Transcript UNG_DUNG_HINH_HOC_CUA_TPXD

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Diện tích miền phẳng
D: a  x  b, y nằm giữa f1(x) và f2(x)
y  f2 ( x )
y  f1 ( x )
b
a
S (D) 

b
a
f2 ( x )  f1 ( x ) dx
D: c  y  d, nằm giữa f1(y) và f2(y)
c
d
x  f1 ( y )
x  f2 ( y )
S (D) 

d
c
f2 ( y )  f1 ( y ) dy
Lưu ý
Có thể vẽ hình các đường cong đơn giản hoặc
tìm hoành độ(tung độ giao điểm) để xác định
cận tích phân.
•Tính hoành độ giao điểm  tích phân tính
theo biến x(ngược lại là tính theo y)
Lưu ý về tính đối xứng
Nếu miên D đối xứng qua Ox, D1 là phần phía
trên Ox của D
S (D)  2S (D1)
Ví dụ
Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi:
1 / y  x ( x  2), y  0
2 / y  x 2 , y  0, x  y  2
3 / y  x 2  2 x , y  0,0  x  3
4 / y   x  1 ; x  sin  y  ; y  0; y  1
2
9ln x
5/ y 
; y  x ln x
x
x
6 / y  3 ; y  0; x  1
x 1
Bài toán thể tích
D: a  x  b, y nằm giữa 0 và f(x)
Quay D xung quanh Ox
Vật thể tạo ra có dạng tròn xoay.
Bài toán thể tích
D: a  x  b, y nằm giữa 0 và f(x)
a
y  f (x)
D
a
Vx  

b
a
b
2
f ( x )dx
Bài toán thể tích
D: a  x  b, y nằm giữa 0 và f(x)
Miền D phải
nằm về 1 phía
của trục Oy
a
y  f (x)
D
a
b
Vy  2

b
a
xf ( x ) dx
Bài toán thể tích
D: a  x  b, y nằm giữa f1(x) và f2(x)
y  f2 ( x )
Miền D phải
nằm về 1 phía
của trục Ox
y  f1 ( x )
a
Vx  

b
a
b
2
2
f2 ( x )  f1 ( x ) dx
Bài toán thể tích
D: a  x  b, y nằm giữa f1(x) và f2(x)
y  f2 ( x )
Miền D phải
nằm về 1 phía
của trục Oy
y  f1 ( x )
a
Vy  2

b
a
b
x  f2 ( x )  f1 ( x )  dx
Bài toán thể tích
d
D: c  y  d, nằm giữa 0 và f(y)
x  f (y )
c
Bài toán thể tích
D: c  y  d, nằm giữa f1(y) và f2(y)
d
x  f1 ( y )
c
x  f2 ( y )
Lưu ý về tính đối xứng
Nếu miên D đối xứng qua Ox, D1 là phần phía
trên Ox của D
Vx (D )  Vx (D1 )

V
(
D
)

2
V
(
D
)
y
y
1

Ví dụ
1/ x  0; y  2  x ; y  x
2
2 / y  xe x , y  0, x  2
3 / y  1  x 2 , y  0 1  x  1
4 / y  1  x 2 , y  0 1  x  1
5 / y  x , y  0, x  y  2
2
Ví dụ
Tính thể tích khi D quay quanh Ox, Oy
y  1 x2
Vx  
 2
1
-1
 
1
1
Vy  2
x
0
1  x dx
2
 dx
 1  x  dx
1
0
1
1 x2
2
2
Ví dụ
Tính thể tích khi D quay quanh Ox, Oy
D : x  y  2y
2
2
Pt đường tròn giới hạn C:
2
1
x   2y  y 2
hay
y  1 1 x
2
Tính thể tích khi D quay quanh Ox, Oy
D : y  x 2  2 x , y  0,0  x  3
Tính thể tích khi D quay quanh Ox, Oy
D : y  x 2  2 x , y  3,0  x  3
Bài toán diện tích, thể tích với
đường cong tham số
D giới hạn bởi trục hoành, 2 đường thẳng x=a,
x=b và đường cong tham số x  x (t ), y  y (t ),
x (t1)  a, x (t 2 )  b
Nếu
S (D) 
t2
t
y (t ) x(t )dt
1
Vx  
t2
t
1
y (t ) x(t )dt , Vy  2
2
t2
t
1
x (t ).y (t ) x(t )dt
Ví dụ
Tính diện tích miền D giới hạn bởi:
x  cos3 t , y  sin 3 t ,0  t  
và trục hoành
t  [0,  ]  x  [1,1]
S (D ) 

1
1
ydx

0

sin t3cos t (  sin t )dt
3
2

3
 6 2 (sin t  sin t )dt 
0
16
4
6
Ví dụ
D:
x  cos t , y  sin t ,0  x  
3
3
và trục hoành
Tính thể tích tạo ra khi D quay quanh Ox, Oy
Nhận xét: D đối xứng qua Oy (thay x bởi  - x )
t  [0,  / 2]  x  [0,1]

Vx  2. 

 2

0

2

y dx 
0


1
2
y (t ) x(t )dt
2
Vx  2

 6
Vy  2
 2
0

sin t3cos t( sin t)dt
6
2
2


2 (sin 7 t  sin 9 t )dt
0

1

0
x.y dx
0

2
cos t sin t3cos t( sin t)dt
3
3
2
Độ dài đường cong phẳng
Diện tích mặt tròn xoay
Cho đường cong C: y= f(x), a  x  b
Độ dài đường cong C: L 

b
a
1  f ( x )  dx
2
Khi C quay quanh Ox tạo thành diện tích :
Sx  2

b
a
f ( x ) 1  f ( x )  dx
2
Ví dụ
1
Cho đường cong C: y 
x ( x  12),0  x  12
6
Tính độ dài đường cong và diện tích mặt
tạo ra khi C quay quanh Ox
1  x  12
1 3x  12 x  4

y  
 x 

6 2 x
6 2 x

4 x
2
(
x

4)
2

1 y  1
16 x
( x  4)
1 y  1
16 x
2
L
12
0
Sx  2


12
0
1  y  dx 
2

12
x  8x  16 ( x  4)


16 x
16 x
2
2
4
dx
4 x
12 x
0
y 1  y  dx
2
0
x
x4
( x  12)
dx
6
4 x
2
Ví dụ
Cho đường cong C: y  ln x , 1  x  2
Tính diện tích mặt tròn xoay tạo ra khi
C quay quanh Oy.
y  ln x , 1  x  2  x  e ,0  y  ln 2
y
Sy  2

1
0
f ( y ) 1  f ( y )  dy
ln 2 y
e
0
 2 
2
1  e dy
2y
ln 2 y
e
0
Sy  2 
 2 
2
1
1  e dy
2y
1  x dx
2

2 1
 5
 ln(2  5)  ln(1  2)
2 2

Bài toán độ dài cung và diện tích mặt tròn xoay với
đường cong tham số
Cho đường cong C: x = x(t), y = y(t), t1 t  t2
L
t2
t1
t2
 x(t)
Sx   y(t )
t1
2
  y(t) dt
2
 x(t)
2
  y(t)  dt
2