Transcript f - Choopan Rattanapoka

FUNCTION
030513122 - Discrete Mathematics
Asst. Prof. Dr. Choopan Rattanapoka
บทนำ

ั ทีน
่
รูปแบบของฟั งก์ชน
่ ่ำจะเคยเห็นกันมำบ ้ำงแล ้ว เชน
f(x,y) = x+y
 f(x)
=x
 f(x)
= sin(x)



แต่ในวิชำนีจ
้ ะเรียนเกีย
่ วกับกำรนนิยำม domains และ
ranges
ั ในอยู่
เพรำะฉะนั น
้ เรำอำจจะไม่จำเป็ นต ้องเขียนฟั งก์ชน
ในรูปแบบสวยหรูเหมือนข ้ำงต ้น
คำนิยำมของ Function

ั f
คำนิ ยำม: ฟั งก์ชน
จำก set A ไป set B
ิ B เพียงค่ำเฉพำะค่ำเดียว (exactly
 คือกำรกำหนดค่ำของสมำชก
ิ ของ A
one) ไปยังแต่ละสมำชก




เรำสำมำรถเขียน f(a) = b ถ ้ำ b เป็ นค่ำเฉพำะทีเ่ ป็ น
ิ ของ B ทีถ
ั ของค่ำ a เมือ
สมำชก
่ ก
ู กำหนดโดยฟั งก์ชน
่ a
A.
รู ปแบบสัญลักษณ์: f: A  B อ่ำนได ้ว่ำ ‘f maps A to B’
ข้อควรจำ

ิ ทุกตัวของ A จะมีกำร mapping เพียงค่ำเดียว ( single
สมำชก
mapping )
ั
แบบฝึ กหัด: กำรกำหนดฟั งก์ชน

กำหนดให ้ A={1, 2, 3, 4} และ B={0, 1, 2, 3, 4}
ั
จงหำว่ำ f, g, h ข ้อใดเป็ นฟั งก์ชน
 f = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)}
 g = {(1,1), (2,0), (3,2), (4,1), (2,4)}
 h = {(1,4), (2,2), (3,0)}
ั ท์ทค
คำศพ
ี่ วรรู ้

ั ท์
กำหนด f: A  B และ f(a)=b แล ้วเรำจะใชค้ ำศพ
ได ้ดังนี:้
เรียกว่ำเป็ น domain ของ f, สำมำรถเขียนย่อได ้ว่ำ
dom(f)
 B เรียกว่ำเป็ น co-domain ของ f
 b เป็ น image ของ a
 a เป็ น preimage (antecedent) ของ b
ิ ใน A,
 range ของ f เป็ น set ของทุก image ของสมำชก
ย่อว่ำ rng(f)
A
Function: Visualization
Range
Preimage
Image,
f(a)=b
f
a
b
B
A
Domain
Co-Domain
A function, f: A  B
แบบฝึ กหัด

กำหนด f: Z  R โดยที่ f(x) = x2
 จงหำ
dom(f) และ co-domain(f)
 จงหำ image ของ -3
 จงหำ pre-image ของ 3
 จงหำ pre-image ของ 4
 จงหำ rng(f)
คำนิยำมเพิม
่ เติม (1)

ั จำก
คำนิ ยำม: กำหนดให ้ f1 และ f2 เป็ น 2 ฟั งก์ชน
ั จำก
set A to R, แล ้ว f1+f2 และ f1f2 ก็จะเป็ นฟั งก์ชน
่ กัน
A ไปยัง to R เชน
 (f1+f2)(x)
= f1(x) + f2(x)
 f1f2(x)= f1(x)f2(x)

ตัวอย่ำง: กำหนด f1(x)=x4+2x2+1 and f2(x)=2-x2
= x4+2x2+1+2-x2 = x4+x2+3
 f1f2(x) = (x4+2x2+1)(2-x2)= -x6+3x2+2
 (f1+f2)(x)
คำนิยำมเพิม
่ เติม (2)



คำนิ ยำม: กำหนด f: A B และ S A. Image ของ
set S จะเป็ น subset ของ B ทีป
่ ระกอบด ้วยทุกค่ำ image
ของ S. ดังนัน
้ เรำสำมำรถเขียนย่อ image ของ S ด ้วย
f(S), โดยที่
f(S)={ f(s) |  s  S }
ข้อควรระวัง: image ของ S จะเป็ น set ไม่ใชเ่ ป็ น
ิ
สมำชก
ต ัวอย่ำง:
 A = {a1,a2,a3,a4,a5}, B = {b1,b2,b3,b4,b5}
 f={(a1,b2), (a2,b3), (a3,b3), (a4,b1), (a5,b4)}, S={a1,a3}
 จงเขียนแผนผังของ f
คำนิยำมเพิม
่ เติม (3)

ั f ทีซ
คำนิ ยำม: ฟั งก์ชน
่ งึ่ domain และ co-domain
เป็ น subsets of ของ set จำนวนจริง (R) จะเรียกว่ำ
increasing ถ ้ำ f(x)<f(y) เมือ
่ x<y และ x และ y
อยูใ่ น domain ของ f
 strictly decreasing ถ ้ำ f(x)>f(y) เมือ
่ x<y และ x และ y
อยูใ่ น domain ของ f
 strictly

ั ทีม
ฟั งก์ชน
่ ก
ี ำรเพิม
่ -ลดค่ำ จะเรียกว่ำ monotonic
ั : Injection
ประเภทของฟั งก์ชน

ั f จะถูกเรียกว่ำ one-to-one หรือ
คำนิ ยำม: ฟั งก์ชน
injective (หรือinjection) ถ ้ำ
 x,y ใน domain ของ f, f(x)=f(y)  x=y


ิ ใน range จะ
ภำษำบ ้ำนๆ คือ injection หมำยถึงสมำชก
มี preimage ได ้มำกสุดแค่ 1 ค่ำ
ตัวอย่ำง :
ั f จำก {a, b, c, d} ไปยัง {1, 2, 3, 4, 5} โดยที่ f(a) =
ฟั งก์ชน
ั แบบ one-to4, f(b) = 5, f(c) = 1, and f(d) = 3 เป็ น ฟั งก์ชน
one.
ั f จำก Z ไปยัง Z โดยที่ f(x) = x2 เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ
 ฟั งก์ชน
one-to-one หรือไม่ ?

ั : Surjection
ประเภทของฟั งก์ชน

ั f: AB จะถูกเรียกว่ำ onto หรือ
คำนิ ยำม: ฟั งก์ชน
surjective (หรือ surjection) ถ ้ำ
bB, aA with f(a)=b


ิ
ควำมหมำยง่ำยๆ คือ surjection หมำยถึงทุกๆ สมำชก
้ range จะมีคำ
ใน co-domain จะถูก ma ดังนัน
่ เท่ำกับ
co-domain
ั ต่อไปนีเ้ ป็ น surjection
ตัวอย่ำง: จงหำว่ำฟั งก์ชน
หรือไม่
ั จำก {a, b, c, d} ไป {1, 2, 3} โดยf(a) =
กำหนด f เป็ นฟั งก์ชน
3,
f(b) = 2, f(c) = 1, และ f(d) = 3
ั f จำก Z ไปยัง Z โดยที่ f(x) = x2
 ฟั งก์ชน

ั : Bijection
ประเภทของฟั งก์ชน



ั f จะเป็ น bijection, ถ ้ำ f เป็ นทัง้ ฟั งก์ชน
ั
คำนิ ยำม: ฟั งก์ชน
injection และ surjection
ั bijection มีควำมสำคัญเนือ
ั ที่
ฟั งก์ชน
่ งจำกจะเป็ นฟั งก์ชน
ั inverse ได ้
สำมำรถหำฟั งก์ชน
ั จำก {a, b, c, d} ไป {1, 2, 3, 4} โดย
ต ัวอย่ำง: ให ้ f เป็ นฟั งก์ชน
ั
f(a) = 4, f(b) = 2, f(c) = 1และ f(d) = 3. จงหำว่ำ f เป็ นฟั งก์ชน
แบบ bijection หรือไม่?
 ตรวจสอบว่ำเป็ น injection หรือไม่ จะเป็ นได ้ว่ำไม่มค
ี ำ่ ไหน
ใด domain ที่ map ไปยังค่ำใน co-domain ซ้ำกัน ดังนัน
้ f
เป็ น injection
ิ ทุกตัว
 ตรวจสอบว่ำเป็ น surjection โดยจะเห็นได ้ว่ำ สมำชก
ใด co-domainถูก map ทัง้ หมด (range = co-domain)
ดังนัน
้ f เป็ น surjection
มำทำแบบฝึ กหัดด ้วยกัน (1)
A

a1
b1
a2
b2
a3
a4
b3
b4
B
ั หรือไม่?
f: A  B จำกรูปข ้ำงต ้นเป็ นฟั งก์ชน
เพรำะอะไร?
มำทำแบบฝึ กหัดด ้วยกัน (2)
A

a1
b1
a2
b2
a3
a4
b3
b4
B
f: A  B จำกภำพข ้ำงต ้น จงหำว่ำ
ั ประเภท injection หรือไม่? เพรำะอะไร?
เป็ นฟั งก์ชน
ั ประเภท surjection หรือไม่? เพรำะอะไร?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั ประเภท bijection หรือไม่? เพรำะอะไร?
 f เป็ นฟั งก์ชน
f
มำทำแบบฝึ กหัดด ้วยกัน (3)
A

a1
b1
a2
b2
a3
b3
b4
B
f: A  B จำกภำพข ้ำงต ้น จงหำว่ำ
ั ประเภท injection หรือไม่? เพรำะอะไร?
เป็ นฟั งก์ชน
ั ประเภท surjection หรือไม่? เพรำะอะไร?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั ประเภท bijection หรือไม่? เพรำะอะไร?
 f เป็ นฟั งก์ชน
f
มำทำแบบฝึ กหัดด ้วยกัน (4)
A

a1
b1
a2
b2
a3
a4
b3
B
f: A  B จำกภำพข ้ำงต ้น จงหำว่ำ
ั ประเภท injection หรือไม่? เพรำะอะไร?
เป็ นฟั งก์ชน
ั ประเภท surjection หรือไม่? เพรำะอะไร?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั ประเภท bijection หรือไม่? เพรำะอะไร?
 f เป็ นฟั งก์ชน
f
มำทำแบบฝึ กหัดด ้วยกัน (5)
A

a1
b1
a2
b2
a3
a4
b3
b4
B
f: A  B จำกภำพข ้ำงต ้น จงหำว่ำ
ั ประเภท injection หรือไม่? เพรำะอะไร?
เป็ นฟั งก์ชน
ั ประเภท surjection หรือไม่? เพรำะอะไร?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั ประเภท bijection หรือไม่? เพรำะอะไร?
 f เป็ นฟั งก์ชน
f
มำทำแบบฝึ กหัดด ้วยกัน (6)


กำหนด f:ZZ โดย f(x)=2x-3
 จงหำ domain, co-domain และ range ของ f?
ั แบบ one-to-one หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ onto หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ bijection หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
กำหนด f:NN โดย f(x)=2x-3
 จงหำ domain, co-domain และ range ของ f?
ั แบบ one-to-one หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ onto หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ bijection หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
มำทำแบบฝึ กหัดด ้วยกัน (7)


กำหนด f:ZZ โดย f(x) = x2 - 5x + 5
ั แบบ one-to-one หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ onto หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ bijection หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
กำหนด f:ZZ โดย f(x) = f(x) = 2x2 + 7x
ั แบบ one-to-one หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ onto หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ bijection หรือไม่?
 f เป็ นฟั งก์ชน
Inverse Functions (1)



ั แบบ
คำนิ ยำม: กำหนด f: AB เป็ นฟั งก์ชน
ั inverse ของ f คือฟั งก์ชน
ั ที่
bijection, ฟั งก์ชน
ิ bB ไปยัง aAทีไ่ ม่ซำ้ กัน
กำหนดค่ำของสมำชก
ใน f(a)=b
ั inverse เขียนย่อด ้วย f-1
ฟั งก์ชน
ั แบบ bijection, ฟั งก์ชน
ั inverse คือ
เมือ
่ f เป็ นฟั งก์ชน
f(a)=b  f-1(b)=a
Inverse Functions (2)

ั แบบ bijective ถึงจะมี
ทำไมต ้องเป็ นฟั งก์ชน
ั inverse?
ฟั งก์ชน
ั แบบ injection ซงึ่
f ไม่เป็ นฟั งก์ชน
ิ bB ใน co-domain จะมี
หมำยควำมว่ำบำงสมำชก
่ a1 และ a2 ดังนัน
pre-image มำกกว่ำ 1 ค่ำ เชน
้ ทำ
ั inverse ได ้เพรำะไม่ทรำบว่ำ
ให ้ไม่สำมำรถมีฟังก์ชน
f-1(b) จะเท่ำกับ a1 หรือ a2
ั แบบ surjection ซงึ่
 พิจำรณำถ ้ำ f ไม่เป็ นฟั งก์ชน
ิ bB ไม่ม ี pre-image
หมำยควำมว่ำบำงสมำชก
aA ทำให ้ไม่สำมำรถหำค่ำของ f-1(b) ได ้
 พิจำรณำถ ้ำ
Inverse Functions: Representation
f(a)
a
b
f -1(b)
A
Domain
B
Co-Domain
A function and its inverse
Inverse Functions: ตัวอย่ำงที่ 1
กำหนด f:RR โดย f(x) = 2x – 3
 จงหำ f-1?
ั แบบ
1. ต ้องมั่นใจก่อนว่ำ f เป็ นฟั งก์ชน
bijection.
2. หำ inverse ด ้วยวิธก
ี ำรแทนที่




f(x) = y ดังนัน
้ f-1(y) = x
เมือ
่ y=2x-3, ก็สำมำรถค่ำหำได ้ว่ำ x=
(y+3)/2
ดังนัน
้ f-1(y)= (y+3)/2
Inverse Functions: ตัวอย่ำงที่ 2
กำหนด f(x)=x2. จงหำ f-1?
 กำหนดให ้ domain กับ co-domain คือ f:RR

ั แบบ
 เป็ นฟั งก์ชน
 ไม่เพรำะ

bijection หรือไม่?
่ f(-2) = f(2) = 4
เชน
ถ ้ำกำหนด f: A B ที่
A={xR |x0} และ B={yR | y0}
ั แบบ bijection หรือไม่ ?
 เป็ นฟั งก์ชน
Inverse Functions: ตัวอย่ำงที่ 2 (ต่อ)




ั inverse, กำหนด
เพือ
่ จะหำฟั งก์ชน
 f-1(y)=x
 y=x2
แก ้สมกำรหำค่ำ x, จะได ้ว่ำ x=y
แต่เนือ
่ งจำก dom(f) กำหนดไว ้ว่ำสำหรับค่ำลบเท่ำนัน
้
และ rng(f) จะมีคำ่ บวกเท่ำนัน
้ ดังนัน
้ x ต ้องมีคำ่ ลบ ซงึ่
ก็คอ
ื
f-1(y)= -y
จำกตัวอย่ำงนีจ
้ ะเห็นได ้ domains และ co-domains มี
ั
ควำมสำคัญมำกกับฟั งก์ชน
Inverse Functions: ตัวอย่ำงที่ 3

กำหนด f(x)=2x
ั ควรจะเป็ นยังไง
ของฟั งก์ชน
ั เป็ น bijection?
เพือ
่ ให ้ฟั งก์ชน
ั inverse คืออะไร?
 ฟั งก์ชน
 domain/codomain
ั ควรเป็ น f:RR+
เฉลยคำตอบแรกให ้ : ฟั งก์ชน
 ถ ้ำเพิม
่ 0 ใน codomain จะเกิดอะไรขึน
้ ?
 ถ ้ำเปลีย
่ น domain หรือ co-domain เป็ น Z จะ
เกิดอะไรขึน
้ ?

Function Composition (1)



ั หนึง่ สำมำรถจะใชเป็
้ น input ของอีก
ค่ำของฟั งก์ชน
ั ได ้
ฟั งก์ชน
ั
คำนิ ยำม: กำหนด g:AB และ f:B C. ฟั งก์ชน
composition ของ f และ g คือ
(f  g) (x)=f(g(x))
f  g อ่ำนว่ำ ‘f circle g’ หรือ ‘f composed with g’ หรือ
‘f following g’, หรือ ‘f of g’
Function Composition (2)



ั composition f  g
เนือ
่ งจำก (f  g)(x)=f(g(x)), ฟั งก์ชน
สำมำรถกำหนดได ้ก็ตอ
่ เมือ
่ range ของ g เป็ น subset
ใน domain ของ f
f  g is defined  rng(g)  dom(f)
ั มีควำมหมำย: โดยจะทำจำกภำยใน
ลำดับ ของฟั งก์ชน
สุดก่อน
ดังนัน
้ หมำยควำมว่ำ f  g ไม่เหมือนกับ g  f
Composition: Graphical Representation
(f
rng(g)
g(a)
a
domain(g)
 g)(a)
g(a)
co-domain(g)
f(g(a))
g(a)
domain(f)
The composition of two functions
f(g(a))
Composition: Graphical Representation
(f
 g)(a)
f(g(a))
g(a)
a
A
g(a)
f(g(a))
B
C
The composition of two functions
Composition: ตัวอย่ำงที่ 1

ั บน RR และนิยำมไว ้ดังนี้
กำหนด f, g เป็ น 2 ฟั งก์ชน
f(x) = 2x – 3
g(x) = x2 + 1


จงหำ f  g และ g  f
ก่อนทีจ
่ ะหำค่ำจะต ้องพิจำรณำก่อนว่ำสำมำรถหำได ้
หรือไม่
f เป็ น bijective, ดังนัน
้ dom(f)=rng(f)= codomain(f)= R
 g มี dom(g)= R แต่ rng(g)={xR | x1}  R+
 เนือ
่ งจำก rng(g)={xR | x1} R+  dom(f) =R, f  g จึง
สำมำรถหำค่ำได ้
 เนือ
่ งจำก rng(f)= R  dom(g) =R , g  f ก็สำมำรถหำได ้

Composition: ตัวอย่ำงที่ 1 (ต่อ)



จำกโจทย์ f(x) = 2x – 3 และ g(x) = x2 + 1
(f  g)(x) = f(g(x))
= f(x2+1) = 2(x2+1)-3
= 2x2 - 1
(g  f)(x) = g(f(x))
= g(2x-3)
= (2x-3)2 +1
= 4x2 - 12x + 10
ั
ข ้อมูลเพิม
่ เติมเกีย
่ วกับฟั งก์ชน

ั กำหนดฟั งก์ชน
ั f และ g
กำรเท่ำกันของฟั งก์ชน
จะเท่ำกันก็ตอ
่ เมือ
่
 dom(f)
= dom(g)
  a dom(f) (f(a) = g(a))

ั composition ไม่ commutative (f  g  g
ฟั งก์ชน
 f), แต่ associative
(f  g)  h = f  (g  h)
ั ทีส
ฟั งก์ชน
่ ำคัญ: Identity


ั identity บน set A คือฟั งก์ชน
ั
คำนิ ยำม: ฟั งก์ชน
: AA
กำหนดด ้วย (a)=a สำหรับทุกค่ำ aA.
ั identity:
คุณสมบัตข
ิ องฟั งก์ชน
 (a) = (f  f-1)(a) = (f-1  f)(a)
 (f   )(a) = (  f)(a) = f(a)
Inverses and Identity


ั identity และกำร composition สำมำรถทำให ้
ฟั งก์ชน
ั inverses ได ้อีกหนึง่
เรำกำหนดคุณลักษณะของฟั งก์ชน
รูปแบบ
ั f: AB และ g: BA จะมี inverses
Theorem: ฟั งก์ชน
ก็ตอ
่ เมือ
่
(g  f) = A and (f  g) = B
ั ของ sets A และ B. นั่นคือ,
โดยที่ A และ B เป็ นฟั งก์ชน
aA, bB ( (g(f(a)) = a)  (f(g(b)) = b) )
ั ทีส
ฟั งก์ชน
่ ำคัญ: Absolute Value

ั absolute value ย่อด ้วย x เป็ น
คำนิ ยำม: ฟั งก์ชน
ั f ที่ f: R {y R | y  0}. โดยค่ำของ
ฟั งก์ชน
ั นิยำมดังนี้
ฟั งก์ชน
x ถ ้ำ x  0
x =
-x ถ ้ำ x < 0
ั ทีส
ฟั งก์ชน
่ ำคัญ: Floor & Ceiling
y
3

2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
4
5
x
-2
-3
ั floor
คำนิ ยำม: ฟั งก์ชน
เขียนย่อด ้วย x, เป็ น
ั RZ ค่ำทีไ่ ด ้คือค่ำ
ฟั งก์ชน
ของจำนวนเต็มทีม
่ ำกทีส
่ ด
ุ ที่
น ้อยกว่ำหรือเท่ำกับ x
3
2

ั
คำนิ ยำม: ฟั งก์ชน
ceiling เขียนย่อด ้วย x,
ั RZ ค่ำที่
เป็ นฟั งก์ชน
ได ้คือค่ำของจำนวน
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
แบบฝึ กหัดทำสง่ (1)

ั f: Z  Z จงหำว่ำ
กำหนดให ้ f เป็ นฟั งก์ชน
ั ด ้ำนล่ำงเป็ นฟั งก์ชน
ั แบบ one-to-one,
ฟั งก์ชน
onto, และ bijection หรือไม่
=n−1
 f(n) = n2 + 1
 f(n) = n3
 f(n) = n/2
 f(n)
แบบฝึ กหัดทำสง่ (2)

จงหำ f ◦ g และ g ◦ f เมือ
่
= x2 + 1
 g(x) = x + 2
ั เป็ นฟั งก์ชน
ั จำก R ไป R
 โดยทัง
้ 2 ฟั งก์ชน
 f(x)

กำหนด f(x) = x2/3 จงหำ f(S) เมือ
่
S
={−2,−1, 0, 1, 2, 3}.
 S ={0, 1, 2, 3, 4, 5}.
 S ={1, 5, 7, 11}.
 S ={2, 6, 10, 14}.