conceitos de relatividade restrita

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1.

Introdução 2. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4.

Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos

Física para Engenharia Elétrica Conceitos de Relatividade Restrita

CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Do que trata a Teoria da Relatividade?

A Teoria da Relatividade estuda o comportamento de um sistema físico sob o ponto de vista de dois sistemas de

referência inerciais

: a) um sistema em repouso; b) um sistema em movimento – velocidade constante ) em retilíneo uniforme ( relação ao primeiro.

MRU

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Como é este comportamento na Mecânica Clássica?

Mecânica Clássica

as leis básicas da Mecânica assumem sua forma mais simples nos referenciais inerciais.

Dois referenciais inerciais, um em repouso, outro se movendo com velocidade constante se relacionam

Transformações de Galileu

através de

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Transformações de Galileu Se o referencial velocidade constante

S’ V

se move em , e as origens referenciais coincidem no instante

t = 0

relação a O e

O’

, temos que:

com dos dois

t x

' 

y z

' '   ' 

t x z y



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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Consequências da Transformações de Galileu 1) Composição de velocidades:

v



dx



dt d dt



x V t



v v V

2) Composição de acelerações:

a



dv



dt d dt

  Física para Engenharia Elétrica Conceitos de Relatividade Restrita

a

CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Consequências da Transformações de Galileu 3) Igualdade nas

Galileu

forças: como a

Transformação de

não afeta as distâncias entre partículas nem as massas, ela destas também não afeta uma força que só dependa distâncias.

F F

' '

F



F

Logo, a lei básica da Dinâmica não se altera!!!

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Principio de Relatividade da Mecânica de Galileu É impossível detectar um movimento retilíneo uniforme de um referencial em relação a outro qualquer por qualquer efeito sobre as leis da dinâmica.

Experiências feitas sob convés de um navio, com as escotilhas fechadas, mostram que elas seriam incapazes de serem distinguidas se o navio estivesse ancorado ou em MRU.

Este Princípio deixa de valer para referenciais não inerciais; neles aparecem efeitos detectáveis sobre as leis da Mecânica através das

forças de inércia

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Como ficam as Equações de Maxwell perante o Principio de Relatividade de Galileu?

no Das leis da

Eletrodinâmica

vácuo, com velocidade

c = 3,0

temos que a luz se propaga,



10 8 m/s

Admitindo que isso vale num dado referencial inercial, e que valem as leis da

Mecânica Clássica

, temos que num outro referencial inercial em

MRU

em relação ao primeiro com velocidade lei de

, a velocidade da luz neste referencial pela composição de velocidades de Galileu, seria:

' Física para Engenharia Elétrica Conceitos de Relatividade Restrita

c



c

CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Como ficam as Equações de Maxwell perante o Principio de Relatividade de Galileu?

c



c

Isto significa que a velocidade da luz poderia variar com a direção de propagação, contradizendo o Principio de Relatividade no caso da

Eletrodinâmica

Admitindo como verdadeiro o

de Galileu

, a validade das

Princípio da Relatividade Equações de Maxwell

estaria restrita então a um referencial inercial privilegiado, onde a velocidade da luz é

em todas as direções.

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Problema Existe uma aparente ambiguidade entre as

Newton

e as

Equações de Maxwell

Leis de

Ambas não podem ser validas simultaneamente em qualquer referencial inercial.

Apenas uma destas grandes teorias deve valer para qualquer tipo de referencial inercial.

Qual delas?

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1.

Introdução 2. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4.

Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY Solução Será possível projetar um experimento no qual esta ambiguidade pudesse ser levantada?

Deveria ser relação ao

éter

possível usar o movimento da juntamente com o composição de velocidades.

Terra Princípio de Galileu

A velocidade da luz na Terra relativa ao diferente em direções diferentes.

em de éter deveria ser Numa série de experiências realizadas entre 1881 e 1887,

Michelson

Morley

procuraram detectar esses desvios (muito pequenos) usando o

interferômetro de Michelson

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY O Experimento

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY O Resultado Esperado pelo Princípio de Galileu com Cálculo da variação da fase das franjas de interferência o interferômetro posicionado em duas direções ortogonais entre si.

l 1

e l



comprimento dos interferômetro.

braços do

  2  1 

2         1  1

  2  1  1 2         

comprimento de onda da luz utilizada (luz de lâmpada de Na).



em velocidade de relação ao éter.

translação da Terra

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY O Resultado Esperado pelo Princípio de Galileu Aproximação devido a

v << c







l



l

2  

v

 

l 1

= l

= 11 m.



= 560 nm.

v/c = 10 -4





0, 4



EXP

 0

0,01

À época, a precisão experimental para esta medida era , logo a variação de fase das franjas era possível de ser detectada.

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY Conclusões do Experimento A experiência foi repetida muitas vezes, com diferentes orientações da montagem.

Deste experimento concluímos que a velocidade da luz é constante e que a hipótese de um éter estacionário estava incorreta.

Assim as caso a

Equações de Maxwell

mecânica newtoniana e as são

corretas

e nesse

Transformações de Galileu

não podem estar corretas.

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Introdução 2. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4.

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA O que fazer então diante deste fato experimental?

Primeiro passo: formular princípios que estejam de acordo com os resultados experimentais.

Postulados da Relatividade Restrita: 1. As leis físicas são as mesmas em todos os referenciais inerciais.

2. A velocidade da luz no os referenciais inerciais e vácuo é a mesma em todos é independente da velocidade da fonte.

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA Consequências dos Postulados da Relatividade Restrita Esses dois princípios, porém, são incompatíveis com a mecânica newtoniana tornando necessário modificá-la.

As modificações necessárias, tomando os dois postulados como pontos de partida, foram propostas por

Albert Einstein

1905

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA Simultaneidade

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA Simultaneidade “Se um marcado pela nesse instante, e o mesmo vale para

P 2

t 2

(

Evento 2

), dizemos que eles são simultâneos (

t 1

encontro dos dois sinais luminosos

= t 2

) quanto o ponto de é o ponto médio do segmento

Evento 1

ocorre em

P 1

no instante

t 1

, sendo emissão de um sinal luminoso que parte de

P 1 P 1 P 2

”

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA Simultaneidade Essa definição

simultaneidade

de implica eventos imediatamente distintos que a

não tem caráter absoluto

Dois eventos podem não ser simultâneos noutro referencial inercial se move em simultâneos num particular referencial relação a

MRU

S’ S

que

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Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ Se a Transformação de Galileu não é mais válida, qual deve ser a transformação correta entre dois sistemas de referência inerciais?

A transformação correta deve satisfazer: a) o conceito de simultaneidade de Einstein; b) um relação a

S’

;

MRU

em ralação a

também deve ser

MRU

em c) para identidade;

V = 0

a transformação deve reduzir-se à

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ

t =

d) Se um sinal luminoso

t’ = 0

velocidade

é enviado de

O = O’

no tempo , a sua frente de onda deve propagar-se com em ambos os referenciais, de modo que:

x



y



z



2 2

c t x

' 2



y

' 2



z

' 2



c t

' 2



e) Essa é uma transformação necessariamente linear.

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ Relações Matemáticas

'   





' 

v c

x y

' 

z y

 Física para Engenharia Elétrica Conceitos de Relatividade Restrita



1 1



V

c

CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ Relações Matemáticas isto A é,

transformação inversa S

se move em relação a é obtida substituindo

S’

com velocidade

–V

por

–V

  

' 

' 



t v c



y z

' '

t



t

O tempo não é mais absoluto, depende do referencial!!!

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1.

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL Quais de Lorentz?

são os efeitos cinemáticos das Transformações 1)

Dilatação Temporal

: dois observadores, um em repouso e outro em um referencial em

MRU

medem

intervalos de tempos diferentes

!!!



2  

2 

D c d v



t J

2 

D c

 2   1  1

2     Física para Engenharia Elétrica Conceitos de Relatividade Restrita

CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL 1)

Dilatação Temporal

t



t

Física para Engenharia Elétrica Conceitos de Relatividade Restrita 



1 1



v

c

t



t

CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL 2)

Contração Espacial

: dois observadores, um em repouso e outro em um referencial em

MRU

medem comprimentos diferentes!!!

L



L





V c

2 2

L



L

0 Física para Engenharia Elétrica Conceitos de Relatividade Restrita

CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL Como fica a composição de velocidades com as Transformações de Lorentz?

A velocidade instantânea componentes dadas por:

v’(t’)



do corpo em

S’

tem as



A velocidade instantânea componentes dadas por:

v x



dx dt

v(t)

do corpo em

v y



dy dt

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v z



dz dt

tem as

CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL Como fica a composição de velocidades com as Transformações de Lorentz?

As coordenadas com as coordenadas

x’(t’) x(t)

, ,

y(t) y’(t’)

z(t)

z’(t’)

estão relacionadas através da

Transformação de Lorentz

'  

' 

dy dt



v c

dx dz

' 

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL Como fica a composição de velocidades com as Transformações de Lorentz?

Obtemos então:

v x

'  1

v x

 

V x



    1

v y x



2 

v z

'     1

v z x



2  Física para Engenharia Elétrica Conceitos de Relatividade Restrita

CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1.

Introdução 2. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4.

Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS Quais Lorentz?

são os efeitos dinâmicos das Transformações de Após substituir a cinemática newtoniana era preciso reformular a dinâmica newtoniana para que fosse compatível com a nova cinemática.

Na mecânica newtoniana, admitem-se forças de interação entre partículas determinadas pelas suas que ficam inteiramente posições instantâneas, tais como a gravitação, dada pela lei de Newton da gravitação universal.

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS Quais Lorentz?

são os efeitos dinâmicos das Transformações de Tais forças são inadmissíveis na mecânica relativística: o conceito de posições simultâneas das partículas de um sistema depende do referencial, e a velocidade limite de propagação das interações é c.

Podemos admitir as forças eletromagnéticas cuja formulação é compatível com a relatividade, pois a velocidade de propagação no vácuo das interações eletromagnéticas é c.

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS Quais Lorentz?

são os efeitos dinâmicos das Transformações de Um outro tipo de interação que podemos admitir são forças de contato que atuam apenas quanto duas partículas entram em contato numa colisão.

Estas forças podem ser idealizadas como atuando apenas no instante e no ponto de contato, sendo portanto compatíveis com a relatividade.

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS O momento linear relativístico Na mecânica relativística o momento é da mesma forma proporcional a velocidade do corpo v e da sua massa m.

Mas a massa m apesar de continuar sendo um escalar, não é mais necessariamente invariável, e pode depender da velocidade do corpo.



  Física para Engenharia Elétrica Conceitos de Relatividade Restrita

CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS A massa relativística É possível mostrar que:



m

0 1



v

c

m 0 é a massa de repouso do corpo, quando sua velocidade é nula.

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS A massa relativística



m

0 1



v

c

2 Física para Engenharia Elétrica Conceitos de Relatividade Restrita

CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS O momento linear relativístico No limite de baixas velocidades, devemos obter a mecânica não-relativística (newtoniana), em que m representa a massa da repouso, e a partícula. Logo, m 0 é a massa de expressão relativística do momento deve ser dada por:

p

  





v

c

2 0



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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS A energia relativística que: A partir do Teorema Trabalho-Energia é possível mostrar

 0  2 1 

2  0  2 Física para Engenharia Elétrica Conceitos de Relatividade Restrita

CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS A energia relativística Por sua vez, mesmo na Relatividade Restrita, a energia cinética de um corpo deve se anular quando sua velocidade é nula. Assim, temos que:

  2      1 1 2  1     Física para Engenharia Elétrica Conceitos de Relatividade Restrita

CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS Relação entre momento linear e energia Uma simples manipulação de equações nos leva a:

E



m

c

p c

No caso do fóton (luz), quando m = 0, temos que:

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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS Velocidades de alguns feixes em aceleradores

AGS/BNL SPS / CERN Tevatron / Fermilab RHIC / BNL LHC / CERN Pelletron Momento máximo que um próton pode ser acelerado: 11,6 Gev/c 450 Gev/c 3000Gev/c 100 Gev/c 1,5 Gev/c 0,016 Gev/c v/c 0.9963 0.99999753 0.999999944 0.99995 0,832 0,016 Física para Engenharia Elétrica Conceitos de Relatividade Restrita

CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA Paradoxo dos gêmeos Sejam dois irmãos gêmeos, Sílvio e Sérgio.

Sílvio viaja em uma nave espacial a uma velocidade 0,7



c, enquanto Sérgio permanece na Terra.

Quando a nave retornar mais jovem?

à Terra, qual dos dois estará

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FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA Como medir temperaturas acima de 1800 C?

Qual o princípio físico para realizar tal medida?

Física para Engenharia Elétrica Conceitos de Relatividade Restrita