Transcript Näide

Mai 2012
Katrin Karm
Noarootsi Gümnaasium
MISTAHES KOLMNURGA LAHENDAMINE
KOLMNURGA PINDALA KAHE KÜLJE JA
NENDEVAHELISE NURGA JÄRGI (1)
Oleme seni arvutanud kolmnurga pindala
valemiga S 
ah
.
2
Tuletame kolmnurga pindala valemi kahe külje
ja nende külgede vahelise nurga järgi.
KOLMNURGA PINDALA KAHE KÜLJE JA
NENDEVAHELISE NURGA JÄRGI (2)
Olgu kolmnurga ABC küljed a, b ja c ning nende
külgede vastasnurgad vastavalt  , ja  .
Teeme joonised kahel erineval juhul, ühel juhul
on  teravnurk ja teisel juhul nürinurk.
KOLMNURGA PINDALA KAHE KÜLJE JA
NENDEVAHELISE NURGA JÄRGI (3A)
NURK GAMMA = NURK C
KOLMNURGA PINDALA KAHE KÜLJE JA
NENDEVAHELISE NURGA JÄRGI (3B)
NURK GAMMA = NURK C
KOLMNURGA PINDALA KAHE KÜLJE JA
NENDEVAHELISE NURGA JÄRGI (4)
Tervanurksest kolmnurgast h  b sin  ja
nürinurksest kolmnurgast saime h  b sin   .
Kuna sin    sin(180   )  sin  , siis ka
nürinurkses kolmnurgas h  b sin  .
0
KOLMNURGA PINDALA KAHE KÜLJE JA
NENDEVAHELISE NURGA JÄRGI (5)
Asendame saadud
kõrguse pindala
valemisse.
h  b sin 
S 
ah
2
Saime uue pindala
valemi
S 
ab sin 
2
KOLMNURGA PINDALA KAHE KÜLJE JA
NENDEVAHELISE NURGA JÄRGI (6)
Tuletatud pindala valem kehtib suvalise kahe
külje ja nendevahelise nurga korral, seega
S 
ac sin 
2
ja
S 
bc sin 
.
2
Teoreem. Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja
nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega.
Õ ül 850 I ja 851.
MEELDETULETUSEKS
Ül 1. Leia rööpküliku pindala, kui selle küljed on
100 cm ja 20 dm ning üks sisenurk on 75 .
Ül 2. Arvuta võrdkülgse kolmnurga pindala, kui
selle külg on 12cm.
SIINUSTEOREEM (1)
Teoreem. Kolmnurga küljed on võrdelised
vastasnurkade siinustega.
a
b
c
Kehtivad võrdused
.


sin 
sin 
sin 
Eeldus: On antud kolmnurk ABC külgedega a, b ja
c ning nende vastasnurkadega  ,  ja  .(joonis)
Väide: a  b  c .
sin 
sin 
sin 
SIINUSTEOREEM (2)
Tõestus: Kirjutame kolmnurga ABC pindala välja
erinevate külgede kaudu:
ab sin 
2

ac sin 
bc sin  .

2
2
Jagame võrdusi teguriga
abc
2
.
SIINUSTEOREEM (3)
Saame
ehk
sin 

sin 

sin 
c
b
a
a
b
c
sin 

sin 

sin 
.
m.o.t.t.
SIINUSTEOREEM (4)
Näide 1. Lahenda kolmnurk, kui a = 40, α = 50˚
ja β = 60˚.
Antud:
Lahendus:
SIINUSTEOREEM (5)
Näide 2. Lahenda kolmnurk, kui a = 68, b = 92,1
ja α = 42˚.
Antud:
Lahendus:
SIINUSTEOREEM (6)
NB! Kui esimene leitav nurk asub pikema külje
vastas, siis võib tekkida kaks kolmnurka (N2).
Õ ül 870 I, 871 jne