Transcript Презентация

В математике
следует помнить
не формулы,
а процессы
мышления.
В.П.Ермаков
Цели и задачи проекта:
изучить различные способы решения
уравнений в целых числах.
научиться решать диофантовы
уравнения, используя имеющиеся
алгоритмы.
выполнить сопоставительно –
аналитическую работу с контрольно –
измерительными материалами ЕГЭ и
заданий олимпиад разных лет.
Краткая теоретическая справка.
Уравнения вида f(x, y, …) = 0,
переменные в котором считаются
целочисленными,
называются уравнениями в целых числах или
диофантовыми уравнениями.
Под одним решением неопределенного уравнения
понимается
совокупность значений неизвестных,
которая обращает данное уравнение в верное равенство.
Задача
Допустим, в аквариуме
живут осьминоги и морские
звёзды. У осьминогов по 8
ног, а у морских звёзд – по 5.
Всего конечностей
насчитывается 39. Сколько в
аквариуме животных?
Решение:
Пусть х - количество морских звёзд, у –
количество осьминогов.
Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех
звёзд 5х ног. Составим уравнение:
5х + 8у = 39.
Заметим, что количество животных не
может выражаться нецелым или
отрицательным числами. Следовательно,
если х – целое неотрицательное число, то
и
у=(39 – 5х)/8 должно быть целым и
неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы
выражение 39 – 5х без остатка делилось
на 8.
Простой перебор вариантов показывает, что
это возможно только при х = 3, тогда
у = 3.
Алгоритм решения в целых числах
уравнения вида ax + by = c
.
• 1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b:
• если НОД(a, b) = d>1, и c не
делится на d, то уравнение целых
решений не имеет.
• если НОД(a, b) = d>1 и c:d, то
2. Разделить почленно
уравнение ax + by = c на d,
получив при этом уравнение
a1x + b1y= c1,
в котором НОД(a1, b1) = 1.
3. Найти целое решение (x0, y0) уравнения
a1x + b1y= c1 путем представления 1 как
линейной комбинации чисел a и b.
4. Составить общую
формулу целых решений
данного уравнения:
x = x0c + bt
y = y0c - at
Методы решения некоторых
нелинейных неопределенных уравнений.
Метод разложения
на множители
Метод
испытания остатков
Другие
методы решения
1. Метод разложения на множители.
Задание:
Решить уравнение в целых числах y3 - x3 = 91.
Решение:
1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть
уравнения на множители:
(y - x)(y2 + xy + x2) = 91 (1)
2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91
3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число
y2 + yx + x2 ≥ y2 - 2|y||x| + x2 = (|y| - |x|)2 ≥ 0,
следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть
положительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем
уравнений:
y  x  1
 2
2
 y  xy  x  91
 y  x  91
 2
2
 y  xy  x  1
y  x  7
 2
2
 y  xy  x  13
 y  x  13
 2
2
 y  xy  x  7
4) Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья
(-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.
Ответ: Уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).
2. Метод испытания остатков.
Пример.
Решить в целых числах x³ - 3y³ - 9z³ = 0
Решение.
1) Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0).
2)Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение
к виду:
x³ = 3y³ + 9z³
Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая обязана
делится на три, следовательно, так как 3 - число простое, х делится на 3, т.е. х
= 3k, подставим это выражение в уравнение (3):
27k3 = 3y³ + 9z³, откуда:
9k3 = y³ + 3z³
следовательно, y³ делится на 3 и y = 3m. Подставим полученное выражение в
уравнение (4):
9k3 = 27m³ + 3z³, откуда
3k3 = 9m³ + z³
В свою очередь, из этого уравнения следует, что z3 делится на 3, и z = 3n.
Подставив это выражение в (5), получим, что k3 должно делиться на 3.
Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны
трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа,
кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию,
будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным.
Другие методы
решения
уравнений.
При решении следующего уравнения применяется
неравенство Коши, справедливое для любых
положительных чисел:
x1  x2  ...  xn n
 x1  x2  ... xn
n
Решить в целых числах уравнение
xy yz zx
 
3
z
x
y
Решение:
1) Заметим, что слагаемые в левой части уравнения имеют
одинаковый знак, а поскольку их сумма положительна, то
каждое слагаемое также положительно. Поэтому к сумме,
стоящей слева, применим неравенство Коши, получим:
3
xy yz zx
xy yz zx

  3 3
 
=
z
x
y
z x y
33 xyz
Откуда, xyz = 1.
2) Исследуем возможные наборы трех целых чисел, которые в
произведении дают 1. Это могут быть тройки (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1),
(-1,1,-1).
Непосредственной проверкой убеждаемся, что каждая из них
является решением исходного уравнения.
Ответ: (1,1,1); (1,-1,-1); (-1,-1,1); (-1,1,-1).
Решение уравнений в целых числах из Единого
Государственного Экзамена (задания С6).
• Пример 1. Решить в натуральных числах уравнение х+
Решение:
1
у
1
z
=
10
7
Первое решение. Разложим 10/7 в цепную дробь
10
7
Из уравнения х +
=1+
1
2
1
3
1
10
=
получим
1
7
у
z
х+
1
у
1=1+
z
1
2
1
3
и из единственности разложения рационального
числа в цепную дробь следует х=1, у=2, z=3.
Второе решение.
Преобразуем уравнение
1
z
х+
=1+
1
1  yz
2
3
z
Тогда х - целая,
1  yz
- дробная часть, поэтому
х  1

3
 z

1  yz
7

1
1
1

yz
7
Из второго уравнения следует
 или у + = 2 +
z
3
z
3
откуда x=1, у = 2, z = 3.
Ответ: х = 1, у = 2, z = 3.
Пример 2. Решить в натуральных числах уравнение
х + y + z = xyz.
Решение:
Пусть х =< y =< z, тогда х + у + z =< 3z, а так как x + y + z = xyz,
то xyz =< 3z или ху =< 3.
Если бы х = у = z, то z3= 3z или z2= 3,
что невозможно при целом z.
Значит, хотя бы два из чисел х, у, z неравные, поэтому ху < 3,
т.е. ху = 2, либо ху = 1.
Если ху = 2, то х = 1, у = 2, и из исходного уравнения найдем
z =3.
Если бы ху = 1, то х = у = 1, и из исходного уравнения получим 2
+ z = z, что невозможно.
Из найденного уравнения х = 1, у = 2,z = 3 найдем остальные
перестановками.
Ответ: (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3),(2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1).
Выводы:
• при решении неопределенных уравнений в целых числах
применяются свойства, оценка выражений, входящих в
уравнение; выражение одной переменной через другую и
выделение целой части дроби; метод разложения многочлена на
множители, метод полного перебора всех возможных значений
переменных, входящих в уравнение;
• для линейных уравнений с двумя переменными, т.е. уравнения
вида ax+by=c, существует алгоритм решения;
• диофантовы уравнения встречаются в олимпиадных заданиях,
заданиях Единого государственного экзамена развивая
логическое мышление, повышая уровень математической
культуры, прививая навыки самостоятельной
исследовательской работы в математике.
Список используемой литературы:
• Башмакова, И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. – М.: Наука,
1972
• Васильев, Н.Б. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. –
М., 1998.
• Материалы для подготовки к ЕГЭ
• Ресурсы Интернет