Transcript Adaptation d`une distribution expérimentale

ADAPTATION d’une distribution
expérimentale
Professeur Pascale FRIANT-MICHEL
> Faculté de Pharmacie
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ADAPTATION d’une
DISTRIBUTION EXPERIMENTALE
I - DEFINITION
• Lorsqu’une distribution expérimentale évoque une distribution
théorique, en raison, par exemple :
- de l’aspect de son diagramme des fréquences ou
- des conditions dans lesquelles on l’a observée
Exemple : - distribution normale
- distribution binomiale
on substitue à la distribution expérimentale observée la
distribution théorique correspondante, cela s’appelle "adapter"
 La distribution théorique n’a, de toute façon, valeur que de simple
hypothèse dont il conviendra de tester la validité
II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (1)
 Calculer les termes respectifs de la distribution binomiale
théorique correspondante (ayant le même effectif N que la
distribution expérimentale observée)
. Calculer les probabilités Pk telles que :
k
Pk = Cn pk qn-k avec
 Pk = 1
k
. Calculer les fréquences absolues nk correspondantes telles que :

nk = N . Pk

avec
 nk = N
k
Exemple : Distribution du nombre de filles dans 160 familles de 4 enfants
tirées au hasard dans une population
II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (2)
- Calcul des paramètres caractéristiques de la distribution
Famille de
xi
filles
Nombre de
familles
ni
nixi
0
1
2
3
4
16
48
62
30
4
0
48
124
90
16
 n i = 160
i
 ni x i
V=i
  n i
i
nixi2
 ni x i
m=
 n i x i = 278
i
0
48
248
270
64
i
 ni
i
=

2
 n i x i = 630
278
160
= 1,74 fille
i

2
- m2 =
630
 160
- (1,74)2 = 3,94 – 3,02 = 0,92 (fille)2

σ = V = 0,96 fille
II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (3)
- Hypothèse : loi binomiale de moyenne : m = n . p
mth = mexp = 1,74
m
p=
=>
q = 1 – p = 0,565

n
=
1, 74
=>
4
n=4
= 0,435
(proportion de filles)
(proportion de garçons)

- Probabilités théoriques de k filles dans des familles de 4 enfants :
k
Pk = C 4 (0,435)k (0,565)4-k
avec
0≤k≤4
- Effectifs théoriques :

nk = 160 . Pk
avec
 nk
k
=
 ni
i
= 160
II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (4)
Famille de
xi
filles
Nombre de
familles
ni
Pk
nk
0
1
2
3
4
16
48
62
30
4
0,1019
0,3138
0,3624
0,1860
0,0358
16,30
50,21
57,99
29,76
5,73
 n i = 160
 Pk = 1
k 0
i

4


4
 n k = 160
k 0
III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (1)
 Calculer les termes correspondants de la distribution de POISSON
ayant le même effectif N et la même moyenne que la distribution
expérimentale observée
. Calculer les probabilités Pk telles que :
Pk =
m
k
k !
e-m
avec
 Pk = 1
k
. Calculer les fréquences absolues nk correspondantes telles que :

nk = N . Pk

avec
 nk = N
k
Exemple : Distribution du nombred’accidents hebdomadaires à un
carrefour dangereux
III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (2)
- Calcul des paramètres caractéristiques de la distribution
Nombre
d’accidents
xi
Nombre de
semaines
ni
nixi
0
1
2
3
4
5
5
10
7
4
3
1
0
10
14
12
12
5
 n i = 30
i
 ni x i
V=

i
 ni
i
nixi2
 ni x i
 n i x i = 53
i
0
10
28
36
48
25
m=
i
 ni
i
= 53
30
 ≈ 1,77 accident
2
 n i x i = 147
i

2
-
m2
=
147
 30
- (1,77)2 = 4,9 – 3,13 ≈ 1,77 (accident)2

σ = V = 1,33 accident
III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (3)
- Hypothèse : loi de POISSON de moyenne : m
mth = mexp = 1,77
- Probabilités théoriques de k accidents :
Pk =
(1, 77 )
k
k !
e-1,77
avec
0≤k≤5
- Effectifs théoriques :

nk = 30 . Pk
avec
 nk
k
=
 ni
i
Attention aux classes supplémentaires


= 30
III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (4)
Nombre
d’accidents
xi
Nombre de
semaines
ni
Pk
nk
0
1
2
3
4
5
5
10
7
4
3
1
0,1703
0,3015
0,2668
0,1574
0,0697
0,0247
5,11
9,05
8,00
4,72
2,09
0,74
0,0096
0,29
≥6
 n i = 30
 6
 6
kk 0
k 0
 Pkk = 1 ?

i





 nnkk == 30
30 ?

k
IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (1)
 Calculer les termes correspondants de la distribution gaussienne
ayant le même effectif N, la même moyenne m et le même écarttype σ que la distribution expérimentale observée
=>
- Déterminer les probabilités Pth associées aux diverses
classes de la distribution telles que :
 Pth = 1 au moyen des tables de GAUSS établies pour la
courbe réduite
=>
. Calculer les écarts réduits par la relation :
t= x m

. Lire les tables des fréquences cumulées p(t) ou
des valeurs de f(t)
. Calculer
les probabilités théoriques Pth

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (2)
- Calculer les fréquences absolues nth correspondantes telles que :
nth = N . Pth
avec  nth = N
Exemple : Poids de 406 nouveau-nés relevé dans une maternité
Classes (kg)
Effectif
ni
Classes (kg)
Effectif
ni
[ 2,20 ; 2,40 [
3
[ 3,60 ; 3,80 [
44
[ 2,40 ; 2,60 [
8
[ 3,80 ; 4,00 [
35
[ 2,60 ; 2,80 [
26
[ 4,00 ; 4,20 [
17
[ 2,80 ; 3,00 [
50
[ 4,20 ; 4,40 [
3
[ 3,00 ; 3,20 [
69
[ 4,40 ; 4,60 [
2
[ 3,20 ; 3,40 [
85
[ 4,60 ; 4,80 [
2
[ 3,40 ; 3,60 [
62
IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (3)
• Paramètres caractéristiques de la distribution :
(calculés aux centres de classes)
m = 3,33 kg
σ = 0,45 kg
- Hypothèse : loi normale de moyenne : m = 3,33 kg
d’écart-type :  = 0,45 kg
. Calcul des différents ti (aux limites de classes)
. Recherche par lecture des différents pi ou fi (aux limites de
classes)
IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (4)
- Calcul des différentes Pth (aux centres de classes) :
Lorsque t2 > t1 :
Pth = p (t2) – p (t1)
ou
Pth = f (t1) – f (t2) lorsque t1 et t2 sont de même signe
(t1 et t2 < 0)
Pth = f (t2) – f (t1) lorsque t1 et t2 sont de même signe
(t1 et t2 > 0)
Pth = f (t1) + f (t2) lorsque t1 et t2 sont de signes contraires
- Calcul des différentes nth (aux centres de classes) :
nth = 406 . Pth
avec
 nth = 406
Attention aux classes supplémentaires
IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (5)
Limites
(kg)
2,20
Effectif
ni
3 
2,40
ti =
xi  m

- 2,51
- 2,07
p (ti)
f (ti)
0,0060
0,4940
0,0192
- 1,62
0,0526
- 1,18
0,1190
- 0,73
0,2327
- 0,29
0,3869
0,15
0,5596
13,56
0,0664
26,96
0,1137
46,16
0,1532
62,20
0,1737
70,52
0,1141
85
3,40
0,0334
0,2673
69
3,20
5,36
0,3810
50
3,00
0,0132
0,4474
26
2,80
nth
0,4808
8
2,60
Pth
0,0596
IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (6)
Limites
(kg)
ni
ti
p (ti)
f (ti)
62
0,60
3,60
0,7257
1,04
0,8508
1,49
0,9319
1,93
0,9732
2,38
0,9913
2,82
0,9976
3,27
 ni = 406
0,9995
0,0811
32,93
0,0413
16,77
0,0181
7,35
0,0063
2,56
0,0019
0,77
 Pth ≠ 1
 nth ≠
406
0,4976
2
4,80
50,79
0,4913
2
4,60
0,1251
0,4732
3
4,40
67,44
0,4319
17
4,20
0,1661
0,3508
35
4,00
nth
0,2257
44
3,80
Pth
0,4995
IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (7)
Classes
(kg)
Effectif
ni
ti =
xi  m

p (t)
f(t)
< 2,20
2,20
3 
- 2,51
- 2,07
2,40
0,0060
0,0192
- 1,62
0,0526
- 1,18
0,1190
- 0,73
0,2327
- 0,29
0,3869
0,15
0,5596
5,36
0,0334
13,56
0,0664
26,96
0,1137
46,16
0,1532
62,20
0,1737
70,52
0,2673
0,1141
85
3,40
0,0132
0,3810
69
3,20
2,43
0,4474
50
3,00
0,0060
0,4808
26
2,80
nth
0,4940
8
2,60
Pth
0,0596
IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (8)
Limites
ni
ti
p (ti)
f (ti)
62
3,60
0,60
0,7257
1,04
0,8508
1,49
0,9319
1,93
0,9732
2,38
0,9913
2,82
0,9976
3,27
≥ 4,80
 ni = 406
0,9995
0,0811
32,93
0,0413
16,77
0,0181
7,35
0,0063
2,56
0,0019
0,77
0,0005
0,20
 nth =
406
0,4976
2
4,80
50,79
0,4913
2
4,60
0,1251
0,4732
3
4,40
67,44
0,4319
17
4,20
0,1661
0,3508
35
4,00
nth
0,2257
44
3,80
Pth
0,4995
 Pth = 1
L1 SANTE