Теория вероятностей3(числовые характеристики)
Download
Report
Transcript Теория вероятностей3(числовые характеристики)
Числовые характеристики
случайной величины
Числовые характеристики
случайной величины
• Применяются вместо закона
распределения случайной величины
• В сжатой форме выражают наиболее
существенные особенности
распределения
• К ним относятся начальные и
центральные моменты СВ,
• Важнейшие из них носят название
математического ожидания и
дисперсии.
Математическое ожидание
• Математическое ожидание – числовая
характеристика положения СВ на
числовой оси.
• Это некоторое среднее значение, около
которого группируются все возможные
значения СВ.
• Это центр рассеяния значений СВ.
Математическое ожидание
• Обозначения математического
ожидания:
M ( X ), M X , MO
• и некоторые другие.
Математическое ожидание
• Математическое ожидание дискретной
СВ определяется как сумма
произведений:
M( X )
n
x i pi ,
i 1
• где
n
p
i 1
i
.
1
Математическое ожидание
• Математическое ожидание
непрерывной СВ выражается
интегралом:
M( x )
x f ( x )dx
f(x)
• где
а f ( x )dx
– плотность вероятности,
– элемент вероятности
Математическое ожидание
• Таким образом:
n
xi pi
i 1
M ( x ) ( b )
x f ( x )dx
( a )
- ДСВ
- НСВ
Математическое ожидание
• Математическое ожидание имеет
размерность СВ;
• может быть выражено как
положительным, так и
отрицательным числом
Математическое ожидание
• При увеличении числа наблюдений
среднее арифметическое СВ сходится
по вероятности к ее математическому
ожиданию, т.е.
lim X M ( X ),
n
• где
n
X
x
i 1
n
i
- среднее
арифметическое
Связь математического ожидания и
среднего арифметического
• Пусть выполнено
n измерений в
которых:
• x1 - k1 раз
• x2 - k2 раз
• ……………...
• xm - km раз
• n = k1 +k2 +…+km
x1 k1 x2 k 2 ... xm km
X
n
m
xk
i
i 1
n
i
m
ki
xi
n
i 1
m
m
ki
lim xi xi pi M( x )
n
n i 1
i 1
lim X M ( x )
n
Свойства математического
ожидания
M( C ) C, где C const.
M( CX ) CM( X )
n
n
• 3. M X i M X i
i 1 i 1
• 4. M( aX b ) aM( X ) b
• 5. M( XY ) M( X )M(Y )
- только для
• 1.
• 2.
независимых СВ !
• 6. M( X ) 0, если
f ( x ) f ( x )
Дисперсия случайной величины
• Дисперсия – числовая характеристика
рассеивания, тесноты группировки
всевозможных значений СВ около ее
математического ожидания
• Дисперсия характеризует точность
измерений, если xi – результаты
измерений некоторой СВ
Дисперсия случайной величины
• Для дисперсии приняты обозначения:
D, D( X ), DX ,
и некоторые другие.
2
X
Дисперсия случайной величины
• Определение: дисперсией называется
математическое ожидание квадрата
отклонения СВ от ее
математического ожидания, т. е.
D X M
X M X
2
Дисперсия случайной величины
• Согласно определению дисперсии и
определению математического
ожидания:
• для ДСВ n
•
,
2
D( X ) x M ( X ) p
• для НСВ -
D( X )
i 1
i
i
x M ( X )
2
f ( x )dx
• - область интегрирования совпадает с
областью всех возможных значений СВ
Дисперсия случайной величины
• Практически для вычисления
дисперсии как ДСВ, так и НСВ
используется более удобная формула:
D X M X
• В ней
•
2
M X
2
M
(
X
)
x
p
i
i
i 1
для
ДСВ
n
M ( X 2 ) x2 p
i i
i 1
n
Дисперсия случайной величины
( b )
M ( X ) x f ( x )dx
( a )
для
НСВ.
( b )
M ( X 2 )
2
x f ( x )dx
( a )
Среднее квадратическое
отклонение
• Дисперсия имеет размерность
квадрата размерности СВ
• Это неудобный показатель точности
измерений
• Поэтому вводится положительный
корень квадратный из дисперсии
• Он называется средним
квадратическим отклонением и
обозначается
, ( X ), x
Среднее квадратическое
отклонение
( X ) D( X )
• Ср. кв. откл. имеет размерность СВ
• Поэтому является более удобной, чем
дисперсия, числовой характеристикой
степени рассеяния значений СВ
относительно Мx
• (т.е. более удобным показателем
точности измерений)
Свойства
Дисперсии
1. D( C ) 0 , где C const.
2. D( C X ) D( X )
3. D( CX ) Ñ 2 D( X )
n
n
4. D X i D X i
i 1 i 1
Ср. кв. отклонения
1. ( Ñ ) 0 , где C const.
2. ( C X ) ( X )
3. ( CX ) Ñ( X )
-
Задача
• Дискретная СВ задана рядом
распределения:
xi
pi
0
1
2
0.2
0.5
0.3
• Вычислить математическое ожидание,
дисперсию и ср. кв. отклонение.
Решение
n
• 1. M ( X ) xi pi 0 0.2 1 0.5 2 0.3 1.1 .
i 1
• 2. D( X ) M( X ) M( X ) .
•
M( X 2 ) 0 2 0.2 12 0.5 2 2 0.3 1.7
•
.
D( X ) 1.7 ( 1.1)2 0.49
2
2
• 3. ( X ) D( X ) 0.49 0.7
.
.
Задача
• Непрерывная СВ задана плотностью
вероятности
2x при 0 x 1
f(x)
при x 0 и x 1
0
• Вычислить математическое ожидание,
дисперсию и ср. кв. отклонение.
Решение
1
3 1
1
x
1. M ( x ) x f ( x )dx x 2xdx 2 x dx 2
3
0
0
2
0
2
3
2. D( X ) M( X ) M( X )
2
2
1
4 1
1
x
M ( x ) x f ( x )dx x 2xdx 2 x dx 2
4
0
0
2
1 2
D( X ) 0.28
2 3
2
2
2
3
3. ( X ) D( X ) 0.28 0.53
0
1
2
Моменты случайной величины
• Математическое ожидание и
дисперсия – важнейшие из моментов
случайной величины, которые
(моменты) используются для описания
различных ее свойств.
• Определим понятие этих моментов.
Начальные моменты
• Начальным моментом k
k - го
порядка случайной величины X
называется математическое ожидание
k-й степени этой случайной величины,
т. е.
k .
•
M X
k
Начальные моменты
• Согласно определению
k
x
p
для
ДСВ
i
i
i 1
k
x k f ( x )dx для НСВ
n
Начальные моменты
Если
k = 0, то
0 M ( X 0 ) 1 .
1
Если
k = 1, то
1 M ( X ) M (. X )
2
Если
k = 2, то
2 M ( X ) .
Т.о. математическое ожидание СВ есть
начальный момент 1-го порядка этой
величины, а дисперсия может быть выражена
через начальные моменты 1-го и 2-го
порядков:
2
2
2 .
•
•
•
•
•
D( X ) M ( X ) M ( X ) 2 1
•
Центральные моменты
Центральным моментом k k-го
порядка СВ X называется
математическое ожидание k-й
степени отклонения этой СВ от ее
математического ожидания, т. е.
математическое ожидание k-й степени
соответствующей центрированной СВ:
k M X M ( X ) M
• где X M ( X )
значение СВ X.
k
k
,
– центрированное
• Центрированная случайная величина
получается при переходе от ряда
значений случайной величины X:
x1 ,x2 ,...,xn ,
• к ряду 1 ,2 ,...,n
,
ii xii M ( X ) ( i 1,2,...,n
1,2,...,n )) .
• где
• Центрирование равносильно переносу
начала координат из нуля в среднюю –
«центральную» – точку,
• т. е. в точку M( X ) .
Центральные моменты
• Согласно определениям центрального
момента и математического ожидания:
k
k
i xi M ( X ) pi для ДСВ
i 1
i 1
k
x M ( X )k f ( x )dx для НСВ
n
n
Центральные моменты
0
M
(
)1 ;
• Если k = 0, то 0
• если k = 1,то
1 M ( ) M X M ( X )
1
1
•
;
M( X ) M( X ) 0
• если k = 2, то
2
•
,
2 M X M ( X ) D( X )
• т. е. дисперсия СВ есть центральный
момент второго порядка этой
величины: D( X ) 2
Центральные моменты
• Теоретически при симметричности
кривой распределения все
центральные моменты нечетных
порядков равны нулю, т.е.
2i 1 0 i 1,2,...,n
• Практически это свойство используется
для характеристики асимметрии
(скошенности) кривой распределения.
• Вводится коэффициент асимметрии А:
3
A 3 ,
x
• где 3 – центральный момент 3-го
порядка, а x – ср. кв. отклонение СВ
• Центральный момент 4 4-го порядка
используется для характеристики
положения вершины кривой
распределения относительно эталона –
т.н. нормального распределения, для
которого отношение
4
•
.
4
x
3
• Вводится числовая характеристика ,
называемая эксцессом кривой
распределения и вычисляемая как
4
E 4 3
x
Дополнительные числовые
характеристики
• Используются для более детального
изучения случайной величины.
• Отнесем к ним моду
Mo
и медиану
Mе
.
Мода
• Модой случайной величины называется
такое значение этой СВ, которому
соответствует максимальная плотность
вероятности, т. е.
f x Mo . max
•
• Другими словами, мода – это наиболее
часто встречающееся значение СВ.
Медиана
• Медианой называется срединное значение
СВ, т. е. такое ее значение x Mе, при
котором :
1
P( X Me ) P( X Me ) .
2
• Медиана делит площадь под кривой
распределения на две равновеликие части.