Transcript 3. OR – Linear Programming - febriyanto79

Operations Research
Linear Programming (LP)
www.febriyanto79.wordpress.com
Dosen
Febriyanto, SE. MM.
Linear Programming
Linear programing (LP) adalah salah satu metode matematis yang
digunakan untuk membantu manajer dalam pengambilan keputusan.
Salah satu ciri khususnya yaitu berusaha mencari maksimisasi
keuntungan atau minimisasi biaya.
LP digunakan untuk menguji/menyelesaikan model untuk mencari
alternatif keputusan yang dapat mengoptimalkan sifat maksimum atau
minimum dari fungsi tujuan.
Suatu penyelesaian masalah LP perlu dibentuk formulasi secara
matematik dari masalah yang sedang dihadapi dengan memenuhi syarat
sebagai berikut:



Adanya variabel keputusan yang dinyatakan dalam simbul matematik dan
variabel keputusan ini tidak negatif.
Adanya fungsi tujuan dari variabel keputusan yang menggambarkan kriteria
pilihan terbaik. Fungsi tujuan ini harus dapat dibuat dalam satu set fungsi
linear yang dapat berupa maksimum atau minimum.
Adanya kendala sumber daya yang dapat dibuat dalam satu set fungsi linear.
www.febriyanto79.wordpress.com
Linear Programming

Aplikasi Model LP
 Masalah product mix atau kombinasi produksi,
yaitu menentukan berapa jumlah dan jenis produk yang harus
dibuat agar diperoleh keuntungan maksimum atau biaya minimum
dengan memperhatikan sumber daya yang dimiliki.


Masalah perencanaan investasi,
yaitu berapa banyak dana yang akan ditanamkan dalam setiap
alternatif investasi, agar memaksimumkan Return On Investment
atau Net Present Value dengan memperhatikan kemampuan dana
tersedia dan ketentuan setiap alternatif.
Masalah perencanaan produksi dan persediaan,
yaitu menentukan berapa banyak produk yang akan diproduksi
setiap periode, agar meminimumkan biaya persediaan, sewa,
lembur dan biaya subkontrak.
www.febriyanto79.wordpress.com
Linear Programming
Aplikasi Model LP
 Masalah perencanaan advertensi/promosi, yaitu berapa banyak
dana yang akan dikeluarkan untuk kegiatan promosi, agar
diperoleh efektivitas penggunaan media promosi.



Masalah diet, yaitu berapa banyak setiap sumber makanan
digunakan untuk membuat produk makanan baru.
Masalah pencampuran, yaitu berapa banyak jumlah setiap
bahan yang akan digunakan untuk membuat bahan baru.
Masalah distribusi/transportasi, yaitu jumlah produk yang akan
dialokasikan ke setiap lokasi pemasaran.
www.febriyanto79.wordpress.com
Linear Programming
Asumsi Model LP
 Linearitas:
 Fungsi tujuan (objective function) dan kendala (constraint
equations) dapat dibuat dalam satu set fungsi linear.






Divisibility:
nilai variabel keputusan dapat berbentuk pecahan atau
bilangan bulat (integer).
Nonnegativity:
nilai variabel keputusan tidak boleh negatif atau minimal = nol.
Certainty:
Semua keterbatasan maupun koefisien variabel setiap kendala
dan fungsi tujuan dapat ditentukan secara pasti.
www.febriyanto79.wordpress.com
Linear Programming
Formulasi Model LP

Membuat formulasi model LP atau model matematik LP, terdapat tiga
langkah utama yang harus dilakukan, yaitu:
Tentukan variabel keputusan atau variabel yang ingin diketahui
dan gambarkan dalam simbul matematik.
Tentukan tujuan dan gambarkan dalam satu set fungsi linear dari
variabel keputusan yang dapat berbentuk maksimum atau
minimum.
Tentukan kendala dan gambarkan dalam bentuk persamaan linear
atau ketidaksamaan linear dari variabel keputusan.

Perumusan model LP ini adalah kunci keberhasilan dalam
menyelesaikan masalah dengan metode LP, dan untuk dapat
merumuskan model LP secara tepat diperlukan banyak latihan,
karena setiap masalah yang dihadapi akan memiliki model yang
berbeda.
www.febriyanto79.wordpress.com
Formulasi Model Linear Programming
Contoh 1. Masalah kombinasi produksi
Perusahaan Maspion merencanakan untuk memproduksi tiga
jenis produk peralatan dapur yang membutuhkan tenaga
kerja dan bahan baku, tabel berikut rincianya:
Keterangan
Jam Tenaga Kerja
Bahan Baku
Keuntungan (Rp)
A
4
2
40
Jenis Produk
B
3
2
30
C
2
3
20
Penyediaan bahan baku yang dapat dilakukan per hari
sebanyak 400 kg, sedangkan kapasitas jam tenaga kerja
yang dimiliki adalah 300 jam perhari.
Bagaimana merumuskan model LP, agar diperoleh
keuntungan maksimum dari produksi harian.
www.febriyanto79.wordpress.com
Formulasi Model Linear Programming
• Penyelesaian Contoh 1. Masalah kombinasi produksi
Menentukan variabel keputusan atau kegiatan yang ingin
diketahui adalah produksi harian dari jenis produk.
 Misalkan:
x1 = jumlah produksi harian produk A
x2 = jumlah produksi harian produk B
x3 = jumlah produksi harian produk C
Menentukan tujuan, yaitu maksimum keuntungan dengan
anggapan semua produksi laku terjual.
Fungsi tujuan berbentuk maksimum, dirumuskan sebagai
berikut:
Zmak = 40x1 + 30x2 + 20x3
www.febriyanto79.wordpress.com
Formulasi Model Linear Programming
Penyelesaian Contoh 1. Masalah kombinasi produksi
Menentukan kendala, yaitu jam tenaga kerja dan bahan baku.
 Produk A membutuhkan 4x1 jam tenaga kerja.
 Jenis B membutuhkan 3x2 jam tenaga kerja dan
 Jenis C membutuhkan 2x3 jam tenaga kerja
Kebutuhan jam tenaga kerja total adalah
 4x1 + 3x2 + 2x3 dan tidak boleh melebihi 300 jam perhari.
 Sehingga fungsi kendala jam tenaga kerja adalah:
4x1 + 3x2 + 2X3 ≤ 300
Demikian pula dengan bahan baku,
 produk A membutuhkan 2x1
 produk B membutuhkan 2x2 dan
 produk C membutuhkan 3x3.
 Sehingga fungsi kendala bahan baku adalah 2x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 400
www.febriyanto79.wordpress.com
Formulasi Model Linear Programming
Penyelesaian Contoh 1. Masalah kombinasi produksi
Dari ketiga langkah tersebut, secara lengkap model
LP masalah kombinasi produksi perusahaan
Maspion dapat dirumuskan sebagai berikut:
Zmak = 40x1 + 30x2 + 20x3
d.k.
(1) 4x1 + 3x2 + 2x3
(2) 2x1 + 2x2 + 3x3
(3) x1; x2; x3
≤ 300 (jam tenaga kerja)
≤ 400 (bahan baku)
≥ 0 (non negativity)
www.febriyanto79.wordpress.com
LP Metode Grafik Maximisasi
Masalah Kombinasi Produk:

Perusahaan Maspion menghasilkan tigajenis produk, yaitu A, B
dan C. Ketiga jenis produk membutuhkan dua sumber daya,
yaitu tenaga kerja dan bahan baku:
Keterangan
Jam tenaga kerja
Bahan baku
Keuntungan





Jenis Produk
A
B
C
4
2
40
3
2
30
2
3
20
Penyediaan bahan baku yang dapat dilakukan per hari 400 kg,
kapasitas jam kerja 300 jam per hari. Buat formulasi LP?
Jawab:
1).
2).
3).
Zmak = 40 A + 30 B + 20 C
4A + 3 B + 2 C ≤ 300 (jam Tenaga Kerja)
2A + 2 B + 3 C ≤ 400 (bahan baku)
A, B, C, ≥ 0 (non negativity)
www.febriyanto79.wordpress.com
Linear Programming Metode Grafik
Contoh. Masalah Product Mix.
PT. VENUS adalah pabrik yang memiliki dua jenis produk yaitu
Astro dan Cosmos. Untuk memproduksi kedua produk, diperlukan
bahan baku X, bahan baku Y dan jam tenaga kerja. Maksimum
penyediaan bahan baku X adalah 60 kg per hari, bahan baku Y 30
kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan bahan
baku dan jam tenaga kerja, dapat dilihat dalam Tabel berikut.
Produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 untuk Astro dan
Rp.30 untuk cosmos. Bagaimana menentukan jumlah produk yang
akan diproduksi dalam setiap hari agar mencapai laba max.
www.febriyanto79.wordpress.com
Linear Programming Metode Grafik
Sumbangan keuntungan Astro Rp 40,00 dan Rp30,00 Cosmos
X1 = Astro
X2 = Cosmos
Zmax = 40x1 + 30x2
d.k [1]
2X1 +
[2]
[3]
2X1 +
[4]
[5]
3X2
2X2
1X2
X1
X2
≤ 60
≤ 30
≤ 40
≥0
≥0
(bahan baku A)
(bahan baku B)
(jam tenaga kerja)
(nonnegativity)
(nonnegativity).
www.febriyanto79.wordpress.com
Sebuah perusahaan merencanakan memproduksi dua jenis produk dengan
harga jual produk A Rp 500 dan produk B Rp 400. Biaya variabel kedua
jenis produk 60% dari harga jual. Setiap produk diproses melalui tiga
departemen produksi, yaitu departemen I, departemen II dan departemen III
yaitu pengujian produk akhir. Setiap jenis produk membutuhkan waktu
pemrosesan dan kapasitas jam tenaga kerja perminggu untuk departemen I
dan II adalah sebagai berikut:
Jenis Produk
Keterangan
Departemen I
Departemen II
Departemen III
A
B
Kapasitas
(Jam)
2
5
8
4
3
2
750
900
-
Untuk menjaga keseimbangan produksi, manajer menetapkan bahwa paling
sedikit satu unit produk B untuk setiap tiga unit produk A. Khusus untuk jam
tenaga kerja departemen III, yang menggunakan tenaga kerja kontrakan,
telah disepakati bahwa paling sedikit penggunaan jam tenaga kerja
sebanyak 650 jam perminggu. Kebijakan manajer lainnya adalah ditetapkan
bahwa kedua jenis produk tersebut diproduksi paling sedikit atau minimum
50 unit setiap minggu. Bagaimana formulasi model LP, agar diperoleh
keuntungan maksimum?. www.febriyanto79.wordpress.com
Penyelesaian Contoh 1.
Masalah kombinasi produksi
1.
Menentukan variabel keputusan, yaitu:
X1 = jumlah produksi mingguan produk A
x2 = jumlah produksi mingguan produk B
2.
Menentukan fungsi tujuan, keuntungan yang diperoleh
setiap kali memproduksi dan menjual
Produk A adalah Rp 500 - (60% x 500) = Rp 200.
Produk B adalah Rp 400 - (60% x 400) = Rp 160.

Fungsi tujuan dapat dirumuskan sebagai berikut:
Zmak = 200x1 + 160x2
www.febriyanto79.wordpress.com
Penyelesaian Contoh 1.
Masalah kombinasi produksi
3. Menentukan fungsi kendala, dalam kasus ini terdapat lima
jenis kendala, yaitu kendala minimum produksi, jam kerja
departemen I, jam kerja departemen II, jam kerja
departemen III, dan keseimbangan produksi.





(1) x1 + x2
(2) 2x1 + 4x2
(3) 5x1 + 3x2
(4) 8x1 + 2x2
(5) 3x1 - b
≥ 50
≤ 750
≤ 900
≥ 650
≥0
(produksi minimum)
(departemen I)
(departemen II)
(departemen III)
(keseimbangan produksi)
www.febriyanto79.wordpress.com
Penyelesaian Contoh 1.
Masalah kombinasi produksi
Secara lengkap formulasi model LP sebagai berikut:
 Zmak = 200x1+ 160x2
Dk
 (1) x1 + x2
≥ 50
 (2) 2x1 + 4x2
≤ 750
 (3) 5x1 + 3x2
≤ 900
 (4) 8x1 + 2x2
≥ 650
 (5) 3x1 - x2
≥0
 (6) X1, X2
≥0
www.febriyanto79.wordpress.com
Salah satu pemakaian LP yang berhasil adalah dalam menyelesaikan
masalah pencampuran bahan untuk mendapatkan bahan baru atau
masalah komposisi bahan yang digunakan. Misalnya, perusahaan
membutuhkan 500 kg makanan ternak per hari dan makanan tersebut
harus mengandung:
1. Paling sedikit 0,6% calcium tetapi tidak boleh lebih dari 1,2%
2. Paling sedikit 24% protein,
3. Paling banyak 5% serat.
Bahan
Kapur
Jagung
K. Kedelai
Calsium
0.34
0.001
0.002
Protein
0
0.09
0.50
Serat
0
0.02
0.08
Harga/kg
Rp. 325
Rp. 900
Rp. 2.500
Ketiga bahan di atas dapat diperoleh dari kapur (calcium carbonat),
jagung dan kacang kedelai. Kandungan gizi per kg dari ketiga bahan
tersebut adalah sebagai berikut:
Bagaimana formulasi LP agar diperoleh komposisi bahan yang
membuat biaya seminimum mungkin.
www.febriyanto79.wordpress.com
Penyelesaian Contoh 3.
Masalah Komposisi Bahan
1. Variabel keputusan:
 X1 = jumlah kapur yang dibutuhkan untuk membuat
500 kg makanan ternak
 X2 = jumlah jagung yang dibutuhkan untuk membuat
500 kg makanan ternak
 X3 = jumlah kacang kedelai yang dibutuhkan untuk
membuat 500 kg makanan ternak
2. Fungsi tujuan
 Zmin = 325X1 + 900X2 + 2500X3
www.febriyanto79.wordpress.com
Penyelesaian Contoh 3.
Masalah Komposisi Bahan
3. Fungsi kendala
1) 0.34X1 + 0.001X2 + 0.002X3 ≥ 0.006(500)
Atau 0.34X1 + 0.001X2 + 0.002X3 ≥ 3
2) 0.34X1 + 0.001X2 + 0.002X3 ≤ 0.012(500)
Atau 0.34X1 + 0.001X2 + 0.002X3 ≤ 6
3)
0.090X2 + 0.500X3 ≥ 0.24(500)
Atau 0.090X2 + 0.500X3 ≥ 120
4)
0.020X2 + 0.080X3 ≥ 0.05(2500)
Atau 0.020X2 + 0.080X3 ≥ 125
www.febriyanto79.wordpress.com
Penyelesaian Contoh 3.
Masalah Komposisi Bahan
Secara lengkap formulasi model LP dari masalah
komposisi bahan tersebut, sebagai berikut:
Zmin = 325X1 + 900X2 + 2500X3
d.k. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
0.34X1+ 0.001X2 + 0.002X3≥ 3
0.34X1+ 0.001X2 + 0.002X3≤ 6
0.090X2 + 0.500X3 ≥ 120
0.020X2 + 0.080X3 ≥ 125
X1,
X2,
X3
≥0
www.febriyanto79.wordpress.com
(B. Calsium)
(B. Calsium)
(B. Kapur)
(B. K. Kdlai)
(nonnegatif)
Linear Programming Metode Grafik
Linear programing (LP) adalah salah satu metode matematis
yang digunakan untuk membantu manajer dalam
pengambilan keputusan.
Metode Grafik: Masalah Maximisasi
Langkah mencari solusi optimal secara grafik adalah sebagai
berikut:
 Langkah [1].
Gambarkan kendala dan tentukan daerah
yang layak (feasible solution space).
 Langkah [2].
Gambarkan garis fungsi tujuan.
 Langkah [3].
Dapatkan solusi optimal, dengan cara
mencari nilai variabel keputusan yang
dapat memaksimumkan fungsi tujuan.
www.febriyanto79.wordpress.com
Linear Programming Metode Grafik
Contoh. Masalah Product Mix.
PT. VENUS adalah pabrik yang memiliki dua jenis produk yaitu
Astro dan Cosmos. Untuk memproduksi kedua produk, diperlukan
bahan baku X, bahan baku Y dan jam tenaga kerja. Maksimum
penyediaan bahan baku X adalah 60 kg per hari, bahan baku Y 30
kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan bahan
baku dan jam tenaga kerja, dapat dilihat dalam Tabe berikut.
Produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40,00 untuk Astro dan
Rp30,00 untuk cosmos. Masalahnya, bagaimana menentukan
jumlah produk yang akan diproduksi dalam setiap hari agar
mencapai laba max.
www.febriyanto79.wordpress.com
Linear Programming Metode Grafik
Sumbangan keuntungan sebesar Rp 40,00 untuk Astro dan Rp30,00
untuk cosmos
Z mak = 40x1 + 30x2
d.k [1]
2X1 +
[2]
[3]
2X1 +
[4]
[5]
3X2
2X2
1X2
X1
X2
≤ 60
≤ 30
≤ 40
≥0
≥0
(bahan baku A)
(bahan baku B)
(jam tenaga kerja)
(nonnegativity)
(nonnegativity).
www.febriyanto79.wordpress.com
Linear Programming Metode Grafik
Langkah 1: Menggambarkan
grafik kendala
Kendala 1: Bahan baku A.
 Kendala
2x1 + 3x2 ≤ 60 
2x1 + 3x2 = 60.
 Bila x1 = 0,
Maka x2 = 60/3 = 20
 Bila x2 = 0,
Maka x1 = 60/2 = 30.
www.febriyanto79.wordpress.com
Linear Programming Metode Grafik
Kendala 2: Bahan baku B.
Kendala

2x2 ≤ 30

2x2 = 30,

x2 = 30/2

X2 = 15.
www.febriyanto79.wordpress.com
Linear Programming Metode Grafik
Kendala 3: Jam tenaga kerja.

2x1 + 1x1 ≤ 40

2x1 + 1x2 = 40

bila xl = 0,
maka x2 = 40/1 = 40

bila x2 = 0,
maka xl = 40/2 = 20
www.febriyanto79.wordpress.com
Linear Programming Metode Grafik
Langkah 2:
Daerah feasible
(feasible solution
space) adalah daerah
yang diliputi oleh semua
kendala.
Untuk mendapatkan
daerah ini, kita ambil
setiap daerah feasible
yang terdapat pada
ketiga gambar.
Daerah feasible terletak
pada ersilangan ketiga
gambar tersebut. Dalam
Gambar 3.4 daerah
feasible adalah titik
ABCDE.
www.febriyanto79.wordpress.com
Linear Programming Metode Grafik
Langkah 3. Mendapatkan solusi optimal
[1] 2x1 + 3x2 =
60
[3] 2x1 + 1x2 =
40 2x2
= 20
X2
= 10
Masukkan X2 = 10 ke dalam salah satu persamaan:
2x1 + 3(10) = 60
2x1 + 30
= 60
=> 2x1 = 60 – 30
=> 2x1 = 30
x1
= 15.
Nilai optimum fungsi tujuan dapat ditemukan dengan memasukkan
x1 = 15 dan x2 = 10 ke dalam fungsi tujuan Z:
Z = 40(15) + 30(10)
Z = 600 + 300
Z = 900
www.febriyanto79.wordpress.com
Linear Programming Metode Grafik
Setelah melakukan analisa,
secara praktis dapat
disimpulkan bahwa: Kombinasi
produk optimum (optimum
product mix) adalah
memproduksi 15 astro dan 10
cosmos setiap hari, dengan
maksimum keuntungan per
hari Rp900,00.
www.febriyanto79.wordpress.com
LP Metode Grafik Maximisasi
Masalah Maksimum Keuntungan:

Sebuah perusahaan menghasilkan dua jenis produk, yaitu G dan
T. Kedua jenis produk diproses melalui tiga departmen dengan
kapasitas jam kerja serta waktu proses setiap produk adalah
sebagai berikut:
Jenis Produk
Keterangan
Dept. Pencampuran
Dept. Penyaringan
Dept. Penyelesaian

G
T
1
2
1
2
1
1
Kapasitas (jam)
40
40
25
Kedua jenis produk, memberikan sumbangan keuntungan
sebesar Rp. 30 untuk G dan Rp. 20 untuk T. Bagaimana
kombinasi pengerjaan agar memperoleh keuntungan
maksimum.
www.febriyanto79.wordpress.com
LP Metode Grafik Maximisasi
Masalah Maksimum Keuntungan:
Keterangan
Dept. Pencampuran
Dept. Penyaringan
Dept. Penyelesaian
Jenis Produk
G
T
1
2
1
2
1
1
Kapasitas (jam)
40
40
25
Kedua jenis produk, memberikan sumbangan keuntungan sebesar
Rp. 30 untuk G dan Rp. 20 untuk T. Bagaimana kombinasi
pengerjaan agar memperoleh keuntungan maksimum.
Formulasi LP
Zmak = 30G + 20T
d.k. (1) G + 2T
≤ 40
(2) 2G + T
≤ 40
(3) G + T
≤ 25
(4) G ; T
≥0

www.febriyanto79.wordpress.com
LP Metode Grafik Maximisasi
Formulasi LP
Zmak = 30G + 20T
d.k. (1) G + 2T
(2) 2G + T
(3) G + T
(4) G ; T
≤ 40
≤ 40
≤ 25
≥0
Kendala 1

G + 2T ≤ 40, atau G + 2T = 40

G = 0,  T = 20; dan jika T = 0,  G = 40
Kendala 2

2G + T ≤ 40, atau 2G + T = 40

Jika G = 0,  T = 40; dan jika T = 0,  G = 20
Kendala 3

G+T ≤ 25, atau G + T = 25

Jika G = 0,  T = 25; dan jika T = 0,  G = 25
www.febriyanto79.wordpress.com
LP Metode Grafik Maximisasi
Fungsi tujuan
Zmak = 30G + 20T,
Jika Z = Rp 300,
Jika produk T = 0,
produk G = 10.
Jika produk G = 0,
produk T = 15.
www.febriyanto79.wordpress.com
LP Metode Grafik Maximisasi
Jika grafik fungsi tujuan digeser kekanan menjauhi titik origin, maka
titik ekstrim C merupakan titik ekstrim optimum, yaitu titik yang
disinggung oleh garis fungsi tujuan yang terjauh dari titik nol. Titik
ekstrim C, terbentuk dari perpotongan garis kendala departemen
penyaringan dan penyelesaian.
2G + T = 40
2(15) + T = 40
G + T = 25 T = 10
G = 15
Dari hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa untuk
mendapatkan keuntungan maksimum produk G yang harus
diproduksi sebanyak 15 unit dan produk T sebanyak 10 unit, dengan
total keuntungan sebesar:
Zmak = 30G + 20T
Zmak = 30(15) + 20(10) = 450 + 200
Zmak = Rp 650
www.febriyanto79.wordpress.com
Linear Programming Metode Grafik
Linear programing (LP) adalah salah satu metode
matematis yang digunakan untuk membantu
manajer dalam pengambilan keputusan.
Salah satu ciri khususnya yaitu berusaha mencari
maksimisasi keuntungan atau minimisasi biaya.
LP digunakan untuk menguji/menyelesaikan model
untuk mencari alternatif keputusan yang dapat
mengoptimalkan fungsi tujuan. Kata optimal
dipakai untuk menonjolkan sifat maksimum atau
minimum dari fungsi tujuan.
www.febriyanto79.wordpress.com
Metode Grafik: Masalah Minimisasi
Penggunaan metode grafik untuk menyelesaikan
masalah minimisasi pada prinsipnya sama dengan
masalah maksimisasi.
Perbedaan terletak pada langkah 3 dalam hal
penentuan solusi optimum.
Solusi optimum masalah maksimisasi tercapai pada
saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah
feasible yang terjauh dari titik origin. Sedangkan
masalah minimisasi, solusi optimum tercapai pada
saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah
feasible yang terdekat dengan titik origin.
www.febriyanto79.wordpress.com
Metode Grafik: Masalah Minimisasi
Penyelesaian Masalah Minimisasi
 Langkah 1.
 Gambarkan semua kendala




Langkah 2.
Gambarkan garis fungsi tujuan
Langkah 3.
Dapatkan solusi optimum, dengan cara
mencari nilai variabel keputusan yang dapat
meminimumkan fungsi tujuan.
www.febriyanto79.wordpress.com
Metode Grafik: Masalah Minimisasi
Seorang ahli penata diet merencanakan untuk membuat
dua jenis makanan yaitu makanan A dan makanan B.
Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan
protein.
Jenis makanan A paling sedikit diproduksi 2 unit dan jenis
makanan B paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel 3.2
berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam
setiap jenis makanan.
www.febriyanto79.wordpress.com
Metode Grafik: Masalah Minimisasi
Formulasi LP
Zmin = 100x1 + 80x2
d.k [1] 2x1 + 1x2 ≥ 8
[2] 2x1 + 3x2 ≥ 12
[3]
x1
≥2
[4]
x2
≥1
[5]
x1
≤0
[6]
x2
≤0
(vitamin)
(protein)
(makanan A)
(makanan B)
(nonnegativity)
(nonnegativity)
www.febriyanto79.wordpress.com
Metode Grafik: Masalah Minimisasi
Langkah 1
menggambarkan grafik
kendala.
[1] 2x1 + 1x2 ≥ 8
(vitamin)
2x1 + 1x2 = 8,  xl = 0
2(0) + 1x2 = 8
.
1X2
=8
.
X2
=8
2x1 + 1x2
2x1 + 1(0)
2x1
.
X1
= 8,  x2 = 0
=8
=8
=4
www.febriyanto79.wordpress.com
Metode Grafik: Masalah Minimisasi
Langkah 1
menggambarkan grafik
kendala.
[2] 2x1 + 3x2 ≥ 12 (protein)
2x1 + 3x2 = 12  xl = 0
2(0) + 3x2 = 12
.
3X2
= 12
.
X2
=4
2x1 + 3x2
2x1 + 3(0)
2x1
.
X1
= 12  x2 = 0
= 12
= 12
=6
www.febriyanto79.wordpress.com
Metode Grafik: Masalah Minimisasi
Langkah 1
menggambarkan grafik
kendala.
[3] X1 ≥ 2 (makanan A)
X1 = 2
[4] X2 ≥ 1 (makanan B)
X2 = 1
www.febriyanto79.wordpress.com
www.febriyanto79.wordpress.com
Metode Grafik: Masalah Minimisasi
Langkah 2 fungsi tujuan.
 Z min = 100x1 + 80x2.
Langkah 3 mencari nilai minimum Z
Kombinasi optimum (xl dan x2) adalah pada titik B yaitu
persilangan garis kendala [1] dan [2].
[1] 2x1
+
1x2
=8
[2] 2x 1
+
3x2
= 12 -2x2
= -4
x2
=2
Masukkan x2 = 2 kedalam persamaan [1]
2x1
+
1(2) = 8
2x1
= 8-2
2x1
=6
X1
=3
www.febriyanto79.wordpress.com
Metode Grafik: Masalah Minimisasi
Langkah 2 fungsi tujuan.
 Z min = 100x1 + 80x2
 Z min = 100(3) + 80(2)
 Z min = 300 + 160
 Z min = 460
Jumlah kombinasi optimum dari makanan A adalah
3 unit dan makanan B sebanyak 2 unit.
Total biaya minimum adalah Rp.460.
www.febriyanto79.wordpress.com