Transcript Παρουσίαση 8

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ
ΒΙΟΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΩΝ
Τύποι ιδανικών
βιοαντιδραστήρων
Τρόποι λειτουργίας αναδευόμενων
βιοαντιδραστήρων
Το πρόβλημα του σχεδιασμού
Ο βιοχημικός μηχανικός καλείται να επιλέξει:
– τον τύπο βιοαντιδραστήρα
– τον τρόπο λειτουργίας που μεγιστοποιεί το κέρδος
Δεδομένων:
–
–
–
–
–
–
του κόστους των πρώτων υλών
του κόστους των προϊόντων
του κόστους του κεφαλαίου
του κόστους της ενέργειας
τις απαιτήσεις για ασφάλεια
τις απαιτήσεις για έλεγχο της ρύπανσης.
Ερωτήματα:
1. Ποια η σύσταση του θρεπτικού μέσου;
Υπάρχει δυνατότητα επιλογής της ή καθορίζεται
από την παραγωγή κάποιας άλλης διεργασίας;
2. Τι ποσότητα παραγωγής απαιτείται;
3. Ποιος τύπος βιοαντιδραστήρα είναι ο πιο
κατάλληλος;
4. Ποιος ο καλύτερος τρόπος λειτουργίας;
5. Τι σχήμα και μέγεθος αντιδραστήρα απαιτείται;
6. Τι λειτουργικές συνθήκες (θερμοκρασία, pH,
πίεση, ανάδευση, αερισμός) απαιτούνται;
7. Ποιες οι ενεργειακές απαιτήσεις;
8. Μήπως είναι επιθυμητό να έχουμε
ανακυκλοφορία;
Διαδικασία Σχεδιασμού
• Συνήθως επιλέγεται αναδευόμενος αντιδραστήρας,
σε θερμοκρασία και pH που συνήθως είναι οι
βέλτιστες για την ανάπτυξη των οργανισμών, οπότε
απομένει να επιλεγεί ο τρόπος λειτουργίας.
• Στη συνέχεια το βασικότερο ερώτημα είναι η
απαίτηση σε όγκο (διαστασιολόγηση).
Η απάντηση με την χρήση των ισοζυγίων μάζας που
περιλαμβάνουν την κινητική της βιοαντίδρασης.
• Μετά μπορούμε να υπολογίσουμε :
– τις ενεργειακές ανάγκες (με ισοζύγιο ενέργειας)
– τις ανάγκες αερισμού και ανάδευσης
– το συνολικό κόστος του βιοαντιδραστήρα.
• Τέλος εξετάζουμε με ποιες μεταβολές θα
μπορούσαμε να βελτιώσουμε την διεργασία.
ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΑΣ
ΔΙΑΛΕΙΠΟΝΤΟΣ ΕΡΓΟΥ
Το ισοζύγιο μάζας για κάθε συστατικό i σε αντιδραστήρα
διαλείποντος έργου παίρνει την μορφή:
d(VR ci )
 VR rfi
dt
όπου rfi ο καθαρός ρυθμός σχηματισμού ανά μονάδα όγκου
ανά μονάδα χρόνου.
 κανείς να αγνοήσει τις μεταβολές σε όγκο,
Συνήθως μπορεί
οπότε το ισοζύγιο παίρνει την μορφή:
dci
 rfi
dt

Αν
• Ζi η επιθυμητή παραγωγή του συστατικού i σε moles ανά
χρόνο
• cif η τελική συγκέντρωση του συστατικού i και
• tb ο απαιτούμενος χρόνος για μία «παρτίδα»,
τότε:
VR cif
Zi tb
 Zi  VR 
tb
cif
H σχέση δίνει τον απαιτούμενο όγκο αντιδραστήρα
διαλείποντος έργου συναρτήσει του χρόνου που απαιτείται για
ναεπιτευχθεί η τελική συγκέντρωση cif.

Ο χρόνος αυτός είναι ίσος με:
tb  td  th
• td (downtime): ο χρόνος που απαιτείται για συλλογή των
προϊόντων και φόρτωση του αντιδρώντος μείγματος
(χρόνος μη λειτουργίας του αντιδραστήρα)

• th ο χρόνος αντίδρασης, ο οποίος στην περίπτωση που ο
ρυθμός rfi είναι συνάρτηση μόνο της συγκέντρωσης ci
υπολογίζεται από ολοκλήρωση της εξίσωσης:
cif
dci
th  
ci0 rfi (ci ,T ,pH,. ..)
ΕΞΙΣΩΣΗ
ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ
Παράδειγμα 1: o όγκος που απαιτείται για ενζυμική
αντίδραση που διέπεται από κινητική τύπου
Michaelis-Menten για να ελαττωθεί το υπόστρωμα
από s0 σε sf:
sf
th 

s0
s0  s f K m s0
Km  s
ds 

ln
v max s
v max
v max s f
Z i (t d  t h )
VR 
sf
Παράδειγμα 2:
Ο όγκος βιοαντιδραστήρα για να αυξηθεί η
συγκέντρωση της βιομάζας από x0 σε xf με
κινητική Malthus:
xf
th 

x0

dx 1 x f
 ln
x  x 0
Z i (t d  t h )
VR 
xf
Παράδειγμα 3:
Ο όγκος αντιδραστήρα αποστείρωσης για να
μειωθεί η συγκέντρωση των μικροοργανισμών
από x0 σε xf:

xf
th 

x0
dx
1 x0
 ln
kd x kd x f
Z i (t d  t h )
VR 
xf
Όταν ο ρυθμός εξαρτάται από περισσότερες
συγκεντρώσεις που συνδέονται μεταξύ τους
με σταθερή στοιχειομετρική σχέση,
μπορούμε να εκφράσουμε τον ρυθμό πάλι
συναρτήσει της μεταβλητής που μας
ενδιαφέρει και να χρησιμοποιήσουμε την
εξίσωση σχεδιασμού.
π.χ. για απλή κινητική μικροβιακής ανάπτυξης τύπου Monod
ισχύει
dx  max s

x
dt K s + s
ds
1  max s

x
dt
Y Ks + s
dx
ds
 Y
 x  x0  Y(s0  s)
dt
dt
οπότε ο χρόνος για
να επιτευχθεί συγκέντρωση xf είναι:
xf
th 

x0
xf
 x0  x f
x0  x
x0 + Y (s0  K s )ln  K sY ln1 
K s  s0 
x0
Ys0

Y
dx
x x

max ( x0  Ys0 )
max  s0  0
x

Y 




Aνάπτυξη οργανισμών με ενδογενή μεταβολισμό και συντήρηση που
συνοδεύεται από παραγωγή κάποιου μεταβολικού προϊόντος P
dx max s

x  ke x
dt K s  s
dp
maxs

x  x
dt
Ks  s

ds
1 max s
1  maxs

x  km x 
x  x

dt
YX/S K s  s
YP/S  K s  s

Απαιτούμενος χρόνος για
συγκέντρωση προϊόντος pf

x
s0


pf
p


s
x0
th

t
ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΑΣ
ΗΜΙΔΙΑΛΕΙΠΟΝΤΟΣ ΕΡΓΟΥ
• Προσθήκη μέρους ή όλου του θρεπτικού μέσου
κατά την διάρκεια της βιοαντίδρασης όταν θέλουμε:
– να προσθέσουμε κάποια συστατικά (π.χ. διεγέρτες)
αφού έχει επιτευχθεί κάποια σημαντική συγκέντρωση
βιομάζας
– να διατηρήσουμε χαμηλές συγκεντρώσεις υποστρώματος
προκειμένου να αποφύγουμε παρεμπόδιση από το
υπόστρωμα ή καταστολή καταβολιτών
– παρατεταμένη λειτουργία στην στάσιμη φάση που είναι
βέλτιστη για την παραγωγή ορισμένων μεταβολικών
προϊόντων όπως αντιβιοτικών κλπ.
Ισοζύγια
d(VR ci )
dci
dVR
 FciF VR rfi  VR
+ci
 FciF VR rfi
dt
dt
dt
dVR
F
dt
Οπότε:
dc i F

(c iF  c i )  rfi
dt VR
• Για δεδομένο F, oι δύο τελευταίες σχέσεις
πρέπει να επιλυθούν για να βρεθεί η

συγκέντρωση
του i και η μάζα του i (=VRci)
συναρτήσει του χρόνου.
Παράδειγμα Monod
dx
F
maxs
  x+
x
dt
VR
Ks  s
ds F
1 max s

(sF  s) 
x
dt VR
YX/S K s  s
dVR
F
dt
Οι τρεις αυτές εξισώσεις πρέπει να επιλυθούν με αρχικές
συνθήκες VR(0)=V0, x(0)=x0 και s(0)=s0.
Για σταθερό ειδικό ρυθμό
ανάπτυξης
ds
1
max s xVR
1  xVR
0F 
*
* 
*  VR x
dt
Y (K s  s )(sF  s ) Y (sF  s )
*
Όπου:

*
*
Y(sF  s* )
• μ* ο επιθυμητός ειδικός ρυθμός ανάπτυξης και
• s* η συγκέντρωση υποστρώματος που αντιστοιχεί στον
ρυθμό μ*

Άρα ο ρυθμός παροχής πρέπει να είναι ανάλογος της
συνολικής μάζας μικροοργανισμών
Τότε:
dx
 x 2 + * x
dt
Ολοκληρώνοντας:
x 0e
*t
*t
x 0e
x(t) 

*

x0
 t
*t
 1  * x 0 (1  e ) 1 
)
* (1  e

Y(sF  s )

*t
dVR
VR x 0e
 F  VR x 

dt
*t
1  * x 0 (1  e )
Οπότε για τον όγκο
έχουμε:

 



x0
*t
*t
VR (t)  V0 1  * x 0 (1  e ) V0 1 
)
* (1  e
 

 Y(sF  s )

και

F  V0 x 0e
*
 t

*V0 x 0
Y (sF  s )
*
e
*t

x

s

x0

t

ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΑΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ
ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ (χημοστάτης)
d(VR ci )
 F(ciF  ci ) VR rfi
dt
Όταν η ογκομετρική παροχή F είναι σταθερή,
συνήθως ο αντιδραστήρας φθάνει σε μόνιμη
κατάσταση,
οπότε η εξίσωση δίνει:
F(c iF  c i )
VR 
rfi
F(c iF  c i )
VR 
rfi
ΕΞΙΣΩΣΗ
ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ
• δίνει τον απαιτούμενο όγκο για να επιτευχθεί
παραγωγή Ζi=Fci moles i ανά μονάδα
χρόνου.
Ενζυμική αντίδραση που περιγράφεται
από κινητική Michaelis-Menten
F(sF  s)(K m  s) Fp(K m  sF  p)
VR 

v max s
v max (sF  p)
Όταν ο ρυθμός εξαρτάται και από άλλες συγκεντρώσεις, τα
ισοζύγια μάζας όλων των ουσιών για μόνιμη κατάσταση
πρέπει να επιλυθούν από κοινού μαζί με την εξίσωση:
Zi
ci 
F
Οι εξισώσεις αποτελούν ένα σύστημα αλγεβρικών
εξισώσεων που ενδεχομένως επιδέχεται πάνω από μία
λύσεις.

Στην περίπτωση αυτή των πολλαπλών μόνιμων
καταστάσεων πρέπει κανείς να εξετάσει την ευστάθειά τους.
Η ευστάθεια ή η αστάθεια μιας μόνιμης κατάστασης
προσδιορίζεται από τις ιδιοτιμές του Ιακωβιανού πίνακα.
dx1
 f1 ( x1 , x2 ,...,xn )
dt

dxn
 f n ( x1 , x2 ,...,xn )
dt
Ιακωβιανός πίνακας:
 f1 


 x1  x s
J (x s )   
 f 
 n 
 x1  x s

 f1  
 
 
 xn  x s 

 
 f n  
 
 
 xn  x s 

Αντιδραστήρας συνεχούς λειτουργίας
για μικροβιακές καλλιέργειες
• Συνήθως η τροφοδοσία είναι αποστειρωμένη.
• Οι οργανισμοί αναπτύσσονται στο εσωτερικό του
αντιδραστήρα
• Η εκροή περιέχει:
– μικροοργανισμούς
– προϊόντα και
– αχρησιμοποίητο θρεπτικό μέσο.
• Ορίζουμε τον ρυθμό αραίωσης D (dilution rate)
(αντίστροφο του μέσου χρόνου παραμονής ):
F
D
VR
Ισοζύγιο βιομάζας:
d (VR x)
dx
 VR rx  Fx 
 rx  Dx
dt
dt
• Στην πιο απλή περίπτωση για την κινητική
ανάπτυξης, δηλαδή στην περίπτωση του
νόμου του Malthus το ισοζύγιο δίνει:
dx
 (  D)x  x(t)  x0e(  D)t
dt
dx
(  D)t
 (  D)x  x(t)  x0e
dt
Τρεις περιπτώσεις:
(α) Αν μ>D προβλέπεται συνεχής αύξηση
της συγκέντρωσης βιομάζας χωρίς όρια
(β) Αν μ<D προβλέπεται έκπλυση των
οργανισμών τελικά (x=0).
(γ) Αν μ=D προβλέπεται σταθερή
συγκέντρωση βιομάζας ίση με την
αρχική.
Το λογιστικό μοντέλο:
dx
 ax(b  x)  Dx
dt
δίνει δύο μόνιμες καταστάσεις, xs=0 και xs=b-D/a.
Ο Ιακωβιανός πίνακας (σ' αυτή την περίπτωση) είναι βαθμωτό μέγεθος:

J(x)  a(b  2x)  D
υπολογισμένος στην μη μηδενική μόνιμη κατάσταση είναι -ab+D και
επομένως η ιδιοτιμή είναι:

  J(b D/a)  D ab
και επομένως είναι ευσταθής όταν D<ab και ασταθής όταν D>ab.
Η ιδιοτιμή 
της μηδενικής μόνιμης κατάστασης είναι ab-D και επομένως
αυτή η μόνιμη κατάσταση είναι ευσταθής όταν D>ab.
Άρα το μοντέλο προβλέπει διατήρηση βιομάζας σε μη μηδενική
μόνιμη κατάσταση για D<ab, ενώ προβλέπει έκπλυση της βιομάζας
για D>ab.
Πιο πλήρες μοντέλο για τον αντιδραστήρα συνεχούς
λειτουργίας:
dx
maxs
 Dx 
x  ke x
dt
Ks  s

ds
1 max s
1  max s
 D(sF  s) 
x  km x 
 x

dt
YX/S K s  s
YP/S  K s  s 
 maxs

dp
 Dp  
  x
dt
 K s  s

Δύο μόνιμες καταστάσεις,
μία έκπλυσης (xs=ps=0, ss=sF) και:
K s(D + ke )
ss 
max  (D + ke )
D(sF  ss )
xs 
1
1
(D + ke )+ km +
[ (D + ke )+  ]
YX/S
YP/S
[(ke + D)+  ]xs
ps 
D
Εξάρτηση από τον ρυθμό αραίωσης
sF
xs


ps

ss

D
Dmax
Εξάρτηση από την συγκέντρωση
τροφοδοσίας
xs

ps

ss

sF
ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
• αν αγνοήσουμε την κατανάλωση υποστρώματος
για συντήρηση και παραγωγή μεταβολικού
προϊόντος, καθώς και τον ενδογενή μεταβολισμό,
• και μας ενδιαφέρει να προσδιορίσουμε τον
ρυθμό αραίωσης που μεγιστοποιεί την
παραγωγή βιομάζας ανά μονάδα όγκου και
χρόνου, δηλαδή
P=Dx
dx
maxs
 Dx 
x
dt
Ks  s
ds
1 maxs
 D(sF  s) 
x
dt
Y Ks  s
Η μόνιμη κατάσταση που αντιστοιχεί σε ύπαρξη βιομάζας
στον αντιδραστήρα είναι:

DKs 
xs  Y sF 

max  D 

DK s
ss 
max  D
O ρυθμός αραίωσης που μεγιστοποιεί τον δείκτη απόδοσης

P είναι:
Dopt


K s 

 max 1 
K s  sF 

Βέλτιστος ρυθμός αραίωσης
P
Popt
Dopt
Dmax
D
Εναλλακτική λειτουργία:
αντιδραστήρας με ανακυκλοφορία
βιομάζας
F0
F0
x



x
Fr

ΑΥΛΩΤΟΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΑΣ
• Αν η ταχύτητα της ροής είναι u, η διατομή έχει εμβαδόν Α
και το μήκος του αντιδραστήρα είναι L,
• το ισοζύγιο μάζας για μόνιμη κατάσταση για ένα
διαφορικό μήκος dz ιδανικού αυλωτού αντιδραστήρα της
ουσίας i είναι:
d(uci )
 rfi
dz
Αν αγνοήσουμε οποιαδήποτε μεταβολή της πυκνότητας
του αντιδρώντος μείγματος, μπορούμε να θεωρήσουμε
την ταχύτητα
 u σταθερή, οπότε έχουμε:
dci
dci
u
 rfi 
 rfi


z
dz
d  
u 
• Ονομάζοντας τον λόγο z/u=t το ισοζύγιο γίνεται
ακριβώς το ίδιο με το ισοζύγιο για αντιδραστήρα
διαλείποντος έργου.
• Η συνήθης διαφορική εξίσωση μπορεί να επιλυθεί με
αρχική συνθήκη ci(0)=ci0, και η συγκέντρωση στην
εκροή είναι τότε ci(L) όπου L το μήκος του
αντιδραστήρα (=V/A).
• όσα περιγράψαμε για τον αντιδραστήρα διαλείποντος
έργου ισχύουν και για τον αυλωτό αντιδραστήρα με
μέσο χρόνο παραμονής αντίστοιχο του χρόνου
λειτουργίας του αντιδραστήρα διαλείποντος έργου.
• Στον αυλωτό αντιδραστήρα δεν είναι δυνατόν να
έχουμε αποστειρωμένη τροφοδοσία.
O αυλωτός αντιδραστήρας μπορεί να χρησιμοποιηθεί
είτε εν σειρά μετά από αναδευόμενο, είτε εφόσον
εξασφαλίσουμε μερική ανακυκλοφορία.
ΑΕΡΙΣΜΟΣ ΒΙΟΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΩΝ
•
•
•
•
a: διεπιφάνεια αέριας/υγρής φάσης,
Kl : ο ολικός συντελεστής μεταφοράς μάζας
cl : η συγκέντρωση του διαλυμένου οξυγόνου
cl* :η συγκέντρωση διαλυμένου οξυγόνου που
αντιστοιχεί σε ισορροπία με το οξυγόνο στην
αέρια φάση
Ο ρυθμός μεταφοράς του οξυγόνου είναι:
Qo  K l a(c  c l )
*
l
Σε ψευδομόνιμη κατάσταση, ο ρυθμός
κατανάλωσης του οξυγόνου είναι ίσος με τον ρυθμό
μεταφοράς του από την αέρια στην υγρή φάση.
Θεωρώντας το οξυγόνο ως περιοριστικό υπόστρωμα
έχουμε:
1 maxc l
K l a(c  c l ) 
x
YX/O K o  c l
*
l

Η εξίσωση αυτή είναι δευτεροβάθμια ως προς cl.
Aν η συγκέντρωση cl είναι κατά πολύ μικρότερη της
συγκέντρωσης κορεσμού cl*, τότε η λύση είναι
προσεγγιστικά:
K oYX/O cl* K l a
cl 
maxx  YX/O cl* K l a

• Όταν η συγκέντρωση είναι μεγαλύτερη από την
κρίσιμη (περίπου 3Κο) τότε η ανάπτυξη
περιορίζεται ουσιαστικά από κάποιο άλλο
θρεπτικό συστατικό.
• Τυπικές κρίσιμες τιμές της συγκέντρωσης είναι
0,003 έως 0,05 mmole/l ή 0,1 έως 10% της τιμής
κορεσμού.
• Η παραπάνω σχέση πρέπει να χρησιμοποιηθεί
επομένως για να εκτιμηθεί εάν και κατά πόσο
το οξυγόνο περιορίζει την ανάπτυξη.
• Η απαίτηση σε οξυγόνο για καλλιέργεια με ειδικό
ρυθμό ανάπτυξης μ και συγκέντρωσης βιομάζας
x είναι:
Qo 
x
YX/O
ΡΥΘΜΙΣΗ pH
• Το pH ρυθμίζεται με προσθήκη διαλυμάτων
βάσεως (συνήθως NaOH) ή οξέος (συνήθως
HCl)
• Συνήθως απαιτείται προσθήκη βάσεως για να
διατηρηθεί το pH στο επιθυμητό επίπεδο
• Αυτό οφείλεται στο ότι η μικροβιακή ανάπτυξη
συνήθως συνοδεύεται από παραγωγή διοξειδίου
του άνθρακα το οποίο υπάρχει σε διάλυμα υπό
τις μορφές, CO2, H2CO3, HCO3- και CO32-
Οι σχέσεις ισορροπίας:
[H+ ][HCO3 ]
K1 
 106, 3 M
[CO2 ]+ [H2 CO3 ]
Δίνουν:
[H+ ][CO2
10, 25
3 ]
K2 

10
M

[HCO3 ]

K1
K1K 2 
cT  c0 1  +  + 2 
  [H ] [H ] 
όπου co η συγκέντρωση διαλυμένου διοξειδίου (πρώτες δύο
μορφές).
• Μόνο η πρώτη μορφή μεταφέρεται στην αέρια φάση.

• Το πόσο διοξείδιο μεταφέρεται στην αέρια φάση επομένως
εξαρτάται από το pH του διαλύματος, με μέγιστη μεταφορά
όταν το διάλυμα είναι αλκαλικό.
• Όταν ο ρυθμός μεταφοράς είναι μικρότερος από τον ρυθμό
παραγωγής, το pH του διαλύματος μειώνεται και απαιτείται
προσθήκη βάσεως για να ρυθμιστεί στα επιθυμητά επίπεδα.
• Εκτός από το διοξείδιο του άνθρακα συχνά
παράγονται και διάφορα οξέα ως
μεταβολικά προϊόντα με αποτέλεσμα πάλι
την μείωση του pH εκτός αν προστεθεί
βάση.
• Στην παρασκευή του θρεπτικού
διαλύματος συνήθως συμπεριλαμβάνουμε
και άλατα όπως KH2PO4 τα οποία παίζουν
ρυθμιστικό ρόλο (buffers).
ΡΥΘΜΙΣΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ
Q .
VR x

YH
• Είναι η παραγόμενη θερμότητα κατά την ανάπτυξη
• Η θερμότητα συνήθως δεν επαρκεί για να διατηρήσει την
θερμοκρασία στο επιθυμητό επίπεδο.
• Επίσης
 το θρεπτικό μείγμα συνήθως είναι σε χαμηλότερη
θερμοκρασία από την επιθυμητή, ενώ υπάρχουν και
απώλειες θερμότητας προς το περιβάλλον.
• Τέλος στην κατάστρωση του ισοζυγίου ενέργειας είναι
σημαντικό να εκτιμηθεί και η παραγωγή θερμότητας λόγω
ανάδευσης.
• π.χ. η απαίτηση για θερμότητα για
αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας
είναι ίση με
την απαίτηση για θέρμανση του θρεπτικού
μέσου στην επιθυμητή θερμοκρασία συν
την απαίτηση για αναπλήρωση απωλειών
από την εξωτερική επιφάνεια μείον
την παραγόμενη θερμότητα λόγω
ανάπτυξης και λόγω ανάδευσης:
Q .
VR x
 Fc p T  hA(T  T0 ) 
 Q .
YH
ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΙΣΧΥΟΣ ΓΙΑ
ΑΝΑΔΕΥΣΗ
Eξαρτώνται από:
• τις φυσικές ιδιότητες του ρευστού
• την πυκνότητα ρ
• το ιξώδες μ
• τον ρυθμό περιστροφής του αναδευτήρα Ν
(στροφές/χρόνο)
• τη διάμετρο D και
• τον συντελεστή τριβής που με την σειρά του εξαρτάται
από τον αριθμό Reynolds Re.
 Για τυρβώδη ροή η ισχύς είναι ανάλογος του γινομένου
Ν3D5
 Για στρωτή ροή είναι ανάλογος του γινομένου N2D3.
 Για αεριζόμενους αντιδραστήρες η απαιτούμενη ισχύς
για ανάδευση είναι μικρότερη.