Prednáška 6

STOCHASTICKÉ MODELOVANIE

MODELY OBNOVY

Modely obnovy Teória obnovy J. Lotka v r. 1933 - analýzu obnovy súborov strojov rozpracovanie M. Frechet, V. Feller, aplikácie I. Kožniewska.

ÚLOHY TEÓRIE OBNOVY

 Nahradenie objektu, zariadením novým.

 Výmena celého objektu, resp. niektorých jeho prvkov - pokles výkonnosti  Problematika výmen prvkov nemeniacich svoje vlastnosti - zlyhanie

Typickým rysom modelov obnovy - odhady a prognózy pravdepodobnostného charakteru

KLASIFIKÁCIA MODELOV OBNOVY 1.Možnosť realizovania opráv: - opravovaných objektov - neopravovaných objektov - technicky homogénnych resp. nehomogénnych súborov objektov - s rovnorodou resp. nerovnorodou začiatočnou vekovou štruktúrou 2. Výskyt náhodných veličín: - deterministické - stochastické 3. Predpoklad diskrétneho alebo spojitého procesu obnovy: - diskrétne modely obnovy - spojité modely obnovy 4. Zohľadnenie nákladov: - bez nákladov/ s nákladmi - s diskontovaním/bez diskontovania nákladov budúcich období

MODELY OPTIMÁLNEJ ŽIVOTNOSTI A STRATÉGIE OBNOVY OBNOVA OPRAVOVANÝCH OBJEKTOV S DISKONTOVANÍM NÁKLADOV    optimalizovať proces obnovy stratégiou obnovy optimálna stratégia obnovy

Diskontované náklady:

c 0  c n   1 1  i   n  1  c n .

v n  1

K c 1 , c 2 , …., c n c j-1 < c j pre j = 1,2, …, n Diskontná hodnota N(n) všetkých budúcich nákladov po každých n obdobiach: 2 n  1 N ( n )  K  c 1  c 2 v  c 3 v  ...

 c n v   ( K  c 1 ) v n  c 2 v n  1  ...

 c n v 2 n  1  ...

N ( n )  ( K  i n   1 c i v i  1 )  v n ( K  i n   1 c i v i  1 )  ...

N ( n )  K  i n   1 1  c i v n v i  1

Kritérium pre optimalizáciu počtu období n pre obnovu objektu: N(n-1) – N(n) > 0 a N(n+1) – N(n) > 0, N(n) minimum c n  K  c 1  1  c 2 v v   ...

...

  v n c n  2  1 v n  2  K  i  1 n   1 i  1 n   1 v c i  1 i v i  1 c n  1  K  c 1 1   v c 2  v ...

  ...

v  c n n  1 v n  1  K  i n   1 c i v i  1 i n   1 v i  1

Optimálna stratégia obnovy: -neobnovovať objekt: c(n+1) < vážený priemer N(n) -obnovovať objekt c(n+1) > vážený priemer N(n)

PRÍKLAD

Obstarávacie náklady objektu sú 100000 p.j., ročná úroková miera je 7 v tabuľke.

 a predpokladané náklady na údržbu objektu sú v jednotlivých rokoch uvedené Treba určiť optimálne obdobie pre obnovu objektu tak, aby sa minimalizovala diskontovaná hodnota všetkých budúcich nákladov na obstarávanie a údržbu objektu.

A B

i ci v^(i-1) ci*v^(i-1) K  n  1  i  1 c i v i  1

n

 1 

i v i

 1

A/B

1 0 2 3 5000 5500 4 5 6 7 8 7000 8500 10000 15000 25000

MODELY OBNOVY OBJEKTOV VYRAĎOVANÝCH PO ZLYHANÍ 1. DISKRÉTNE MODELY OBNOVY

Životnosť

 pravdepodobnosťou zlyhania objektu v k-tom období: a k  pravdepodobnosťou prežitia k –období: r k N 0 N k - počet objektov na začiatku pozorovania - počet objektov činných v k-tom období

Pravdepodobnosť prežitia k období bez zlyhania: N r k  k N 0 Pravdepodobnosť zlyhania v k-tom období: a k  N k  1  N 0 N k  r k  1  r k Potenciálna životnosť objektu do budúcna: r k  a k  1  a k  2  ...

 a T ; k  0 , 1 , ...

T  1

T - fyzická hranica životnosti objektov

r 0  k T   1 a k  1

Pravdepodobnosť vyradenia: q k  1  r k Miera zlyhania :  k  a k r k  N k  1  N k N k Priemerná životnosť (priemerný čas bezporuchovej prevádzky):    k   0 k .

a k   r 0  r 1  ...

 r T  1  T k  1   0 r k

A. DISKRÉTNY MODEL OBNOVY S ROVNORODOU ZAČIATOČNOU VEKOVOU ŠTRUKTÚROU

Podľa začiatočnej vekovej štruktúry objektov:

 modely s rovnorodou začiatočnou vekovou štruktúrou  modely s rôznorodou začiatočnou vekovou štruktúrou u k – počet objektov, ktoré na začiatku k-teho obdobia zaraďujeme namiesto vyradených na konci k-1 obdobia.

technicky homogénne objekty a k =r k

1. Pravdepodobný počet obnov v k-tom období – u k

Rovnica obnovy

  počet objektov na začiatku u 0 počet objektov vyradených na konci 1.obdobia, počet obnov po 1.období a 1 2.obdobia: začiatočný súbor doplnený súbor (u 1 ) a 2 a 1 . u 0 . u 0 . u 1 = u 1 a 2 u 0 + a 1 u 1 = u 2 Sústava rovníc u 1 u 2 u 3 = a = a 1 1 u . u 1 = a 1 u 2 0 + a 2 u 0 + a 2 u 1 + a 3 u 0 ...................................

u T-1 = a 1 u T-2 + a 2 u T-3 + … + a T-1 u 0

n ≥ T: u n = a 1 u n-1 + a 2 u n-2 + … + a T u n-T u n  i T   1 a i u n  i Pri T = 2 je riešenie: u n Asymptotický počet obnov:  1 u 0  a 2 .

 1  (  a 2 ) n  1  lim n   u n  u  0

2. VEKOVÁ ŠTRUKTÚRA OBJEKTOV V JEDNOTLIVÝCH OBDOBIACH Pravdepodobnosti dožitia r k Počet nových objektov r 0  k T   1 a k  1 u 0 = u 0 . r 0 Na konci 1. obdobia: Počet nových objektov sa rovná u 1 = u 1 Počet jedno obdobie starých objektov u 0 – u 1 = u 0 – a 1 u 0 = u 0 (1 – a 1 ) = u 0 ( k T   1 . r 0 a k -a 1 ) = u 0 k T   2 a k 0 .r

1 Na konci 2. obdobia: Počet nových objektov sa rovná u 2 = u 2 Počet jedno obdobie starých objektov: u 1 – a 1 u 1 = u 1 (1 – a 1 ) = u 1 .r

1 Počet dve obdobia starých objektov: u 0 – a 1 u 0 – a 2 u 0 = u 0 (1 – a 1 – a . r 2 0 ) = u 0 r 2

Tabuľka obnov a vekovej štruktúry: Čas  Vek  0 0 1 2 : T-1 u 0 r 0 u 0 u 1 0 u 2 u 1 r 0 u 0 r 1 u 2 r 0 u 1 r 1 u 0 r 2 0 … T-1

T

u T-1 r 0 u T-2 r 1 u T-3 r 2 : u 0 r T-1 u 0

u T r 0 u T-1 r 1 u T-2 r 2 : u 1 r T-1 u 0

… n-1 N u n-1 r 0 u n-2 r 1 u n-3 r 2 : u n-T r T-1 u 0 u n r 0 u n-1 r 1 u n-2 r 2 : u n-T+1 r T-1 u 0

PRÍKLAD

Uvažujme súbor 10000 kusov drevených obalov, ktoré majú maximálnu životnosť 3 roky (T=3). Zo skúseností vyplynulo, že 25% obalov je potrebné vymeniť po prvom roku používania, 35% po druhom a 40% po treťom roku.

Stanovte priemerný počet nových obalov, potrebných na náhradu opotrebených na dobu 5 rokov tak, aby na začiatku každého roku ich bolo 10000. Na začiatku boli všetky obaly nové.

B. DISKRÉTNY MODEL JEDNODUCHEJ OBNOVY S RÔZNORODOU ZAČIATOČNOU VEKOVOU ŠTRUKTÚROU r k /r k-1 u1 = a1*v0 + v1*a2/r1 + v2*a3/r2 + ... + v(T-2)*a(T-1)/r(T-2) + v(T-1) u2 = a1*u1 + a2*v0 + v1*a3/r1 + v2*a4/r2 + ... + v(T-3)*a(T-1)/r(T-3) + .

.

.

v(T-2)*aT/r(T-2) u(T-1) = a1*u(T-2) + a2*u(T-3) + ... +a(t-1)*u0 + v1*aT/r1 .

.

.

u(n) = a1*u(n-1) + a2*u(n-2) + ... + aT*u(n-T)

TABUĽKA OBNOV A VEKOVEJ ŠTRUKTÚRY 2 3 Vek Čas 0 1 0 v 0 v 1 v 2 v 3 1 u 1 r 0 v 0 r 1 v 1 r 2 /r 1 v 2 r 3 /r 2 2 u 2 r 0 u 1 r 1 v 0 r 2 v 1 r 3 /r 1 … T-1 u T-1 r 0 u T-2 r 1 u T-3 r 2 u T-4 r 3

T u T r 0 u T-1 r 1 u T-2 r 2 u T-3 r 3

...

n u n r 0 u n-1 r 1 u n-2 r 2 u n-3 r 3 T-1 v T-1 N v T-2 r T  1 r T  2 N v T-3 N r T  1 r T  3 … v 0 r T-1

u 1 r T-1

N

N

… u n-T+1 r T-1 N

PRÍKLAD

Uvažujme súbor 1000 objektov, ktoré majú maximálnu životnosť 5 rokov (T=5). Zo skúseností vyplynulo, že 20% objektov je potrebné vymeniť po prvom roku používania, 43% po druhom, 17% po treťom roku, 17% po štvrtom a 0,03% po piatom roku.

Na začiatku je nasledovná veková štruktúra:  v 0 = 500 kusov, v kusov a v 4 1 = 320 kusov, v 2 = 6 kusov.

= 74 kusov, v 3 = 100 Úlohou je stanoviť priemerný počet nových objektov, potrebných na náhradu opotrebených na dobu 7 rokov tak, aby na začiatku každého roku ich bolo 1000.