Transcript aturan sinus,cos dan luas segitiga

Perbandingan ,fungsi, persamaan dan
identitas trigonometri
Perbandingan trigonometri
Seorang ingin mengukur tinggi tiang bender dengan
menggunakan klinometer

Adaptif
Perbandingan Trigonometri
Pengalaman Belajar
 Seorang siswa program keahlian bangunan ingin
praktik membuat rangka atap rumah dengan
ketentuan ukuran seperti gambar berikut. Maka
panjang x adalah …
2m
xm
3
4
m
Adaptif
Perbandingan Trigonometrri
Pengalaman Belajar
 Puncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan sudut
elevasi 300 dan dilihat dari B dengan sudut elevasi 450
seperti pada gambar. Apabila jarak A dan B adalah 20
meter, berapa tinggi menara tersebut?
300
A
450
B
20 m
Adaptif
APA yang terjadi ?
Perbandingan Trigonometri
Apabila ada beberapa guru memberi tugas pada
muridnya sbb:
“Segitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisi
AC=4, BC=6 dan AB=8. Tentukan besar sudut
A.”
Adaptif
Perbandingan
Trigonometri
Sekilas
???
 Tidak ada yang aneh dalam soal yang diberikan
oleh guru tersebut?
 Murid ya mencoba menghitung besar sudut A
dengan terlebih dahulu menghitung nilai Sinus A
 Guru merasa tak bersalah
Adaptif
Perbandingan Trigonometri
BERAPA M TINGGI ANAK TANGGA?
3M
4M
Adaptif
Perbandingan Trigonometri
Manakah bangun yang kelilingnya
terpanjang?
1)
3)
2)
4)
Adaptif
Perbandingan Trigonometri
Ruang Lingkup
1. Perbandingan Trigonometri suatu sudut
2. Sudut-sudut Istimewa ( Khusus )
3. Rumus-rumus Trigonometri
4. Koordinat Kartesius dan Kutub
5. Aturan Sinus, Kosinus dan Luas segitiga
6. Identitas Trigonometri
7. Persamaan Trigonometri
Adaptif
Perbandingan Trigonometri
SINUS
ADALAH PERBANDINGAN ANTARA
SISI DIDEPAN SUDUT DENGAN
HIPOTENUSA PADA SUATU
SEGITIGA SIKU-SIKU
AC
Sin AOC =
OC
C
0
A
Adaptif
Perbandingan Trigonometri
 Cosinus adalah nilai perbandingan antara sisi disampaing
sudut dengan hipotenua suatu segitiga siku-siku
C
Cos AOB =
O
OA
OC
A
Adaptif
Perbandingan Trigonometri
 Tangen adalah nilai perbandingan antara sisi
didepan sudut dengan sisi disamping sudut
C
AC
Tan AOC = OA
O
A
Adaptif
Perbandingan trigonometri
Sudut Dalam Kedudukan Baku
C
Y
B
C
θ
θ
A
Sudut θ tidak dlm
kedudukan baku
B
A
X
Sudut θ dalam kedudukan baku
Sisi AB disebut sisi permulaan dari sudut θ
Sisi AC disebut sisi batas dari sudut θ
Adaptif
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
KONSEP SINUS
BB' CC' DD' EE'



 ...
AB AC AD AE
Adaptif
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
KONSEP KOSINUS
AB' AC' AD' AE'



 ...
AB AC AD AE
Adaptif
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
KONSEP TANGEN
BB' CC' DD' EE'



 ...
AB' AC' AD' AE'
Adaptif
Perbandingan trigonometri
Diketahui segitiga ABC, siku-siku di C. Panjang sisi AB = 10
cm, sisi BC = 5 cm.
Nilai cos A dan tan A berturut-turut adalah ....
10
A
B
5
? didapat 5V3
C
Maka diperoleh : sin A = ½
Jadi : cos A = ½ V3
tan A = 1/3 V3
Adaptif
Perbandingan Trigonometri
Dikembangkan Soal
Dengan mengukur panjang
tangga BC, dan mengukur besa
sudut ABC, dan menggunakan
konsep sinus, maka siswa
ditugasi untuk menentukan
ketinggian lantai II dari dasar
lantai.
C
Tangga
A
B
Adaptif
Perbandingan Trigonometri
C
Dengan mengukur besar sudut BAC dan
jarak AB, serta menggunakan konsep
kosinus maka siswa dapat menentukan
panjang tali pancang AC, yang sudah
waktunya diganti itu!
Tali pancang
Tiang
A
B
Adaptif
Perbandingan Trigonometri
Sudut
khusus
Sudut Khusus
C
A
D
ABC sama sisi
panjang sisi = 2a
B
S
R
P
Q
PQRS persegi
panjang sisi = 2a
Adaptif
Perbandingan Trigonometri
Dengan menggunakan gambar di atas,
tentukan nilai perbandingan :

0o
300
450
600
900
sin 
….
….
….
….
….
cos
….
….
….
….
….
tg
….
….
….
….
….
ctg 
sec
cosec
….
….
….
….
….
….
….
….
….
….
….
….
….
….
….
Adaptif
Perbandibgan
Trigonometri
Sudut
Khusus
45o
V2
45o
1
90o
1
sin 45o = ½ V2
cos 45o = ½ V2
tan 45o = 1
sin 30o = ½
cos 30o = ½ V3
30o
2
tan 30o = 1/3 V3
V3
sin 60o = ½V3
90o
60o
1
cos 60o = ½
tan 60o = V3
Adaptif
Perbandingan Trigonometry
RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI
A. Relasi/Rumus Dasar Fungsi Trigonometri
1. a. Relasi Kebalikan:
1
csc α = sinα
1
sec α = cos 
b. Relasi Pembagian:
1
cot α = tan 
sinα
tan α = cosα
cos α
cot α =
sin α
c. Relasi “Pythagoras”:
sin2α + cos2α = 1 (dan variasinya)
tan2α + 1 = sec2α
1 + cot2α = csc2α
Adaptif
Perbandingan
Trigonometri
Sudut
Berelasi
2. Fungsi trigonometri sudut-sudut yang berelasi
a. sin(90 – α)o = cos αo
cos(90 – α)o = sin αo
tan(90 – α)o = cot αo
cot(90 – α)o = tan αo
sec(90 – α)o = csc αo
csc(90 – α)o = sec αo
b.
sin(180 – α)o = sin α0
cos(180 – α)o = –cos α0
tan(180 – α)o = –tan α0
sin(180 + α)o = –sin αo
cos(180 + α)o = –cos αo
tan(180 + α)o = tan αo
c.
sin(360 – α)o = –sin α0
cos(360 – α)o = cos α0
tan(360 – α)o = –tan α0
sin(–αo) = –sin αo
cos(–αo) = cos αo
tan(–αo) = –tan αo
Bernilai
”+”
Sin
Tan
All
Cos
Adaptif
Perbandingan Trigonometri
Hal Khusus
1. Jika αo + βo + γo = 180o , maka:
sin(α + β)o = sin(180 – γ)o = sin γo
cos(α + β)o = cos(180 – γ)o = –cos γo
sin ½ (α + β)o = sin(90 – ½ γ)o = cos ½ γo
cos ½ (α + β)o = cos (90 – ½ γ)o = sin ½ γo
2. Jika αo + βo + o = 270o, maka:
sin(α + β)o = sin(270 – )o = –cos o
cos(α + β)o = cos(270 – )o = –sin o
Adaptif
Koordinat Kartesius dan Kutub
Y
P( x,y )
x
Y

x
r
y
o
Koordinat Kartesius
Koordinat Kutub ke Kartesius
x = r cos a
Y = r sin a
P( r,  )
x

y

O
X
Koordinat Kutub
Koordinat Kartesius ke Kutub
r2 = x2 + y2
y
tan α =
x
Adaptif
Rumus Trigonometri dalam Segitiga
1.Aturan (rumus) sinus dalam segitiga ABC:
a
b
c


sin  sin  sin 
2. Aturan (rumus) kosinus:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac cos β
c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ
b2  c 2  a 2
cos α =
2bc
atau
c2  a2  b2
cos β =
2ca
cos γ = a2  b2  c2
2ab
Adaptif
Rumus Trigonometri dalam segitiga
Dari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengan
kecepatan 10 knot (mil/jam) ke arah 160o dan kapal B ke
arah 220o dengan kecepatan 16 knot. Berapa jarak kedua
kapal 2 jam kemudian?
U
AB2 = 202 + 322 – 2. 20 . 32 . cos 60o
= 400 + 1024 – 640
220o
O
160o
= 784
60o
20
32
AB = 28
A
Jarak antara kedua kapal 28 mil
B
Adaptif
Rumus trigonometri dalam segitiga
C
20
37
51
A
Berapakah nilai tan A dan sin B?
cos A =
sehingga cos B =
cos B =
sehingga sin A =
B
Adaptif
RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT
1. Rumus jumlah
Rumus selisih
 sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β
 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin
β
 cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β
 cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin
β
t an(   ) 
t an  t an 
1  t an t an 
t an(   ) 
2.


Rumus sudut rangkap
Sin 2α = 2 sin α cos α
Cos 2α = cos2α – sin2α
2 tan 
tan 2 
1  tan 2 


t an  t an 
1  t an t an 
Rumus setengah sudut
2 sin2 ½ α = 1 - cos α
2 cos2 ½ α = 1 + cos α
1  cos 
tan 2 12  
1  cos 
sin 
tan 12  
1  cos 
Adaptif
RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT
3. Rumus sudut rangkap tiga
Sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α
Cos 3α = 4cos3α – 3 cos α
3 tan  tan3 
tan3 
1  3 tan2 
Adaptif
Rumus Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali
Fungsi Sinus/Kosinus
1.




Hasil kali sinus dan kosinus
2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α – β)
2 cos α sin β = sin(α + β) – sin(α – β)
2 cos α cos β = cos(α + β) – cos(α – β)
–2 sin α sin β = cos(α + β) – cos(α – β)
atau 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β)
2. Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus/Kosinus




sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B)
sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B)
cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B)
cos A – cos B = –2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B)
Adaptif
IDENTITAS TRIGONOMETRI
 Identitas adalah suatu kalimat terbuka yang
bernilai benar untuk setiap pengganti nilai
variabelnya, misal : sin2α + cos2α = 1

Buktikan !
sin x
1  cos x
2 csc x 

1  cos x
sin x
sec4 – sec2 = tan4 + tan2
Adaptif
IDENTITAS TRIGONOMETRI
Bukti:
sin x
1  cos x

1  cos x
sin x
sin 2 x  (1  cos x ) 2

(1  cos x ) sin x
sin 2 x  1  2 cos x  cos2 x

(1  cos x ) sin x
2  2 cos x

(1  cos x ) sin x
2

sin x
 2 csc x  ruas kanan(t erbukt i)
Adaptif
IDENTITAS TRIGONOMETRI
Bukti:
Alternatif I Dari ruas kiri
 Ruas kiri:
sec4 – sec2
lternatif II Dari ruas kanan
Ruas kanan:
tan 4 + tan 2
= sec2(sec2 – 1)
= tan 2(tan 2 + 1)
= sec 2 x tan 2
= (sec 2 – 1) sec 2
= (1 + tan 2) x tan 2
= sec 4 – sec 2
= tan 2 + tan 4
= ruas kiri (terbukti)
= tan 4 + tan 2
= ruas kanan (terbukti)
Adaptif
Persamaan Trigonometri Sederhana
Rumus I :
1). Jika sin x  sin 
maka: x   + k. 360 atau
x  (180  ) + k. 360 , k  B
2). Jika cos x  cos 
maka : x   + k. 360 atau
x    + k. 360, k  B
3). Jika tan x  tan 
maka : x   + k. 180 k  B
Adaptif
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Rumus II : Pada keadaan sama dengan nol
1). Jika sin x  0
maka: x  k.180 , k  B
2). Jika cos x  0
maka: x  90 + k.180 , k  B
3). Jika tan x  0
maka: x  k.180 , k  B
Adaptif
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Rumus III : Persamaan mengandung harga negatif
1). Jika sin x  - sin   sin (-)
maka: x  -  + k. 360 atau
x  (180 + ) + k. 360 , k  B
2). Jika cos x  - cos   cos (180 +  )
maka: x  180 +  + k. 360 atau
x  - 180 -  + k. 360 , k  B
3). Jika tan x  - tan   tan (-)
maka: x  -  + k. 180 , k  B
Adaptif
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Contoh Soal
 Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri
berikut: Untuk 0 ≤ x < 360:
 a) sin x0 = sin 400
b) cos 2x0 =
Jawab:
1
2
 a) sin x0 = sin 400  x = 40 + k.360 atau x = (180 – 40) + k.360

untuk k = 0 → x = 40
k = 0 → k = 140
 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {40, 140}
 adalah {30, 150, 210, 330}
Adaptif
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
1
 b) cos 2x =
2
cos 2x 0 = cos 60
0
0
maka 2x = 60 + k.360 atau 2x = -60 + k.360
x = 30 + k.1 80
 untuk
k = 0 → x = 30

k = 1 → x = 150
x = -30 + k.180
Untuk
k = 1 → x = 2100
k = 2 → x = 330
 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
{30, 150, 210, 330}
Adaptif
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Soal :
1.Diketahui segitiga ABC, AC =25 cm, BC=40 cm,
dan panjang garis tinggi dari C,yaitu CD=24 cm.
Nilai cos A dan tan B berturut-turut adalah ....
2.
Dua kapal meninggalkan suatu pelabuhan
secara bersamaan. Kapal pertama berlayar
dengan arah 030° dengan kecepatan 8
km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar
dengan arah 090° dengan kecepatan 10
km/jam. Jarak kedua kapal itu setelah
berlayar 3 jam adalah ... km
Adaptif
Penerapan ke prgram keahlian
Kerangka atap suatu bangunan berbentuk
seperti gambar berikut:
 Hitunglah panjang AB
B
A
2,20 m
35,30
28,50
10,30 m
panjang AB adalah 3,14 m
Adaptif
Penerapan ke program keahlian
Perhatikan gambar:
A
18 cm
400
B
950
700
C
a) Hitunglah jarak
AB
b) Hitunglah jarak
BC
a) jarak AB = 12,6 cm
b) jarak BC = 21,97 cm
Adaptif