
F
F
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
T
F
T
F
F
F
F
T
T
F
T
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
3.2 Disjungsi (  )
• Disjungsi adalah sama dengan perangkai “atau (or)”, dengan
lambang  .
• Tabel Kebenaran dari disjungsi adalah:
Tabel Kebenaran
Tabel Kebenaran
A
B
A
B
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
• Pada tabel kebenaran tentang disjungsi di sini, operand-operand
dari disjungsi disebut disjung.
3.3 Negasi ( )
• Negasi digunakan untuk menggantikan perangkai “tidak (not)”,
Negasi berarti hanya kebalikan dari nilai variabel proposisional yang
dinegasinya. Tabel kebenaran negasi sebagai berikut:

A
A
F
T
F
T
F
T
Tabel Kebenaran
 A
Tabel Kebenaran

• Perangkai
disebut unary atau monadic karena hanya dapat
merangkai satu variabel proposisional.
Contoh 3.2
– Badu pandai atau Badu bodoh.
• Contoh tersebut diubah menjadi variabel proposisional sehingga
akan menjadi:
A = Badu pandai
B = Badu bodoh
Bentuk logikanya adalah (A  B), tidak boleh ditafsirkan dan
diganti menjadi variabel proposisional seperti berikut:
A = Badu pandai
A = Badu bodoh
Atau disamakan menjadi (A 
A).


Tabel Kebenaran
Tabel Kebenaran
• Pengubahan pernyataan di depan menjadi bentuk logika seperti di
atas tentunya salah, walaupun arti dari kata “pandai” adalah”tidak
bodoh”, tetapi itu penafsiran dalam bahasa sehari-hari. Jadi,
pastikan pernyataan mengandung kata “tidak atau bukan” untuk
dapat memberi tanda negasi.
• Perangkai  ,  , dan
disebut perangkai alamiah atau
perangkai dasar karena semua perangkai dapat dijelaskan hanya
dengan tiga perangkai tersebut.
3.4 Implikasi (→)
• Implikasi menggantikan perangkai “ jika… maka … (if … then )”.
Implikasi yang memakai tanda → disebut implikasi material. Tabel
kebenaran implikasi adalah:

Tabel Kebenaran
Tabel Kebenaran
A
B
A → B
F
F
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
3.5 Ekuivalensi (↔)
• Ekuivalensi dengan simbol ↔ menggantikan perangkai “…jika dan
hanya jika… (…if and only if…)”, yang dapat disingkat dengan iff.
Tabel kebenaran ekuivalensi adalah:
A
B
A ↔ B
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
T
Tabel Kebenaran
Tabel Kebenaran
• Perangkai ↔ disebut biconditional karena ia mengondisikan atau
merangkaikan dua ekspresi logika.
3.5 Perangkai “Tidak dan (not and – nand)” (|)
• Tabel kebenaran dari operator nand adalah:
A
B
A |B
F
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
F
3.6 Perangkai “Tidak atau (not or– nor)” (↓)
A
B
A↓ B
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
Tabel
T Kebenaran
F
Tabel Kebenaran
3.7 Perangkai xor ( )
• Perangkai “xor (exclusive or)” mempunyai tabel kebenaran sbb:
A
B
A
B
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
• Semua operator dapat digunakan bersama-sama pada suatu
argumen atau ekspresi logika dengan membentuk susunan
proposisi majemuk dari yang sederhana sampai dengan yang rumit.
Tentunya dengan mengubah pernyataan-pernyataan pada argumen
menjadi variabel proposisional, dan merangkaikannya dengan
operator yang relevan, dan akhirnya membuktikan validitas dari
argumen tersebut.
Tabel Kebenaran
Proposisi Majemuk
Definisi Proposisi atomik berisi satu variabel proposisional atau stu konstanta
proposisional.
Definisi Proposisi majemuk berisi minimum satu perangkai, dengan lebih dari
satu varibael proposisional.
• Perangkai logika digunakan untuk mengombinasikan proposisi atomik
menjadi proposisi majemuk.
• Untuk menghindari kesalahan tafsir maka proposisi majemuk yang akan
dikerjakan lebih dahulu diberi tanda kurung sehingga proposisi-proposisi
dengan perangkai-perangkai yang berada di dalam tanda kurung disebut
fully parenthesized expression (fpe).
• Proposisi yang sangat rumit dapat dipecah menjadi subekspresisubekspresi. Subekspresi dapat dipecah lagi menjadi subsubekspresi, dan
seterusnya. Teknik ini dinamakan Parsing.
• Ekspresi Logika adalah proposisi-proposisi yang dibangun dengan variabelvariabel logika yang berasal dari pernyataan atau argumen.
• Setiap ekspresi logika dapat bersifat atomik atau majemuk tergantung dari
variabel proposisional yang membentuknya bersama perangkai yang
relevan.
Tabel Kebenaran
Proposisi Majemuk
Contoh 3.3
Jika Dewi rajin belajar, maka ia lulus ujian dan ia mendapat hadiah
istimewa.
• Pernyataan di atas dapat diubah menjadi variabel proposisional:
A = Dewi rajin belajar.
B = Dewi lulus ujian.
C = Dewi mendapat hadiah istimewa.
Dalam bentuk ekspresi logika berubah menjadi
A BC
• Persoalannya adalah ada dua kemungkinan pengerjaan, yakni
A  B  C atau A  B  C
karena kedua kemungkinan tersebut dapat menghasilkan nilai
kebenaran yang berbeda.
Tabel Kebenaran
Proposisi Majemuk
• Ekspresi logika yang tepat untuk contoh ini adalah:
A  B  C 
• Apa arti dari ekspresi logika berikut untuk contoh di atas:
A  B   C
• Skema merupakan satu cara untuk menyederhanakan suatu
proposisi majemuk yang rumit dengan memberi huruf tertentu
untuk menggantikan satu subekspresi ataupun subsubekspresi.
Contoh 3.4
Misal P  A  B dan Q  A  B maka P  Q   A  B  A  B
• Perhatikan aturan berikut:
(1) Semua ekspresi atomik adalah fpe.
(2) Jika P adalah fpe, maka juga ( P)
(3) Jika P dan Q adalah fpe, maka juga
P  Q, P  Q, P  Q, dan P  Q

Tabel Kebenaran
Proposisi Majemuk
(4) Tidak ada fpe lainnya.
• Ekspresi-ekspresi logika yang dijelaskan di atas disebut well-formed
formulae (wff).
Contoh 3.5
Perhatikan tanda kurung biasa yang benar dan lengkap pada contoh
A  B  A  B
Bandingkan dengan
A  B  A  B) 
A  (B  A  B
• Jika ada suatu ekspresi logika (
P) maka P disebut skop negasi
(scope of negation) dengan perangkai
disebut perangkai utama
dari (
P).
• Oleh karena itu, (P → Q) dapat diuraikan seperti berikut:


Tabel Kebenaran

Proposisi Majemuk
(P → Q)
skop kiri
Perangkai utama Skop kanan
A  Bdalam

 A  B
• Teknik memisah-misah kalimat
proposisi
majemuk menjadi
proposisi atomik disebut teknik Parsing, dan hasilnya dapat
diwujudkan dalam bentuk Parse Tree (Gambar hal. 4-2 di papan
tulis):
Contoh 3.6
[1] Jika Dewi lulus sarjana Teknik Informatika, orangtuanya akan
senang, dan dia dapat segera bekerja, tetapi jika dia tidak lulus,
semua usahanya akan sia-sia.
Tabel Kebenaran
Proposisi Majemuk
• Proposisi-proposisi yang membentuk pernyataan di atas adalah
konjungsi (kata “tetapi” di tengah lebih sesuai bila diganti dengan
“dan”) dengan skop kiri dan skop kanan sebagai berikut:
[1.1] Jika Dewi lulus sarjana Teknik Informatika, orangtuanya akan
senang, dan dia dapat segera bekerja.
dengan
[1.2] Jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia.
• Kedua skop di atas masih berupa proposisi majemuk. Untuk kalimat
pertama dengan skop kiri dan skop kanan, dapat dipecah lagi
seperti berikut:
[1.1.1] Jika Dewi lulus sarjana Teknik Informatika
dengan
[1.1.2] Orangtuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja.
Tabel Kebenaran
Proposisi Majemuk
• Kalimat terakhir ini juga masih berbentuk proposisi majemuk,
sehingga skop kiri dan skop kanan dapat dipisah sebperti berikut:
[1.1.2.1] Orangtuanya akan senang
dengan
[1.1.2.2] Dia dapat segera bekerja.
• Kalimat di atas sudah tidak dapat dipecah lagi. Jadi, kembali pada
skop kiri dan skop kanan di permulaan (1.1) dan (1.2). Jika (1.1)
sudah selesai dipecah maka tinggal (1.2) yang menjadi skop kri dan
skop kanan seperti berikut:
Tabel Kebenaran
Proposisi Majemuk
[1.2.1] Dia tidak lulus
dengan
[1.2.2] Semua usahanya akan sia-sia.
• Untuk mengubah Parse Tree menjadi ekspresi logika yang
berbentuk proposisi majemuk adalah dengan menjadi fpe berikut:
A = Jika Dewi lulus sarjana Teknik Informatika
B = Orangtua Dewi senang
C = Dewi bekerja
D = Usaha Dewi sia-sia.
• Selanjutnya, pernyataan di atas yang berupa proposisi majemuk
dapat dibuat fpe sebagai berikut:
A  B  C  A   D
Tabel Kebenaran
Proposisi Majemuk
• Pada ekspresi di atas, jika dianggap M, maka M adalah ekspresi
majemuk, yang dirangkai dari subekspresi-subekspresi. Secara
sederhana, jika M berbentuk (P  Q), maka P dan Q masing-masing
berupa subekspresi. Setiap subekspresi ini dinamakan immediate
subexpressions dari M. P dan Q juga dapat berbentuk ekspresi
majemuk yang mempunyai subekspresi yang sebenarnya juga
subekspresi dari M.
• Lihat Contoh 3.6 tadi, maka:
M  A  B  C  A   D
P  A  B  C
Q  A   D
Tabel Kebenaran
Proposisi Majemuk
• M sebenarnya juga dapat dianggap subekspresi dari M sehingga
disebut improper sbexpressions, sedangakan subekspresi lainnya
disebut proper sbexpressions dari M.
• Literal adalah proposisi yang dapat berbentuk A atau
A, dengan
Aadalah variabel proposisional. Kedua ekspresi tersebut, yakni: A
dan
A disebut literal yang komplemen atau saling melengkapi.
• Bentuk
(A  B) bukan literal.



Tabel Kebenaran
Aturan Pengurutan
• Aturan Pengurutan digunakan untuk memastikan proses
pengerjaan subekspresi.
• Pada masalah perangkai, urutan atau hirarkinya berdasarkan hirarki
tertinggi sebagai berikut
Hirarki ke
1
Simbol Perangkai

Nama Perangkai
Negasi
3


4
→
Implikasi
5
↔
Ekivalensi
2
Konjungsi
Disjungsi
• Ada aturan tambahan, yaitu: Jika menjumpai lebih satu perangkai
pada satu hirarki yang sama, maka akan dikerjakan mulain dari
yang kiri.
Tabel Kebenaran
Aturan Pengurutan
Contoh 3.7
a. A  B, harus dibaca A   B bukan A  B
b. A  B  C, harus dibaca A  B  C bukan A  B  C
c. A  B  C, harus dibaca A  B  C bukan A  B  C
d. A  B  C, harus dibaca A  B  C  bukan A  B  C
• Perhatikan kembali Contoh 3.6:
A  B  C  A   D
dapat lebih disederhanakan dengan mengurangi tanda kurung biasa
menjadi:
A  B  C  A  D
Tetapi, walaupun penyederhanaan di atas betul, sebaiknya tetap
memakai bentuk
A  B  C  A  D
Tabel Kebenaran
Aturan Pengurutan
• Tanda kurung yang terlalu banyak disebut redudansi jika ada tanda kurung
yang sebenarnya tidak diperlukan, bahkan kadang-kadang membuat salah
tafsir.
Contoh 3.8
• A→B→C
Manakah yang harus dikerjakan terlebih dahulu?
Aturan hirarki menyebutkan jika hirarkinya sama, maka dilaksanakan mulai
dari yang kiri. Jadi, hars dibaca: (A → B) → C, bukan A → (B → C). Akan
tetapi, jika ingin mengerjakan bagian kurung terlebih dahulu, berilah tanda
kurung seperti ekspresi terakhir.
• Oleh karena itu, ekspresi majemuk yang berada pada tanda kurung
terdalam akan dilaksanakan, atau diproses, lebih awal dari lainnya.
• Operator bynarydisebut left associative. Artinya operator di sebelah kiri
akan didahulukan karena mempunyai hirarki yang lebih tinggi. Sebaliknya,
akan disebut right associative jika operator sebelah kanan yang
dikerjakan terlebih dahulu. Jika perangkainya sama, maka operasi yang
dilakukan pertama adalah left associative.
Tabel Kebenaran
Aturan Pengurutan
• A
Tabel Kebenaran
Aturan Pengurutan
• A
Tabel Kebenaran