Transcript Логарифмическая и показательная функции. Авторы Башунова

Показательная и
логарифмическая функции
Заголовки слайдов
О
происхождении терминов
и обозначений
 Из истории логарифмов
О происхождении терминов и обозначений


К умножению равных сомножителей приводит
решение многих задач. Понятие о степени с
натуральным показателем возникло уже в Древней
Греции ( выражение квадрат числа возникло при
вычислении площади квадрата, а куб числа – при
нахождении объема куба). Но современные
обозначения (типа) в XVII в. ввел Декарт.
Дробные показатели степени и наиболее простые
правила действий над степенями с дробными
показателями встречаются в XIV в. у французского
математика Н. Орема (1323-1382).

Известно, что Шюке (ок.
1445- ок. 1500)
рассматривал степени с
отрицательными и
нулевыми
показателями. С.
Стевин предложил
подразумевать под
корень .
Но систематически
рациональные
показатели первым стал
употреблять Ньютон.

Немецкий математик М.
Штифель (1487-1567) дал
определение
при
и ввел название показатель
(это буквенный перевод с
немецкого Exponent).
Немецкое potenzieren означает
возведение в степень. (
Отсюда происходит и слово
потенцировать, часто
употребляемое при переходах
типа
.)
В свою очередь термин
exponenten возник при не
совсем точном переводе с
греческого слова, которым
Диофант обозначал квадрат
неизвестной величины.


Термины радикал и корень, введенные в XII в., происходят от латинского radix, имеющего два значения:
сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили: «найти сторону квадрата по
его данной величине ( площади)».Знак корня в виде символа
появился впервые в 1525 году.
Современный символ введен Декартом, добавившим горизонтальную черту. Ньютон уже указывал
показатели корней:
,
Слово логарифм происходит от греческого λογοφ (число) и αρіνμοφ (отношение) и переводится,
следовательно, как отношение чисел. Выбор изобретателем (1594 г.) логарифмов Дж. Непером такого
названия объясняется тем, что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых
является членом арифметической прогрессии, а другое –геометрической. Логарифмы с основанием е ввел
Спейдел (1619 г.),составивший первые таблицы для функции ln x. Название более позднего происхождения
натуральный объясняется «естественностью» этого логарифма. Н. Меркатор (1620-1687), предложивший
это название, обнаружил, что ln x- это площадь под гиперболой
. Он предполагал также название
гиперболический.
Из истории логарифмов

В течение XVI в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в
ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное
практическое применение (в частности, при определении положения судов по звездам и по Солнцу).
Наибольшие проблемы возникали, как нетрудно понять, при выполнении операций умножения и
деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем с введения их к сложению ( была
составлена, например, таблица квадратов целых чисел от 1 до 100000, позволяющая вычислять
произведения по формуле



большого успеха не приносили. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел
к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.
Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились
разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, - резко
повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т. е. всего через 9
лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая
логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений. (Вплоть до самого
последнего времени, когда на наших глазах повсеместное распространение получает электронная
вычислительная техника и роль логарифмов как средства вычислений резко снижается).
Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж.
Непером (1550-1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552-1632). В таблицы Непера, изданные в книгах под
названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614г.) и «Устройство удивительной
таблицы логарифмов» (1619 г.), вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов
от 0 до 90◦ с шагом в 1 минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел, по-видимому, к
1610 г., но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались
незамеченными.



Одна из важнейших идей, лежащих в основе изобретения логарифмов, была уже
известна. Штифель (1487-1567) и ряд других математиков обратили внимание на то, что
умножению и делению членов геометрической прогрессии …,
соответствуют сложение и вычитание показателей, образующих арифметическую
прогрессию …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… .
Но одной этой идеи недостаточно. Например, «сеть» целых степеней числа 2 слишком
редка; многие числа «остаются без логарифмов», поэтому необходима была ещё одна
идея: возводить в степень числа, очень близкие к единице. Заметив, что степени
и
при больших значениях n близки, Непер и Бюрги приняли аналогичное
решение: Непер брал в качестве основания число
, а Бюрги – число.
Дальнейший ход их рассуждений и описание схем вычислений пересказать довольно
трудно как потому, что имеется много непростых деталей, так и потому, что вообще
тексты XVI в. довольно туманный. Заметив только, что фактически далее Непер
переходит к основанию
, а Бюрги – к основанию. Это не изменило существа
дела,
но позволило несколько упростить вычисления и сами таблицы.





Таким образом, по существу оба изобретателя логарифмов пришли к выводу о
целесообразности рассмотрения степеней вида, где М очень большое число. Рассмотрение
чисел такого вида приводит к известному вам числу е, которое определялось как
(определение предела последовательности дано в «Сведениях из истории»). Осталось ещё
немного до идеи принятия в качестве основания логарифмов числа е (основания таблицы
логарифмов Бюрги совпадает с точностью до третьего знака с е, основание таблицы
логарифмов Непера близко к числу).
Первые таблицы десятичных логарифмов (1617 г.) были составлены по совету непера
английским математиком Г. Бриггсом (1561-1630). Многие из них были найдены с помощью
выведенной Бриггсом приближённой формулы
, достаточно точной при больших значениях m и n. Бриггс брал значения m и n в виде
степеней двойки: это давало ему возможность свести вычисление к последовательному
извлечению квадратных корней.
Другая идея Бриггса позволяет находить значения десятичных логарифмов некоторых
чисел самостоятельно, без помощи таблиц. Целая часть логарифма целого числа на
единицу меньше количества цифр в самом числе. Поэтому, например, для нахождения с
точностью до трёх знаков достаточно найти число цифр. Это не очень трудно.
При составлении таблиц логарифмов важную роль сыграло найденное Непером и Бюрги
соотношение между приращениями в произвольной точке для функции. Отвлекаясь от
деталей их системы изложения, основной результат можно выразить так: , где k – некоторая
постоянная. Если основание логарифмов – степень, где n – достаточно большое число.
Устремляя к нулю, приходим к дифференциальному уравнению,
решением которого, как вы знаете, является функция. Существует
система изложения, при которой с самого начала определяется как.
 - площадь криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой, осью
абсцисс и прямыми х = 1 и х = х. Вывод известных вам свойств
логарифмов, исходя из этого определения, не очень простая, но
доступная вам задача.
