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第4章
光波导技术基础
主要内容

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

4.1平面介质光波导中的光传播与导引波、消逝波、
波导
4.2平面介质光波导中光导模的几何光学分析
4.3平面介质光波导中光导波的物理光学分析
4.4 光纤——圆柱介质光波导
4.5 光纤中光导波的线光学分析
4.6 阶跃光纤中导波的物理光学分析
4.7光纤色散与脉冲展宽

光波导技术基础
光源-------接收器，桥梁: 光波导.
光路要求 :衰减尽可能小+尽可能不失真地传输光。
介质光波导: 将光限制在一定路径中向前传播，减小光耗散，便于光的调制、
耦合等，为光学系统的固体化、小型化、集成化打下了基础
传统光学传输介质: 空气 ，+透镜、棱镜、光栅等光学元件构成光路
长距离传输：存在水吸收、微粒散射，光学元件菲涅尔反射等，无实用价值。
气体透镜：将圆管中充满清洁的空气，四周加热，调整气体流速以保持层流，
用气体温差构成气体透镜，使通过的光向中心汇聚，不致耗散，但难实现。
介质光波导：可以用来引导光按需要的路径传播，并且损耗可以做到很小，
分类：平面（薄膜）介质波导、条形介质波导和圆柱形介质波导。

光波导技术基础
光纤：
阶跃折射率光纤：
原理：1854年，英国的Tyndall
石英光纤应用专利： 1927年，英国的Baird与美国的Hansell申请。
玻璃光纤注光：1930年，德国人
细束光纤设计：1958年，美国的Kapany
第二吸收鞘引入：1958年，美国光学公司，为减少光纤包层杂散光；
光纤激光器：1961年，美国的Snitzer研制。
渐变折射率光纤
专利：1963年，日本的西呎等人申请
产品：1968年，日本玻璃板公司研制。
1970年，美国Corning公司研制出20dB/km的低损耗光纤，开始光纤通信
产业化。

平板与条形光波导：
光学系统小型化、集成化、固体化需求的产物。
起源：1910年，德国的Hondros和Debye进行的电介质棒的研究。

1962年：美国的Yariv从p-n结中观测到平板层中的光波导现象，

1963年，Nelson等人发现了光波导电光调制现象，

1964年，Osterberg 与Smith开始光波导耦合实验。

1965年，美国的Anderson开始用光刻方法制作光波导，

此后各国开始了各种功能光波导器件的研制。

光波导技术基础
学习重点：
平面波导：结构最为简单、直观与精练，便于建立清晰概念
光
纤：应用最广光波导，并且是典型的柱面结构。
电磁场分布特性：
芯区：集中
衬底与覆盖层：紧贴着芯区，沿芯区底外法线方向场指数衰减。
条件：
光波导：无源、无荷、线性、均匀、各向同性、不导电、无损介质界面
入射光：均匀平面波
过程：全反射
结果：沿界面方向传播的非均匀平面波：
光密介质中，波场沿界面法向按驻波分布——导引波
光疏介质中，波场沿界面法向按指数衰减分布——消逝波

4.1平面介质光波导中的光传播与导引波、消逝波、波导
4.1.1 光在介质界面的传播特性
电磁波通过两种介质界面——反射和折射：
方向：
1  1
'
n1 sin 1  n2 sin  2
反射波振幅：菲涅尔(Fresnel)公式：
r 
n1 cos 1  n2 cos  2
n1 cos 1  n2 cos  2
r// 
n2 cos 1  n1 cos  2
n2 cos 1  n1 cos  2
r：振幅反射系数，角标“⊥”和“∥”分别表示电矢量垂直和平行于入射面。

4.1.1 光在介质界面的传播特性
n1  n2
且 1   c 时，产生全反射，其中：
 c  arcsin
n2
n1
当 1   c 时，
 n2
cos 1  i sin 1  
 n1
2
~
r 
 n2
cos 1  i sin 1  
 n1
2
式中
sin 1  n 2 n1 
2
   arctan
cos 1
下面我们分析合成场的性质。
2




2




2
 exp( i 2  )
sin 1  n2 n1 
2
2
 //  arctan
n2
n1  cos 1
2

4.1.2 光密媒质中的波场——导波
光密媒质：反射波在界面发生相位突变，光强反射率 R  R//  r  r  1 ，
*
光密媒质中的场由入射波和反射波叠加而成。入射波电矢量垂直入射面时：
入射电场：E y (r , t )  E y exp i (t  k1  r )  E y exp i (t  k1 x cos 1  k1 z sin 1 )


反射电场：E y (r , t )  E y exp i(t  k 1'  r )  E y exp i(t  k1 x cos 1  k1 z sin 1 )
式中 k1 

c

n1  k 0 n1 ，   k 0 n1 sin 1
h  k0 n1 cos1 ，称为横向传播常数
又由于
E y
Ey
于是有
~
r  expi 2  
称为纵向传播常数；

4.1.2 光密媒质中的波场——导波
E y r , t   E y exp i   exp i t  hx  z      A exp i t  hx  z    
E y r , t   E y exp i   exp i t  hx  z      A exp i t  hx  z    
合成波电场
i t  z 
E1 y r , t   E y r , t   E y r , t   2 A coshx    e
同理可得合成磁场：
H 1x r , t   
2 A sin 1
H 1z r , t   i
式中，1 
0
1
1
coshx    e
2 A cos 1
称为波阻抗。
1
i t  z 
sin hx    e
i t  z 

4.1.2 光密媒质中的波场——导波
光密介质中合成场的特性：
(1)合成场的等相位面(z为常数)垂直于波传播方向，等振幅面(x为常数)平行于界面，
二者互相垂直，因而属非均匀平面波。
(2)合成波的电矢量只有横向分量E 1 y ，而磁矢量除有横向分量H 1x 外还有纵向分量H 1z ，
因而合成波为横电波。
E与
H 1的相位差为
1y
z
(3)合成场区沿x方向为驻波，场分量
(4)合成场区沿z方向为行波，传播相速度为：
υp 



可见 υ p> c n1 ，甚至可>c。
c
n1 sin 1
相应地，z向波长（导波波长）为：
p 
 p> 0 n1，甚至>  0 。
2


0
n1 sin 1
， x方向无能量传播。
 2

4.1.2 光密媒质中的波场——导波
由于 E1 y与 H 1x 同相，所以其玻印亭矢量
S  E  H  Sz ez
可见，能量沿z方向传播，群速度
υg 
υ
2
υp

c
n1
sin 1 
c
n1
即：这种波只沿z向传播功率，如同是被界面所引导，故称导引波，简称导波。
入射波电矢量平行界面时，为TM波，分析方法同上。

4.1.3 光疏媒质中的场——消逝波
n1
界面全反射时，入射光功率全返回光密媒质中，光疏媒质中似无透射场，
实际全反射过程仅进行了功率全反射，而场有透过：
E 2 y (r , t )  E 2 y exp i (t  k 2  r )  E 2 y exp i (t  k 2 x cos  2  k 2 z sin  2 )
式中 k 
2

c
n2
由于
sin  2 
1   c
n1
n2
sin 1 
cos  2  1  sin  2
2
于是
式中
n2
sin  c  1
 n1
 i 
 n2
E2 y r , t   E2 e
p  ik 2 cos  2  k 0 n1
n1
i t  z 
2

 sin 2  1  1


exp( px)
 n2
2
sin 1  
 n1
2

 


 2  k 02 n22

4.1.3 光疏媒质中的场——消逝波
光疏媒质中合成电场特性：
(1) 等相位面垂直于界面，等振幅面平行于界面，二者互相垂直，为非均匀平面波。
(2)振幅沿界面法向按指数衰减，故称为消逝场，p称为消逝系数，并定义消逝
长度 LP为波场衰减到边界值的1/e，即
Lp 
1
p

c
n1
 n2
sin 1  
 n1
2




2
如：取 n1  1.52
（石英）， n2  1（空气）时，对可见光波可算得
可见，一般来讲，消逝场透射深度很小。
LP ≈0.5μｍ。
(3)沿z方向为行波，其相速度和能量传递速度皆同光密媒质，波场集中在x=0附近较
小的范围 LP 内，好象贴着表面传播，所以称光疏媒质中传播的波场为表面波，又称
消逝波。

4.1.3 光疏媒质中的场——消逝波
由前述分析可见：
m x 2
 若在光密介质中x距界面
(m＝1,2…)处放光疏媒质，则不影响界面与光
疏媒质中间夹层中光密媒质中场分布，光被约束在中间媒质层中沿z向传播，这
种层状结构即形成波导；介质波导是开放型波导，纵向传播的波是表面波。
 若在界面外小于L p 范围内放置另一 n3  n2 的光密介质板，则可通过消逝场
的渗透将原光密媒质中传播的功率耦合出来。

4.2平面介质光波导中光导模的几何光学分析
导波：沿轴向均匀传播
全反射——某些光波间会相消干涉，造成导波轴向不均匀
——横向相位匹配
二条件皆满足，入射平面波在介质光波导上、下两界面全反射，成“之”字形不断
前进，形成横向驻波、纵向行波的场分布。
以三层平板波导为例：
波导层、衬底层、包层(覆盖层)
折射率分别为 n1 , n2 , n3 ，
且 n1  n2  n3 ，
平面光以θ角入射到厚度为d的
波导层中， θ 不同，则光传输
情况不同：

4.2平面介质光波导中光导模的几何光学分析
(1)    c12   c13
上、下界面均满足全反射条件。
但只有当横向(x＜０)往返一次相位变化
是 2 的整数倍时，光波才能在上下界
面间来回反射，并限制在该层内沿锯齿
光路传播，形成模式波。
往返一次相位变化包括：
传播常数横向分量相移 2k 0 n1d cos 
界面反射相位滞后  12   13 
于是有：
2k 0 n1d cos    12   13  m  2
(m=0,1,2,…)
导波模式的本征方程
m：横向驻波波节数，
每个m值对应一个导波模式，简称导模
平板波导中的导模及其场分布

4.2平面介质光波导中光导模的几何光学分析
——对于一定波长的光波，只有某些  m  m   c12 的入射光才能形成导波， 且m越
大， 越小，即小入射角度相应模式阶次高，z向单位长度内导模上下振荡次数多；
m
当m→0时，θ→90°，波近乎只有z向分量，可认为沿z向传播。由  m   c12
得：
m
1
2
2k0 n1d cos  c12  12  13 
 12   13
1  2d
2
2
 
n1  n2 
  0
2
 12   13 
1
 V 


2

式中
V 
2d
0




 n1  n2
2
2
称为归一化厚度，有时又叫做归一化频率，它直接影响m的取值，也就是波导中
波的传播模式。

4.2平面介质光波导中光导模的几何光学分析
材料一定时，d越薄，m越小，薄到一定程度，仅m＝０的导模能沿近乎z向传
播，此时的波导称为单模波导。而当波导结构确定之后，上式中的变量只有m、θ和，
也就是说，对于一定波长的波，导波模式仅与入射角有关。
(2)  c13     c12
在 n1 、n3 界面反射，n1 、n 2 界面透射，光线向衬底
波，称为衬底辐射模，如图 (b)所示。
n 2 辐射，不再形成导
(3)    c13
各面均不满足全反射条件，光线在两个界面上都发生透射，这种模式称为包层辐
射模，如图(c)所示。

4.2平面介质光波导中光导模的几何光学分析
综上所述，形成导模的条件为：
(1)    c12   c13 (即全反射)
(2) 2k n d cos       2m
0 1
m
12
13
满足这两个条件之后，对于每一个m值，光波在波导中形成稳定的、横向为驻波、
纵向为行波的场分布，这种分布称为导波模式，简称导模，对于m阶导模，有：
 m  k 0 n1 sin  m
传播常数
相速度
有效折射率
υ pm

 k0

 
 
neff 
c
υ pm


k0

υ
c 
sin  m

 n1 sin  m

4.3平面介质光波导中光导波的物理光学分析
物理光学分析是从麦克斯韦方程出发，分析电磁场在三层波导中的分布情况，从而
得出波导中光导波传播情况的方法。
4.3.1 定性解释
如图的三层平板波导，设材料是均匀、各向同性、无源、无损的非磁性介质；
波导层折射率为 n1 、厚度为 d ；n 2 、n3 层的厚度均远大于 LP ，即可认为是无限
厚；y、z方向无限延伸，则频率为ω的入射平面光波场满足波动方程：
 E  k0 n E  0
2
2
2
 H  k0 n H  0
2
2
2
(4-11a)

4.3.1 定性解释
设波为沿z方向传播的简谐波，则上式的解可表示为
E (r , t )  E ( x, y)e
i (t  z )
H (r , t )  H ( x, y)e
y方向没有限制，因而算符

2
x

y
 0 ，即场沿y向不变化。于是(4-11a)式写为：

E  x, y   k 0 n  
2
i (t  z )
2
2
E x, y   0
2
在三层介质中分量解分别写出分量波动方程为：
波导层：
衬底层：
覆盖层：

2
x

2
2

2
2

2
2

2
2
2
2
Ei x, y   k 0 n3  
2
2
E x, y   0
i
Ei x, y   k0 n2  
x
2

x
Ei x, y   k 0 n1  
E x, y   0
i
2
E x, y   0
i
(4-13)

4.3.1 定性解释
Ei x, y  : E的任一分量 E x , E y , E z 。方程的解称为平面波导的本征模式，相应的
本征值β就是该模式沿ｚ方向的传播常数，也就是说导波模式就是波导空间中的一种
稳定的场分布。在波的传播中，一个模式的场在波导截面上的分布保持形状不变。
下面我们先定性讨论一下波导中的模式。
(1)当  k 0 n1 时，k n   （ｊ＝1，2，3…）均小于0，各处皆有
2
0
2
j
2
1  E
2
E x
2
 0 ，相
应的场解E均为指数形式，根据边界连续条件，可得其相应的电场分布如图4-5(a)所
示，场随离开波导的距离增大而无限制地增大，因而这一解没有物理意义，不对应
于真实波。
(2) k 0 n2    k 0 n1 时，E在波导层具有正弦解，而在衬底层、覆盖层中为指数式解，
于是得到满足边界条件的场解是波导层中振荡，衬底层、覆盖层中衰减的场解，其场
分布如图4-5(b)、4-5(c)所示，可见，这种模式传播的光在波导层及其附近沿z向传播，
为导模。
(3) k 0 n3    k 0 n2 时，E在波导层、衬底层中为正弦解，覆盖层中为指数衰减解；
相当于在－x方向无限制，因而不能形成分立的β取值，这种模式未被限制在波导中，
而是向衬底部分辐射，因而称衬底辐射模，如图4-5(ｄ)所示。在耦合器等器件中，都
要用到辐射模。

4.3.1 定性解释
(4)   k 0 n3 ，在所有区域均为正弦解，称包层辐射模，如图4-5(e)所示。
由上述讨论可知，只有当 k 0 n3  k 0 n2    k 0 n1 时，场被限制在平面介质波导中。
12c   ，同样：
k 0 n3    k 0 n2 对应于 13c    12c
0    k 0 n3
对应于
  13c

4.3.2 本征方程
我们来看上述三层平板波导中的导模。由于
E  E x, y e
i t  z 

y
0
由麦氏方程：
 E  
Β
t
 i 0 H
 H 
D
t
 iE
将场的横向分量用纵向分量表示得：

H z
E z 
E z
 i
 i 0
  2
Ex  2
 i

2 
2
y
x  k  
x
k  
i 0
H z
E z 
H z
1 


Ey  2
i


i



0
2 
2
2
x
y  k  
x
k  
E z
H z 
H z
1 
 i
 i
  2
Hx  2
 i

2 
2
y
x  k  
x
k  
E z
H z 
E z
1 
i


Hy  2
i


i



2 
2
2
x
y  k  
x
k  
1

4.3.2 本征方程
对于一个给定的波导结构，E z 和 H z 应分别满足波动方程，这意味着二者是相
互独立的。由电磁场的纵向分量来定义场类型：
(1)横电波(TE波)，即 E z  0 的波，其各场分量为
Ex  0
Ey  
E y
x
 0

Hx
 i 0 H z
(2)横磁波(TM波)即 H z  0 的波，可得：
Hx  0
Hy 
H y
x


Ex
 iE z

4.3.2 本征方程
由此可见：TE波只有唯一的横向电场分量 E y ，而ＴＭ波只有唯一的横向磁场分
量 H y 。于是，对TE波仅需求解波动方程

 E y  k0 n  
2
2
2
2
对TM波仅需求解波动方程

 H y  k0 n  
2
2
2
2
E
y
H
0
y
0
即可。上述2方程形式完全相同；因而二者的求解过程及所得解均十分相似。所以，
以下仅以TE波为例来分析其结果。
由于E ( x, y )仅有 E y分量，因而波动方程简化为
波导层：
衬底层：
覆盖层：

2
x 2

2
2

2

2
2
2
2
E y  k 0 n2  
2
E y  k 0 n3  
x
2

x

E y  k 0 n1  
2
2
E
2
2
y
0
 d  x  0
 x  d 
( x  0)
E
y
0
E
y
0

4.3.2 本征方程
于是其满足导波条件( k 0 n2    k 0 n1 )及边界条件(x＝0及x＝－d 处 E y
续)的模场表达式为：
 qx

Ae

E y x   
Acos hx  q h sin hx 
e p  x  d  Acos hd  q h sin hd 

式中
且有
h
k 0 n1  
q
 2  k 02 n32
p
 2  k 02 n22
2
tan hd 
2
( x  0)
(  d  x  0)
( x  d )
2
h p  q 
h  pq
2
E y
、
连
x

pq
pq 

h1  2 
h 

(4-17)

4.3.2 本征方程
可见，波导中的电磁场主要集中于芯区，但并非封闭于芯区，在衬底与覆盖层
中也有电磁场存在。它紧贴着导波区，并沿其外法线方向场指数衰减。
由于式(4-17)中的p、q、h表达式均包含传播常数β，因而式(4-17)中称为TE模
的本征方程。
至此，可见式（4-15）中仅有未知常数A。一般来说，它是可以任意选取的，但
在有些情况下，特别是涉及到多个模式的传播和功率交换时，最好将这个系数与模
式的总功率联系起来，以期对其有一个对不同模式相对能量大小的概念。于是，以
此为依据，我们对A进行归一化。
令A的选取使 E y x  所表示的场对应的模式在y方向单位宽度所携带的功率流密
度为 1W m 2 ，即 E y 对应的平均功率为
P

2


E y H dx 
A 
2
则有：
式中，d
1
TE
eff
d
1
p

1
q
*
x

2 0
4 0 h
 E x 
y
2
dx  1
2
TE
 h 2  q 2 d eff
TE
 d  L p  Lq ， d eff 称为波导TE模的有效厚
度，L p 、Lq 即前述渗透深度。

4.3.2 本征方程
同时，我们还可以定义其他参数：

neff 
有效折射率
k0
neff  n2
2
b  k0
归一化折射率
2
n1  n2
2
2
V  k 0 d n1  n2
2
归一化频率
2
式(4-17)给出了TE模的本征方程，即β，n，d之间的关系，实际上，它可化为
tan( hd ) 
h( p  q )
h  pq
2
hd ( pd  qd )
(hd )  ( pd )( qd )
2
 2
2
2
2
hd  n1  n2 k 0 d   hd 




hd 
2


 n n
 F (hd )
2
1
2
2
k d 
2
0
  n
1
n
2
1
2
 hd 
2
 n
2
3
k d 
2
0
1
2
2
1
n
2
3
k d 
0
 hd 
2
2

 hd 
1
2




1
2
2

4.3.2 本征方程
超越方程，两种求解法：
• 作图法
•等号左边函数tan(hd) 画为实线，右边函数F(hd)画为虚线，分母为零时，F(hd)出现奇点
•两组曲线交点为一系列hd取值，为β的函数，对应一系列分立β取值  m。
•当 hd  k 0 d n12  n22 时，右边成为虚数，与tan(hd)为实数相悖，因而虚线终止于
2
2
hd  k 0 d n1  n2 ，即截止条件   k 0 n2 。
•每一  m 对应一个TE导模 TE m ，对应有模场 E m ，及相应的 hm , p m , q m 。
•数值计算法
平面波导TE模本征方程的图解

4.3.3 对称波导
n2  n3 的波导，称对称波导
激光二极管、集成光路、光纤等中常被采用。与 n2  n3 的波导有一些不同。
截止条件
  k 0 n2  k 0 n3
pq0
tan hd s  0
由(4-17)有
hd s  ms 
即：
将 h
(m=0，1，2，·········)
k 0 n1   代入得：
2
2
2
k 0 n1  n2 d s  ms 
2
2
ms  0时 d s  0 ，即最低阶模 TE 0 、TM 0 没有截止值，即在对称波导中至少
有 TE 0 、
TM 0两种模存在；而不对称波导中各种模式均可被截止。
还可得到要形成波导所需的最小折射率差
n  n1  n2  
ms 
2
4d
2
2
n1  n2 

4.3.4 扩散平板光波导
集成光电子器件常用扩散法制作光波导，通常阶跃平板光波导方法分析不再适用。
——根据扩散离子浓度分布与折射率分布间关系及折射率分布特性，用有效折射率
法分析扩散波导性质
z切x传钛扩散铌酸锂(Ti:LN)平板波导为例。
n0 ：晶体表面折射率变化量； DB ：体扩散深度。
扩散条件决定的折射率变化具有以下几种典型分布：
(1)指数分布函数

z 

n( z )  n0 exp  

D
B 

形式最简单。是最初采用的典型折射率分布函数，扩散玻璃光波导常取该形式，
但Ti:LN光波导折射率分布符合情况略逊。
(2)余误差函数分布
 z
n( z )  n0 erfc 
 DB




膜层金属刚好扩散完时衬底中折射率分布的最好描述，
扩散时间较短，如外扩散铌酸锂波导时，一般取这种近似。

4.3.4 扩散平板光波导
(3) Guass分布
2
 z2

z 
 n0 exp   2
nz   n 0 exp  

 D
4
D
t
z 

B





扩散时间足够长，从而使 DB  d (d：待扩散金属膜层厚度)，如内扩散铌酸锂波
导折射率分布与此符合最好。
z
 z

f
(
u
)

f

 形式描述，
，扩散引起的折射率变化可用
D
B


DB
在z=0处取最大值，且随z的增加而逐渐减小，取值范围在0到1之间，即：
令 u
n  n b  n 0 f u 
其中 n 0  n s  n b ，n 为扩散前体折射率，n 为扩散后表面折射率。当 n
b
s
0
很小时，上式可近似为
n
2
zi   nb2
 n s  n b  f u 
2
导模在扩散波导中的传播途径如图所示。
2

4.3.4 扩散平板光波导
沿x方向传播的模其传播矢量为 ˆ  k 0 n eff xˆ ，x
ˆ 表示x方向单位矢量。深
z i 处传播矢量为 kˆi  k 0 nz i rˆ ，kˆi 与 xˆ 轴间的夹角为
 n eff 

 i  cos 



n
z
i 

1
传输距离沿x方向每增加 xi ，波透入波导深度增加 z i  x i tan  i ，相应相位
变化：
 i  k 0 nzi sin  i zi  k 0 n z i   n
2
2
eff

1
2
z i

4.3.4 扩散平板光波导
导模从表面开始不断深入波导，到 z t 处 n ( z t )  n eff ， i 0 ，光线开始向表面折回。
zi  0 时，z向总的相位变化 i 可表示为

i
 2k 0 
yt
0
n z   n 
2
2
eff
1
2
dz
n 2  1 ，n1 sin   n s cos  ，
n eff
再考虑全反射相移。在扩散波导上表面，n1  n s ，
则TE、TM模界面相移分别为
 ( n 2  1) 1 2 
eff
1


2 1  2 tan
1
 (n 2  n 2 ) 2 
eff
 s

 n 2 ( n 2  1) 12 
s
eff
1


2 1 //  2 tan
1
 (n 2  n 2 ) 2 
eff
 s


4.3.4 扩散平板光波导
扩散波导 n  nb ，因而，neff 接近于ns ，又因为Ti:LN光波导折射率远大于空气折
射率，于是，上表面处TE、TM模相移均可近似为
2
2
2 1  
扩散波导中行进的波在透入最深点处也会产生一个相移，相应于波掠射且折射率趋
向均匀的极限情况，TE、TM模相移均为
2 2 

2
根据横向相位匹配条件式(4-6)可得：
2k 0 
zt
0
n z   n 
2
2
eff
1
2
dz  2 1  2 2  2m
( m  0,1,2,... )
采用式(4-19)定义的归一化参数，上式可简化为
2V 
ut
0
 f ( u )  b
1
2
——扩散平板光波导的模式色散方程。
du  ( 2m 
3
2
)

4.3.4 扩散平板光波导
根据模式色散方程分析扩散光波导性质
• 图4-8为两种扩散光波导b-V曲线。neff、 n分别对应于前述neff、n0。
• 图4-9为两种扩散光波导neff-DB曲线。其中 Y0  DB 。
• 图4-10为n-Y0曲线。


4.3.4 扩散平板光波导

4.3.4 扩散平板光波导

4.4 光纤——圆柱介质光波导
4.4.1 光纤的基本知识
光纤: 一种圆柱对称介质波导，具有圆柱结构折射率分布与界面分布
导波原理及分析方法: 与介质平板光波导相似，
但二维波导，直角坐标处理不适----圆柱坐标中解波动方程。
光纤的主要结构
它由传导光的纤芯(折射率n1和外层的包层折射率n2)两同心圆形的双层结构组成，
圆柱介质光波导(光纤)

4.4.1 光纤的基本知识
分类：n1  n2
1. 阶跃折射率光纤: n1 为常数，折射率仅在n1 、n2 分界面上发生突变，
2. 渐变折射率光纤: n1 是光纤半径r的函数，即从中心到r＝a折射率是渐变的
1. 单模光纤: 芯径约10微米, 光在其中几乎沿轴向传输，传输带宽10GHz
2. 多模渐变型光纤: 芯径约50微米，光的传输轨迹近似为正弦型，传输带宽从数百
MHz 到数GHz；
3. 多模阶跃型光纤: 芯径约62.5微米，光传输轨迹为“之”字形，传输带宽10MHz到
50MHz。
1. 石英光纤: 损耗小、性能好，常用于通信
n2 未来希望向光纤
2. 塑料光纤损耗大、易于耦合、制作容易，用于短距离能量传导等,
入户与局域网方向发展。
考虑到目前情况，本章主要介绍石英光纤。

4.4.2 光纤的结构参数
(1)直径: 纤芯直径2a、包层直径2b、
细要求：1 成本，光纤直径应尽量小，
2 机械强度和柔韧性，石英光纤很脆，粗则易断；
粗要求：对接、耦合、损耗
平衡要求：总粗小于150μｍ。
典型单模光纤芯径约10μｍ（多取9μｍ），包层直径125μｍ
多模阶跃光纤芯径62.5μｍ，包层直径125μｍ
多模渐变型光纤芯径约50μｍ，包层直径125μｍ

4.4.2 光纤的结构参数
(2)数值孔径: N.A.
光纤可能接受外来入射光的最大受光角(
1 n 2
全反射要求： 1   c  sin
n1
 max )的正弦与入射区折射率的乘积。
n0 sin   n1 sin 90   c  n1 cos  c  n1
 n2
1  
 n1
2

 


n1  n2
2
2
N . A.  n0 sin  max  n1  n2
N.A.代表光纤接收入射光的能力，只有    max 的光锥内的光才可能在光纤中发
于是得
2
2
生全反射而向前传播。
对于波长   1.55 μm 处典型值 n1  1.46，n  1.455，可算得 N . A.  0.12 。
2
光纤界面光传输情况

4.4.2 光纤的结构参数
(3)相对折射率Δ
相对折射率Δ定义为纤芯折射率同包层折射率的差与纤芯折射率之比：

n1  n2
n1
一般n1只略大于 n 2 ：单模光纤 
N . A. 
 0.3% ，多模光纤   1% ，于是
n1  n2 
2
2
n1 n1  n2   n1 2
(4)归一化频率(V)
表示在光纤中传播模式多少的参数，定义为
V 
2a
0
N . A.  k 0 a n1  n2
2
2
它与平板波导中的归一化频率定义一致。a和 N.A.越小，V越小，在光纤中的传播
模式越少。一般地，当 V  2.4 时，只有基模能传播；而当 V  2.4 时，为多模
传输态。

4.4.2 光纤的结构参数
(5)折射率分布n(r)
纤芯折射率分布通式为：
1
 2

r 
nr   n0 1  2  
 a  

n0 为纤芯中心折射率，r取值范围为0≤r≤a，α为折射率分布系数。α取值不
同，折射率分布不同：
α ＝∞时，折射率为阶跃型分布。
α＝2时，折射率为平方律分布(渐变型分布的一种)。
α＝1时，折射率为三角型分布。

4.5 光纤中光导波的线光学分析
与平面介质波导基本一致，其导波机理亦在于光的全反射
光纤圆对称结构——处理方法：由一维变为二维，
坐标系：由直角坐标系而变为极坐标系，
平板波导：光轨迹在一个平面内，只要用界面入射角θ就能描述光线的方位；
光纤：光线可能通过波导轴线(子午光线)而在同一平面内传播，
也可不通过轴线(偏射光线)在不同的平面内传播。
光线与界面法线夹角θ，与轴线夹角φ。
4.5.1 子午光线
入射角通过圆柱轴线，且大于临界角时，光将在柱面上不断发生反射，形成曲
折光线，传导光线的轨迹始终处于入射光线与轴线决定的平面(子午面)内(如图)。

4.5.2 偏射光
入射光线不通过圆柱波导轴线时，传导光线按空间折线传播，称偏射光线。
其端截面投影被完全被限制在两个共轴圆柱面间
• 纤芯与包层边界
• 纤芯中，由  和1 决定。
1
均称为散焦面。两散焦面之间光波按驻波分布，其外场沿径向按指数衰减。
入射角  1 越大，内焦面越逼近外焦面，1  90 时两焦面重合，光纤端面光线入射
面与圆柱面相切，光纤中的传导光线为一条与圆柱面相切的螺线。
圆柱介质波导中的偏射光线

4.5.2 偏射光
光线在A点以角入射，于P、Q等点发生全反射。PP′、QQ′平行于OO′，交端面圆周
1
于P′、Q′，AP与PP′(即与轴线)交角为
，称为折射角(又称轴线

 1 ；入射面与子午面夹角为γ， 为AP在界面的入
角)；AP与端面夹角  
1
2
射角，则
cos1  cos  cos   sin 1 cos 
 1 还满足
cos 1  1  sin 1 
1
2
s 
于是 1 的最大允许值  1m 满足
s 
sin 1m 
cos 1m
cos 
因此
s 
sin  0 m 
n1
n0
n1
n1  n 2
2

n1 cos 
s 
sin 1m 
n n
2
1
2
2
m 
2

n0 sin  0 m
n1 cos 
m 
1 sin  0 m
n0
cos 

4.5.2 偏射光
m 
s 
式中  0 m 为偏射光线m阶模式的最大允许入射角，而  0 m为子午光线m阶模式的最大允
s 
m 
许入射角。由于 cos   1 ，因而 sin  0 m  sin  0 m ，可见满足 1   c时, 1 可依γ
s 
的取值不同而取到直到  2的值：γ＝0时， sin 1m取最小值
1
s 
1
1
m  

  cos  sin  0 m  时， 1m 为
 n1

n1
m 
sin  0 m；而
 2 。因 1   c 而 1 对没有限制。但是否
1   c 的光都能形成光导波，还要受 1 取值的限制。也就是说 1   c 的光线中，
只有某部分1 相应的光线才能形成导波。
偏射光线的纵向传播常数为：
  k 0 n1 cos 1
若 1 

2
  c，则


  k 0 n1 cos   c   k 0 n1 sin  c  k 0 n2
2

而   k 0 n2正是导模的截止条件，凡是   k 0 n2的模都被截止，不能形成导模。也
就是说，一旦 1 

  c ，即使    ，导模都将被截止。可见，   满足并
1
c
1
c
2

4.5.2 偏射光



  c 。根据  1与 1 的取值范围
不一定满足传导条件，要形成导模还要满足 1
不同，可将偏射光线分为以下几类(如图4-16)： 2
(1)非导引光线
当 1   c 时，不满足全反射条件，不能够向前传导。它相应于图4-16 中以过A点的
界面法线为轴线、以  为锥角的圆锥内的光线。
c
(2)导引光线
当 1   c ，且 1 

2
  c 时，光
功率将在光纤中无损耗地传输，相应
的入射孔径角为：
sin  0 m  n1 sin 1m  n1 cos  c

n1  n2  N . A.
2
2
它与子午线N.A.相等。导引光线相对
于图4-16中，以过A点且平行Z轴的直
线AA′为轴线、以 1 

2
 c
为锥角所做的圆锥被光纤圆柱所截出
的半圆锥内的光线。
图4-16 光纤中的导引光线、非导引光线与泄漏光线

4.5.2 偏射光
(3)泄漏光线

当 1   c ，且 1    c 时，光功率不能被全部限制在纤芯中，部分向纤芯外
2
泄漏。它相应于圆柱中上述两圆锥以外区域中的光线。

4.6 阶跃光纤中导波的物理光学分析
4.6.1场方程
同样，我们从波动方程出发来分析光导波在光纤中的传播情况，由于场的横向分
量均可用其纵向分量来表达，因而可直接求出其纵向分量表达式，则其它各分量的表
达式均可很方便地写出。
假设光纤为无限长圆柱系统，芯区半径 a ，介质电常数  1（折射率 n1）；包层
沿径向延伸至无限远，介电常数  2（折射率 n 2）；1   2   0 ，无损。一般实
用的光纤芯区  1 高于包层  2 2%～4% 。包层延伸至 r   这一假定主要是考虑
到实际的导波模的包层内的场随r的增加迅速衰减，“看”不到包层的外边界。
E z 满足的波动方程为
 Ez  k0 n Ez  0
2
2
2
在圆柱坐标系中上式化为
1   E z  1  E z  E z
2 2


k
n Ez  0
r
 2
0
2
2
r r  r  r 
z
2
2
(4-40)
采用分离变量法，令 E z  Rr  Z z ，则上式可化为三个独立的方程：

4.6.1 场方程
1  Z
2
Z z
2
1  

(4-41a)
2
2
 
 R
2
r
2
r
2
r
R
r
2

 v
(4-41b)
2
 R k0 n  
2
2
2
r
2
v
2
 0
(4-41c)
由于设光沿z向传播，于是由(4-40)，并考虑无穷远处场有限这一边界条件，可得：
Z z   C1e
 iz
考虑到系统的圆柱对称性，稳定的电磁场沿φ向的分布必须是以2π为周期的函数，即
正弦或余弦函数(虚指数函数)，因而由（4-41b）并考虑边界条件φ=0处场有限，可
直接得出：
iv
   C 2 e
对于式（4-41c），令  2  k02 n 2   2 r 2  s 2 r 2 、s 2  k 02 n 2   2 ，可得：
2

2
d R
d
2

dR
d


  v R  0
2
2

4.6.1 场方程
典型Bessel方程，解为各类Bessel函数，
•实宗量Bessel函数：  为实数，即 s 2  0 •虚宗量Bessel函数： 为虚数，即 s 2  0
•第一类 J v s1 r  ， r  0 处为有限
•第一类 I s r  ，r  0处为有限
v
1
•第二类 N v s 2 r  ， r  0 处为有限
•第二类K s r  ，r  0 处为无限
v
2
ξ
(c)
4－17 贝塞尔函数曲线
(d)

4.6.2 模式分析
边界条件：r  0 和
r  处连续，且在 r  a 处
E z 、H z 对于任意z及角均连续
(1)   k 0 n1 时，纤芯和包层中s均为虚数，Bessel方程解为虚宗量Bessel函数。
芯内场有限——第一类虚宗量Bessel函数 I v s1 r  ，
包层内 r  时场有限——第二类虚宗量Bessel函数 K v s 2 r 
——无法做到两类函数边界连续，因而没有物理意义。
(2) k 0 n2    k 0 n1 时，
芯中，s为实数，且场有限——第一类Bessel函数 J v s1r 
芯外，s为虚数且r→∞场有限——第二类虚Bessel函数 K v s 2 r ，沿径向指数衰减。
——芯内振荡、芯外指数衰减的导模分布。
若＝0，则E与φ无关，导模为轴对称场，相应于子午光线；
k 0 n2    k 0 n1 ,对应于  c  1   2 ；
若 ν  0 ，则E沿向周期性变化，为偏射光；
k 0 n2    k 0 n1相当于 0  1   2   c 。

4.6.2 模式分析
(3)   k 0 n2 ，芯内外的s均为实数，
芯内场有限——第一类Bessel函数 J v s1r  ；
包层中ｒ→∞时有限——两类实宗量Bessel函数均满足条件，取为汉开尔(Hankel)
函数(即第三类Bessel函数)：
1
s1r   J v s 2 r   iN v s 2 r 
2 
s1r   J v s 2 r   iN v s 2 r 
Hv
Hv
芯和包层中均为振荡场，光向包层辐射，形成连续辐射模。

4.6.3 导模的解
根据Z(z)、  、Rr 的表达式，得出导模的解：
E z1
 u  iv iz 
 C1C 2 e e
J v s1 r   AJ v  r e e


a 
 r  a 
 u  iv iz

H z1  BJ v  r e e

a 

iv
Ez2
H z2
式中
 jz
 w  iv iz 
 CK v  r e e


a 
 r  a 
 w  iv iz 
 DK v  r e e

a 

A  C1C 2
u  s1 a 
w  s2 a 
k 0 n1   a
2
2
2
 2  k 02 n 22 a

4.6.3 导模的解
于是：
u w 
2
2


k 0 n1  n2 a  V
2
2
2
2
以纵向磁场表达横向磁场，有：
 E z  0 H z 


Er   2

2 
r
r  
k  
H z 
  E z
i


E   2
  0
2 
r 
k    r 
 H z  E z 
i


Hr   2

2 
r
r  
k  
i
H
E z 
  H z


 2
 
2 
r 
k    r 
i
将 E z , H z代入，并考虑边界连续条件，得到导模本征方程(色散方程)：

 J v u 

K v w   2 J v u 
1 
2 2 1
2 K v w
 v  2  2 

 k2
  k1









uJ
u
wK
w
uJ
u
wK
w
w 
u
v
v
v
 v
 

2

4.6.3 导模的解
在由边界连续条件得出色散方程的过程中，还得出另一个表征磁场纵向分量与
电场纵向分量之比的重要参数η：
 i 0  H z


  E z

1
 1

 v 2  2

w
u
 r a
K v w 
  J v u 



  uJ v u  wK v w
1


1  1
1   2 J v u 
2 K v w
 2  2  2  k1
 k2

wK v w
 vu
w   uJ v u 
1
它在模式鉴别中很重要，可作为模式判别的判据：
(1)对于子午光线，ν=0，这种光线在光纤中的行为类似平面波导的情形，因而可能存
在TE、TM两种模式，TE模η→∞，TM模η→0，且两种模式均只有三个场分量（TE
E z、E 、
H
模有
；TM模有
），解模式本征方程后知：模场沿φ向分
H z、H  、
E
布没有变化，而场的横向分量沿径向的分布均正比于
J 1 ，因而在轴上为零场
u a r 
点，场沿径向的变化次数由
J 1 的根的数目来决定。若用模指数μ来标记这些
u a r 
根的序号，则模式记作
、
TE 0  。
TM 0 
(2)对于偏射光线，ν≠0，此时，直接求解本征方程是很复杂的，在远离截止条件，
即   k 0 n1，这种极限下解本征方程知：这时存在着两种不同的模式，相应场的纵
向分量 E z , H z 均不为零，但与横向分量比较都弱得多，称混合模。这两种模是η+1对
应的的EH模和η=－ 1对应的HE模，它们在边界上( r )横向分量均为零，且在同
a
一ν值下，传输的能量比较，HE模比EH模更集中于光纤中心，而ν越大，场越

4.6.3 导模的解
集中于边界；两种模式横向分量振幅相等，但位相不等，EH模的 E r 超前E相位 2 ，
HE模的 E r 落后 E相位 2 。EH和HE模的阶次表示为 EH v 和 HE v ，其中ν表示场沿
角向变化周期次数，μ表示径向变化周期次数(不含原点O)。

4.7光纤色散与脉冲展宽
大多数光纤通信采用脉冲调制。如果光脉冲在光纤中传输时其形状保持不变，则
只要脉冲能量足够大，在输出端总可以被探测并被分辨出来，最大的传输距离仅由光
纤的损耗决定。但在实际光纤中，由于传输光波不可能是严格的单色光，另外又由于
在光纤中光波往往是多模传输，所以势必存在着色散的影响。当光纤的纤芯很小，仅
几倍于光波波长时，光纤只能传输近乎平行轴线的光波，形成单模传输。这时只存在
着由于信号频率不单一而引起的单一导模各频率分量所产生的色散，称为模内色散，
包括材料色散和波导色散等。当纤芯直径是光波波长的几十倍时， 光纤中传播多种模
式，不同导模对应于不同角度的光线，在入射端与接收端之间具有不同的光程，从而
到达接收端存在时间差，造成显著的脉冲展宽，产生严重的色散，称为模间色散。
色散的存在，使光波在传输过程中产生畸变，光脉冲随传播距离增长而展宽，致
使输出脉冲列变得不可分辨，使信息之间相互干扰和畸变，限制信息传输的容量，还
使调制速度(或带宽)成了限制传输距离的重要因素。
4.7.1 脉冲展宽的傅里叶分析
光纤中光波的传播一般以光脉冲形式出现。对于一个光脉冲，其宽度用时间间隔
来表示。从频域角度看，一定时间间隔对应于一定宽度的频谱Δω（或Δν），两者之
间是反比关系。每一频谱分量在光纤中都将分解为许多模式分量传播。由于同一频率
的不同模式有不同的传播常数，因而其传播速度各不相同；而同一模式的传播常数随
频率而变，又其相速度是频率的函数，并随之发生变化。所以光脉冲在光纤中传播一
段距离后，其能量将逐渐散开，结果引起光脉冲在空间的分布展宽或作用于光纤中某
一点的时间延长。由此可见，光纤的色散主要来自于传播常数的变化，而最终表现

4.7.1 脉冲展宽的傅里叶分析
却是接收端信息接收时间的延长。一般用群延迟时间(简称群延时) g来表示，定义为
光脉冲传播长度L所需的时间：
g 
也可用比群延

g
L
υg
来表示。
L
一般来讲，脉冲越窄(即越小)，频谱Δω越宽，在传播过程中畸变越严重，所以在
讨论脉冲展宽问题时，总是通过傅里叶变换，首先将信号从时域变到频域，经过对频
域的分析后，再变换回时域，就得到了脉冲畸变。
光脉冲f(t)与其频谱F(ω)间有傅里叶关系：

1
it


F   
f
t
e
dt


2

1
it


f t  
F

e
d


2
若光纤输入端为单色时谐波：
 0 x, y,0, t   Ax, y   e
ic t
  av Ev x, y e
v
ic t

4.7.1 脉冲展宽的傅里叶分析
式中， c 为中心载波频率，ν为模指数。则z处有：
 x, y, z, t    a v E v x, y e
若输入端为任意时域的光脉冲
i  c t   v z

v
 0 x, y,0, t   Ax, y  f t 
式中，f t   mt e
ic t
是脉冲的时域分布。
则输入光脉冲频谱为：
   
1
2



Ax, y  f t e
it
dt  Ax, y F  
振幅函数A(x，y)可写成本征模的展开式，且不同频率的场分量各自按相应的模式展开：
Ax, y    av  Ev x, y,  
于是
 0 x, y,0, t  

1
2
1
2
v
  e

v


it
d 
1
2
 Ax, y   F  e
av  Ev x, y,  F  e
it
d
it
d

4.7.1 脉冲展宽的傅里叶分析
光脉冲传到z处后
  x, y , z , t  
1
2

v


a v  E v x, y,  F  e
i t   v   z 
d
我们以光功率受Gauss信号脉冲调制为例来进行研究。此时
 t2
S t   S  exp   2
 
f t  
则光振幅调制为
因此 F   


1
2







2

t 
S exp i c t 
2 
2



2

t 
S exp  i    c t 
dt
2 
2 



 2
1

2
  c     exp  2 t  i 2   c 2
exp 

2
 2
 2

S
 2
2
  c  
S exp 
 2

(4-52)
d t  i

2
  c 2 

4.7.1 脉冲展宽的傅里叶分析
对于毫微秒脉冲，由于 c  3  10 / s ，因而 c 为10 量级，而 F   随   c 2
指数下降，可见 F   下降很陡；av   、Ev x, y,   是  的缓变函数，就此，可将
(4-52)式中Ev x, y,   和 av   所含  用  c 代换，得
6
15

1
 x, y, z, t  
 av c Ev x, y, c  F  e
2
i t   v   z 

v
d
  av c Ev x, y, c  t 
Gauss分布时，
 t  
1
2
S

2



F  e
 e

2
2
i t   v   z 
d
 c 2  i t   v   z 
d
 v   一般不是  的线型函数，但实际传导信号谱宽一般远小于 ，于是   
v
可在 处展开为
c
代回上式，得：
 t  
S
2
e
1 
2

 v     c   c    c    c    c   
2
i c t   c z 
 1
2
2
 z  i    t   z


exp






i

c
c
c
c
  2




 d


4.7.1 脉冲展宽的傅里叶分析

c z 
 S 1  i 2 





光强则正比于：
 t 
2
1 2


   z 
 S 1   c2 


  

(1)在z＝0处，  t 
(2)在z＝Ｌ处， t 
2
z 0
2
z l
 Se

t
2




1 2



2


  t  c z
exp 
2
 z /  2


1


c









2
2
2
，可见，t＝0时，光强有最大值S，脉宽为2τ。

 c L 
 S 1   2 
  




2





 c L 
t   c L 处，幅值减小为 S 1   2 

  

够大时，
 L   2c L /  。

2


t  c z
exp 
 i  c t   c z 
2


 2   i c z

2

1
2





2
  t   L



c
exp 
 ，最大光强出现在
2
 2
 c L   
 1   2   

    

 



1

 2
 。其脉宽 L   2 1  c L /  2




2
 ，L足
1
2

4.7.1 脉冲展宽的傅里叶分析
可见：   的二阶或高阶导数是脉冲展宽的主要原因，只考虑到二阶微商时，
   L 
Gauss光脉冲仍保持Gauss分布，但脉宽由 2 展宽至 2 1   c2 


   

18所示。但只考虑至一阶微商时，脉冲不畸变，只有时延 t  c L
。
图4-18 脉冲展宽




12
2
，如图4-

4.7.2 光纤的色散特性
光脉冲有两个速度，
一个是相速度 υ 
p


另一个是群速度 υ g 
，表征光纤中某一导模的等相面移动速度；
d
d
 c
dk 0
，用以表征光脉冲能量的传播速度。
d
于是光脉冲某一导模分量在光纤中传播单位长度所需的时间为：
 
1
υg

d
d

1 d
c dk 0
称为比群延时。由于信号调制带宽比光载波频率小得多，故而光脉冲的群速度可用
其载波频率时的群速度表示。
又由以下定义式：
2
2
2
2 2
neff  n2

 k 0 n2
归一化传播常数： b 
 2 2
2
2
2 2
n1  n2
k 0 n1  k 0 n2
归一化频率：
于是：
V  k 0 a n1  n2
2
 
1 V d
c k 0 dV
2
(4-58)

4.7.2 光纤的色散特性
还可求出传播常数β：
1

 2 2 1  b V  2
1  b V 2 
  k 0 n1 
  k 0 n1 1  2 2 2 
2
a
k 0 n1 a 



展开并取一阶近似，得：
2
  k 0 n1 
1  b V 2
2k 0 n1 a
2
代回（4-58）中有：
2
1
 V d k 0 n1  V d  1  b V  

  


2 
c
k
dV
k
dV
2
k
n
a
0
0 1


 0

实际阶跃光纤中，纤芯折射率与包层折射率相差不大，称这种光纤为弱导光纤，
n1 ，于是
n2
弱导条件为
V  k 0 a n1  n2  k 0 an1 2
2
 
V d k 0 n1 
k0c
dV

V
2
d
k 0 c dV
k 0 n1b 
V
d
k 0 c dV
n1k 0 

4.7.2 光纤的色散特性
因为Δ很小，而且折射率随频率变化是不十分明显的，因而可以略去上式中第三项。又
因为
d
 d
 d
bn1k 0  
bV 
b 2 an1 k 0 
dV
2a dV
2a dV

代入上式中并整理得

V
d k 0 n1 
k0c
dV
 
可见：  是V，也就是


n1  d bV 
c
dV
的函数。
上式是单模传播的比群延表达式，此时引起光纤色散的因素只有材料色散和波导
色散，合称模内色散。上式第一项是由光纤的纤芯折射率随频率变化的结果，称材料
色散比群延，用n表示：
n 
V d k 0 n1 
k0c

dV
1 d k 0 n1 
c
dk 0
第二项由波导归一化传播常数b随频率V变化引起，称为波导色散比群延，用 w 表示
w 
V
 d bV 
k0c
2a
dV

n1  d bV 
c
dV

4.7.2 光纤的色散特性
另外，对于多模光纤，不同导模的 w 是不同的，这将导致多模色散。取最高阶
导模与最低阶导模的  w 之差定义为多模群延离散，用  表示。因此，多模光纤中
m
光脉冲的总比群延为：
   n   w   m   其他

4.7.3 脉冲展宽的三种机制
一个中心频率为
 0 ，群速度为 v g的光脉冲，其比群延可展开为：
 d 2 
d
d




|   
|

|  
|  
0
0
0
2   0

d d
d

d

d



式中第一项可以认为是频率  0 的光脉冲的比群延。由于脉冲宽度与  0 相比很小，
因而可以认为这种比群延是光脉冲整体引起的，相当于整个脉冲用一个群速度 v g  0 
传播。它不会导致脉冲展宽。而第二项表示比群延随频率变化引起的时延展宽，记
为  ：
d
d
 
|    0   
 0
0
d
d0
d
d
 0 为真空波长。
大多实际光源(如LED、LD）的谱线宽度远大于信号脉冲的傅里叶谱宽，因
而 0 ， 可用光源谱线宽度代替。因此，各种色散对脉冲展宽的贡献有：
1.材料色散  n
在弱导条件( n1  n2  n )下,且设纤芯和包层折射率色散特性相差不大
 dn1
dn2
dn

 d  d  d
0
0
 0

 ，则



4.7.3 脉冲展宽的三种机制
 n
 d k 0 n1  


   0
c d 0  dk 0 
1 d
dN1 
1 

 0 
  0
c0 
d0 

  2
 
n1    

 d 
1 
d   0
 

  0
  0



c0 
d0
 2 

 
 d 







0





式中，N 1 
d k 0 n1 
dk 0
2

d n1
1 d 
  0

 n1   0
2


c d0 
d0

2
d n1
1
  0
0
2
c
d0
，称为纤芯群折射率。

4.7.3 脉冲展宽的三种机制
考虑多个谐振频率情况，纤芯材料色散特性可以写成为：
n 1 
2

Bi 0
2
2
0
  0i
2
式中， 0 表示真空光波波长， 表示振子的固有谐振波长，Bi 为与  0 i 有关的一
0i
个材料常数。因此：
dn
d 0

2
d n
d
于是：
2
0



1 d n 1
2
0
 
2n
d 0
1
 3    i

n
2
0i
i
n

2
0
2
0


2
0i


2 3
0i

 0i  i
i
2
2
0
  0i
1  dn
 
n  d0
2
2
2
0  0i 30  0i  i  dn

 n  
 
3
2
2
cn 
0  0 i
 d0

以某一石英光纤为例，画出其



2




2





2

 0

～λ图(如图)，可见石英光纤在 0  1.27 m
处，光纤的传输带宽极大，同时此处正是红外波长处，瑞利散射产生的损耗最小，
且光探测器仍能正常工作，无需特殊冷却。

4.7.3 脉冲展宽的三种机制
目前，实用光纤材料色散引起的脉冲展宽约为：
0在0.8～0.9μｍ时， n  100 ps / km
0 在1.1～1.6μｍ时，  n  10 ps / km
熔融石英的材料色散特性

4.7.3 脉冲展宽的三种机制
2.波导色散：
 w 
1
c0
n2  n1 V
 w 一般远小于  n ，其中
d
2
d
2
bV 
dV
2
0  0
bV  ～Ｖ曲线如图。
dV
2
单模光纤的波导色散

4.7.3 脉冲展宽的三种机制
3.多模色散（又叫分布色散）：
 n、 w 均对单模光纤而言，其中  n 起主要作用，多模光纤中，由于不
同导模  w不同而引起的模间色散引起的脉冲展宽起主要作用。
 之差
从折射率分布通式出发看不同α下最高阶模  与最低阶模
 ：
w
w
w
 m
 N1

 c
N
 1
 c
 N1
 c


N 1  n1  n 2

c  n1





 
( 4  63a )
 2
(4  63b)
 2
( 4  63c)
2

2
a2


a  2
可见：α＝∞的光纤，即阶跃光纤，其多模色散引起的脉冲展宽主要决定于纤芯
与包层之间的折射率差。折射率差越大，脉冲展宽也越厉害。从电磁理论角度看，
就是Δ越小，通过光纤的导模数越少，因而模式之间的群速度离散的时间也越小。
α取其它值，对应于渐变折射率光纤：
α>２时，Δτ＞０，高阶模落后；
α<２时，Δτ＜０，高阶模超前。

4.7.3 脉冲展宽的三种机制
 m 最小，要求α→２，但α≠２，此时
 m
N1  a  2
2 3a  2 




c  a2
2a  2 
若令Δτ＝０，则α≈2（１－Δ），此时，最高与最低阶模同步，但居二者间的
中间模式并不一定与之同步，这些中间模产生的最大群延差为：
N1 
2
 m  
c
8
可见，多模色散为负色散。
总之，采用渐变多模光纤对于增大光纤传输带宽具有极其重要的意义。

4.7.4 光孤子(soliton)
为提高光纤系统的信息容量，最好采用单模光纤并调整λ使之与零色散点相匹配，
且在此λ处损耗也正好为极小。这很不容易实现。
利用光纤的非线性光学特性，也可产生光脉冲畸变。这样，当光纤折射率的非
线性和群速负色散特性共同作用时，光脉冲在传播过程中可不发生畸变，或脉冲形
状随传播距离周期性变化，形成光学孤子，简称光孤子。
现考虑一个光脉冲在光纤中传播，假设此光纤具有非线性光学克尔效应，于是：
n  n  bE  n  bI
2
式中，I为光强，b很小，但因光波被约束在纤芯内极小截面内传播，因而光场
相当强，于是在长距离传输中，非线性效应非常可观，它所产生的相移为：
 
如图b所示：
2
0
bIL
可见这一效应造成脉冲的前一部分频率降低，后一部分频率升高，且Δφ正比于
传播距离L。这一效应使脉冲有展宽的趋向。再考虑色散的影响。当光纤的群速度随
频率增高而增大时，称群速负色散，它将导致光脉冲中频率较高的脉冲后部超前，
而频率较低的脉冲前部落后，因而使整个光脉冲有变窄的趋向(图c)。于是在克尔效
应和负色散效应的“挤压”下，光脉冲由于光纤色散所引起的脉冲展宽与介质的非
线性折射率变化抵消，光脉冲保持不变的形状向前传播，形成光孤子(图a)。

4.7.3 脉冲展宽的三种机制
光纤中光孤子的形成