Transcript CosmologiaCap1 - Professores

Cosmologia
Prof. Rodrigo Holanda (UEPB)
Ementa do curso
• Cosmologia e relatividade geral: fundamentos de
relatividade geral, gravitação e curvatura do espaçotempo, métrica de Friedmann-Robertson-Walker.
• O Universo em expansão: soluções da equação de
Friedmann.
• Matéria e energia escuras
• A radiação cósmica de fundo e a história térmica do
universo
• Teoria newtoniana do processo de formação de
estruturas
• Problemas do modelo padrão e a teoria inflacionária
Cosmologia
• É a ciência que estuda a origem, estrutura e
evolução do Universo.
• O objetivo é entender como o Universo se
formou, por que tem as características que
vemos hoje e qual será o destino final.
• Principais ferramentas: física, matemática,
estatística, química e até filosofia.
Cosmologia
• A ciência dos grandes números
 Nossa galáxia possui 100 bilhões (1011) de estrelas.
 No Universo observável existem 100 bilhões de
galáxias (1011).
 No Universo observável existem 1022 estrelas.
 Em um balde cheiro de areia existem 109 grãos de
areia.
 Cem baldes de areia existirão 1011 grãos de areia,
apenas igual ao número de estrelas na nossa galáxia!!!!
Tamanhos no universo
Tamanhos no universo
Tamanhos no universo
Tamanhos no universo
O Sol é invisível nesta escala!
A via Láctea
Você ainda se acha
especial?!
Hubble Deep Field: tamanho angular equivalente a de uma bola de ténis vista a
uma distância de 100 metros.
Fatos históricos
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1908- Henrietta Leavitt descobre a relação período-luminosidade das cefeidas.
1915- Einstein publica a TRG.
1917- Einstein aplica sua teoria ao Universo: universo estático
1920- O grande debate: Shapley x Curtis, Nebulosa de Andrômeda e as Nuvens de Magalhães
1922- A. Friedmann e G. Lemaitre encontram soluções expansionistas para o universo.
1929- E.d Hubble encontra a expansão do universo.
1933- F. Zwicky encontra a primeira evidência para a matéria escura em aglomerados.
1934- R. C. Tolmam mostra que a radiação de corpo negro resfria em um universo em
expansão e permanece térmica.
1946- G. Gamow discute a nucleossíntese primordial.
1948- G. Gamow, R. Alpher e R. Herman predizem que o universo deve ter uma radiação
de fundo correspondente a um corpo negro de 5 K.
1965- A. Penzias e R. Wilson descobrem a radiação de fundo.
1969- Charles Misner discute o problema dos horizontes cosmológicos
1980- Vera Rubin encontra evidência de matéria escura em galáxias espirais
1980- Alan Guth propõe a teoria do universo inflacionário.
1992- Levantamento da curva de corpo negro pelo satélite COBE
1998- Permutter e A. Riess descobrem a aceleração do universo.
2000- medidas de balões (boomerang e Maxima) mostram que o universo é pseudoeuclidiano.
Fatos históricos
Paradigma atual
Cosmologia
• Hipóteses:
 As leis da física válidas no sistema solar valem
também para o resto do Universo
As leis da física podem ser extrapoladas para o
passado
Princípio Copernicano: não ocupamos um lugar
privilegiado no Universo
Princípio cosmológico: o Universo é homogêneo
e isotrópico em larga escala
Gravitação é dominante em larga escala
Física newtoniana
• Física newtoniana: partículas se movem ao longo de linhas retas em um
espaço euclidiano até que uma força atue sobre ela.
- “O espaço absoluto, por sua própria natureza, sem relação com qualquer coisa que
seja exterior, permanece sempre semelhante e imóvel.”
- “O tempo absoluto, real e matemático, por si só e por sua natureza, flui
uniformemente, sem relação com qualquer coisa externa, e recebe também o nome
de duração.”
A gravitação newtoniana: gravidade é uma força!!!!
𝐺𝑚𝑚
𝐹=− 3 𝑟
𝑟
Incompatível com a teoria da relatividade especial, pois na visão
newtoniana a gravidade é uma força que se transmite
instantaneamente!!!!!
Física newtoniana
E a equação de Poisson: substituta para a lei de ação à distância??!!!
𝛻 2 ∅ = 𝛻. 𝑔 = −4𝜋𝐺𝜌
• O universo é homogêneo e isotrópico em grandes escalas. Assim, se 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝜑
fica indeterminado, segundo a equação de Poisson.
• A pressão uniforme 𝑃 de um fluido não desempenha nenhum papel gravitacional nesta
equação ou em outra na dinâmica newtoniana, o que limita sua aplicabilidade apenas
para o caso de matéria não relativística (𝑃 = 0).
• Se o Universo não for homogêneo e isotrópico, observa-se que um Universo onde
𝜌~𝑟 −3 é contraditória com a física estatística. A condição de contorno impõe à equação
de Poisson que o potencial tenda a um valor fixo finito à grandes distancias (𝜑 →valor
fixo quando 𝑟 → ∞). Pela física estatística, qualquer objeto astronômico pode adquirir
energia cinética o suficiente para vencer o valor do potencial 𝜑 e com isso desaparecer
no infinito. Portanto, 𝜌~𝑟 −3 não seria obedecida, e a equação de Poisson seria inviável.
• Além disso, como observa Einstein, a energia radiante dos corpos provém da massa e ela
perde-se no infinito, o que também é incompatível com 𝜌~𝑟 −3 .
Para desenvolver uma cosmologia newtoniana é preciso utilizar
o teorema de Birkoff, demonstrável apenas na teoria da
relatividade geral.
Apenas a massa interior a um dado r é que realmente determina o movimento de uma
camada esférica centrada em torno de um ponto arbitrário!!
A teoria da relatividade especial
• Postulados:

A velocidade da luz no vácuo é c=3.1010 cm/s para referenciais
inerciais, sendo independente do observador .

As leis da física são as mesmas para todos os observadores inerciais
(não-acelerados) do universo.

A relatividade especial foi construída para tornar as equações de
Maxwell do eletromagnetismo invariantes entre referenciais inerciais.
Transformações de Galileu
Transformações de Lorentz
A teoria da relatividade especial
• Medidas de espaço e tempo deixam de ter naturezas
independentes e absolutas e dão lugar a um contínuo espaçotempo quadri-dimensional para cada observador. As leis da físicas
em referenciais inerciais devem ser escritas neste espaço-tempo.
As equações de Lorentz transformam um
sistema ortogonal em um não-ortogonal!!!
𝛽=
𝑣
𝑐
• O intervalo invariante sob transformações de Lorentz entre
observadores neste espaço-tempo é fornecida por
𝑑𝑠 2 = 𝜂𝜇𝜈 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝜈 , onde 𝜂𝜇𝜈 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 1, −1, −1, −1 e x0=ct, x1=x,
x2=y e x3 = z.
A teoria da relatividade especial
𝑑𝑠 2 = 𝜂𝜇𝜈 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝜈 = 𝑐 2 𝑑𝑡 2 − 𝑑𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 − 𝑑𝑧 2
Δ𝑠 2 = 𝑐 2 Δ𝑡 2 − Δ𝑟 2
Três situações diferentes podem ocorrer
• 𝑐 2 Δ𝑡 2 − Δ𝑟 2 = 0 Os dois eventos foram um par tipo luz e apenas a luz pode conectar
estes dois eventos.
• 𝑐 2 Δ𝑡 2 − Δ𝑟 2 > 0 Os dois eventos formam um par tipo-tempo e podem estar
casualmente conectados. Existe um referencial onde os eventos ocorrem no mesmo local,
mas não existe um onde ocorram ao mesmo tempo.
• 𝑐 2 Δ𝑡 2 − Δ𝑟 2 < 0 Os dois eventos forma um par tipo-espaço e não tem qualquer relação
de causa-efeito. Não existe um referencial onde os eventos ocorrem no mesmo local,
mas existe um onde ocorram ao mesmo tempo.
No espaço-tempo da relatividade restrita, a estrutura de cones de luz é rígida!
A relatividade restrita é insuficiente para
explicar a homogeneidade e a expansão do
universo ao mesmo tempo!!!!!
Espaço-tempo estático!!!
A teoria da relatividade Geral (1915)
Princípios
• Princípio de equivalência: não existem experimentos locais que
possam distinguir a queda livre em um campo gravitacional de
um movimento uniforme no espaço na ausência de um campo
gravitacional.
• Princípio da relatividade: a TRE governa a física local, ou,
localmente, o espaço-tempo é plano (Minkowski).
Em outras palavras: um referencial
linearmente acelerado é localmente
indêntico a um referencial em repouso
em um campo gravitacional.
A teoria da relatividade Geral
• Considere um observador em um foguete em 3
situações diferentes:
• Pelo princípio de equivalência o resultado deveria ser o mesmo para um observador
em um campo gravitacional!!
• Com base no “Princípio de Fermat” da ótica: “a luz viaja entre dois pontos pela
trajetória que minimiza o tempo de viagem”. Einstein concluiu que o espaço não é
Euclidiano na presença de uma massa.
A teoria da relatividade Geral
• Experimento de Sobral e na Ilha do Príncipe
(29 de Maio de 1919): deflexão da luz.
A teoria da relatividade Geral
Na TRG: a gravidade é representada pela curvatura do
espaço-tempo. Partículas se movem ao longo de geodésicas até
que forças atuem nelas.
A equação da geodésica é:
2 


1 𝜈𝜉
 x
x
 x
𝜈
 
0
Γ 𝜆𝜅 = 𝑔 (𝜕𝜆 𝑔𝜉𝜅 + 𝜕𝜅 𝑔𝜉𝜆 − 𝜕𝜉 𝑔𝜆𝜅 )
2
2

 
O termo g é o tensor métrico transmite todas as informação sobre estrutura
causal e geométrica do espaço-tempo. O termo Γ que aparece na equação da
geodésica é chamado de conexão, e representa uma medida de quanto um
dado referencial não é inercial!!
como
x



 v é a quadri - velocidade
então
v




  v v

0
A teoria da relatividade Geral
• Ao curvar tempo e espaço na presença de
matéria-energia, a TRG os converte em
participantes dinâmicos do universo, em lugar
de considerá-los apenas um palco de fundo
onde os acontecimentos ocorrem.
• O princípio cosmológico é naturalmente
incorporado!!!!
A teoria da relatividade Geral
Testes clássicos
Testes experimentais
•
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•
•
•
•
•
Atraso no sinal de radar
A precessão do periélio de Mercúrio
O desvio da luz na presença de matéria
A igualdade da massa inercial e gravitacional
A emissão de ondas gravitacionais
Frame-dragging (Phys.Rev.Lett.106:221101,2011)
Estruturas em largas escalas (Nature 464, 256,2010)
Pulsar PSR1913-16
A teoria da relatividade Geral
•
•
É importante salientar que a falta de peso em um elevador em queda livre está
limitado a pequenas regiões locais: não existe um referencial que anule a
gravidade da Terra em todos os pontos ao mesmo tempo.
O princípio de equivalência permite-nos estender qualquer lei física que é
expressa na linguagem covariante da relatividade especial para a forma mais geral
na presença de gravitação: tudo que temos que fazer é escrever as entidades
correspondentes no espaço-tempo-curvo (𝜂𝜇𝜈
𝑔𝜇𝜈 ).
Exemplo:
A derivada ordinária é trocada pela
derivada covariante
Tensor do campo eletromagnético está
relacionado com o vetor densidade de
corrente por

F ,
 4 j

F;

 4 j

Derivada covariante: derivada que leva em conta a não-ortogonalidade das coordenadas!
V

;

V

x


   V

A equação de campo da teoria da
relatividade Geral
•
Princípio da covariância geral: todos os observadores são equivalentes e as leis da
física devem ser escritas em forma tensorial.
•
Princípio da correspondência: no limite de campos gravitacionais fracos os
resultados da TRG devem concordar com os resultados newtonianos.
 Equação de Poisson
2
𝛻 𝜑 = −4𝜋𝐺𝜌
Potencial gravitacional
Densidade de matéria
 Equação de Campo de Einstein
G μν  R μν 
1
2
Propriedades Geométricas do Espaço-Tempo
(Tensor de Einstein)
g μν R 
8 G
c
4
T 
Conteúdo Material Energético
(tensor de energia-momento)
Propriedades Geométricas do EspaçoTempo
Tensor de Einstein
G μν  R μν 
1
2
g μν R
Tensor de Curvatura de Riemann : toda informação sobre a curvatura de uma
variedade está contida no tensor de Riemann (tensor de quarta ordem)
𝑅𝑎 𝑏𝑐𝑑 = 𝜕𝑐 Γ𝑎𝑏𝑑 − 𝜕𝑑 Γ𝑎𝑏𝑐 +Γ𝑒𝑏𝑑 Γ𝑎𝑒𝑐 − Γ𝑒𝑏𝑐 Γ𝑎𝑒𝑑
Conexões da métrica
Γ𝑎
𝑏𝑐
1 𝑎𝑑
= 𝑔 (𝜕𝑏 𝑔𝑑𝑐 + 𝜕𝑐 𝑔𝑑𝑏 − 𝜕𝑑 𝑔𝑏𝑐 )
2
Tensor de Riemann e o transporte paralelo: a
diferença entre os vetores de “partida” e de
“chegada” é proporcional ao tensor de
Riemann
Por que não usar o tensor de curvatura na equação de campo?!
Princípio de equivalência: localmente a TRE deve ser recuperada. Tensor de energiamomento é de segunda ordem.
Tensor de Ricci (segunda ordem)
𝑅𝑏𝑑 = 𝑅𝑎 𝑏𝑎𝑑 = 𝜕𝑎 Γ𝑎𝑏𝑑 − 𝜕𝑑 Γ𝑎𝑏𝑎 +Γ𝑒𝑏𝑑 Γ𝑎𝑒𝑎 − Γ𝑒𝑏𝑎 Γ𝑎𝑒𝑑
Escalar de Ricci
𝑅 = 𝑔𝑎𝑐 𝑔𝑏𝑑 𝑅𝑎𝑏𝑐𝑑
G μν  R μν 
A quantidade G
energia momento
μν; 
 0
T  ; 
1
2
g μν R
possui divergência nula da mesma forma que o tensor
devido a conservação local.
Espaços não-euclidianos de curvatura
constante
• São geometrias definidas em espaços não-planos:
elíptica e hiperbólica.
• A geometria euclidiana:
Postulados:
1-Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une;
2-Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente
para construir uma reta;
3- Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se
construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à
distância dada;
4-Todos os ângulos retos são iguais;
5- Dada um reta e um ponto fora dela só é possível construir
UMA outra reta paralela a primeira e que passa pelo ponto.
Espaços não-euclidianos de
curvatura constante
• Na geometria elíptica não há nenhuma curva paralela à
primeira.
• Na geometria hiperbólica há mais de uma curva paralela à
primeira.
Espaços não-euclidianos de
curvatura constante
De forma mais geral, 𝑑𝑠 2 = 𝑔𝜇𝜈 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝜈 define o que
chamamos de espaço-tempo, onde
𝑔𝜇𝜈 = tensor métrico
Geometria não defini a topologia!!!!
A métrica de um espaço-tempo
homogêneo e isotrópico
• Vamos considerar inicialmente um universo unidimensional descrito por um
círculo de raio R imerso em um plano. A maneira correta de se medir
distâncias neste espaço é:
x2
φ
x1
A curvatura tem que ser levada em conta!!!
A métrica de um espaço-tempo
homogêneo e isotrópico
• Consideremos agora um espaço bidimensional imerso em um
tridimensional. Um habitante neste espaço bidimensional consegue
entender localmente o significado de x1 e x2, mas não x3. Para levar em
conta o efeito da curvatura:
Não é possível ter acesso a R e θ. No máximo, ele terá informação da projeção de
r=Rsenθ sobre sua superfície bidimensional!!!
• No caso de um espaço tridimensional como o nosso imerso em um espaço
de 4 dimensões, define-se a hiperesfera:
Da mesma maneira que no slide anterior, a coordenada ψ é inacessível. O máximo
que podemos ter acesso é a projeção r=Rsenψ em nossa hiper-superfície. De forma
que:
De forma geral:
𝑑𝑙 2
(𝑑𝑟)2
2 (𝑑𝜃)2 +𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃(𝑑𝜑)2
=
+
𝑟
1 − 𝑘𝑟 2
onde k=1,0 e -1 representam, respectivamente uma hiper-esfera, plano tridimensional
e pseudo-esfera (raio imaginário).
Postulado de Weyl (1923)
Postulado de Weyl (1923): Apenas uma geodésica passa em cada ponto do
espaço-tempo. Isto quer dizer que :
• geodésicas não se interceptam, exceto na singularidade inicial.
• Em cada ponto do espaço-tempo o substrato cósmico possui uma única
velocidade.
• As geodésicas do substrato são ortogonais a hipersuperfícies tipo-espaço.
Não podendo existir termos cruzados dtdx, dtdy, dtdz no elemento ds.
• O substrato é um fluido perfeito.
• O sistema de coordenadas é comóvel a expansão
Medidas de distâncias no espaço-tempo
homogêneo, istrópico e expansão
•
Como o universo está em expansão, modelos cosmológicos devem ser homogêneos e
isotrópicos no espaço, mas não no tempo.
•
Se considerarmos um triângulo formado por 3 partículas num tempo t e posteriormente, o
fator de magnificação deve ser o mesmo independente da posição do triângulo. O tempo
entrará na métrica como um fator comum.
•
O elemento de distância então deve ter a seguinte forma 𝑑𝑠 2 = 𝑐 2 𝑑𝑡 2 − 𝛾𝑖𝑗 , 𝛾𝑖𝑗 =
𝑎(𝑡)2 𝑔𝑖𝑗
• A métrica de Friedmann-Robertson-Walker
2

dr
2
2
2
2
2
2
2
2 
ds  c dt  a (t) 
 r (d θ  sen θd  ) 
2
 1  kr

As coordenadas r, θ e φ são coordenadas comóveis com a expansão, ou seja, o sistema de
coordenadas expande junto com o universo. Observadores nestas coordenadas são chamados “comóveis” e
possuem coordenadas fixas ao longo da evolução cósmica. A coordenada t é o tempo comóvel, e é o tempo
decorrido desde o Big Bang de acordo com um relógio de um observador comóvel. Somente um observador
comóvel ver o universo homogêneo e isotrópico.
g 
1

0

0

0

0
0
 a (1  kr )
2
2
1
0
0
a r
0
0
2


0


0

2 2
2
 a r sen  
0
2
Algumas perguntas intrigantes
•
Estão as galáxias dispostas sobre a superfície de uma esfera?
Não!!!!
•
O termo "universo" refere-se ao espaço, ou a matéria, ou a ambos?
Na visão newtoniana o espaço era apenas o "vazio" em que a matéria “vivia”. Einstein mostrou que o
espaço-tempo tem estrutura: é flexível e é distorcido na presença de matéria-energia. Além disso, matéria e
anti-matéria são rotineiramente criadas em laboratório a partir próprio espaço, os tipos de partículas que
podem existir refletem a estrutura do espaço. O termo universo se refer a toda estrutura espaço-temporal e
material-energética.
•
O Universo explodiu a partir de um ponto?
Não!!!!!!!!!!!!!!!!Não!!!!!!!!!!!!Não!!!!!!!!!!!!!......NÃO! O big bang não foi uma explosão que arremessou a
matéria para fora. Não existe o fora! Explosão requer uma forte anisotropia de matéria e pressão que não é
observado. O que ocorreu foi uma súbita expansão isotrópica do espaço que já estava preenchido com
energia. Não havia nenhum centro da expansão. O que podemos afirmar é que universo observável foi
extremamente quente, denso e pequeno.
O que existiu antes do Big-Bang?
As teorias da física só se aplicam do presente até a era Planck t=10-43 s. Antes disso é especulação!!!
Para onde o Universo expande?
Existe um observador central para cada universo observável, mas não para o Universo! Descobrir as
propriedades do espaço continua sendo um dos problemas mais profundos e mais importantes da ciência
moderna.
O tensor de energia-momento do
fluido perfeito
De forma geral a pressão deve ser levada em conta e o tensor de forma
completo na TRE é
𝑇
𝜇𝜈
𝜇 𝜈
= 𝜀 + 𝑝 𝑢 𝑢 + 𝑝𝜂
𝜇𝜈
𝑢𝜇 = 𝛾, 𝛾 𝑣
c=1
onde ε=ρ0c2 e p é a pressão medida no referencial de repouso com o fluido.
Este tensor é conservado , ou seja, 𝜕𝜈 𝑇𝜇𝜈 = 0. Na TRG, temos, simplesmente
𝑇𝜇𝜈 = 𝜀 + 𝑝 𝑢𝜇 𝑢𝜈 + 𝑝𝑔𝜇𝜈
𝑇𝜇𝜈 = 𝜀 + 𝑝 𝑢𝜇 𝑢𝜈 − 𝑝𝑔𝜇𝜈
O tensor de energia momento é uma combinação de densidade de energia, densidade
de momento e densidade do fluxo de momento.
O tensor de energia-momento do
fluido perfeito
Considere um sistema constituído de um conjunto de partículas sem pressão (que não interagem
entre si). Considere um observador que não está em repouso com o fluido. Suponhamos que em
um certo instante a densidade de partículas seja n e a velocidade do fluido v:
Densidade de energia: produto do número de partículas por unidade de volume pela energia por
partícula:
𝑇 00 = 𝜀𝛾 2
Densidade de momento:
𝑇 𝐾0 = 𝜀𝛾 2 𝑣 𝐾 = 𝑇 0𝐾
Densidade do Fluxo de momento: O fluxo de momento xy é definido como a quantidade de
momento x que flui na direção y por unidade de área, por unidade de tempo. Como o momento x
por partícula é mγvx o fluxo de momento xy será:
𝑇 𝐾𝑙 = 𝜀𝛾 2 𝑣 𝐾 𝑣 𝑙
Nas coordenadas comóveis (c=1) 𝑢𝜇 = (−1,0,0,0)
𝑇00 = 𝜀 + 𝑝 − 𝑝 = 𝜀
𝑇𝑖𝑖 = −𝑝𝑔𝑖𝑖
c=1
Resumo
• Teoria da Relatividade Geral (1917)
G μν  R μν 
1
2
g μν R 
Propriedades Geométricas do Espaço-Tempo
8 G
c
4
T 
Conteúdo Material Energético
• O Princípio Cosmológico: o Universo é homogêneo e isotrópico
em largas escalas (>100 Mpc ≈ 1026 cm).
• A métrica homogênea e isotrópica: Métrica de FriedmannRobertson-Lemâitre-Walker.
 dr 2
2
2
2
2 
ds  c dt  a(t) 
 r (d θ  sen θd  ) 
2
1

kr


2
2
2
a(t) é o fator de escala e k o parâmetro que define a curvatura das seções
espaciais, podendo ser 0, 1 e -1.
Postulado de Weyl (1923): Apenas uma geodésica passa
em cada ponto do espaço-tempo.
• Conteúdo Energético: Tensor de Energia-Momento para um
fluido perfeito, caracterizado por sua densidade de energia e pressão
isotrópica. Não possui esforços de cisalhamento e viscosidade.
T   (  ( t )  p ( t )) U  U   P ( t ) g 
• Equações Dinâmicas para o Universo
a
2
a
2
a
a
2
2
2

a

a
2
2

a
2

c k
a
2
c k


2
 8 Gp ( t )
c
8 G  ( t )
2
c 3
2