Transcript 第三章變異量數

第三章 變異量數
對於數據變異性即離中趨勢進行度量的一組
統計量，稱作差異量數或變異量數(Measure
of variablility)，或離勢量數、分散量數
(Measures of Dispersicn)及變異係數。
1.絕對變異量數的測定法：以原資料之單位
為離差之單位。
2.相對變異量數的測定法：通常以百分數表示。
(1) 全距相對差異量數。
(2) 四分位差相對差異量數。
(3) 平均差相對差異量數。
(4) 標準差相對差異量數，亦稱變異係數。
(5) 均互差相對差異量數。
3-1 全距
(一) 全距的的意義
全距（Range，縮寫為R）是一組資料中
最大值減最小值的差。
(二) 全距的特性及限制
全距表示一組數值的變動範圍，它是數據變異情
況中最簡單、粗略的一種統計量數，因此易受極
端值影響。為了改進此缺失，可以先刪除少數最
大與最小的極端值，並以刪除後的資料重新計算
全距，此種全距稱為裁剪全距。若將最大及最小
的25% 資料刪除後計算裁剪全距就等於是第三四
分位數與第一四分位數的差，此種裁剪全距稱為
內四分位距。
3-2 四分位差
(一) 四分位差的意義
四分位差的定義即為中間50% 之數值中最高分（即
Q3）（第三個四分位數）與最低分（即Q1）之差
的一半，一般以QD (Semi-interguartile Range)
(Quartile deviation)表示，即
(二) 四分位差的特性及限制
四分位差不受極端數值所影響，但因只考慮
中間的50%，故仍是屬於一種粗略的變異量
數。
3-3 平均差
(一)平均差的意義
一數列中各量數與其中位數(Me)或算術平均數
（M或 X ）之差數絕對值總和的平均數，稱為
平均差(Average Deviation)，簡稱AD，或(Mean
Deviation)簡稱MD此亦能反應每個數值的變異情
形。
(二) 平均差的求法
1. 未分組資料的平均差：
2.分組資料的平均差（以中位數為代表）：
3-4 誤差平方和
(一) 誤差平方和的意義
數列中各個數值與其平均數( X )之差（即離差）的平
方和，稱為誤差平方和(Deviation Square)或離差平方
和，簡稱DS。
(二) 誤差平方和的求法
DS   X  X 
2
3-5 標準差
(一) 標準差的意義
標準差(Standard Deviation)為資料中各個數值與
其算術平均數之差數平方和的平均數之平方根。
習慣上母群體標準差用 表示，樣本標準差用S
（或SD）表示。
(二) 標準差的求法
1.未分組資料的母體標準差：
2.未分組資料的樣本標準差：
3.分組資料的標準差：
(三) 標準差的特性及應用
3-6 變異數
(一) 變異數的意義
變異數(variance)為標準差的平方。
(二) 變異數的求法
(三) 標準差與變異數的優點及限制
標準差與變異數是表示一組數據離散程度的最佳
指標。其值愈小表示數據愈集中，其值愈大，表示
數據分散程度愈大。因此在本章開始，所述有關資
管甲、乙兩班的統計成績之例子中，因為甲班同學
成績分散程度較大，故其標準差（或變異數）較大。
標準差與變異數是統計中最常用的差異量數，原
因是它反應靈敏，計算公式牽涉到每個數據，因此
每個數據的變化，都會影響該二數值。
3-7 均互差
(一) 均互差的意義
一群數值中每兩個數值相差的絕對值之算術平均
數稱為均互差，以符號g表示。
(二) 均互差的計算
1.分組資料求均互差：
(2)簡捷法：使用簡捷法求均互差應先將數值
作由小而大的排列，而後代入下列公式，即
可求得均互差g。
(三) 均互差的性質
1. 均互差的計算以互差為標準，若數列中任一數
值變動，即會影響均互差的結果，故感應極為
靈敏。
2. 計算繁雜，受抽樣變動影響大。
3. 應用機會很少。
3-8 相對變異量數
(一) 相對變異量數的意義
前面所討論各種變異量數，如：全距、四分位差、
平均差、標準差和均互差所計算的值，均和其原資
料單位相同，稱為絕對差異量數(Measure of absolute
variation)。在相同的單位或相同的性質作比較時，
可用絕對變異量數。但在兩種資料的單位和性質皆
不相同，或是單位雖然相同，但平均數彼此相差甚
大時，欲作比較便須應用相對變異量數(Measure of
relative variation)。
所謂相對變異量數是絕對差異量數與某種平均數或
其他適當數值之比，又簡稱相對離差，常將其化成
百分數，為無名數，以方便比較。
(二) 相對變異量數的種類
(三) 相對變異量數的功用
1. 單位不同的若干種資料作比較。
2. 單位相同，但平均數差異很大的若干種資料
相互比較。
3-9 各種變異量數之關係與比較
(一) 各種變異量數之關係