Transcript BACA - WordPress.com

Konsep Matriks
Macam-macam Matriks
Kompetensi Dasar :
Mendeskripsikan macam-maca matriks
Indikator :
1. Matriks ditentukan unsur dan notasinya
2. Matriks dibedakan menurut jenis dan relasinya
Hal.: 2
Matriks
Adaptif
Macam – macam Matriks
Pengertian Matriks
 Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas barisbaris dan kolom-kolom.
 Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen.
Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom.
Notasi:
Matriks: A = [aij]
Elemen: (A)ij = aij
A=
a11
a21
:
ai1
:
am1
a12…….a1j ……a1n
a22 ……a2j…….a2n
:
:
:
ai2 ……aij…….. ain
:
:
:
am2……amj……. amn
baris
kolom
Ordo A: m x n
Hal.: 3
Matriks
Adaptif
Macam-macam Matriks
1. Matriks Baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris.
A1 2 
Hal.: 4
2
5
B1 x 3 
1
-8
C1 x 4 
-2
0
25
14
8
Matriks
Adaptif
Macam-macam Matriks
2. Matriks Kolom
Matriks Kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom
P2 1 
2
-7
Q 31 
9
2
1
Hal.: 5
Matriks
Adaptif
Macam – macam Matriks
3. Matriks Persegi
Matriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah baris
dan jumlah kolom sama.
1
2
4
2
2
2
3
3
3
Trace(A) = 1 + 2 + 3
diagonal utama
Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama
Hal.: 6
Matriks
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
Contoh: Invers matriks 2x2
A=
A-1
Hal.: 7

=

3
2
4
1
1
3 .1 -4 .2
-2
3 .1 -4 .2
-4
3 .1 -4 .2
3
3 .1 -4 .2



=
1

 5
I
4
 5
Matriks

3 
5
2
5
Adaptif
Macam- macam Matriks
4. Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol
0
0 0
0
0
0
0
Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonal
I3
I4
utamanya 1I2dan elemen lainnya
0
Hal.: 8
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
Matriks
Adaptif
Macam-macam Matriks
5. Matriks ortogonal
Matriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A –1
0
A=
B=
1
0 1
-1
AT=
0
½√2 -½√2
BT=
½√2 ½√2
-1
0
½√2 ½√2
= A-1
= B-1
-½√2 ½√2
(A
A-1-1)T = (A
ATT)-1
Jika A adalah matriks orthogonal, maka (A-1)T = (AT)-1
Hal.: 9
Matriks
Adaptif
Macam – macam Matriks
A=
4
2
6
7
5
3
-9
7
AT = A’ =
4
5
2
3
6
-9
7
7
Definisi:
Transpose mariks A adalah matriks AT kolom-kolomnya adalah
baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A.
[AT]ij = [A]ji
nxm
Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ………..
Hal.: 10
Matriks
Adaptif
Macam – macam Matriks
Kesamaan dua matriks
» Dua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri yang
bersesuaian sama.
A=
C=
E=
G=
Hal.: 11
1
2
4
2
1
3
1
2 2
2
1
1
2
2
1
2
4
2
1
3
2
1
2
3
2
1
3
4
x
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
4
5
6
9
0
7
B=
D=
F=
H=
2
?
4
?
9
?
2
?
5
?
0
?
Matriks
A=B
C≠D
E = F jika x = 1
2
?
6
?
7
?
G=H
Adaptif
Macam-macam Matriks
Matriks Simetri
Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika A = AT
A=
A =
Hal.: 12
1
2
3
4
4
2
2
3
2
5
7
0
A’ =
3
7
8
2
4
0
2
9
4
2
2
3
A simetri
= AT
Matriks
Adaptif
Macam-macam Matriks
Sifat-sifat transpose matriks
1. Transpose dari A transpose adalah A: (AT )T = A
A
(AT)T = A
AT
Contoh:
Hal.: 13
4
5
2
3
4
2
6
6
-9
5
3
-9
7
7
Matriks
4
5
7
2
3
7
6
-9
7
7
Adaptif
Macam-macam Matriks
2. (A+B)T = AT + BT
T
T
A+B
T
(A+B)
Hal.: 14
=
A
T
A
=
Matriks
T
+
B
+
BT
Adaptif
Macam-macam Matriks
3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k
T
T
kA
T
(kA)
Hal.: 15
k
=
A
T
k(A)
Matriks
Adaptif
Macam-macam Matriks
4. (AB)T = BT AT
Hal.: 16
B
AB
=
T
(AB)
= BTAT
AB
T
T
T
Matriks
A
Adaptif
Macam-macam Matriks
Soal :
Isilah titik-titik di bawah ini
1. A simetri maka A + AT= ……..
2. ((AT)T)T = …….
3. (ABC)T = …….
4. ((k+a)A)T = ….....
5. (A + B + C)T = ……….
Kunci:
1. 2A
2. AT
3. CTBTAT
4. (k+a)AT
5. AT + BT + CT
Hal.: 17
Matriks
Adaptif
OPERASI MATRIKS
Kompetesi Dasar
Menyelesaikan Operasi Matriks
Indikator
1.
2.
Dua matriks atau lebih ditentukan hasil penjumlahan atau
pengurangannya
Dua matriks atau lebih ditentukan hasil kalinya
Hal.: 18
Matriks
Adaptif
OPERASI MATRIKS
Penjumlahan dan pengurangan dua matriks
Contoh :
A=
A+B=
A-B=
Hal.: 19
10
22
1
-1
B=
10+2
22+6
1+7
-1+5
10-2
22-6
1-7
-1-5
2
6
7
5
=
12
28
8
4
8
16
-6
-6
=
Matriks
Adaptif
OPERASI MATRIKS
Apa syarat agar dua matriks dapat
dijumlahkan?
Jawab:
Ordo dua matriks tersebut sama
A = [aij] dan B = [bij] berukuran sama,
A + B didefinisikan: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij
Hal.: 20
Matriks
Adaptif
OPERASI MATRIKS
Jumlah dua matriks
K=
C=
1
3
5
5
7
C+D
K+L
=
=
4 -9
7 0
9 -13
6
2
7 3 1
-2 4 -5
9 -4 3
L =
1
25
30
5
35
10 15
D =
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
D+C
=
L+K
=
Apa kesimpulanmu? Apakah jumlahan matriks bersifat komutatif?
Hal.: 21
Matriks
Adaptif
OPERASI MATRIKS
 Soal:
C=
A =
3
-8
0
4
7
2
-1
8
4
0
0
0
0
0
0
D =
3
7
2
5
2
6
-1
8
4
0
0
0
0
0
0
B =
E =
Feedback: C +D =



Hal.: 22
C + D =…
C+E=…
A+B=…
Matriks
2
7
2
5
2
6
6
-1
2
9
9
8
-2
16
8
Adaptif
OPERASI MATRIKS
Hasil kali skalar dengan matriks
A=
5
6
1
7
2
3
5x5
5A =
5x6
5x1
=
5x5
5x2
5x3
25
30
5
35
10
15
Apa hubungan H dengan A?
H=
250 300
50
350 100
150
H = 50A
Diberikan matriks A = [aij] dan skalar c, perkalian skalar cA
mempunyai entri-entri sebagai berikut:
(cA)ij = c.(A)ij = caij
Catatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat
tertutup (menghasilkan matriks dengan ordo yang sama)
Hal.: 23
Matriks
Adaptif
OPERASI MATRIKS
 K
3x3
K=
4K =
5K =
Hal.: 24
1
3
5
4 -9
7 0
9 -13
4 16 -36
12 28 0
20 36 -52
5 20 -45
15 35 0
25 45 -65
Matriks
Adaptif
OPERASI MATRIKS
 Diketahui bahwa cA adalah matriks nol. Apa kesimpulan Anda
tentang A dan c?
Contoh:
AA ==
cc == 70
cA =
0*2 7*0
7*0
0*7 7*0
0*2
0*5 7*0
7*0
0*2 7*0
0*6
=
0
2
0
7
0
2
0
5
0
2
0
6
0
0
0
0
0
0
kesimpulan
Kasus 1: c = 0 dan A matriks sembarang.
Kasus 2: A matriks nol dan c bisa berapa saja.
Hal.: 25
Matriks
Adaptif
OPERASI MATRIKS
Perkalian matriks dengan matriks
 Definisi:
 Jika A = [aij] berukuran m x r , dan B = [bij] berukuran r x n,
maka matriks hasil kalir A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemenelemen yang didefinisikan sebagai berikut:
(C)ij = (AB)ij =
∑ aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+………airbrj
k=1
• Syarat:
A=
Hal.: 26
A
mxr
B
rxn
2
3
4
5
8
-7
9
-4
1
-5
7
-8
AB
mxn
B=
Matriks
1
2
7
-6
4
-9
Tentukan AB dan BA
Adaptif
OPERASI MATRIKS
Perkalian matriks dengan matriks
Contoh :
A=
2
3
4
5
8
-7
9
-4
1
-5
7
-8
B=
1
2
7
-6
4
-9
11
3
=
2.1 +3.7+4.4+5.11
AB =
-35
-49
-35
-94
-55
94 -35
=
-49 -35
-94 -55
BA tidak didefinisikan
Hal.: 27
Matriks
Adaptif
OPERASI MATRIKS
1. Diberikan A dan B, AB dan BA terdefinisi. Apa kesimpulanmu?
A
B
B
A
mxn
nxk
nxk
mxn
m=k
ABmxm
AB dan BA
matriks persegi
ABnxn
2. AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol?
A=
2
2
3
3
B=
3 -3
-2 2
AB =
0
0
0
0
AB matriks nol, belum tentu A atau B matriks nol
Hal.: 28
Matriks
Adaptif
OPERASI MATRIKS
Contoh 1:
Tentukan hasil kalinya jika terdefinisi.
A=
C=
•
•
•
•
•
Hal.: 29
A B = ??
AC = ??
BD = ??
CD = ??
DB = ??
2
4
2
3
7
3
4
9
5
7 -11 4
3 5 -6
5
0
6
B=
D=
Matriks
1
-9
8
5
1
2
0
2
0
0
6
8 9 5 6
5 6 -9 0
-4 7 8 9
Adaptif
OPERASI MATRIKS
Contoh 2:
A=
2
1
3
2
A2 =
2
1
3
2
2
1
3
2
2
1
3
2
2
1
3
2
A3 = A x A2 =
2
1
3
2
A0 = I
An = A A A …A
n faktor
An+m = An Am
Hal.: 30
Matriks
Adaptif
DAN DETERMINAN INVERS
Kompetensi Dasar:
Menentukan determinan dan invers
Indikator :
1. Matriks ditentukan determinannya
2. Matriks ditentukan inversnya
Hal.: 31
Matriks
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
Determinan Matriks ordo 2 x 2
Nilai determinan suatu matriks ordo 2 x 2 adalah hasil kali elemenelemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen pada diagonal kedua.
Misalkan diketahui matriks A berordo 2 x 2, A =
a
b
c
d
Determinan A adalah
det A =
Hal.: 32
a
b
c
d
= ad - bc
Matriks
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
B adalah invers dari matriks A, jika AB = BA = I matriks
identitas, ditulis B = A-1
A
Jika A =
a
c
b
d
A-1
, maka
A-1
=
A
1
A
 d


ad  bc   c
1
=
I
 b

a 
dengan A  ad  bc  0
Hal.: 33
Matriks
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
Contoh 1 :
Tentukan invers dari matriks
A
2

 
7
 danB

17 
5
5

 
 2


 4
10
Jawab :
A
1  d

A  c
b
 17
1
 

a    2 . 17    7 . 5  7
 5

 2
 17
 
 7
 5

 2
det B = (-5) . (-4) – (-2) . (-10) = 20 – 20 = 0 , sehingga matriks B
tidak memiliki invers
Hal.: 34
Matriks
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
Contoh :
a
1. Kapan matriks 
c
b

d
TIDAK mempunyai invers?
ad-bc = 0
2. Tentukan invers matriks berikut ini
a.
b.
c.
d.
Hal.: 35
5
1
1
2
0
1
0
2
0
0
4
1
1
0
0
1
a.
2/3
-1/5
-1/5
5/3
b. tidak mempunyai invers
c. tidak mempunyai invers
d.
Matriks
1
0
0
1
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
Contoh 2 :
4

2
 danB   2
2
3

4
A  
2
Diketahui matriks
2
2
3
1

1
1 
Tunjukkan bahwa A.A-1 = A-1.A = I dan B.B-1 = B-1. B = I
4
2
2
½ -½
2
-½
=
1
2
-½
2
2
1
A-1
4
2
1
½
-½
1
2
2
1
-½
-½
1
3
3
1
0
3
-2
Hal.: 36
4
A-1
A
B
½ -½
B-1
=
=
A
2
1
½
-½
1
2
2
1
-½
-½
1
3
3
1
0
3
-2
Matriks
0
0
1
I
4
B-1
1
B
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
I
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
Matriks ordo 3 x 3
Determinan Matriks Ordo 3 x 3
a

 d
g

MisalkanA
b
e
h
c

f .
i 
Dengan aturan Sarrus, determinan A adalah sebagai berikut.
a
b
c a
b
A  d
e
f d
e
g
h
i g
h
_ _
_ + + +
 aei  bfg  cdh  ceg  afh  bdi
 ( aei  bfg  cdh )  ( ceg  afh  bdi )
Hal.: 37
Matriks
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Menggunakan Matriks
a1 x  b1 y  c1
Misal SPL
a 2 x  b2 y  c 2
Persamaan tersebut dapat di ubah menjadi bentuk matriks
berikut
 a1

 a2
Hal.: 38
b1   x   c1 
     
b2   y   c 2 
Matriks
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
a
Misalkan A   1
a
 2
 a1

 a2
Hal.: 39
b1 
 C1 
x
 , P    danB  
 , maka dapat ditulis
b2 
 y
C2 
b1   x   c1 
     
b2   y   c 2 

AP  B

1
P A B
Matriks
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
Contoh :
Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear
 2 x  3 y   16
x  4 y  13
Jawab :
Sistem persamaan
 2 x  3 y   16
x  4 y  13
Jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi
 2

 1
Hal.: 40
3   x    16 
    

 4   y   13 
Matriks
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
 2
A  
 1
Perkalian matriks berbentuk AP = B dengan
A
1
 4


 2 . 4   1 . 3   1
1
 3 1  4
  
 2 5  1
3 
x
  16 
 , P    danB  

 4
 y
 13 
 3

 2
AP  B
1
 P  A B
 x 1  4
   
 y  5  1
1  64
 
5  16
 3    16 
 

 2   13 
 39  1  25   5 
  
   
 26  5   10   2 
Jadi nilai x = 5 dan y = 2
Hal.: 41
Matriks
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan
menggunakan determinan atau aturan Cramer.
ax  by  c
Misal SPL
px  qy  r
Maka dengan aturan Cramer, diperoleh
x
Hal.: 42
c
b
r
q
a
b
p
q
, dan
y 
a
c
p
r
a
b
p
q
Matriks
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
Contoh :
Gunakan aturan Cramer untuk menentukan himpunan penyelesaian
sistem persamaan linear
3 x  4 y  5
2x  y  4
Jawab :
Dengan aturan Cramer diperoleh
x
5
4
4
1
3
4
2
1

(  5 ). 1  4 .(  4 )
3 . 1  2 .(  4 )

11
1
y
11
3
5
2
4
3
4
2
1

3 . 4  2 .(  5 )
3 . 1  2 .(  4 )

22
2
11
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,2)}.
Hal.: 43
Matriks
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan
menggunakan Matriks
 SPL dalam bentuk:
a11x1 + a12x2 + a13x3 +….. ..a1nxn
= b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….a2nxn
= b2
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……amnxn = bm
 Dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks:
=
a11 a12……...a1n
x1
b1
a21 a22 ……..a2n
x2
b2
:
:
:
:
:
am1 am2…… amn
xn
bn
x
A: matriks koefisien
b
Ax = b
Hal.: 44
Matriks
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
Contoh :
SPL
x1 + 2x2 + x3
= 6
-x2 + x3
= 1
4x1 + 2x2 + x3 = 4
Dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut
1.x1 +2.x2 + 1.x3
0.x1 + -1.x2 + 1.x3
4.x1 +2.x2 + 1.x3
Hal.: 45
=
6
1
2
1
x1
1
0
-1
1
x2
4
4
2
1
x3
Matriks
6
=
1
4
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
Perkalian dengan matriks identitas
A=
A.I =
I.A =
Hal.: 46
1
2
3
7
5
6
-9
3
-7
1
2
3
7
5
6
-9
3
1
1
0
0
0
1
0
-7
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
X
X
1
2
3
7
5
6
1
-9
3
-7
2
3
1
2
3
7
5
6
7
5
6
-9
3
-7
-9
3
-7
Matriks
=
=
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
AB = A dan BA = A, apa kesimpulanmu?
1
3
5
4 -9
7 0
9 -13
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
3
5
4 -9
7 0
9 -13
A
0
0
1
I
=
0
0
1
I
=
=
A
1
3
5
4 -9
7 0
9 -13
1
3
5
4 -9
7 0
9 -13
=
A
AB = A dan BA = A, maka B = I
(I matriks identitas)
Hal.: 47
Matriks
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
4
2
½ -½
2
2
-½
=
1
1
0
0
1
I
A-1
A
a
b
c
d
A-1
=
A-1

=


1
0
0
1
d
ab-cd
-b
ab-cd
-c
ab-cd
a
ab-cd



=
1
d
-b
ad - bc
-c
a
Jika ad –bc = 0 maka A TIDAK mempunyai invers.
Hal.: 48
Matriks
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
1. Invers dari matriks jika ada adalah tunggal:
Jika B = A-1 dan C = A-1, maka B = C
(A-1)-1
2. (A-1)-1 = A
A=
A-1
=
4
2
2
2
½ -½
-½
1
½ -½
=
?
-½ 1
A-1
4
2
2
2
1
0
0
1
A
Hal.: 49
Matriks
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
3. Jika A mempunyai invers maka An mempunyai invers dan
(An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,…
A=
A3
=
(A3)-1 =
½ -½
4
2
2
2
4
2
4
2
4
2
2
2
2
2
2
2
A-1 =
-½
0.625
-1
1
=
104
64
64
40
-1
1.625
sama
(A-1)3 =
Hal.: 50
½ -½
½ -½
½ -½
-½
-½
-½
1
1
Matriks
1
=
0.625
-1
-1
1.625
Adaptif
DETERMINAN DAN INVERS
4. (AB)-1 = B-1 A-1
A=
4
2
2
2
(AB)-1 =
B-1 A-1 =
B=
16
24
10
14
½
2
2
-1
½ -½
1
B-1 =
½
5/4
½
-¾
-0.875 1.5
0.625 -1
=
-¾
-½
Hal.: 51
5
5/4
½
A-1 B-1 =
3
½ -½
-½
1
½
5/4
½
-¾
Matriks
=
=
-0.875 1.5
0.625 -1
-0.5
1
0.75 -1.375
Adaptif