Transcript modely ARCH a GARCH.

Finančné časové rady – modely ARCH a
GARCH.
Modely , s ktorými sme sa doteraz zaoberali boli svojou podstatou lineárne, alebo ich bolo
možné linearizovať jednoduchou transformáciou (logaritmickou). Mnoho vzťahov,
predovšetkým vo finančnej ekonometrii je však nelineárne svojou povahou napr. závislosť
opčnej prémie na príslušných vstupoch, vzťah výnosu a rizika...
Špeciálne modely časových radov vychádzajúce z Box – Jenkinsovej metodológie nie sú
schopné zohľadniť niektoré typické vlastnosti finančných časových rodov ako napr.:
• leptokurtické rozdelenia, sú rozdelenia viac špicatejšie okolo stredu, pričom na
koncoch je ich hustota väčšia a v ramenách menšia „užší pás tučné konce“(fat tails)“,
• zhlukovanie rozptylu (volatility clustering), jedná sa o tendencie finančných časových
radov k zhlukovaniu vysokých a nízkych volatilít, resp. veľké a malé výkyvy (výbuchy –
burts)
Volatilita označuje mieru kolísania hodnoty aktíva alebo jeho výnosovej miery (obvykle ako smerodajnú odchýlku týchto zmien v priebehu
určitého časového úseku). Volatilita vyjadruje mieru rizika investície do určitého aktíva, obvykle sa prepočítava na ročnú volatilitu a môže sa
udávať buď v absolútnych hodnotách či relatívne. U finančných inštrumentov rastie volatilita s odmocninou časového úseku, na ktorom je
meraná.
Historická volatilita označuje hodnotu volatility vypočítanú na základe historických dát (ex-post). Implikovaná volatilita označuje trhom očakávanú
volatilitu do budúcna (ex-ante). Od implikovanej volatility sa odvíja trhová ceny opcie.
Všeobecne je tento pojem používaný tiež pre vyjadrenie nestálosti či zmeny.
Definícia
Ročná volatilita σ je smerodajná odchýlka σ logaritmov výnosov aktíva v priebehu 1 roku.
Všeobecná volatilita σT pre časový úsek T v rokoch je vyjadrená ako:
.
T   T
• pákový efekt (laverage effect), tento jav súvisí s kolísaním volatility v čase, s čím sa
lineárne modely nevedia uspokojivo vyrovnať, konkrétne sa jedná o tendenciu
volatility zväčšiť sa viac po cenovom poklese ako po cenovom náraste rovnakej
veľkosti.
Klasifikácia nelineárnych modelov časových radov
Pokiaľ sa obmedzíme na rýdzo stochastické (purely stochastic) modely časových radov (tj.
Bez deterministických trendov a periodicít), potom za všeobecný zápis nelineárneho modelu
je možné použiť:
y t  f  u t , u t 1 , u t  2 , ...  ,
1.
Kde f je nelineárna funkcia nekorelovaných, rovnako rozdelených náhodných veličín 𝑢𝑡
s nulovou strednou hodnotou označovanou podľa kontextu ako chyby predpovedí,
odchýlky od podmienenej strednej hodnoty, šoky, inovácie a pod... Nelineárny proces vo
všeobecnom tvare (1.) však nie je priamo aplikovateľný, preto lebo obsahuje neobmedzený
počet parametrov. Preto sa v literatúre dáva prednosť špecifickejšiemu tvaru zapísanému
pomocou podmienených momentov prvých dvoch rádov. Veď už stacionárny proces AR(1)
je možné zapísať pomocou podmienenej strednej hodnoty:
E  y t y t 1    1 y t 1
2.
Všeobecne je možné v čase t podmieňovať všetku informáciu 𝛺𝑡−1 známu do času t – 1.
Pre názornosť si môžeme predstaviť, že túto minulú informáciu generujú všetky minulé
hodnoty  y , y , ... a  u , u , ... a vhodné funkcie týchto hodnôt (všeobecne sa takýto
priestor označuje ako 𝜎 − algebra generovaná uvedenou množinou hodnôt).
t 1
t2
t 1
t2
Vzhľadom k obmedzeniu na prvé dva momenty sa pracuje s podmienenou strednou hodnotou
µ , a podmieneným rozptylom  t2 v tvare nelineárnych funkcií s informáciou 𝛺𝑡−1
 t  E  y t  t 1   g   t 1  ,
 t  h t  var  y t  t 1   h   t 1 
2
3.
kde g a h sú vhodné funkcie. Zodpovedajúci všeobecný zápis nelineárneho procesu ktorý sa
vo finančnej ekonometrii používa má tvar:
y t   t   t . t   t 
h t . t  g   t 1  
h   t 1  . t
4.
Kde 𝜀𝑡 sú náhodné veličiny s nulovou strednou hodnotou a jednotkovým rozptylom. Je
zrejmé, že platí:
𝑢𝑡 = 𝜎𝑡 . 𝜀𝑡
5.
Náhodné veličiny 𝑢𝑡 sú síce nekorelované, ale na rozdiel od 𝜀𝑡 nie sú nezávislé.
Uvažovaný model (3.) je teda určený dvomi rovnicami: prvá je tzv. rovnica strednej hodnoty
(mean equation), a druhá je rovnica volatility (volatility equation). Podľa typu týchto rovníc
sa nelineárne procesy klasifikujú ako:
• Nelineárne v strednej hodnote (nonlinear in mean) majú nelineárnu funkciu g,
• Nelineárne v rozptyle (nonlinear in variance) majú nelineárnu funkciu h, veľmi často sa
označujú ako procesy s podmienenou heteroskedasticitou (conditional
heteroskedasticity).
Obe kategórie sa kombinujú a členia na veľké množstvo špecifických procesov, napr. lineárne
modely BOX – Jenkinsovej metodológie sú špeciálnym prípadom s lineárnou funkciou g a h.
Modelovanie volatility.
Historická volatilita a modely EWMA
Jedná sa o najstarší prístup k volatilite, ktorá sa pôvodne odhadovala väčšinou ako výberový
rozptyl alebo smerodajná odchýlka cez určité historické obdobie (preto historická volatilita)
tj.:
t
ˆ
2
t

  y
 ˆ t 
  t  k 1
k 1
t
2
kd e
ˆ t 

  t  k 1
yt
6.
k
Pragmatickým rozšírením predchádzajúceho prístupu sú modely EWMA (exponentially
weigted moving average). Najpoužívanejší EWMA - model volatility predstavuje analógiu
jednoduchého exponenciálneho vyrovnávania pre volatilitu. Na rozdiel od výpočtu
historickej volatility sa tu „váži“ tým spôsobom, že váhy klesajú exponenciálne do minulosti.
To má v porovnaní s historickou volatilitou rad praktických výhod:
• V praxi býva volatilita skutočne viac ovplyvňovaná aktuálnymi pozorovaniami, ktoré sú v
EWMA modeloch zdôraznené väčšími váhami, ako pozorovania z minulosti s nižšími
váhami,
• V EWMA modeloch sa samovoľne redukuje problém odľahlých pozorovaní s abnormálnou
veľkosťou, kedy vplyv takých pozorovaní pretrváva v nezmenenej intenzite dlhšiu dobu aj
keď sa finančný trh už dávno ukľudnil.
V priamej analógii na modely exponenciálneho vyrovnania sa volatilita pri prístupe EWMA
odhaduje ako:

ˆ   1     
2
t
j
 y t  j  y   1     y t  j  y    ˆ t 1
2
2
2
7.
j0
Kde odhadnutá volatilita 𝜎𝑡2 je zároveň predpoveďou budúcej volatility v čase t, 𝑦 je
priemerná úroveň daného časového radu a 𝜆 (0 < 𝜆 < 1) je vopred známa diskontná
konštanta.
Prielomom smerujúcim k systematickému modelovaniu volatality bolo použitie modelov
ARCH – autoregresnej podmienenej heteroskedasticity (autoregressive conditional
heteroscedasticity) aplikovaný Engelom (1982) na modelovanie inflácie v UK.
Modely tohto typu a predovšetkým ich zovšeobecnenie na modely GARCH zovšeobecnenej
autoregresnej
podmienenej
heteroskedasticity
(generalized
autoregressive conditional heteroscedasticity) , ktoré dnes predstavujú asi najúplnejší
nástroj pre modelovanie finančných časových radov, ktorý nebol doteraz prekonaný.
Vychádza z dvoch predpokladov:
• Modely finančných časových radov sú heteroskedastické, tj. s volatilitou meniacou sa v
čase ,
• Volatilita je jednoduchou kvadratickou funkciou minulých chýb predpovedí (odchýliek od
podmienenej strednej hodnoty) 𝑢𝑡 .
Vysvetlenie vyžaduje len druhý predpoklad (prvý je dostatočne podporený finančnou
empíriou). Vzhľadom k fenoménu zhlukovania volatility, kedy väčšie (resp. menšie) výkyvy v
danom finančnom rade je možné očakávať skôr po väčších (resp. menších) výkyvoch je
možné považovať volatility za pozitívne autokorelované, a ako najjednoduchší pre jeho
2
modelovanie zvoliť autoregresný model. Na viac je 𝐸 𝑢𝑡 = 0, takže podľa (3.) pre  t
platí:
2
2
2
8.
  var  u    E  u    e
t
t
t 1
t
t 1
t
Tým pádom pre finančné časové rady sa stáva realistickým vzťah pre vhodne zvolené :
 t   0   1u t 1  ...   m u t  t  m
2
2
2
9.
ktorý predstavuje volatilitu ako jednoduchú kvadratickú funkciu oneskorených hodnôt 𝑢𝑡 . Za
povšimnutie stojí, že vzťah 9. je bez náhodnej zložky ide o nestochastickú závislosť.
Na základe predchádzajúcich úvah je možné prikročiť k všeobecnému zápisu nelineárneho
modelu 4. a formulovať model ARCH(m) rádu m v tvare:
yt   t  ut
u t   t . t
 t   0   1u t 1  ...   m u t  t  m
2
2
2
10.
kde 𝜀𝑡 sú náhodné poruchy s nulovou strednou hodnotou a jednotkovým rozptylom, často sa
predpokladá N(0,1). Podmienená stredná hodnota 𝜇𝑡 je modelovaná pomocou vhodne
zvolenej rovnice, často lineárnej, niekedy zredukovanú na aditívnu konštantu (intercept),
inokedy volíme ARMA proces...
Maticovým rozšírením model 10.
yt   t  ut
u t   t . t
 t   0  ( u t 1 ,..., u t  m ) A ( u t 1 ,..., u t  m ) ,
2
T
Kde sa okrem 𝛼0 > 0 požaduje aby matica A bola pozitívne semidefinítna (matica je
diagonálna s nezápornými diagonálnymi prvkami.
11.
Identifikácia rádu modelu ARCH.
Rád m je možné identifikovať ako bod odseknutia odhadutého parciálneho korelogramu v
modeli:
2
2
2
12.
e     e  ...   e
u
t
0
1 t 1
m
ttm
t
kde 𝑢𝑡 je klasický „biely šum“ , (tj. rovnakým spôsobom ako pre klasický AR model v rámci
Box - Jenkinsovej metodológie. Pri príliš veľkom ráde m Engle (1982) používať namiesto 9.
úsporný model s m = 4, ale len s dvoma parametrami
2
2
2
2
2
13.
 t   0   1 (0, 4. e t 1  0, 3. e t  2  0, 2. e t  3  0,1. e t  4 )
Odhady modelov ARCH(m) je najčastejšie vykonávaný pomocou ML – odhadov.
Z odhadnutého modelu je možné okrem iného získať:
• Vypočítané odchýlky 𝑒𝑡 (chyba jednokrokovej predpovede pre čas t
• Vypočítané volatility 𝜎𝑡2
• Vypočítané štandardné reziduálne odchýlky
et 
eˆt
ˆ t
• V rámci diagnostiky modelu sa najčastejšie aplikujú nasledujúce procedúry na
vypočítané štandardné odchýlky 14.:
14.
• Verifikácia odhadnutej rovnice strednej hodnoty pomocou Q – testy , Ljung – Boxovej
štatistiky,
• Verifikácia odhadnutej rovnice volatility Q – testy,
• Verifikácia odhadnutej rovnice volatility LM test,
• Normalita podmieneného ARCH modelu, test Bera – Jarque
• Výpočet predpovedí volatility.
GARCH modely.
Modely ARCH(m) majú niektoré nedostatky a to:
• vyžadujú často vysoký rád m, aby adekvátne popísal vývoj volatility daného časového
radu,
• s tým súvisí nutnosť odhadu veľkého počtu parametrov, kedy na viac môže dôjsť u
niektorého parametra k porušeniu podmienky nezápornosti,
• je síce zohľadnené zhlukovanie volatitity finančných údajov, ale už nie pákový efekt, či
asymetria, kedy kladné a záporné odchýlky môžu mať odlišný vplyv na volatilitu.
Tieto nedostatky odstraňuje model GARCH (zovšeobecnený ARCH, generalized ARCH). V
tomto modeli, ktorý navrhol BOLLERSLEV (1986), a v jeho rôznych modifikáciách môže
2
volatilita 𝜎𝑡2 závisieť tiež na svojich historických (oneskorených) hodnotách 𝜎𝑡−𝑗
. Najmä
model GARCH(1,1), ktorý je najjednoduchším predstaviteľom tejto triedy modelov, je dnes
jedným z najpoužívanejších modelov finančných časových radov, lebo je schopný pomocou
troch parametrov zvládnuť všeobecné štruktúry volatility (modely GARCH vyšších rádov sa v
praktickej ekonometrii využívajú len sporadicky).
Model GARCH(m, s) má tvar:
m
yt   t  ut ,
u t   . t ,

2
t
 0 
  .u
i
i 1
s
2
t i


j 1
. t  j
2
j
15.
kde 𝜀𝑡 náhodné poruchy s nulovou strednou hodnotou a jednotkovým rozptylom (opäť sa
často predpokladá, že majú normálne alebo t – rozdelenie), parametre modelu spĺňajú
nasledovné podmienky:
m ax  m , s 
 0  0,
 i  0,
 
 j  0,
i
 i   1
16.
i 1
Ak v rovnici 15. nahradíme
v t  u t   t , potom
2
2
𝑣𝑡 má vlastnosti bieleho šumu a platí:
m ax  m , s 
u  0 
2
t
 
i

j
 .u
i 1
s
2
t i
 vt 

j
17.
vt j
j 1
Rovnicu volatility GARCH modelu je možné považovať za model ARMA pre časový rad
štvorcových odchýlok (𝑢𝑡2 ).
Model GARCH (1,1) má jednoduchý tvar:
yt   t  ut ,
s podmienkami
u t   . t ,
 t   0   1 . u t 1   1 . t 1
2
2
2
18.
 0  0,
 1 ,  1  0,
1  1  1
Rôzne modifikácie modelov typu GARCH
Analýza nelineárnych časových radov je rýchlo sa rozvíjajúce odvetvie, kde každým rokom
pribúdajú desiatky nových modelov, kedy sa užívateľ začína strácať (niektorí odborníci
hovoria o „deprimujúcej ponuke modelových nástrojov“).
Niektoré modely:
Model ARMA-GARCH
EGARCH – Exponentially GARCH,
TGARCH – Threshold GARCH (GJR),
PGARCH – Power GARCH,
FIGARCH, FIEGARCH – frakčný integrovaný
IGARCH, resp. EGARCH,
GJR GARCH - prahový GARCH....
Výstavba modelov GARCH
Obvyklý postup pri výstavbe GARCH modelov by sa dal zhrnúť do
nasledujúcich krokov:
1. vhodným ARMA modelom sa z daného časového radu odstránia
prípadné lineárne závislosti a ďalej sa pracuje s rezíduami tohto
modelu;
2. otestuje sa, či je v časovom rade rezíduí prítomná podmienená
heteroskedasticita;
3. pokiaľ áno, určí sa rád modelu GARCH;
4. metódou maximálnej vierohodnosti sa potom odhadnú parametre
tohto modelu, resp. i celého modelu ARMA-GARCH;
5. overí sa vhodnosť zvoleného modelu.
Testovanie podmienenej heteroskedasticity
Pre testovanie prítomnosti podmienenej heteroskedasticity v časovom rade rezíduí {u𝑡 } je
možné použiť niekoľko metód, uveďme tu tri z nich: Ljung - Boxov Q- test, ARCH-LM test a
GARCH-LM test.
t
Ljung - Boxov Q - test
Ljung - Boxov test je testom nulovéj hypotézy
𝐻0 : 𝜌𝑖 = 0, pro i = 1,... , k
oproti alternatívnej hypotéze 𝐻1 : 𝜌𝑖 ≠ 0
k
Q  k   t (t  2 )
i 1
i
2
19.
ti
Kde 𝜌𝑖 autokorelačný koeficient radu i pre náhodné poruchy u t . Štatistika Q(k) má 𝜒 2 (k)
rozdelenie. Ak je hodnota tejto štatistiky vyššia ako kritická hodnota 𝜒 2 (k), zamietame
nulovú hypotézu v prospech alternatívnej.
2
ARCH – LM test
Tento test je založený na princípe Lagrangeových multiplikátoroch navrhnutý Englom ,
kedy pre 𝑢𝑡2 zostrojíme lineárny regresný model, kde ako vysvetľujúce premenné
vystupuje q oneskorených hodnôt
2
2
2
u t 1 , u t  2 , ..., u t  q
Odhadneme parametre modelu a vypočítame koeficient determinácie 𝑅2 .
q
u  0 
2
t
  i .u t  i   t
2
20.
i 1
Nulová hypotéza je definovaná
H 0 :  i  0,
pre i= 1,...,q
Testovacia štatistika LM = T . 𝑅2 má asymptoticky 𝜒 2 (𝑞) s q stupňami voľnosti, pri
platnosti nulovej hypotézy by bol podmienený rozptyl bol konštantný.
GARCH – LM test
Tento test je navrhnutý Bollerslevom , kedy testujeme nulovú hypotézu
H 0 : ut
ARCH ( g )
oproti H 1 : u t ~ G A R C H ( p , q )
p> 0
Najskôr odhadneme model ARCH (q) a vypočítame jeho rezíduá a odhady
podmieneného rozptylu. Potom pre štandardizované rezíduá odhadneme model
2
ut
t
2
q
 1  0 
  i .u t  i   t
2
21.
i 1
Nulová hypotéza je definovaná
H 0 :  i  0,
pre i= 1,...,q
Testovacia štatistika LM = T . 𝑅2 má asymptoticky 𝜒 2 (𝑞) s q stupňami voľnosti.
Zamietnutie nulovej hypotézy znamená namiesto modelu ARCH(q) je vhodnejšie použiť
model GARCH(p,q).