Transcript Slide 1

MULTIDISCIPLINARNOST MATEMATIČKOG MODELIRANJA
BIOTEHNIČKE
MATEMATIČKE
ZNANOSTI
ZNANOSTI
RAČUNARSKE
ZNANOSTI
Srž matematičkog modela M je određivanje matematičko-statističkih relacija
kojima se povezuje skup izlaznih veličina Y, one su zavisne veličine, o skupu
nezavisnih ulaznih veličina X.
M
X
Y
Y=M(X)
Shematski prikaz matematičkog modela M kojim se
ulaznim veličinama X pridružuje skup izlaznih veličina Y.
Procesni
prostor
P
kauzalnost
Ulazne
veličine
X
Izlazne
veličine
Y
Slika: Shematski prikaz prvog koraka modeliranja kojim se
procesni prostor P temeljem svrhovitosti sustava i kauzalnosti
veličina razdvaja u skupove ulaznih X i izlaznih veličina Y.
Metodologija i struktura matematičkog modela može biti vrlo različita i najčešće
je određena prirodom istraživanog kemijsko inženjerskog sustava, njegove
svrhovitosti i cilja matematičkog modeliranja. Na primjer, navedimo samo neke
vrste matematičkih modela s obzirom na njihovu matematičku strukturu:
- jednadžba regresijskog pravca,
- multivarijantni linearni regresijski modeli (MIMO)
- autoregresijski linearni modeli (MISO)
- regresijski polinomi,
- regresijski modeli glavnih komponenata (PLS,PCR),
- obične diferencijalne jednadžbe,
- parcijalne diferencijalne jednadžbe,
- neuronske mreže,
- modeli neizrazite logike,
- stohastički modeli, itd.
Modeli se mogu razlikovati prema svojoj svrhovitoj namjeni, na primjer za
istraživanje:
- biokemijskog mehanizma i kinetike
- fenomena prijenosa tvari i energije
- uvećanja od laboratorijskog do industrijskog mjerila
- upravljanje procesa
- optimiranje procesa, itd.
Zajednička svrha matematičkih modela je da omogućuju eksperimentiranje s
modelom u svrhu istraživanja.
Drugim riječima, model mora vjerno reproducirati vladanje realnog procesa u
područje njegove primjene.
Osnovni metodološki postupak istraživanja primjenom modela naziva se
simuliranje procesa ili sustava. Simulacija modelom je podržana računalnim
programima („software“) kojima se omoguće učinkovito računanje vrijednosti
izlaznih veličina, prikladan grafički prikaz i statistička analiza rezultata
simulacije.
M
simulacija
Xp
Yp
Xk
Yk
Shematski prikaz simulacije procesa kojom se istražuje prostor skupa
ulaznih veličina X veličina od početne Xp za t=0 do konačne vrijednosti
Xk za t=tk i posljedice ovih promjena u skupu izlaznih veličina Y od
početne Yp za t=0 do konačne Yk za t=tk.
Matematički modeli imaju središnju ulogu u upravljanju procesa povratnom
vezom ili spregom („feedback control“). Smisao upravljanja procesa je odrediti
promjene ulaznih manipulativnih (podesivih) veličina kojima se može
kompenzirati poremećaj izlaznih veličina kao posljedica utjecaja poremećaja
okoline na proces
M
X
Y
δY
δX
M-1
Da bi se odredile potrebne promjene ulaznih veličina Xt  za zadane
poremećaje izlaznih veličina Y t  potrebno je koristiti inverzni
matematički model M-1, tako da se dobije Xt   M 1Yt 
Određivanje inverznog matematičkog M-1 modela nije uvijek moguće
provesti na eksplicitan način na osnovu modela procesa M, na primjer u
općem slučaju je nemoguće invertirati model dan u prostoru stanja s
sustavom običnih ili parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.
Za tu svrhu se najčešće koriste aproksimativni linearni modeli čiji
parametri su određeni za pojedina lokalna područja prostora ulaznih
veličina.
Također su u tu svrhu često primjenjuju i modeli s neuronskim
mrežama te modeli s neizrazitom logikom.
Upravljanje procesa matematičkim modelima
(MPC, Model Predictive Control)
Basic concept of Model Predictive Control (MPC)
Non-manipulative input variables
Manipulative input variables
Industrial
process
Output variables
y(k)
x(k)
Predictive
model
x(k+1)
yˆ (k  1)
Optimization
Process flows
Information flows
Control actions
Process flows:
mass, substances
energy, heat
momentum
Information flows:
discrete off-line measurements : HPLC,
continuous on-line measurements: T, p, NIR, IR, …
Control actions:
flow rate, heating/cooling, manipulation, …..
Optimization:
product quality, energy, productivity, profitability
Model predictivity (prediction horizon)
input X
past
present
measured
future
optimized
Shift horizon one step
k-m
k-2
k-1
k+1
k+2
k+n
k
time
X(k+1)
output Y
present
past
future
ˆ
model predicted Y
measured
OPTIMIZATION
prediction horizont
k-m
k-2
k-1
k+1
k
k+2
k+n
time
Challenges for modeling in processes
Challenges for substance modeling
Challenges for process modeling
Complex substance composition
Unmeasured essential states
Time varying composition
Unsteady (batch) and nonlinear
Nonhomogeneous
Large time delays
Multiphase
Complex and unknown kinetics
Lack of property data
Complex transport phenomena
………………
……………………..
Modeling techniques applied in biochemical engineering
Steady state single input-single output regression
x
y
y=f(b,x)
y  b0  b1  x  b2  x 2  ..bn  x n
Unsteady state discrete single input single output ARMA
Ny
Nu
i 0
i 0
yk    ai   yk  i    bi   uk  i  m
Unsteady state continuous single input single output
dy
 f ( y , x (t ))
dt
y ( 0)  y 0
Multivariate PLR models
x1
x2
xm
y=f(b,x1,x2··xm)
y1
y2
yn
Steady state linear multivariate model
multiple input – single output
y  b0  b1  x1  b2  x2  bn  xn
Partial linear regression (PLR) multiple input single output
Si+3
Konveksni skup {X,Y}
Si
Si+1
y
Si+2
y  c0  c1  x1  c2  x2  cn  xn
y  b0  b1  x1  b2  x2  bn  xn
x
Modeliranje u prostoru stanja
Matematički modeli biokemijsko inženjerskih procesa (sustava)
najčešće se izvode iz slijedećih fundamentalnih prirodnih zakona
sačuvanja sljedećih ekstenzivnih veličina: masa tvari, energija i količina
gibanja.
Ovi prirodni zakoni se primjenjuju kao vremenski promjenljivih bilanci u
obliku promjena pripadnih intenzivnih veličina koncentracije, temperature
i brzine gibanja izraženih u obliku sustava običnih (ODJ) ili parcijalnih
diferencijalnih jednadžbi (PDJ).
Modeli koji su opisani ODJ izvode se apstrakcijom kojom se prostorna
raspodjela fizikalnih i biokemijskih veličina zanemari, i promjena stanja
proces se promatra kao da se zbiva u materijalnoj točci. Oni se nazivaju
koncentriranim modelima („lumped models“) i najčešće se koriste u
procesima u kojima postoji intenzivno miješanje kojim se homogenizira
raspodjela koncentracija i temperature u procesnom prostoru.
Tipičan primjer je idealan protočan kemijski reaktor (PKR).
ulazni tok
izlazni tok
ulazni tok
izlazni tok
M
Procesni prostor
modeliranje
ulazni tok
ulazni tok
T(t)
c(t)
izlazni tok
izlazni tok
Shematski prikaz apstraktnog procesa kojim se realni procesni prostor
modelom usredotočenih veličina, na primjeru kojem se prostorne
raspodjele temperature i koncentracije tvari koncentrirane u
materijalnoj točci opisane samo vremenski zavisnim veličinama T(t) i
c(t).
Najvažnije, a ujedno i najkritičnije su prva i zadnja faza kada se odlučuje
o izboru skupova ulaznih i izlaznih veličina uključenih u model, i zadnja
faza kada se mora rigoroznim testovima ispitati validacija modela.
Opća značajka matematičkog modeliranja je iteracijska priroda pojedinih faza
na osnovu rezultata validacije cjelokupnog modela. Sve faze tijekom razvoja
matematičkog modela se preispituju u odnosu na svrhovitost modela koja se
validira. Mogućnosti izbora matematičkog modela su vrlo velike, i najčešće se u
prvoj fazi modeliranja pretpostavlja klasa mogućih modela koji se onda
međusobno uspoređuju dok se ne postigne najprikladniji izbor.
Moguće klase modela, koje se najčešće slikovito opisuju i rangiraju prema
karakteru informacija integriranih u model, od modela „crne kutije“ („black
box“) preko „sivih modela“ („gray box“) do modela „bijele kutije“ („white box“)
modela.
Grafički prikaz odnosa razine fundamentalnih znanja o modeliranom
sustavu i njegovoj kompleksnosti i metodologije modeliranja od modela
„bijele“ do modela „crne“ kutije.
razina fundamentalnih
znanja o sustavu
kompleksnost sustava
„white
ODJ
box models“
PDJ DAE
„grey box models“
ARMA, ARMAX,PLS
fuzzy logic
„black
ANN
box models“
Boolean
networks
continuous ↔ discrete
stochsim
Space of modeling methods
Klasifikacija analitičkih („white box“) modela
Potrebna osnovna (fundamentalna) znanja za „white box“ modele:
 bilance sačuvanja mase, energije, količine gibanja
 termodinamička svojstva i zakoni
 transportna svojstva (reološki modeli)
 jednadžbe ravnoteža na granici faza
 mehanizmi kemijskih reakcija
 kinetika kemijskih reakcija
 bilance tvari u kemijskim reakcijama
 rubni i početni uvjeti reakcija u procesnom prostoru
 numeričke i statističke metode i računalni software
Potrebna znanja za „grey and black box“ modele
 statističe metode procjene parametara regresijskih modela
 multivarijantna regresija za ARMAX („Auto Regression Moving Averages with
eXoneous inputs“)
 faktorska analiza
 „cluster“ analiza
 metoda glavnih komponenata („principal component analysis“)
 modeli regresije u prostoru glavnih komponenata („PCR Principal Component
Regression), („PLS Partial Least Squares models“)
 neizrazita logika
 modeli logičkog zaključivanja sa neizrazitim skupovima
 neuronske mreže (ANN „Artificial Neural Networks“), (MLP Multi Layer
McCullogh-Pitts Perceptron), (RBF „Radial Basis Functions)
Dimenzija, parametri i složenost matematičkog modela
varijanca (model-eksperiment)
Kako konceptualno odrediti “optimalni” model ?
povećanje stupnja
razine eksperimenta
optimalan model
broj parametara
Validacija matematičkog modela
Podaci SM za razvoj
modela
Podaci SV za validaciju
modela
SM
SV
Grafički prikaz ulazno izlaznih podataka {X,Y} podijeljenih u dva
skupa za modeliranje SM i validaciju modela SV.
Podaci SM za razvoj
modela
SM
Podaci SO za
optimiranje modela
SO
Podaci SV za validaciju
modela
SV
Grafički prikaz ulazno izlaznih podataka {X,Y}podijeljenih u tri disjunktna
skupa za modeliranje SM, optimiranje parametara modela SO i validaciju
modela SV.
Neki statistički kriteriji validacije modela
Linearni Pearsonov koeficijent korelacije
x1
x2
xi
xN
y1
Sustav
Predikcije modela
izlazne veličine
y2
yi
yM
••
•
yM
• •
y=x
•••
•• • •
••
Eksperimentalne
vrijednosti izlazne
veličine
yE
Populacijski Pearsonov koeficijent korelacije
Koeficijent korelacije određen na osnovu n uzoraka ulazno izlaznih podataka
Za usporedbu različitih modela koji se razlikuju prema broju parametara u modelu
potrebno je korigirati koeficijent korelacija s obzirom na broj parametara („adjusted
Pearson correlation“).
Koeficijent determinacije modela
Koeficijent determinacije se služi kao mjera točnosti predikcije modela
Ukupna disperzija eksperimentalnih podataka
Ukupna disperzija podataka predikcije modela
“Lack of fit” : SStot - SSreg
ANOVA analiza “lack of fit” za model
Replikacije eksperimenta i “analytical error”
Ukupna disperzija razlika između eksperimentalnih podataka i predikcija
modela (modelom neobjašnjena disperzija)
Koeficijent determinacije
Za linearne modele koeficijent determinacije jednak je
kvadratu Pearsonov-og koeficijenta korelacije
R2  r 2
za linearne modele
Za usporedbu dvaju modela s različitim brojem parametara koristi se
prilagođeni koeficijent determinacije gdje je n broj uzoraka a p je broj
parametara u modelu
2
Radjusted
 1
SSErr /(n  p  1)
SSTot /(n  1)
Fisherov omjer (test)
Statistički se testira omjer varijanci modela i eksperimentalnih podataka
F  p  1, n  1 
SSRe g
SSErr
Raspodjela gustoće vjerojatnost Fisherove slučajne veličine definirana je
stupnjevima slobode varijanci u brojniku i nazivniku. Posebno je važno pri
testiranju modela odrediti značajnost omjera varijanci analitičke greške iz
pokusa ponavljanja i varijance pogreške modela
F
SS repl
SS error
„Cross validation”
Postupak procjene prediktivnosti modela kada nije na raspolaganju nezavisan
set podataka za validaciju. Validacija se provodi eliminiranjem jednog po
jednog uzorka iz skupa za modeliranje i uzastopno se ponavljanja
određivanje parametara modela i analiza pogreške predikcije. Rezultati
analize trebaju ukazati da li je model robustan na izostanak pojedinih uzorka i
da li postoji dominant uzorak koji bitno utječe na model.
Modeli osnovnih bilanci
Osnovne bilance su: bilance tvari, energije i količine gibanja
f izlazni fluks f
ulazni fluks f f
z
normala na
površinu S
normala na
površinu S
n
V
n
f izlazni fluks f
f
f
izlazni fluks f
ulazni fluks f
y
f
f
x
ulazni fluks f
S
f
izlazni fluks f
Bilance se postavljaju za dio trodimenzionalnog prostora (x,y,z) omeđenog
površinom S i obujma V. Površina je orijentirana tako da je u svakoj točci na
površini definiran jedinična normala n.
U promatrani dio prostora iz okoline se prenose tvari, energija i količina gibanja
ulaznim tokovima (fluksovima fA) i iz promatranog prostora u okolinu se izlaznim
tokovima (fluksovima f) prenose tvari, eneregija i količina gibanja.
f izlazni fluks f
ulazni fluks f f
z
normala na
površinu S
normala na
površinu S
n
V
n
f izlazni fluks f
f
f
izlazni fluks f
ulazni fluks f
y
f
f
x
ulazni fluks f
S
f
izlazni fluks f
Oznakom A je označena veličina stanja (količina tvari, energija i količina
gibanja) čija bilanca je određena ulaznim i izlaznim tokovima i promjenama
zbog kemijske ili biokemijske transformacije.
Integralni (odnosi se na cjelokupni promatrani volumen) opći oblik bilance je
 

A  dV   f A  n  dS   rA  dV

t V
S
V
promjena akumulacije A
ulazno/izlazni tokovi A
(bio) kemijska pretvorba A
Primijenimo Green-ov teorem kojim se površinski integral zamjenjuje volumnim


 
 
 f A  n  dS     f A  dV
S

     
i
j k
„nabla“ operator  
x
y
z
V
Primjenom
 Green-ovog teorema dobije se opći diferencijalni oblik bilance stanja A
gdje je r vektor položaja točaka unutar promatranog volumena a vrijeme je t
  

 
Ar , t     f A r , t   rA r , t 
t
Značajke bilance:
parcijalna diferencijalna jednadžba
raspodijeljene veličine stanja A u promatranom prostoru
nestacionarna bilanca
nelinearna (najčešća nelinearnost je kinetika brzine (bio)/kemijske transformacije
potrebno je zadati početne uvjete stanja A po obujmu V
potrebno je zadati rubne uvjete na površini S
rješavanje je numeričkim postupkom primjenom računala
početni uvjet određuje stanje u promatranom sustavu u trenutku t = 0


Ar , t  0  A0 r 
Rubni uvjeti imaju tri osnovna oblika:
1) kontinuitet veličine stanja A na plohi S između promatranog sustava i
okoline (von Neumanov rubni uvjet)


Ar S , t   AS r S , t 
Stanje A u promatranom sustavu na površini S jednako je stanju AS u okolini
na graničnoj plohi S
2) kontinuitet gradijenta na graničnoj plohi (Dirichletov rubni uvjet)

 
Ar S , t   f r S , t 
3) kontinuitet fluksa (Danckwerts-ov rubni uvjet)

 
b1  Ar S , t   b2  f r S , t   0
Pojedinačne bilance
Bilanca kapljevine ili plina
 

    v   0
t
ρ je gustoća kapljevine, ρ= ρ(T), ili plina ρ= ρ(T,p)
Bilanca tvari za A za primjer (bio)kemijskog reaktora
 

c A  v    c A  Def   2  c A  rA
t
2
2
2
Laplace-ov operator   2  2  2
x
y
z
2
Bilanca količine gibanja (Navier-Stokes-ova jednadžba protjecanja plina i kapljevine)




  

v
     v    v    p      v    g
t


Primjeri modela biološke razgradnje otpadne tvari
Biološki proces razgradnje
A
ulazni tok
A
izlazni tok
A
A +X
X+ P
A je otpadna tvar (“polutant”)
X je biomasa (mješovita mikrobna zajednica) “mixed culture”
P je produkt biološke razgradnje
Model s usredotočenim veličinama stanja
xul
A + X X+ P
x
O2
Stehiometrijska bilanca
 A  A  O2  O2   X  X   P  P
Algebarska stehiometrijska bilanca
 A  YO2 / A  O2  YX / A  X  YP / A  P  0
Kinetika procesa
Pretpostavke: Michaelis-Menten + Monod
rA  vmax
A
O2


X
K A  A K O 2  O2
Veličine stanja: A, O2 , X, h (razina)
Parametri modela
Fizikalni:
protok q, površina presjeka S, ulazna koncentracija Au,topivost kisika O2* ,
Volumni koeficijent prijenosa kisika kla
Biološki: vmax, KA, KO2
Bilanca kapljevine
d
S  h   qul  qiz
dt
Bilanca polutanta
d
S  h  A  qul  Aul  qiz  A  S  h  rA
dt
Bilanca biomase
d
S  h  X   qiz  X  YX / A  S  h  rA
dt
Bilanca otopljenog kisika
S
d
h  O2   kl a  O2*  O2   YO 2 / A  S  h  rA
dt
Bilanca produkta
S
d
h  P   qiz  P  YP / A  S  h  rA
dt
Početni uvjeti
ht  0  h0
Simulacija dinamike procesa:
A(t  0)  A0
Berkeley Madonna
software (vježbe)
X t  0  X 0
O2 t  0  O20
P(t  0)  P0
Diskusija: monitoring procesa, upravljanje procesa
Model s raspodijeljenim veličinama stanja
Bazen za biološku obradu otpadne (komunalne) vode
obrađena voda
otpadna voda
Sul
V1
V2
Vi
aeracija O2
Model cijevnog reaktora
VN
Sizl
BioWin Simulator jedno-stupnjevitog procesa
Influent: ulazni tok sirove (neobrađene) vode
Primarni clarifier: primarni taložnik
Primary sludge: primarni (ulazni) mulj
Aero basin: bioreaktor s aktivnim muljem
Ideal clarifier: taložnik-separator aktivnog mulja
WAS: (wasted active sludge) otpadni aktivni mulj
Effluent: obrađena (izlazna) voda
Kontinuirane nestacionarne bilance
Bilanca za polutant S
S x, t 
 2 S x, t 
S ( x, t )
S ( x, t )
O2x, t 
 Deff ,S 

v


v


 X ( x, t )
max
2
t
x
x
K S  S ( x, t ) K O 2  O2( x, t )
Bilanca za biomasu X
X x, t 
 2 X x, t 
X ( x, t )
1
S ( x, t )
O2x, t 
 Deff , X 

v



v


 X ( x, t )
max
2
t
x
x
YX / S
K S  S ( x, t ) K O 2  O2( x, t )
Bilanca za kisik
O 2 x, t 
 2O 2x, t 
O 2( x, t )
*


  

 Deff ,O 2 

v


k
a

O
l
2  O2 x, t
2
t
x
x
1
S ( x, t )
O 2 x, t 

 vmax 

 X ( x, t )
YO 2 / S
K S  S ( x, t ) K O 2  O 2( x, t )
Početni uvjeti
S x, t  0  S0 x 
X x, t  0  X O x
O2 x, t  0  O2O x
Ulazni rubni uvjeti
S x  0, t   Sul t 
X x  0, t   X ul t 
Iz povratnog toka
O2 x  0, t   O2 ul t 
Izlazni rubni uvjeti
S  x  L, t 
0
x
X  x  L, t 
0
x
O2  x  L, t 
0
x
Model s diskretnom raspodjelom stanja
 vmax 
O2,i t 
Si t 

 X i t 




K S  Si t K O 2  O2,i t
O2,i t 
Si t 
 vmax 

 X i t 
YX / S
K S  Si t  KO 2  O2,i t 
O2,i t 
Si t 
1

 vmax 

 X i t 
YX / O 2
K S  Si t  K O 2  O2,i t 
1
v  Si1 t 
v  X i 1 t 
v  O2, i1 t 
i-1
 Deff ,S 
 Deff , X 
 Deff ,O 2 
Biološka
razgradnja
v  Si t 
v  X i t 
v  O2,i t 
S i t   S i 1 t 
L
X i t   X i 1 t 
L
O2, i t   O2, i 1 t 
L
Ulazni tokovi u
odjeljak i
i
i-ti odjeljak Vi
S i 1 t   S i t 
L
X i 1 t   X i t 
 Deff , X 
L
O t   O2, i 1 t 
 Deff ,O 2  2, i
L
 Deff ,S 
O2
k a  O
l
*
2
 O2,i t 
Izlazni tokovi u
odjeljak i
i+1
Diskretne bilance kao sustav običnih diferencijalnih jednadžbi ODE
Bilanca polutanta u i-tom odjeljku
O2,i t 
Si t   Si 1 t 
dSi t 
S i 1 t   2  S i t   S i 1 t 
S i t 
 Deff , S 
v
 vmax 

 X i t 
dt
L2
L
K S  S i t  K O 2  O2,i t 
Bilanca biomase u i-tom odjeljku
O2,i t 
 X i t   X i 1 t  1
dX i t 
X t   2  X i t   X i 1 t 
S i t 
 Deff , X  i 1

v



v


 X i t 
max
dt
L2
L
YX / S
K S  S i t  K O 2  O2,i t 
Bilanca kisika u i-tom odjeljku
dO2, i t 
dt
O2, i 1 t   2  O2, i t   O2, i 1 t 
 Deff ,O 2 
L
2
k a   O
*
2
l
Početni uvjeti
 O2,i t  
1
YO 2 / S
Si (t  0)  Si ,0
Računalni software:
v
 vmax 
O t   O t 
2 , i 1
2, i
L

O2,i t 
S i t 

 X i t 
K S  S i t  K O 2  O2,i t 
X i t  0  X i ,0
O2,i t  0  O2,i 0
CFD (Computational Fluid Dynamics) model
Numerička metoda konačnih elemenata (“finite elements”)
Prostor u kojem se odvija proces podijeli se u veliki broj elemenata (“finite
elements”) za koje se bilance rješavaju numerički polinomnom aproksimacijom i
primjenom metode kolokacija.
Primjer mreže konačnih
elemenata na plohi
Primjer mreže konačnih elemenata diskretizacijom cijevi
Interpolacijski polinomi se određuju iz uvjeta kontinuiteta funkcije (stanja
procesa) i prve derivacije u čvornim te uz uvjet isčezavanja reziduuma bilance
u središnjoj toči svakog pojedinog elementa.
Aproksimacija veličine stanja S u prostoru V
4
S(x,y,z)
3
1
2
V
S x, y, z   N1 x, y, z  S1  N2 x, y, z  S2  N3 x, y, z  S3  N4 x, y, z  S4
N su “basis” ili “shape” funkcije, na primjer linearne FEM
N funkcije su predeterminirane u skladu s globalnim svojstvima
sustava (npr. geometrijom, kontinuitetom), Si su nepoznanice
Linearne bazične (“shape”) funkcije u jednoj dimenziji
Ni(x)
1
0
x
x1
x1
x1
x1
x1
x1
x1
Duomo Florence
Modeliranje reakcijskih sustava
Na primjer, složeni sustav reakcija u atmosferi
ili sustav metaboličkih reakcija u pojedinoj stanici ili mješovitoj kulturi stanica
Tools for simulation of kinetic models
BioSpice
V-CELL
M-Cell
E-CELL
SBW
project size
CellX/Karyote
COPASI
Dizzy
DBsolve
PySCeS
SBToolbox
MesoRD
Kinetikit
JDesigner/Jarnak
JigCell
BioNetS
XPPAUT
Narrator
deterministic
Cellware
↔
stochastic
dA
 S r
dt
usredotočeni “lumped” model
S
prostor reakcija
prostor bilanci
M reakcija
r1
r2
r3
----rM
N supstanci
bilanca A1
bilanca A2
bilanca A3
----bilanca AN
r1
S NxM
r2
r3
r4
rM
s11
s21
s31
s12 s13 s14
s22 s23 s24
s32 s33 s34
s1 M
s2 M
s3 M
s N1
s N2 s N3 s N4
s NM
Primjeri: vježbe Berkely Maddona
A1
A2
A3
--AN
Analiza regulacije metaboličkih puteva
(MCA Metabolic Control Analysis)
S1
S
r1
reakcija
S3
S2
r2
signal
P
SN
rN-1
r3
aktivacija
rN
inhibicija
Slika: Shematski prikaz niza serijskih transformacijama snaznakama regulacije
aktivacijom i inhibicijom (interakcija metabolit enzim)
Smisao istraživanja je analiza „ograničenja“ koje određuje maksimalni moguću brzinu
reakcije, tok J, transformacije S u P.
S
J
P
Zbog složenosti regulacije nije moguće izolirati jednu reakciju kao „usko grlo“, jer
se ograničenje toka J mijenja koncentracijom supstrata S, i koncentracijama
metabolita si, odnosno „usko“ grlo mijenja svoj položaj u nizu reakcija zavisno od
raspodjele koncentracija supstrata i svih metabolita.
Zato je potrebno primijeniti sustavske značajke (odgovorne za cjelokupni sustav
reakcija i metabolita) u svrhu analize regulacije metaboličkih reakcija.
Da bi se analiza pojednostavila, ograničava se na uvjete celularne „homeostaze“
(održavanje stalnih uvjeta u živoj stanici), odnosno formalno matematički na uvjete
stacionarnog stanja sustava reakcija. Stacionarnost implicira jednakost svih reakcija,
nema dinamičkih promjena akumulacije pojedinih metabolita, a koncentracije
supstrata S i P su stalne. Ispituje se utjecaj koncentracije pojedinih enzima na tok J.
Promjenom koncentracije pojedinog enzima dolazi do redistribucije metabolita, i
mijenja se stacionarni tok od S do P.
Koeficijenti regulacije toka („flux control coefficient“)
J  Ei 
J
Ci 
 
Ei  J 
Koeficijenti elastičnosti („elasticities“)
r j  s 
 i, j 
 i 
si  r j 
 
Koncentracijski koeficijenti regulacije
Ci , j
s j  Ei


E i  s j




Modeliranje intracelularnih tokova (MFA)
metabolic flux analysis
Modeliranje intracelularnih tokova, odnosno unutar-staničnih reakcija, zasniva se na
primjeni modela bilance tvari u složenom sustavu enzimskih reakcija na osnovi
poznavanja stehiometrijskih odnosa pojedinih reakcija. Modelom se obuhvaćaju i tokovi
(transmembranske reakcije) izmjene tvari između stanice i okoline. Uz aktivne
mehanizme prijenosa tvari kroz staničnu membranu (enzimske reakcije) u model su
uključeni i pasivni (fizikalni) mehanizmi prijenosa, npr. prijenos difuzijom. Opći prikaz
modela je na slici 1.
qu1
qu2
r1
qi1
r2
r3
qi2
qu1
qi3
qi2
qi3
qu2
qi4
qi1
model intracelularnih
reakcija
qi4
Slika 1. Sustavski prikaz modela intracelularnih reakcija. Brzine intracelularnih reakcije
označene su s rj, specifični ulazni tokovi su quj, izlazni specifični tokovi su qij.
Ciljevi istraživanja MFA su:
istražiti aktivnost pojedinih metaboličkih reakcija za različite uvjete u
bioreaktoru (koncentracije supstrata, temperatura, pH ..),
istražiti teoretske moguće posljedice planiranih genetičko inženjerskih zahvata
(npr. posljedice unosa novih gena, izbacivanje ("knock out") pojedinih,
povećanje kopija pojedinih gena, ..),
utvrditi mehanizam regulacije metabolizma
Uz ove pretpostavke bilanca tvari postaje bilanca intracelularnih tokova
dana kao linearni sustav jednadžbi (osnovna jednadžba za analizu
intracelularnih tokova „metabolic flux analysis“ MFA) glasi:

 
υ  r  qu  qi
s
qs
S
r1
A
r3
r2
qp1
p1
P1
B
P2
P3
qp3
p3
r4
r5
qp2
p2
s
p1
p2
p3
Stoichiometric Matrix
dS dt  Nv
Hofmeyr et al., Kinetics, Control and Regulation of
Metabolic Systems. ICSB02. (2002)
rn
rn
jedinstveno
rješenje (fenotip)
r2
r2
r1
r1
skup dopustivih
rješenja (fenotipova)
Stoichiometric Network Analysis
Nv  0
dim Nul N  rank N  dim v  n
v2
rank N  r  dim Nul N  n  r
v3
n n  r
NK  0
=
 v2 
v 
 6
Hofmeyr et al., ICSB02. (2002)
v1
Extreme pathways: An example
N
rank N  r  5
Schilling & Palsson, PNAS, 95:4193 (1998)
Kinetic Modeling: Deterministic & Stochastic
SE
ES  P  E
dS dt  k1E  S  k1ES
dE dt  k1E  S  (k1  k2 ) ES
species
reactions
dP dt  k2 ES
Many Flavors of Petri Nets
inhibitory arc
places
Hybrid Functional Petri Nets:
Genomic Object Net
Stochastic Petri Nets:
Mobius, TimeNET
test arc
Colored Petri Nets:
Design/CPN, CPN tools
transitions
Mandel et al, Brief. Bioinf. 5:270 (2004)
http://www.informatik.uni-hamburg.de/TGI/PetriNets/
Boolean networks


t
F   w ji S j  i 
 j

if F  0  Sit 1  1
if F  0  Sit 1  0
Mandel et al, Brief. Bioinf. 5:270
(2004)
Huang, Pharmacogenomics. 2: 203 (2001)
Genetic Network Analyzer, Biocham
Bayesian Networks
Pe’er, Sci. STKE. pl4 (2005)
Sachs, Science. 308: 523 (2005)
Topological analysis of network connectivity
P(k )
C  2n
C (k )
k
 2 3

k (k  1)
k 
Barabasi, Nat Rev Gen. 5: 101 (2004)
Cytoscape/NetworkAnalyzer