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Chapter 1 演算法分析
 1.1 演算法
 1.2 Big-O
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演算法分析
 演算法是解決一問題的有限步驟，而評
斷演算法的優劣可利用Big-O分析之，如
O(n)比O(n2)來得佳。
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1.1 演算法
 演算法（Algorithms）是一解決問題
（problems）的有限步驟程序。
 舉例來說，現有一問題為：判斷數字x是
否在一已排序好的數字串列s中，其演算
法為：
從s串列的第一個元素開始，依序的比較，
直到x被發現或s串列已達盡頭。假使x被
找到，則印出Yes；否則，印出No。
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1.1 演算法
 當問題很複雜時，上述敘述性的演算法
就難以表達出來。因此，演算法大都以
類似的程式語言表達之，繼而利用您所
熟悉的程式語言執行之。
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1.1 演算法
 “他的程式寫得比我好嗎？”
 應該利用客觀的方法進行比較，而此客
觀的方法就是複雜度分析（complexity
analysis）。
 首先必須求出程式中每一敘述的執行次
數（其中｛和｝不加以計算），將這些
執行次數加總起來。然後求出其Big-O。
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1.1 演算法
 陣列元素相加（Add array members）
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1.1 演算法
 矩陣相乘（Matrix Multiplication）
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1.1 演算法
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1.1 演算法
 循序搜尋（Sequential search）
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1.1 演算法
 二元搜尋（Binary search）
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1.1 演算法
 費氏數列（遞迴的片段程式）
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1.1 演算法
 費氏數列（非遞迴的片段程式）
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1.2 Big-O
 如何去計算演算法所需要的執行時間呢？
在程式或演算法中，每一敘述
（statement）的執行時間為：


此敘述執行的次數，
每一次執行所需的時間，兩者相乘即為此敘
述的執行時間。
 由於每一敘述所須的時間必需實際考慮
到機器和編譯器的功能，因此通常只考
慮執行的次數而已。
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1.2 Big-O
 下列有三個片段程式，請計算x=x+1的執
行次數：
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1.2 Big-O
 在分析演算法時，一般稱敘述的執行次
數為order of magnitude，所以上述的
(a) 、(b) 、(c)中，x=x+1的order of
magnitude分別為1，n，n2。
 而整個演算法的order of magnitude為演
算法中每一敘述的執行次數之和。
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1.2 Big-O
 算完程式敘述的執行次數後，通常利用
Big-O來表示此演算法執行的時間。
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1.2 Big-O
 請看下列範例：




3n+2=O(n)，
∵我們可找到c=4，n0=2，使得3n+2<4n
10n2+5n+1=O(n2)，
∵我們可以找到c=11，n0=6，使得10n2+5n+1<11n2
7*2n +n2+n=O(2n)，
∵我們可以找到c=8，n0=4，使得7*2n+n2+n<8*2n
10n2+5n+1=O(n3)，
原來10n2+5n+1 O(n2)，而n3又大於n2，理所當然
10n2+5n+1=O(n3)是沒問題的。
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1.2 Big-O
 其實，我們可以加以證明，當
f(n)=amnm +...+a1n+a0 時，f(n)=O(nm)
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1.2 Big-O
 循序搜尋（sequential search）的情形可
分，其平均搜尋到的次數為
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1.2 Big-O
 二元搜尋法乃是資料已經皆排序好，因
此由中間（mid）開始比較，便可知欲搜
尋的資料（key）落在mid的左邊還是右
邊，再將左邊的中間拿出來與key相比，
只是每次要調整每個段落的起始位址或
最終位址。
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1.2 Big-O
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1.2 Big-O
 搜尋的次數為log32+1=6，此處的log表示log2。
資料量為128個時，其搜尋的次數為log128+1，
因此當資料量為n時，其執行的次數為logn+1。
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1.2 Big-O
 讀者大略可知二元搜尋比循序搜尋好得
太多了，其執行敘率為O(logn) 。
 費氏數列（Fibonacci number），其定
義如下：
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1.2 Big-O
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1.2 Big-O
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1.2 Big-O
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1.2 Big-O
 當n=3(f3)從上圖可知需計算的項目為5；n=5時，
需計算的項目數為15個。因此我們可以下列公
式表示：
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1.2 Big-O

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1.2 Big-O
 上述費氏數列是以遞迴的方式算出，其
Big-O為O(2n/2 )，若改以非遞迴方式計算
的話，其f(n)執行的項目為n+1項。
 從上表得知，計算費氏數列若採用遞迴
方法並不太適合，所以並不是所有的問
題皆適合利用遞迴法，有關遞迴的詳細
情形，請參閱第五章。
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1.2 Big-O
 Big-O的圖形表示如下：
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1.2 Big-O
 例如有一程式的執行次數為n2+10n，則其BigO為n2，表示此程式執行的時間最壞的情況下
不會超過n2，因為
n2+10n≦2n2，當c=2，n≧10時
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1.2 Big-O
 一般常見的Big-O有下列幾種情形：








O(1) 稱為常數時間（constant）
O(log n) 稱為次線性時間（sub-linear）
O(n) 稱為線性時間（linear）
O(n log n) 稱為n logn n
O(n2) 稱為平方時間（quadratic）
(n3) 稱為立方時間（cubic）
O(2n) 稱為指數時間（exponential）
O(n!) 稱為階層時間
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1.2 Big-O
 O(1)<O(log n)
<O(n)<O(n log n)
<O(n2)<O(n3)
<O(2n)<O(3n)
<O(n!)，
可由圖1-1或圖1-2
得知。
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1.2 Big-O