Реализация деятельностного подхода в обучении математике через применение интерактивных сред.

Чипышева Л. В.

учитель математики МАОУ гимназии № 80 г. Челябинска

Интерактивные геометрические среды

• • • •

Позволяют создавать компьютерные модели геометрических объектов, обладающих динамизмом.

«Живая математика» «Математический конструктор» «GeoGebra»

Методические возможности ИГС

• • • •

Обеспечение поэтапного перехода от наглядно-действенного мышления к словесно логическому.

Обучение деятельности по математическому моделированию.

Реализация дифференцированного подхода посредством вариативности содержания обучения и способов его освоения.

Развитие мотивации и познавательного интереса.

Отличительные особенности

Традиционное обучение геометрии

1. Введение понятий геометрии (Учитель, учебник, рабочая тетрадь, учащийся).

Обучение геометрии с использованием ИГС

1. Знакомство с понятиями геометрии в процессе освоения чертежной плоскости и использования их для преобразования интуитивных моделей геометрических объектов в динамические.

(Учащийся, учебник, ИГС, рабочая тетрадь, учитель) 2. Освоение основных теоретических положений, раскрывающих содержание введенных понятий.

(Учитель, учебник, рабочая тетрадь, учащийся) 2. Исследование динамических моделей геометрических объектов с целью выдвижения гипотез об устойчивости и изменчивости свойств, формулировки теоретических положений с последующей их компьютерной проверкой и логическим объяснением истинности.

(Учащийся, учебник, ИГС, рабочая тетрадь, учитель) 3. Решение задач на применение теоретических положений.

(Учитель, учебник, рабочая тетрадь,учащийся).

3. Решение задач на трансформацию комплекса теоретических моделей и новые динамические модели геометрических объектов, их исследование, использование результатов исследования для развития теоретических положений и решения практических задач.

(Учащийся, учебник, ИГС, рабочая тетрадь, учитель)

Возможности ИГС

Позволяет строить любые геометрические фигуры, менять их форму, вычислять углы, площади и т. д. Можно демонстрировать теоремы, свойства, например, о сумме углов треугольника.

Возможности ИГС

Программы позволяют усваивать метрические соотношения не догматически, а экспериментально.

Задача.

Около произвольного треугольника описана окружность и, соответственно, вписана. Как изменится треугольник, если совместить центры двух окружностей?

Возможности ИГС

• Просим учащихся на сторонах произвольного треугольника во внешнюю часть построить квадраты и понаблюдать за треугольником в случае, когда сумма площадей двух меньших квадратов окажется равной площади большего квадрата, сделать выводы.

Возможности ИГС

Применение данных интерактивных сред возможно не только на уроках геометрии, но и алгебры. Например, при изучении темы «Тригонометрические функции. Преобразование графиков тригонометрических функций» учащимся предлагается строить графики, их преобразовывать, строить графики гармонических колебаний.

Чтобы решить практическую задачу надо перевести ее на математический язык, т. е. выделить исходные данные, сформулировать цель исследования, построить математическую модель.

Какие исходные данные можно выделить в этой задаче?

Дан четырёхугольник. Точка внутри четырёхугольника.

Какую величину мы будем исследовать?

Надо найти такое положение точки, чтобы сумма расстояний от этой точки до вершин четырёхугольника была наименьшей.

Переходим к реализации решения этой задачи. Открываем файл Задача 1.

Четыре соседа. И работаем вместе по инструкции.

Реализация алгоритма решения Задачи 1. Четыре соседа.

1. Отмечаем точки, соответствующие домам.

2. Строим четырёхугольник (соединяем точки отрезками).

3. Ставим точку внутри четырёхугольника.

4. Соединяем эту точку отрезками с вершинами четырёхугольника.

5. Измеряем длины полученных отрезков.

6. В строке ввода задаём величину m=e+f+g+h 7. Вставляем текстовое поле: Сумма расстояний равна и связываем её с величиной m.

8. Изменяя положение точки внутри четырёхугольника, выясняем, когда сумма расстояний будет наименьшей.

Усложним задачу.

Задача 2. Три соседа решили вместе выкопать колодец и проложить водопровод от колодца к каждому дому, причем все расходы решили поделить поровну. Вопрос: в каком месте нужно расположить колодец, чтобы затраты были наименьшими?

Итак, мы получили следующую геометрическую задачу: На плоскости даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Для какой точки D плоскости сумма расстояний АD + ВD + СD будет наименьшей? Проиграв алгоритм построения, заметим, что сумма расстояний и положение точки зависит от углов, которые образуются между полученными отрезками. При каком значении углов сумма расстояний будет наименьшей? Если все углы по 120 0 .

То есть, когда все стороны треугольника видны из точки D под углом 120 0 .

Для решения этой задачи выполним поворот треугольника АДВ вокруг точки А на 60º. При этом точка А останется на месте, точка В перейдет в некоторую точку В’, а точка D – в точку D’ . Таким образом, треугольник АDВ перейдет в равный ему треугольник AB’D’, значит AD= AD’, АB = AB’ . В треугольнике ADD’, DАD’ = 60º, значит треугольник ADD’ – равносторонний, поэтому АD = DD’.

АD + ВD + СD = AD’+B’D’+ СD = B’D’+ D’D+СD В каком случае значение эта суммы будет наименьшей?

Очевидно, что наименьшее значение эта сумма имеет, если она равна длине отрезка B’C, что достигается, когда точки B’, D’, D, С лежат на одной прямой (в указанной последовательности).

Полученная точка (точка D) имеет несколько названий: точка Ферма, точка Торричелли, точка Штейнера. (Определение: точка Торричелли – это точка в

плоскости треугольника, сумма расстояний от которой до вершин треугольника имеет наименьшее значение).

Рассмотрим другие способы построения точки Торричелли, с помощью окружностей.

Для этого выясним, что является геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под углом 120 0 – это дуга окружности.

Для построения соответствующей дуги на стороне АВ треугольника АВС построим равносторонний треугольник АВЕ и опишем около него окружность. Отрезок АВ стягивает дугу этой окружности величиной 120 0 . Следовательно, точки этой дуги, отличные от А и В, обладают тем свойством, что отрезок АВ виден из них под углом 120 0 .

Аналогичным образом на стороне ВС треугольника АВС построим равносторонний треугольник ВСF и опишем около него окружность. Точки соответствующей дуги, отличные от В и С, обладают тем свойством, что отрезок ВС виден из них под углом 120 0 . Построенные окружности пересекаются в некоторой внутренней точке Д. Эта точка является искомой. Нами рассмотрен треугольник, углы которого меньше 120 0 .

Что будет, если угол В будет больше или равен 120 0 ?

В случае если угол В равен 120 0 , то точкой пересечения дуг окружностей будет точка В. В этом случае точки Торричелли не существует, т.к. нельзя говорить об углах, под которыми видны из этой точки стороны АВ и ВС.

Если угол В больше 120 0 , то соответствующие дуги пересекаются вне треугольника АВС, в точке из которой стороны АВ и ВС видны под углом 60 0 . В этом случае точки Торричелли не существует. Еще один способ построения точки Торричелли:

• Таким образом, при использовании интерактивных сред, реализуется деятельностный характер образования, направленность содержания образования на формирование общих учебных умений и навыков, обобщенных способов учебной и познавательной деятельности, создаются условия для формирования ключевых компетенций — готовности учащихся использовать усвоенные знания, умения и способы деятельности в реальной жизни для решения практических задач, развитие мотивации у учащихся к изучению математики.

Ссылки на GeoGebra:

• • • • • • • • • •

http://www.geogebra.org/cms/ GeoGebra. Бесплатная математическая программа для обучения и самообучения. Здесь можно скачать программу.

http://conjunctio.blogspot.com/search/label/Geogebra Эстонии.

Сообщество учителей математики http://geogebracentral.blogspot.com/ http://janka-x.livejournal.com/ GeoGebra Applet Central Живая Геометрия http://www.geogebra.ru/www/index.php

Сибирский институт GeoGebra. Дистанционные курсы для желающих освоить программу.

http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=16&t=533&sid=e4eadcc075e91b33a9e6fef3b88d29db Лысенко 2010. Чертежи к задачам С2.

http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=16&t=651&sid=e4eadcc075e91b33a9e6fef3b88d29db Задачи с параметрами.

http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=16&t=522&sid=e4eadcc075e91b33a9e6fef3b88d29db Клово 2010 Чертежи С2.

http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=16&t=696&sid=e4eadcc075e91b33a9e6fef3b88d29db Задачи В9.

http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=16&t=367&sid=e4eadcc075e91b33a9e6fef3b88d29db Смирнов С2. Чертежи.