Transcript A r

Rezystancja zastępcza,
połączenie trójkąt-gwiazda
Wykłady z podstaw
elektrotechniki i elektroniki
Paweł Jabłoński
Połączenia rezystorów
Rezystancja zastępcza

Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki



Rezystory w obwodzie elektrycznym mogą być
połączone na różne sposoby.
W każdym przypadku istnieje możliwość
wyznaczenia tzw. rezystancji zastępczej.
Rezystancja zastępcza grupy rezystorów to
rezystancja, która włączona w obwód w miejsce
rozpatrywanej grupy nie zmienia rozpływu prądów i
rozkładu napięć w pozostałej części obwodu.
Rozróżniamy dwa typowe przypadki:
–
–
2
Połączenie szeregowe,
Połączenie równoległe.
4
Połączenia rezystorów
Połączenie szeregowe
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki


Połączeniem szeregowym
rezystorów nazywamy takie ich
połączenie, w którym przez wszystkie
rezystory płynie jeden i ten sam prąd.
Naszym celem jest wyznaczenie
rezystancji zastępczej, tj. zastąpienie
grupy n szeregowo połączonych
rezystorów R1, R2, …, Rn za pomocą
jednego tylko rezystora R.
R1
R2
Rn
R
3
Połączenia rezystorów
Rezystancja zastępcza p. szeregowego

A
Z prawa koła napięć
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
U  U1  U 2    U n

Z prawa Ohma dla i-tego rezystora mamy Ui = RiI;
uwzględniwszy to w poprzednim wzorze
U
I
U1
R1
U2
R2
Un
Rn
U  R1 I  R 2 I    R n I

Rezystancja z definicji wynosi U/I, czyli
n
R  R1  R 2    R n 
 Ri
B
A
i 1

4
Rezystancja zastępcza szeregowego połączenia
rezystorów równa się sumie ich rezystancji.
I
U
B
R
Połączenia rezystorów
Połączenie równoległe
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki


Połączeniem równoległym rezystorów
nazywamy takie ich połączenie, w którym na
zaciskach wszystkich rezystorów występuje
jedno i to samo napięcie.
Do zaznaczenia, że rezystory R1, R2, …, Rn
połączone są równolegle stosujemy czasem
zapis
R1 R2
Rn
R1 || R 2 ||  || R n

5
Naszym celem jest wyznaczenie rezystancji
zastępczej, tj. zastąpienie grupy n równolegle
połączonych rezystorów R1, R2, …, Rn za
pomocą jednego tylko rezystora R.
R
Połączenia rezystorów
Rezystancja zastępcza p. równoległego

Z pierwszego prawa Kirchhoffa
A
I  I1  I 2    I n
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki


R

6
I1
Z prawa Ohma dla i-tego rezystora mamy
Ii = U/Ri, stąd ostatni wzór przyjmuje postać
U
U
U
I 

 
R1 R 2
Rn
Rezystancja z definicji wynosi U/I, czyli
1

1
R1

1
R2
 
1
Rn

I
n
1
i 1
Ri

Odwrotność rezystancji zastępczej
równoległego połączenia rezystorów równa
się sumie odwrotności ich rezystancji.
U
I2
In
R1 R2
Rn
B
A
I
U
B
R
Połączenia rezystorów
Połączenie równoległe dwóch rezystorów

W przypadku dwóch rezystorów połączonych równolegle
1

Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
R

R1

R2
R1
R1 R 2
R1  R 2
Pułapka: wzorując się na ostatniej zależności, część
studentów zapisze dla trzech rezystorów NIEPOPRAWNIE
R 
7
1
Po przekształceniu
R 

1
R1 R 2 R 3
R1  R 2  R 3
R2
Połączenia rezystorów
Szeregowo kontra równolegle
Szeregowo
Równolegle
Rezystancja zastępcza
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
R  R1  R 2    R n
1
R

1
R1

1
 
R2
1
Rn
jest większa od każdej
jest mniejsza od każdej
z wartości R1, R2, …, Rn
z wartości R1, R2, …, Rn
Konduktancja zastępcza
1
1
1
1
G  G1  G 2    G n


 
G
G1 G 2
Gn
Rezystancja w przypadku n jednakowych rezystorów R1
R  nR 1
8
R 
R1
n
Połączenia rezystorów
Połączenia mieszane
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki


9
Układ złożony z rezystorów
połączonych szeregowo lub
równolegle nazywamy układem o
połączeniu mieszanym.
Rezystancję zastępczą takiego
układu wyznaczamy stosując na
przemian wzory dla połączenia
szeregowego i równoległego.
Połączenia rezystorów
Redukcja układu połączeń
A
B
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
1
2
A
3
B
A
A
B
B
A
4
10
5
B
Połączenia rezystorów
Przykład
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Wyznaczyć rezystancję zastępczą względem zacisków
AB oraz AC. Wartości rezystancji w omach.
3
A
1
1
1
2
C
11
B
Połączenia rezystorów
Rezystancja RAB
11  2
A
1
3
B
1
1
2
A
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
2
3
2
C
2 || 2 
3
A
1
B
1
22
22
1
3
1
B
A
2
B
RAB
A
11  2
R AB  2 || 3 
12
2 3
23

6
5
 1, 2 Ω
B
Połączenia rezystorów
Rezystancja RAC
11  2
A
1
3
1
1
A
2
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
2
B
3
1
2
C
2 || 2 
22
22
C
1
4
A
C
1
RAC
R AC  1 || 4 
13
1 4
1 4

4
5
 0 ,8 Ω
A
C
31  4
Połączenia rezystorów
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Połączenia specjalne
14

Istnieją układy rezystorów, w którym brak jest
połączeń szeregowych i równoległych, czyli nie
da się ich zredukować za pomocą poznanych
dotychczas wzorów.

Wtedy stosuje się tzw. zamianę „trójkątgwiazda” lub „gwiazda-trójkąt”.
Połączenia rezystorów
Połączenie w gwiazdę i w trójkąt
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki


Równoważność obydwu połączeń
wymaga, aby ich rezystancja
zastępcza względem każdej pary
zacisków AB, BC i CA była jednakowa.
Stąd mamy układ równań
R AB :
R BC :
R CA :
15
R1 ( R 2  R 3 )
R1  R 2  R 3
R 2 ( R 3  R1 )
R1  R 2  R 3
R 3 ( R1  R 2 )
R1  R 2  R 3
 r2  r3
C
Trójkąt ()
R3
A
R2
R1
B
C
Gwiazda (Y)
 r3  r1
r1
r2
 r1  r2
A
r3
B
Połączenia rezystorów
Zamiana trójkąt-gwiazda
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

r2 
r3 

16
C
Rozwiązując powyższy układ równań ze
względu na r1, r2 i r3, dostajemy wzory na
zamianę -Y
R 2 R3
r1 
R1  R 2  R 3
R 3 R1
R3
A
R2
R1
B
R1  R 2  R 3
C
R1 R 2
R1  R 2  R 3
r1
Jeżeli R1 = R2 = R3 = R, to
r1  r2  r3  rY 
r2
RΔ
3
A
r3
B
Połączenia rezystorów
Zamiana gwiazda-trójkąt
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

R 2  r3  r1 
R 3  r1  r2 

17
C
Rozwiązując wcześniejszy układ równań
ze względu na R1, R2 i R3, dostajemy
wzory na zamianę Y-
r2 r3
R1  r2  r3 
r1
r3 r1
r1
r2
r3
A
B
r2
C
r1 r2
r3
R3
Jeżeli r1 = r2 = r3 = rY, to
R1  R 2  R 3  R Δ  3 rY
A
R2
R1
B
Połączenia rezystorów
Przykład – mostek
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Obliczyć rezystancję zastępczą RAB.
Wartości rezystancji w omach.
10  40
→Y
40  50  10
40
40
16
A
B
10
50
25
4
16
16
4
A
50
40  50
40  50  10
18
B
10
 20
A
20
25
50  10
40  50  10
B
5
25
5
R AB  20  ( 4  16 ) || ( 5  25 )  20  20 || 30 
 20 
20  30
20  30
 20  12  32 Ω
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
5
Zastosowanie połączenia tr-gw
19
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
5
Zastosowanie połączenia tr-gw
20
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
5
Zastosowanie połączenia tr-gw
21