Transcript Касательная к окружности

Окружность
Выполнили:
Ученики 8 Б класса школы № 89
Вахрушева Ксения, Габдуллин Марат,
Курдес Полина, Обухова Саша,
Хуснутдинова Инзиля, Щенин Стас.
Содержание
§ 1. Касательная к окружности
§ 2. Центральные и вписанные углы
§ 3. Четыре замечательные точки
треугольника
§ 4. Вписанная и описанная
окружности
Выход
Касательная к окружности
• Взаимное расположение прямой и окружности
• Теоремы о касательной к окружности
Содержание
Взаимное расположение прямой и
окружности
M
H
А
H
M
B
о
d<r
H
о
d=r
r
о
d>r
Касательная к окружности
Определение: прямая, имеющая с окружностью
только одну общую точку, называется касательная к
окружности, а их общая точка называется точкой
касания прямой и окружности
А
касательная
о
Точка касания
Теорема: Касательная к окружности
перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку
касания
Доказательство:
А
r
о
1) Пусть p 
d
r
p
2) Тогда r – наклонная к P
r
d<r

3) Прямая P имеет 2 общие точки с окружностью
4) Это противоречит условию: прямая P - касательная
5)
P

r
Теорема доказана

Свойство отрезков касательных
AB и AC – отрезки
касательных
В
1. AB = AC
А
О
С
2. AO – прямая,
проходящая через
т. А и центр
окружности

BAO =
CAO
Теорема: Если прямая проходит через конец
радиуса, лежащий на окружности, и
перпендикулярна к этому радиусу, то она
является касательной.
Доказательство:
А
r
О
1) ОА
m

2) ОА = r
m

ОА - касательная
Теорема доказана
Центральные и вписанные
углы
• Градусная мера дуги окружности
• Теорема о вписанном угле
Содержание
Градусная мера дуги окружности
А
d
О
В
Дуга называется полуокружностью,
если отрезок, соединяющий ее концы,
является диаметром окружности.
дуга АМВ=180
M
L
Если дуга АМВ < полуокружности или
дуга АМВ = полуокружности, то дуга
АМВ = углу АОВ.
О
А
В
M
Если дуга АLB > полуокружности, то
дуга АLB = 360 – угол АМВ.
Дуга АМВ + дуга ALB = 360
Теорема о вписанном угле
О
А
В
Определение: угол, вершина
которого лежит на окружности, а
стороны пересекают окружность,
называется вписанным углом.
Теорема: Вписанный угол измеряется
половиной дуги, на которую он опирается.
В
1
А
2
О
с
1)Доказательство:
1. ВО совпадает со стороной ВС
2. Дуга АС < полуокружности =>
угол АОС = дуга АС
3. Угол 1 = угол 2 =>
угол АОС = угол 1 + угол 2 = 2 * угол1
4. 2 * угол1 = дуга АС =>
угол АОС = угол1 = ½ дуги АС
Теорема доказана
2)Доказательство:
1. ВD делит угол АВС на углы: АВD и СBD
В
А
2. Угол ABD = ½ дуги AD и
угол АВС = ½ дуги DC =>
О
с
D
УголABD+ угол DBC=½(дуга AD + дуга DC)
Или угол АВС = ½ дуги AC.
3)Доказательство:
В
1. BD не делит угол ABC на углы и не
совпадает со сторонами этого угла
2. Угол CBD = ½ дуги CD
А
О
с
3. Угол ABD = ½ дуги AD
4. Дуга AC = дуга АС + дуга CD
D
5. Угол АВС = угол ABD – угол СBD =>
Угол АВС = ½ (дуга АD – дуга CD)
Или угол АВС = ½ АС.
Теорема доказана
Теорема: Если две хорды окружности
пересекаются, то произведение отрезков одной хорды
равно произведению отрезков другой хорды.
С
A
2
4
1
3
Е
D
Доказательство:
В
1. Угол 1 = угол 2 – вписанные и
опираются на дугу BD
2. Угол 3 = угол 4 – вертикальные
3. ADE
СBE =>
АЕ:СЕ = DE:BE или АЕ*ВЕ = СЕ*DE
Теорема доказана
Четыре замечательные
точки треугольника
• Свойства биссектрисы угла и серединного
перпендикуляра к отрезку
• Теорема о пересечении высот
треугольника
Содержание
Свойства биссектрисы
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной
точке.
1. АА1 и ВВ1 биссектрисы
В
к
2.ОК и OL перпендикуляры
3. ОК = ОВ1; ОК = ОL;
L
С1
A1 OL = OB1, т.к. т.О
равноудалена от
О
A
В1
сторон
С треугольника
(по теореме)
Теорема: Каждая точка биссектрисы
неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и
равноудалена от сторон угла, лежит на его
биссектрисе.
К
В 1)Доказательство:
1. АМ – общая гипотенуза
1
A
М
2
L
С
2. Угол 1 = угол 2 (АМ – биссектриса)
АМК = АМL => МК = ML
2)Доказательство:
1. АМ - общая гипотенуза
2. МК = ML (по условию)
АКМ = АLM => угол 1 = угол 2
Значит АМ – биссектриса угла ВАС
Теорема доказана
Теорема: Каждая точка серединного перпендикуляра
к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов
отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
М
1)Доказательство:
1. ОА = ОВ
2. ОМ – общий катет
ОМА = ОВМ => АМ = ВМ
2)Доказательство:
А
О
m
В 1. AМ = BМ
2. МO – медиана АМВ и высота =>
МO AB,
значит МО и m совпадают,
т. М лежит на прямой m.
Теорема доказана
Свойство: Серединные перпендикуляры к
сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
В
1. ОВ = ОА и ОВ = ОС,
m
значит ОА = ОС,
n
О
т.О равноудалена от концов АС,
=> АС лежит на p,
А
p
С
следовательно m, n, p
пересекаются в т.О
Теорема о пересечении высот
треугольника
Теорема: Высоты треугольника пересекаются в
одной точке.
В
С2
А1
С1
А
А2
В1
В2
С
Доказательство:
1. АВ = А2С и АВ = СВ2 как противоположные стороны
параллелограммов АВА2С и АВСВ2, А2С = СВ2
2. С2А = АВ2 и С2В = ВА2
3. СС1  А2В2, АА1  В2С2 и ВВ1  А2С2
следовательно АА1, ВВ1 и СС1 являются
серединными перпендикулярами и они
пересекаются в одной точке.
Теорема доказана
Вписанная и описанная
окружности
• Вписанная окружность
• Описанная окружность
Содержание
Вписанная окружность
Определение: Если все стороны многоугольника
касаются окружности, то эта окружность вписанная, а
этот многоугольник – описанный около окружности.
Теорема: В любой треугольник можно вписать
окружность.
Доказательство:
С
М
L
О
А
К
1.ОК = ОL = OM
2.Окружность проходит через
точки К, L, М
3. Стороны треугольника касаются
окружности в этих точках, т.к. они
В
перпендикулярны к радиусам
ОК, ОL, ОМ
Значит окружность является
вписанной.
Теорема доказана
Описанная окружность
Определение: Если все вершины многоугольника
лежат на окружности, то эта окружность описанная, а
многоугольник вписанный в окружность.
Теорема: Около любого треугольника можно
описать окружность.
Доказательство:
С
1. ОА = ОВ = ОС
2. Окружность проходит через все
вершины треугольника АВС,
Значит окружность является
описанной.
О
А
В
Теорема доказана