Transcript Penzugyek_diasor_8

JELENÉRTÉKSZÁMÍTÁS-TECHNIKA
Jelenértékszámítás-technika




A projekt által termelt pénzáramoknak van valamilyen
időbeli lefutása, mintázata: pénzáramprofil (cash flow
pattern) – ezt ábrázoltuk pénzáramlás diagramos
formában
Vannak „nevezetes” profilok, amikhez „nevezetes”
képletek tartoznak (azaz a profil jelenértéke zárt
alakban megadható)
Egyéb esetekben a profil pontos jelenértéke csak
körülményesen számolható – célszerű közelítésekkel
élni
Ezen formulák és közelítések közül tekintünk most át
néhányat…
Egyszeri pénzáram


Single cash flow, lump sum
Egy tetszőleges N-ik periódus végén bekövetkező F
pénzáram
F
P
1

2
3
4
N
Jelenértéke, P (a már ismert kamatos kamatozás
logikáját tükrözve):
F
P
N
(1  r )
Egyszeri pénzáram – példák


Legalább hány periódus múlva kell, hogy befolyjon egy
F = 100 összegű pénzáram, hogy jelenértéke kisebb
legyen, mint 50, ha a diszkontráta 10%?

Megoldás: 100/(1+0,1)N = 50, amit átrendezve:

N = ln2 / ln1,1 ≈ 7,27, tehát: legalább 8 periódus

(Megjegyzés: bármilyen logaritmust használhattunk volna)
Mekkora diszkontráta mellett lesz egy 8 periódus múlva
befolyó F = 150 összegű pénzáram jelenértéke 90?

Megoldás: 150/(1+r)8 = 90, amit átrendezve:

r = (150/90)1/8 – 1 ≈ 6,59%
Annuitás

Annuity

Egyenletes pénzáramlás-sorozat: azonos összegek
minden periódus végén N perióduson keresztül

Jelenértéke (vö. mértani sor összegképlete):
A
A
A
P

 ... 
2
(1  r ) (1  r )
(1  r ) N
A
0
1
2
3
4
N
 (1  r ) N  1
 A
N 
 r (1  r ) 
Annuitás – példák (I.)

Mekkora egy A = 100 összegű 15 periódus hosszú annuitás
jelenértéke, ha a diszkontráta 12%?



Megoldás: P = 100*[(1+0,12)15 – 1]/[0,12*(1+0,12)15] ≈ 681
Legalább hány periódusig kell, hogy tartson egy A = 50
összegű annuitás, hogy jelenértéke nagyobb legyen, mint
100, ha a diszkontráta 18%?

Megoldás: 50*(1,18N – 1)/(0,18*1,18N) = 100, amit átrendezve:

1 – 1,18-N = 2*0,18, amit tovább rendezve:

N = -ln0,64 / ln1,18 ≈ 2,7, tehát legalább 3 periódus
Melyiket választaná: ma 10 millió Ft vagy 15 éven keresztül
évi 1 millió Ft, ha a diszkontráta 10%?

Megoldás: 1*(1,115 – 1)/(0,1*1,115) ≈ 7,61 < 10, tehát előbbit
Annuitás – példák (II.)

Legalább mekkora A összegűnek kell lenni egy 10 periódus
hosszú annuitásnak, hogy jelenértéke legalább 80 legyen, ha
a diszkontráta 15%?


Megoldás: A*(1,1510 – 1)/(0,15*1,1510) = 80, amiből A ≈ 16
*Egy 12 periódus hosszú A = 75 összegű annuitás jelenértéke
közelítőleg mekkora diszkontráta esetén 750?

Megoldás: 75*[(1+r)12 – 1]/[r*(1+r)12] = 750, átrendezve:

(1+r)12 – 1 = 10*r*(1+r)12, ami egy 13-adfokú egyenlet…

Ha r kicsi (≈0), akkor (1+r)12 ≈ 1+12*r (elsőrendű Taylor-sor)

Így: 12*r = 10*r*(1+12*r) és mivel r ≠ 0: r = 0,2/12 ≈ 1,67%

Ellenőrizzük le: 75*(1,016712 – 1)/(0,0167*1,016712) ≈ 809
Örökjáradék



Perpetuity
Egy annuitás, ami a végtelenségig tart
Jelenértéke (az annuitás formulájának N = végtelenben vett határértéke):
A
A
P

 ...
2
(1  r ) (1  r )
...
A
0
1
2
3
4
A

r
Örökjáradék – példák

Mennyi egy A = 100 összegű örökjáradék
jelenértéke, ha a diszkontráta 20%?
 Megoldás:

Mekkora A összegűnek kell lennie egy
örökjáradéknak, hogy jelenértéke 250 legyen, ha a
diszkontráta 15%?
 Megoldás:

P = 100/0,2 = 500
A/0,15 = 250, amiből A = 37,5
Egy A = 25 összegű örökjáradék jelenértéke
mekkora diszkontráta esetén 100?
 Megoldás:
25/r = 100, amiből r = 25%
Lineárisan növekvő pénzáramsorozat




Linear gradient series
Periódusról periódusra azonos G összeggel
növekvő pénzáramok sorozata
A profilt leíró képlet:
Fn  (n  1)G, n  1
A profil jelenértéke:
(N-1)G
(N-2)G
G
0
1
2
2G
3
3G
4
N-1 N
 (1  r ) N  rN  1 
P  G

2
N
 r (1  r )

Lineárisan növekvő… – példák (I.)


Mennyi a jelenértéke a következő pénzáramsorozatnak: F0 = 0,
F1 = 1000, F2 = 1300, F3 = 1600, F4 = 1900, F5 = 2200 és F6 =
2500, ha a diszkontráta 14%?

Megoldás: észre kell venni, hogy a sorozat két részből tevődik össze:
egy A = 1000 annuitás és egy G = 300 lineáris gradiens 6 perióduson
keresztül

Az annuitás jelenértéke: PA = 1000*(1,146 – 1)/(0,14*1,146) ≈ 3889

A gradiens jelenértéke: PG = 300*(1,146 – 0,14*6 – 1)/(0,142*1,146)
≈ 2475, tehát összesen: 6364
Mekkora A összegű, ugyanolyan időtartamú annuitás
ekvivalens az előző példa pénzáramsorozatával?

Megoldás: A*(1,146 – 1)/(0,14*1,146) = 6364, amiből A ≈ 1637
Exponenciálisan növekvő pénzáramsorozat




Geometric gradient series
Periódusról periódusra azonos g (százalékos)
ütemben növekvő pénzáramok sorozata
A profilt leíró képlet: Fn  F1 (1  g )n1
A profil jelenértéke:
F1(1+g)N-1
F1(1+g)N-2
F1
0 1
F1(1+g)3
F1(1+g)2
F1(1+g)
2
3
4
N-1 N
 1  (1  g ) N (1  r )  N 

 F1 
 ha r  g 
rg

P 

NF1


ha
r

g


1 r
Exponenciálisan növekvő… (II.)

Ha az exponenciális növekedés a végtelenségig tart
(~örökjáradék), akkor a jelenérték (N→∞):
F1
P
, ha r  g
rg


Példák: legyen g = 3% és r = 10%, exp. növ. sorozat
Mekkora a jelenérték, ha F1 = 100 a kezdő pénzáram
és 5 perióduson át tart a sorozat?
 Megoldás:

P = 100*[1 – (1,03/1,1)5]/(0,1 – 0,03) ≈ 400
Mekkorának kell lenni F1 -nek, hogy a jelenérték 320
legyen?
 Megoldás: F1
≈ 320/4 = 80
Exponenciálisan növekvő… (III.)
Példák folyt.
 Ha F1 = 100, legalább hány periódusig kell, hogy tartson
a sorozat, hogy a jelenérték nagyobb legyen, mint 500?


Megoldás: 1 – 500/100*(0,1 – 0,03) = (1,03/1,1)N

N ≈ ln0,65 / ln0,94 ≈ 6,96, tehát 7 periódusig
Ugyanezek a kérdések, csak g = 10%


Megoldások: P = 5*100/1,1 ≈ 455; F1 = 320*1,1/5 ≈ 70; N =
500*1,1/100 ≈ 5,5, tehát 6 periódusig
És ha a sorozat a végtelenségig tart?

Akkor g = 10%-nál a jelenérték nem létezik (végtelen)

P = 100/(0,1 – 0,03) ≈ 1429; F1 = 320*(0,1 – 0,03) = 22,4
Exponenciálisan növekvő… (IV.)
Példák folyt.

A sorozat a végtelenségig tart. Ha F1 = 100 és r =
10%, akkor mekkora g-nél, illetve ha g = 3%, akkor
mekkora r-nél lesz a jelenérték 1250?
 Megoldás:
100/(0,1 – g) = 1250, amiből g = 2%
 Hasonlóképp:
100/(r – 0,03) = 1250, amiből r = 11%
Perióduson belüli pénzáramok (I.)




Intraperiod cash flow
Egy előre meghatározott hosszúságú (pl. egy év)
kamatperióduson (interest period) belül tetszőleges
időpontban jelentkező pénzáram
Az eddig tekintett profiloknál mindig csak a periódusok végén
volt pénzáram
A perióduson belüliség megengedésével a valóság jobban
leírható – pl. egy projektnek a valóságban jellemzően év
közben is vannak pénzáramai
F
P
t
0
1
tF
2
Perióduson belüli pénzáramok (II.)

Lényeges megjegyzés: a definiált kamatperiódus hossza
tetszőleges lehet, így a korábban megismert profilokat
értelmezhetjük éves, havi, heti, stb. szinten egyaránt – azaz
éves, havi, heti, stb. felbontásban adják meg a pénzáramok
alakulását




Ezért is használtam az „év” helyett az általánosabb „periódus”
kifejezést!
Természetesen a diszkontrátát is a periódus hosszára
vonatkoztatva kell megadni – pl. éves felbontású profilhoz
éves diszkontráta
Hogyan válthatjuk át a diszkontrátát a különböző
hosszúságú periódusokra? → kamatos kamatozás logikája
t
t és T azonos mértékegységben!
rt  1  rT T  1
Perióduson belüli pénzáramok (III.)

Példa: ha az éves diszkontráta 12%, akkor mennyi a
negyedéves diszkontráta?



t = 0,25 év, T = 1 év, rt = (1+0,12)0,25/1 – 1 = 2,87%
t = 1 negyedév, T = 4 negyedév, rt = (1+0,12)1/4 – 1 = 2,87%
Vissza a perióduson belüli pénzáram jelenértékéhez, ami
a következőképp adható meg (tF a kamatperiódus
mértékegységében!):
P  F 1  r 
tF

Példa: mekkora egy 17 hónap múlva befolyó F = 100
pénzáram jelenértéke, ha az éves diszkontráta 20%?

Megoldás: P = 100/(1+0,2)17/12 ≈ 77,24
Perióduson belüli pénzáramok (IV.)

A perióduson belüli pénzáram jelenértéke
formulájának bizonyítása (nem kell tudni):

Legyen a kamatperiódus hossza tF, ekkor:
rt F  1  r   1
tF
1

A jelenérték pedig:

P  F 1  rt F



1
Behelyettesítve rtF-et adódik:
→ Ezt állítottuk

P  F 1  r 

t F 1
 F 1  r 
t F
Perióduson belüli pénzáramok (V.)

Nézzünk egy projektet „sok” perióduson belüli pénzárammal:
P
F2
F1
FQ
F5
F3


t1 1
t2 t 3 2
t4 t5 3
P   Fq 1  r 
q 1
F4
…
0
Q
t
n-1
tQ n
A pontos jelenértéket úgy kapnánk, ha egyesével
diszkontálnánk minden pénzáramot, majd jelenértékeiket
összegeznénk
Körülményes, fáradságos → célszerű közelítésekkel élni
t q
Időzítési konvenciók (I.)

Időzítési konvenciók: periódusonként aggregáljunk minden
pénzáramot a periódus egy kitüntetett pontjába!

Periódusvégi konvenció (end-of-period convention): a
periódus minden pénzárama a periódus végére tolva, majd
ezen „aggregált” pénzáramok diszkontálása

Ez a klasszikus, tankönyvi eljárás, ezt csináltuk eddig mi is: csak a
periódusok végén volt pénzáram

Közelítésnél örök dilemma: egyszerűség, praktikusság vs.
pontosság

Kérdés 1: mekkora hibát véthetünk a periódusvégi
konvencióval?

Kérdés 2: javítható-e valamilyen egyszerű módon a
periódusvégi konvenció pontossága?
Időzítési konvenciók (II.)

Ismerkedjünk meg néhány más időzítési konvencióval:
 Periódus-eleji
konvenció (beginning-of-period convention):
a periódus minden pénzárama a periódus elejére tolva
 Periódus-közepi konvenció (mid-period convention):
…közepére tolva
 Egy speciális időzítési konvenció: Harmonikus konvenció
(harmonic convention): periódus-eleji és -végi harmonikus
közepe (Andor és Dülk, 2013a)
 A számtani
és a mértani átlagot is megvizsgáltuk már (Andor és
Dülk, 2013b), de ezekkel most nem foglalkozunk…

Az említett konvenciók mind előállnak a periódusvégi
jelenérték (PE) egyszerű korrekciójával (ld. köv. dián)
Időzítési konvenciók (III.)

A formulák:
PB  PE 1  r 

PM  PE 1  r
1 r
PH  PE
1 r 2
Definiáljuk a relatív hibát (ε) a következőképp:
  Pközelítő Ppontos  1

Kérdés: legyen szó bármilyen tényleges pénzáramprofilról, mekkora az elméletileg elkövethető
lehetséges legnagyobb relatív hiba (LLRH)?

Azaz: legyen szó bármilyen profilról, ennél nagyobb hibát
biztosan nem vétünk az adott konvenció alkalmazásával
Időzítési konvenciók (IV.)

Az említett konvenciókra levezethető, hogy a LLRH
(εmax-szal jelölve):
 H ,max
r
r

<  M ,max  1  r  1 <  E ,max 
<  B ,max  r
2r
1 r
A
sorrend igaz bármely pozitív diszkontrátára
 A harmonikus konvenció minimalizálja a LLRH-t!
 20%-os diszkontráta esetén pl. E: 16,67%, B: 20%,
M: 9,55%, H: 9,09%

Látszik, hogy érdemes korrigálni H-val vagy M-mel,
és a korrekció könnyen elvégezhető…
Időzítési konvenciók (V.)

Mi a helyzet konkrét pénzáramprofilok esetén?

Például ún. PERT-jellegű profilok esetén periódusvégi
konvencióra:
r
Időzítési konvenciók (VI.)

Továbbra is PERT: harmonikus konvenció és a
konvenciók összevetése:
r
r
Időzítési konvenciók (VII.)

Leolvashatók a konvenciók hibái, így a pontos jelenérték
megadható a nomogramok segítségével:
Ppontos
Pközelítő

1 

Általánosságban megállapítható: a harmonikus (és a periódusközepi) konvenció hibája jellemzően < 5% → elfogadhatóan
pontosak

PE mindig alulbecsül: jó projekt elvetésének veszélye!

Záró megjegyzés: figyelem! Az említett konvenciók csak a jelenértékre (PV) alkalmazhatók, a nettó jelenértékre (NPV = -F0 + PV)
közvetlenül nem!

Mert F0 egy „speciális”, konvención kívüli pénzáram
Konvenciók – példák (I.)

Egy projekt 20 perióduson keresztül minden periódusban
összesen 100 összegű pénzáramot termel, a diszkontráta
25%.

Mekkora a projekt jelenértéke periódusvégi, -eleji, -közepi, és
harmonikus konvencióval?

Legfeljebb mekkora hibát véthetünk ezen konvenciók
alkalmazásával?

Mekkora a pontos jelenérték, ha a pénzáramok mintázata
minden periódusban PERT-jellegű, c = 0,55 paraméterrel?
(nomogram mellékelve)

A pontos jelenérték fényében melyik konvenció a legpontosabb?

Mi az egyes konvenciók szerint a projekt megvalósítandóságáról
szóló döntés, ha a kezdő beruházási összeg F0 = 420?
Konvenciók – példák (II.)

Megoldások:








Periódusvégi jelenérték: az ismert annuitás-képlettel: PE =
100*(1,2520 – 1)/(0,25*1,2520) ≈ 395
Periódus-eleji jelenérték: PB = PE *1,25 = 494
Periódus-közepi jelenérték: PM = PE *1,251/2 = 442
Harmonikus jelenérték: PH = PE *1,25/1,125 = 439
LLRH-k: E: 0,25/1,25 = 20%; M: 1,251/2 – 1 = 11,8%; B: 0,25 =
25%; H: 0,25/2,25 = 11,1%
Nomogramon c = 0,55 és r = 25% kombináció: E: -10%, amiből
Ppontos = 395/(1 – 0,1) = 439
Ebből látszik, hogy jelen esetben a harmonikus konvenció a
legpontosabb (éppen mondjuk teljesen pontos…)
A periódusvégi kivételével mindegyiknél pozitív az NPV, tehát a
projekt megvalósítandó (és valóban, mert 439 – 420 = 19 > 0)
Konvenciók – példák (III.)

Adott két pénzáram és időzítéseik: F1 = 70, F2 = 110
és t1 = 0,4 év, t2 = 9,6 hónap, és a negyedéves
diszkontráta 4,66%.

Mekkora a pénzáramok jelenértéke periódusvégi,
periódus-eleji, -közepi, és harmonikus konvencióval?

Mekkora a pontos jelenérték?

Mekkora a periódusvégi, illetve a harmonikus konvenció
hibája?
Konvenciók – példák (IV.)

Megoldás:

Átváltások azonos időmértékegységre (most: évre):
 t2 =

9,6/12 = 0,8 év
Éves diszkontráta r = (1+0,0466)4 – 1 = 20%

PE = (70+110)/(1+0,2) = 150

PB = 150*(1+0,2) = 180

PM = 150*(1+0,2)0,5 = 164,32

PH = 150*(1+0,2)/(1+0,2/2) = 163,64

Ppontos = 70*(1+0,2)-0,4 + 110*(1+0,2)-0,8 = 160,15

A hibák pedig: E: 150/160,15 – 1 = -6,3% és H: 163,64/160,15
– 1 = +2,2%