Transcript Пример
ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ В ПСИХОЛОГИИ В.Е. Дубровский Интуитивное понятие измерения: Сравнение измеряемых объектов с эталоном и приписывание им чисел. -- Всякое ли измерение связано с наличием эталона? -- Всякое ли измерение связано с приписыванием просто чисел? -- Нечисловые оценки Конечная цель: Мы хотим, оперируя числами, получать информацию о реальных объектах. Шкала должна сохранять структуру измеряемых объектов. Строгое определение будет дано далее. Пример: Шкала твердости минералов Мооса используется для указания твёрдости минералов, определяется по тому, какой из десяти стандартных минералов царапает тестируемый, и какой материал из десяти стандартных царапается тестируемым. Условие "ai тверже a j" означает, что минерал ai царапает минерал a j Результат сравнения минералов записывается как отношение предпочтения ai aj f ai шкала твердости: f : ai a j f ai f a j Пример: Сравнение палочек A a ,b ,c ,... множество палочек Сравнение: "a длиннее b" a b Операция соединения палочек: c a b f : A a такая, что b f(a) f(b) f(a b) f(c ) f(a) f(b) Такая функция называется длиной Измерение с эталоном: При помощи операции соединения строится стандартная последовательность a0 a1 a0 a0 2a0 a2 a1 a0 3a0 .......................... Процедура измерения: an1 b an Чтобы числа несли информацию об объектах, множество объектов должно обладать структурой, т.е. между объектами должны быть заданы какиелибо отношения. Тогда им будут соответствовать некоторые отношения на числовой структуре. Процедуры измерения, глубоко связаны с содержательными вопросами, так как при этом требуется установить некоторые отношения между измеряемыми объектами. Схема: Берутся интуитивно приемлемые или согласованные с экспериментом представления о свойствах объектов, принимаются за аксиомы, и далее строится математическая теория. Примеры отношений для пар объектов: Сравнение, сходство, одинаковость, предпочтение, соединение и т.п. Пусть заданы два множества A a1 ,a2 ,... a ,и B b1 ,b2 ,.. b Декартово произведение множеств множество, составленное из упорядоченных пар A B a ,b Пример: A C,D B 3,7,8 A B C,3 , C,7 , C,8 , D,3 , D,7 , D,8 Декартов квадрат: A A A2 На множестве A a задано бинарное отношение R , если в декартовом квадрате этого множества выделено некоторое подмножество R A2 (оно обозначается тем же символом R) Запись : aRb или R( a ,b ) aRb a находится в отношении R к b, т.е. a ,b R aRb a не находится в отношении R к b, т.е. a ,b R Примеры бинарных отношений: • “Быть однофамильцем” • “Быть родственником” • “Быть родителем” • “Быть похожим” • “Учиться в одной группе” • “Сидеть в одном ряду” • “Сидеть не дальше от сцены” .................................... Свойства бинарных отношений Примеры формального определения бинарных отношений на эмпирическом множестве иллюстрируют процесс построения процедуры измерения 1. Рефлексивность a A aRa или a,a R Примеры: Отношение родства – рефлексивно “Быть родителем” – не рефлексивно “Быть похожим” - рефлексивно 2. Симметричность a,b A : aRb bRa Примеры: “Быть похожим” – симметрично “Быть родителем” – не симметрично 3. Транзитивность a,b ,c A : aRb и bRc aRc Примеры: “Учиться в одной группе” – транзитивно “Заниматься в одном кружке” – не транзитивно “Быть вкуснее” – транзитивно (?) 4. Асимметричность a,b A : aRb bRa Примеры: “Быть родителем” – асимметрично “Больше” – асимметрично Отношение родства - не асимметрично, т.к. оно рефлексивно: a A aRa или a,a R 5. Антисимметричность a ,b A : aRb и bRa a b Примеры: x, y :x y иy xx y - антисимметрично “Сидеть в одном ряду” – не антисимметрично 6. Отрицательная транзитивность a,b,c A : aRb и bRc aRc Примеры: Отношение “>” - отрицательно транзитивно “Учиться в одной группе” – не отрицательно транзитивно 7. Строгая полнота a,b A : aRb или bRa Примеры: “Сидеть не дальше” – строго полное “Быть родственником” – не строго полное 8. Полнота a,b A, a b : aRb или bRa Примеры: x , y , x y x y или y x - Полнота Отношение эквивалентности по определению: Рефлексивно Симметрично Транзитивно Обозначение: a b Примеры: “Учиться в одном классе” “Сидеть в одном ряду” Назовем разбиением множества A на классы семейство подмножеств Ai A таких, что: 1. A1 A2 A3 ... Ai A i 2. i j Ai Aj Таким образом, каждый элемент a A принадлежит одному и только одному классу: a Ak Теорема: Каждое отношение эквивалентности порождает разбиение, элементами которого являются классы эквивалентности. И обратно, если задано разбиение, то оно определяет отношение эквивалентности. Отношение эквивалентности – математическая конструкция для описания совпадений Отношение порядка – математическая конструкция для описания предпочтений Любое предпочтение можно истолковать, как бинарное отношение. Необходимые свойства: 1.Транзитивность или отрицательная транзитивность 2. Антисимметричность или Асимметричность (т.е. свойство несимметричности предпочтения) 3. Полнота или строгая полнота. свойства бинарных отношений Рефлексивность a A aRa или a,a R Симметричность a,b A : aRb bRa Транзитивность a,b ,c A : aRb и bRc aRc Асимметричность a,b A : aRb bRa Антисимметричность a ,b A : aRb и bRa a b Отрицательная транзитивность a,b,c A : aRb и bRc aRc Строгая полнота a,b A : aRb или bRa Полнота a,b A, a b : aRb или bRa отношения порядка КвазиСлабый Просто порядок порядок й порядок Рефлексивность Строго Просто й порядок Строго Частичный Строго слабый порядок частичный порядок порядок * * Симметричность Транзитивность * * * Асимметричност ь Антисимметричность * * Полнота * * * Отрицательная транзитивность Строгая полнота * * * * * * * Слабый порядок: Транзитивность и строгая полнота: a,b ,c A : aRb и bRc aRc a,b A : aRb или bRa Линейный порядок: Слабый порядок + антисимметричность: a ,b A : aRb и bRa a b Теорема: Слабый порядок порождает на множестве отношение эквивалентности Пусть R слабый порядок. Тогда aRb и bRa a b Изоморфизм бинарных отношений а1 a2 f(a) b b1 b2 a1 Ra2 f ( a1 )S f ( a2 ) b1Sb2 Другая форма записи: R a1 ,a2 S f ( a1 ), f ( a2 ) Изоморфизм бинарных отношений Пусть на множествах A и B заданы, соответственно, бинарные отношения R A и S B 2 2 Пусть имеется взаимно однозначное отображение (биекция) f : A B и a1 ,a2 A f ( a1 ) b1 f ( a2 ) b2 тогда a1 Ra2 f ( a1 )S f ( a2 ) Бинарные операции a ,b ,c A известно, находятся ли они в отношении R Бинарная операция является триарным (или трех-местным) отношением: R( a,b,c ) A 3 Пример: Быть родителями a и b ребенка c Алгебраической называется бинарная операция, если она однозначно определена для любой упорядоченной пары элементов множества A 2 A a , b A c A : a b = c R a ,b ,c a b = c Пример: Операция сложения на множестве действительных чисел , Изоморфизм бинарных операций а1 а2 а3 f(a) b b1 b2 b3 a1 a2 a3 f ( a1 ) f ( a2 ) f ( a3 ) или b1 b2 b3 Другая форма записи: R a1 ,a2 ,a3 S f ( a1 ), f ( a2 ), f ( a3 ) N-арные или N-местные отношения Определим иножество A A A ... A A N , элементами которого являются упорядоченные наборы элементов ai A : ( a1 ,a2 ,...aN ) A N Будем говорить, что задано N-арное отношение R , если выделено некоторое подмножество R A N Примеры тернарного (или 4-местного) отношения: Ехать в одном купе Отношение предпочтения между парами объектов ( a ,b ) ( c ,d ) Изоморфизм N-арных отношений Пусть на множествах A и B заданы, соответственно, N-арные отношения R A и S B Пусть имеется биекция N N f :A B тогда ( a1 ,a2 ,...aN ) A N : R( a1 ,a2 ,...aN ) S( f ( a1 ), f ( a2 ),... f ( aN )) Структуры Пусть на множестве A заданы k арные отношения Ri( ki ) ( k1 ) ( k2 ) ( k3 ) ( kn ) Тогда A A, R1 , R2 , R3 , Rn называется структурой Две структуры изоморфны, если существует биекция между их носителями, обеспечивающая изоморфизм всех отношений. Если элементами множества A являются эмпирические объекты, то структура называется эмпирической. Если A – подмножество числовой оси, то структура называется числовой Примеры: Эмпирическая структура: множество палочек с отношением “не длиннее” и операцией объединения A, Алгебраическая структура: Числовая ось с отношением “больше или равно” и операцией сложения , ,, Подструктурой называется сужение отношений структуры на некоторое подмножество области структуры. Пример: Операция сложения на множестве целых чисел. Определение шкалы Будем говорить, что задана шкала, если задана эмпирическая структура A , числовая структура B , и гомоморфизм : A B , где B B - подструктура. A ,B , числовая шкала, заданная на эмпирической структуре Допустимое преобразование f: - допустимое преобразование, если A ,B ,f также является шкалой. Шкалой наименований или классификацией является такая шкала, для которой допустимым преобразованием является любая биекция Пример: Номера спортсменов Абсолютной шкалой называется шкала, для которой допустимым преобразованием является тождественное преобразование. Пример: Число студентов в группе Шкалой порядка является шкала, для которой допустимым преобразованием является любая монотонная функция Функция называется монотонной, если x1 x2 f x1 f x2 Пример: Шкала оценок Шкалой интервалов является шкала, для которой допустимым преобразованием является линейная функция: f( x ) x ( 0) Пример: Температурные шкалы Цельсия, Фаренгейта, Реомюра и т.п. Шкалой отношений является шкала, для которой допустимым преобразованием является преобразование подобия: f ( x ) x ( 0) Пример: Длина в сантиметрах, метрах, дюймах и т.п.