Transcript 数据结构

111071
数据结构
课程综述
周菁
[email protected]
计算机学院
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数据结构
课程内容
数据结构主要研究：
• 数据的逻辑结构 （集合、线性、树和图），
• 数据在计算机中的存储结构 （顺序、链接、索引和散
列），以及
• 对数据进行各种非数值运算的方法 （包括查找、排序、
插入、删除、修改和遍历）和算法。
对同样的数据，若采用的逻辑结构和存储结构不同，
对某一运算所采用的方法不同，将得到不同的算法，
在计算机上会有不同的运行时间和存储空间效率。
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数据结构
课程目的
通过对数据结构课程的学习，我们应该能够
·根据实际应用中对数据处理的要求，为数据选
择和建立合适的逻辑和存储结构；
·选择和使用较好的数据处理方法；
·利用一种程序设计语言编写出相应的算法；
·在计算机系统上调试、运行和实现算法。
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数据结构
课程安排
• 教材：《数据结构（C语言版）》，严蔚敏、吴伟
民编著，清华大学出版社
• 授课时间：
第1-16周，周三3、4节
(一教504)
单周四5、6节 (一教513)
双周四5、6节 (48教B101东)
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课程安排
• 考核方式：
课堂出勤、平时作业、测试与上机占30%，
期末考试占70%
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数据结构
课程结构
第一部分：数据结构的基本概念（第1章）
第二部分：基本的数据结构，包括：
线性结构——线性表、栈和队列、数组与广义表（第2～
5章）
非线性结构——树、图（第6～7章）
第三部分：基本技术，包括：查找技术与排序技
术（第9～10章）
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第一章 绪论
1.1 什么是数据结构
1.2 基本概念和术语
1.3 抽象数据类型的表示与实现
1.4 算法和算法分析
1.4.1 算法
1.4.2 算法设计的要求
1.4.3 算法效率的度量
1.4.4 算法的存储空间需求
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1.1 什么是数据结构
例1 电话号码查询系统
假设有一个电话号码薄，它记录了n个人
的名字和其相应的电话号码，其形式如下：
(a1，b1) (a2，b2) … (an，bn)
其中ai，bi(i=1，2…n) 分别表示某人的名
字和对应的电话号码。要求设计一个算法，
当给定任何一个人名时，该算法能够打印出
此人的电话号码，如果该电话簿中没有这个
人，则该算法能够报错。
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要解此问题首先构造一张电话号码登记表。表中每个
结点(元素)存放两个数据项：姓名和电话号码。写出
好的查找算法，取决于这张表的结构及存储方式。
最简单的方式是将表中结点（元素）顺序地存储在计
算机中。查找时从头开始依次查对姓名，直到找出正
确的姓名或是找遍整个表均没有找到为止。
这种查找算法对于一个不大的单
位或许是可行的，但对一个有成
千上万私人电话的城市就不实用
了。
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若这张表是按姓氏排列的，则可另造一张姓氏索引表，
采用如图所示的存储结构：
那么查找过程是先在索引表中查对姓氏，然后根据索引
表中的地址到电话号码登记表中核查姓名，这样查找登
记表时就无需查找其它姓氏的名字了。因此，在这种新
的结构上产生的查找算法就更为有效。
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例1-1 图书馆的书目检索系统自动化问题
例1-2 计算机和人对弈问题
例1-3 多叉路口交通灯的管理问题
通过以上几例可以直接地认为：数据结构就是
研究数据的逻辑结构和物理结构以及它们之间相互
关系，并对这种结构定义相应的运算，而且确保经
过这些运算后所得到的新结构仍然是原来的结构类
型。
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第一章 绪论
1.1 什么是数据结构
1.2 基本概念和术语
1.3 抽象数据类型的表示与实现
1.4 算法和算法分析
1.4.1 算法
1.4.2 算法设计的要求
1.4.3 算法效率的度量
1.4.4 算法的存储空间需求
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1.2 基本概念和术语
数据(data)是对客观事物的符号表示。在计算机
科学中是指所有能输入到计算机中并被计算
机程序处理的符号的总称。
数据元素(data element)是数据的基本单位，在计
算机程序中通常作为一个整体进行考虑和处
理。一个数据元素可由若干个数据项组成。
数据项是数据的不可分割的最小单位。
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数据对象(data object)：是性质相同的数据元素的
集合,是数据的一个子集。
数据结构(data structure)：是相互之间存在一种或
多种特定关系的数据元素的集合,数据结构主
要指逻辑结构和物理结构。
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逻辑结构是指数据元素之间的逻辑关系，通常分为
四类基本结构：
1.
集合：结构中的数据元素除了同属于一种类型外，
别无其他关系。
2.
线性结构：结构中的数据元素之间存在一对一的
关系。
3.
树型结构：结构中的数据元素之间存在一对多的
关系。
4.
图状结构或网状结构：结构中的数据元素之间存
在多对多的关系。
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数据结构的形式定义为：数据结构是一个二元组
Data_Structure = (D，S)，
其中：D是数据元素的有限集，S是D上关系的有限集。
例1-4 复数的数据结构定义如下：
Complex = (C，R)
其中：C是含两个实数的集合{c1，c2}，分别
表示复数的实部和虚部。R = {P}，P是定义在集合
C上的一种关系{〈c1，c2〉}。
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物理结构是指数据结构在计算机中的表示（映像），
又称为存储结构。
数据结构在计算机中有两种不同的表示方法：顺序表
示和非顺序表示，由此得出两种不同的存储结构：
– 顺序存储结构：用数据元素在存储器中的相对
位置来表示数据元素之间的逻辑关系。(p.6)
– 链式存储结构：在每一个数据元素中增加一个
存放地址的指针，用此指针来表示数据元素之
间的逻辑关系。 (p.6)
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数据类型是一个值的集合和定义在这个值集上的一组
操作的总称。
高级程序语言中数据类型可以分为：
– 原子类型：属非结构类型，其值不可分解
– 结构类型：其值由若干成分按某种结构组成的，
可以分解
例2 在C语言中数据类型：
原子类型：整型、实型、字符型、指针、枚举型
结构类型：数组、结构、联合
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抽象数据类型(abstract data type,简称ADT)是指一个
数学模型以及定义在该模型上的一组操作。
抽象数据类型的定义仅取决于它的一组逻辑特性，
而与其在计算机内部如何表示和实现无关，只要
其数学特性不变，就不影响其外部的使用。
抽象数据类型的定义由一个值域和定义在该值域上的
一组操作组成，可用三元组描述如下：(D, S, P),
其中，D是数据对象，S是D上的关系集，P是对D
的基本操作。
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第一章 绪论
1.1 什么是数据结构
1.2 基本概念和术语
1.3 抽象数据类型的表示与实现
1.4 算法和算法分析
1.4.1 算法
1.4.2 算法设计的要求
1.4.3 算法效率的度量
1.4.4 算法的存储空间需求
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1.3 抽象数据类型的表示与实现
我们采用下述格式定义一个ADT:
ADT ADT名 {
数据对象: <数据对象的定义>
数据关系: <数据关系的定义>
基本操作: <基本操作的定义>
}ADT ADT名
其中，数据对象和数据关系用伪码描述，基本操作的定义格
式为
基本操作名(参数表)
初始条件: <初始条件描述>
操作结果: <操作结果描述>
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例1-6 抽象数据类型三元组的定义：
ADT Triplet {
数据对象：D = {e1, e2, e3 | e1, e2, e3属于
Elemset(定义了关系运算的某个集合)}
数据关系：R1 = {＜e1, e2＞,＜e2, e3＞}
基本操作：
InitTriplet(&T, v1, v2, v3)
初始条件:
操作结果: 构造三元组T,元素e1, e2和e3分
别被赋予参数v1, v2和v3的值。
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DestroyTriplet(&T)
初始条件: 三元组T已经存在。
操作结果: 销毁三元组T。
Get(T, i, &e)
初始条件: 三元组T已经存在,1<=i<=3。
操作结果: 用e返回三元组T的第i个元素。
Put(&T, i, e)
初始条件: 三元组T已经存在,1<=i<=3。
操作结果: 用e值取代三元组T的第i个元素。
IsAscending(T)
初始条件: 三元组T已经存在。
操作结果: 如果三元组T的三个元素按升
序排列,则返回TRUE，否则返回FALSE。
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IsDescending(T)
初始条件: 三元组T已经存在。
操作结果: 如果三元组T的三个元素按降
序排列,则返回TRUE，否则返回FALSE。
Max(T, &e)
初始条件: 三元组T已经存在,。
操作结果: 用e返回三元组T的最大值。
Min(T, &e)
初始条件: 三元组T已经存在,。
操作结果: 用e返回三元组T的最小值。
｝ADT Triplet
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类C语言
1. 预定义常量和类型
// 函数结果状态代码
#define
#define
#define
#define
#define
#define
TRUE 1
FALSE 0
OK
1
ERROR 0
INFEASIBLE
OVERFLOW
-1
-2
//Status是函数的类型，其值是函数结果状态代码
typedef int Status;
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类C语言
2. 数据结构的表示（存储结构）用类型定义
（typedef）描述。数据元素类型约定为
ElemType,由用户在使用该数据类型时自行定
义。例如：
typedef struct LNode {
ElemType
data;
struct LNode *next;
}LNode, *LinkList;
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类C语言
3. 基本操作的算法都用以下形式的函数描述：
函数类型 函数名（函数参数表）{
//算法说明
语句序列
} // 函数名
– 函数的参数需要说明类型，辅助变量可以不作说明，必
要时对其作用给予注释；
– 一般而言，a、b、c、d、e用作数据元素名，i、j、k、l、
m、n用作整型变量，p、q、r用作指针变量名；
– 增添了C++的引用调用的参数传递方式，在形参表中，
&打头的参数即为引用参数
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第一章 绪论
1.1 什么是数据结构
1.2 基本概念和术语
1.3 抽象数据类型的表示与实现
1.4 算法和算法分析
1.4.1 算法
1.4.2 算法设计的要求
1.4.3 算法效率的度量
1.4.4 算法的存储空间需求
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1.4 算法和算法分析
算法(algorithm)是对特定问题求解步骤的一种描述。算
法是指令的有限序列，其中每一条指令表示一个或
多个操作。
五个重要特性：
（1）有穷性：一个算法必须总是在执行有穷步之后结
束，且每一步都在有穷时间内完成。
（2）确定性：算法中每一条指令必须有确切的含义，
不存在二义性；且算法只有一个入口和一个出口。
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（3）可行性：一个算法是可行的，即算法描述的操作
都是可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现
的。
（4）输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取
自于某个特定的对象集合。
（5）输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出是
同输入有着某些特定关系的量。
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算法描述
采用文字描述,则如下步骤所示：
① 给n个元素a1~an输入数值；
② 把第一个元素a1赋给用于保存
最大值元素的变量x；
③ 把表示下标的变量i赋初值2；
④ 如果i≤n则向下执行，否则输
出最大值x后结束算法；
⑤ 如果ai>x则将ai赋给x；
⑥ 将下标i增1，以指示下一个元
素；
⑦ 转向第④步继续执行。
开始
为n个元素a1~an输入数值
a1→x
2→i
N
i≤n
Y
ai>x
N
Y
ai→x
输出x
结束
i+1→i
求n个元素中的最大值
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算
法
C
/* 程序1-1.c*/
#include<studio.h>
#define N 8
/* 定义N为整数8 */
void main(void) {
int i, x, a[N];
/* 用a[0]~a[N-1]保存a1~an元素 */
printf(“请输入%d个整数：”, N);
for (i=0; i < N; i ++)
scanf(“%d”, &a[i]);
x=a[0];
/* 把第一个元素a[0]的值赋给x */
i=1;
/* 把第二个元素a[1]的下标1赋给i */
while (i<N) {
/* 循环比较得到最大值 */
if (a[i] >x) x=a[i]; i ++;
}
printf(“%d个整数中的最大值为：%d\n”, N, x);
语
言
描
述
}
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评价一个好的算法有以下几个标准:
(1) 正确性(correctness) 算法应满足具体问题的需求。
(2) 可读性(readability) 算法应该好读,以有利于阅读
者对程序的理解。
(3) 健壮性(robustness) 算法应具有容错处理。当输入
非法数据时，算法应对其作出反应，而不是产生莫名
其妙的输出结果。
(4) 效率与低存储量需求 效率指的是算法执行的时间；
存储量需求指算法执行过程中所需要的最大存储空间。
一般，这两者与问题的规模有关。
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算法效率的度量
• 算法执行时间是通过依据该算法编制的程序在计算
机上运行时所消耗的时间来度量。
• 事后统计方法，使用计算机内部计时功能，其缺陷
是必须先运行程序，而且所得时间的统计量依赖于
计算机的环境因素。
• 事先分析估算方法，比较同一问题的不同算法，通
常的做法是以算法中基本操作重复执行的次数作
为算法的时间度量。
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时间复杂度
一般情况下，算法中基本操作(如赋值、比较、计算、
转向、返回、输入、输出等）重复执行的次数是问
题规模 n 的某个函数，算法的时间量度记作
T (n)=O (f (n))
称作算法的渐近时间复杂度,简称时间复杂度。
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时间复杂度
一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环）和原操作（固
有数据类型的操作）构成，则算法时间取决与二者综合效果。
通常的做法是从算法中选取一种对于所研究问题来说是基本
操作的原操作，以该基本操作重复执行的次数作为算法的时
间度量。
多数情况下,被称做问题的基本操作的原操作是最深层循环内
的语句中的原操作,其执行次数和包含它的语句的频度（语句
重复执行次数）相同。
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例如在以下矩阵相乘的算法中，“乘法”运算是该问题
中的基本操作，
for (i=1; i<=n; ++i)
for (j=1; j<=n; ++j) {
c[i][j] = 0;
for (k=1; k<=n; ++k)
c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
}
所以整个算法的执行时间记作
T(n) = O(n3)
*定义：若f (n)是正整数n的一个函数，则xn=O (f (n) )
表示存在一个正的常数M，使得当n≥n0，有
︱xn ︳≤M ︱ f (n) ︱ 。
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例3 {++x; s=0; }
将x自增看成是基本操作，则语句频度为1，即
时间复杂度为Ｏ(1);如果将 s=0 也看成是基本
操作，则语句频度为２，其时间复杂度仍为Ｏ
(1)，即常量阶。
例4 for (i=1; i≤n; ++i)
{++x; s+=x; }
基本操作的语句频度为2n, 其时间复杂度为O
(n)，即时间复杂度为线性阶。
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例5 for (i=1; i ≤ n; ++i)
for (j=1; j ≤ n; ++j)
{++x; s+=x; }
基本操作的语句频度为2n2, 其时间复杂度为
O(n2)，即时间复杂度为平方阶。
定理：若A(n)=a m n m +a m-1 n m-1 +…+a1n+a0是一个
m次多项式，则A(n)=O (n m)。
证略。
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例6 for (i=2; i ≤ n; ++i)
for (j=2; j ≤ i-1; ++j) {++x; a[i, j]=x;}
基本操作的语句频度为
1+2+3+…+n-2=(1+n-2)×(n-2)/2
=(n-1)(n-2)/2 =n2-3n+2
时间复杂度为O (n2)，即此算法的时间复杂度为平方阶。
随着n值的增大，不同数量级对应的值的增长速度是不
一样的，它们之间存在以下关系：
O(log2n) < O(n)< O(nlog2n)<O(n2)<O(n3)<O(2n)<O(n!)
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算法的时间复杂度的分类
• 算法的时间复杂度还可以分为最好、最差和平均三种
情况。下面结合从一维数组a[n]中查找等于给定值key的
元素的算法进行说明。
Status SequenceSearch(int a[], int n, int key) {
/* 若查找成功则返回元素下标值，否则返回-1 */
int i；
for (int i = 0; i<n; i++)
if (a[i] == key) return i;
return INFEASIBLE;
}
• 此算法的时间复杂度主要取决于for循环体中基本操作
的频度
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算法的时间复杂度的分类
• 最好的情况是第一个元素a[0]的值等于key,相应的时
间复杂度为O (1); 最差的情况是最后一个元素a[n-1]的
值等于key,相应的时间复杂度为O (n); 平均情况是每
一个元素等于key都有相同的概率(即1/n)，则查找成
功所需同元素进行比较的平均次数是(1/n) ∑i =
(1/2)(n+1),其中i = 1,2,…,n，相应的时间复杂度为O (n)。
• 平均情况的时间复杂度最有实际意义，因为它确切地
反映了运行一个算法的平均快慢速度。
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空间复杂度
• 空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储
空间大小的量度，记作:
S (n) = O (f (n))
其中n为问题的规模(或大小)。
• 评价算法的空间复杂度通常只考虑在运行过程中为局
部变量分配的存储空间的大小：
为参数表中形参变量分配的存储空间
为在函数体中定义的局部变量分配的存储空间
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时间复杂度与空间复杂度
• 对于一个算法，其时间复杂度和空间复杂度往往是相
互影响。
• 算法的所有性能之间都存在或多或少的相互影响，设
计算法时要综合考虑算法的各项性能、算法的使用频
率、算法处理的数据量的大小、算法描述语言的特性、
算法运行的机器环境等各方面的因素。
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复习题
1. 数据结构是一门研究程序设计中数据的  A 以
及它们之间的  B 和运算等的学科。
 A.元素
B.计算方法 C.逻辑存储 D.映像
 A.结构
B.关系
C.运算
D.算法
C
2. 在数据结构中，从逻辑上可以把数据结构分为__。
A.动态结构和静态结构 B.紧凑结构和非紧凑结构
C.线性结构和非线性结构 D.内部结构和外部结构
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复习题
3. 在链式存储结构中，一个存储结点存储一个 B 。
A.数据项 B.数据元素 C.数据结构 D.数据类型
4. 数据运算的执行
A
。
A. 效率与采用何种存储结构有关
B. 是根据存储结构来定义的
C. 有算术运算和关系运算两大类
D. 必须用程序设计语言来描述
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复习题
5. 数据采用链式存储结构时，要求
A
。
A. 每个结点占用一片连续的存储区域
B. 所有结点占用一片连续的存储区域
C. 结点的最后一个数据域是指针类型
D. 每个结点有多少个后继，就设多少个指针域
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复习题
6. 以下说法中，不正确的是
D
。
A. 数据元素是数据的基本单位
B. 数据项是数据中不可分割的最小可标识单位
C. 数据可由若干个数据元素构成
D. 数据项可由若干个数据元素构成
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复习题
7. 某算法的时间复杂度为O (n2),表明该算法
的 C
。
A. 问题的规模是n2
B. 执行时间等于n2
C. 执行时间与n2成正比
D. 问题规模与n2成正比
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复习题
8. 以下为各算法所有语句频度之和的表示式，其中
时间复杂度相同的是 A、B 。
A. TA(n)=2n3+3n2+1000
B. TB(n)=n3-n2log2n-1000
C. TC(n)=n2log2n+n2
D. TD(n)=n2+1000
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复习题
9. 判断以下说法是否正确。
1) 数据对象是一组数据元素的集合。(  )
2) 任何数据结构都具备三个基本运算：插入、删除
和查找。(  )
3) 数据的逻辑结构与各数据元素在计算机中如何存
储有关。 (  )
4) 数据的逻辑结构是指数据的各数据项之间的逻辑
关系。 (  )
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51
复习题
5)算法可以用不同的语言描述，如果用C或PASCAL
等高级语言来描述，算法就等同于程序。(  )
6)数据结构、数据元素、数据项在计算机中的映像
（或表示）分别称为存储结构、结点结构和数据
域。 (  )
typedef struct LNode {
ElemType
data;
struct LNode *next;
}LNode, *LinkList;
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52
复习题
10.求出下列算法的时间复杂度。
1) 比较同一简单类型的两个数据x1和x2的大小，对于
x1>x2,x1=x2和x1<x2这三种不同情况分别返回‘>’、
‘=’和‘<’字符。
char compare(SimpleType x1,SimpleType x2) {
if (x1>x2) return‘>’;
else if (x1==x2) return ‘=’;
else return‘<’;
}
其时间复杂度为O (1)。
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复习题
2) 将一个字符串中的所有字符按相反方向的次序重新放
置。
void Reverse(char *p) {
int n=strlen(p);
for (int i=0; i<n/2; i++) {
char ch;
ch=p[i]；
p[i]=p[n-i-1];
p[n-i-1]=ch;
}
}
其时间复杂度为O (n)。
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复习题
3) 从二维整型数组a[m][n]中查找出最大元素所在的行、列下
标。
void Find(int a[M][N],int m,int n,int &Lin,int &Col) {
//M和N为全局常量，应满足M>=n和N>=n的条件，Lin和Col
为引用形参，它是对应实参的别名，其值由实参带回
Lin=0; Col=0;
for (int i=0;i<m;i++)
for (int j=0;j<n;j++)
if (a[i][j]>a[Lin][Col]) {
Lin=i; Col=j;
}
}
其时间复杂度为O (m*n)。
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复习题
4) void func(int n) {
int y = 0;
while (y * y <=n)
y ++;
}
其时间复杂度为O (n1/2)。
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复习题
5) void func(int n) {
int i, x = 0;
for (i = 1; i < n; i ++)
for (j=i+1; j <=n; j ++)
x++;
}
其时间复杂度为O (n2)。
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57
复习题
6) void func(int n) {
int m = 0, i, j;
for (i = 1; i <= n; i ++)
for (j=2 * i; j <=n; j ++)
m++;
}
其时间复杂度为O (n2)。
周菁
数据结构A（111071）
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