Метод областей на координатной плоскости
Download
Report
Transcript Метод областей на координатной плоскости
Метод областей на
координатной плоскости
Решение задач с параметрами
Метод интервалов на координатной прямой и метод
областей на координатной плоскости.
Точка x a разбивает
числовую прямую на два
множества, задаваемые
неравенствами x a и x a
Всякая действительная кривая на
координатной плоскости, заданная
уравнением F x , y 0 разбивает
координатную плоскость на
конечное число областей, в каждой
из которых для всех точек области
выполняется только одно из
неравенств: F x , y 0 или F x , y 0
Заметим, что переменные, входящие
в уравнение, задающее кривую,
могут иметь другие идентификаторы
xa
xa
xa
x
y
F x, y 0
F x, y 0
F x, y 0
x
Примеры
Всякая прямая, заданная
уравнением y kx p ,
разбивает плоскость на
области, в каждой из
которых выполняется одно
из неравенств: y kx p или y kx p
Прямая, заданная уравнением x c ,
разбивает координатную плоскость
на области, в каждой из которых
выполняется одно из неравенств:
или x c , или x c
y
y kx p
y kx p
0
x
y kx p
xc
y
xc
xc
x
0
y k 1 x p1
y
Решением системы неравенств
с двумя переменными являются
координаты точек пересечения
множеств, удовлетворяющих
одному из неравенств системы
0
y
y
k1 x p1
k2 x p2
x
y k2 x p2
Задача
y
Пусть M – множество точек плоскости с
координатами x ; y таких, что числа x , y , 6 2 x
являются сторонами некоторого
треугольника. Найдите его площадь.
Решение. Если три числа являются
сторонами некоторого треугольника, то
это числа положительные и каждое из них
меньше суммы двух других чисел.
Поэтому, координаты точек,
удовлетворяющих условию задачи, будут
задаваться системой линейных неравенств
с двумя переменными:
0
0
0
x y 6 2x
y x 6 2x
6 2x x y
0 x 3
y 0
y 3x 6
y 6 x
y 6 3x
6
5
4
3
2
1
x
0
1
2
Находим площадь:
3
S 6
4
Уравнение y k x x0 y 0 задает
множество прямых, проходящих через
точку с координатами x ; y .
0
0
При изменении значений параметра
прямые y k x x0 y 0 «поворачиваются»
вокруг данной точки. При увеличении
параметра прямая поворачивается
«против часовой стрелки», при уменьшении
– «по часовой стрелке».
Уравнение y kx p при фиксированном
значении параметра k k 0 задает семейство
прямых, параллельных
k 0
y0
y 0 kx0 p
x
0
x0
k0
y k0 x p, p 0
y
прямой y k 0 x , проходящей через начало
координат.
Если точка с координатами x0 ; y 0
лежит «выше» прямой заданной
уравнением y kx p , то ее
координаты удовлетворяют неравенству
y 0 kx0 p
, если же
точка лежит «ниже», то неравенству
k 0
y
y k0 x
x
0
y k0 x p, p 0
y
y 0 kx0 p
x
y 0 kx0 p
0
y kx p
Задача.
Вариант ЕГЭ-2010
Задача С-5
Найдите все значения параметра a , при каждом из которых
общие решения неравенства y 2 x a и y x 2 a
являются
решениями неравенства 2 y x a 3 .
Решение. Общие решения двух неравенств – решение системы
этих неравенств. Так как каждое из неравенств – линейное, с
двумя переменными, то их общие решения образуют некоторое
множество точек на координатной плоскости. Границами
области при каждом значении параметра будут являться
прямые, заданные уравнениями y 2 x a и y x 2 a. Первая из
yx .
них – прямая, параллельная прямой y 2 x, а вторая y
y x 2a
0
x
y 2 x a
Рассмотрим неравенство 2 y x a 3
Преобразуем его к виду
y 1 x a3
2
2
y 1 x a, 3
Область, в которой выполняется неравенство
2
2
1
a
3
расположена выше прямой
y
x
2
2
y
y 1 x a3
2
2
0
x
y
y x 2a
1
2
0
3
x
y 2 x a
Решение:
Общие решения первых двух неравенств будут
являться решениями третьего неравенства, если
точка пересечения первых двух прямых будет
лежать выше третьей прямой.
Найдем координаты точки пересечения первых двух
прямых:
xa,
y 2x a
3 x a 0,
3
y x 2a
y x 2a
y 5a
3
Так как точка пересечения прямых расположена
выше прямой, заданной уравнением 2 y x a 3 , то
10
1
9
a a a3 a
3
3
8
Ответ:
9
8
;
ГМТ на плоскости
Множество точек плоскости,
равноудаленных от данной точки
на расстояние, равное
положительной величине R,
называется окружностью.
2
y b R2, R 0
2
Множество точек, удаленных от
данной точки на положительное
расстояние, меньшее R,
называется кругом. Круг задается
неравенством
x a
x
Уравнением окружности
называется уравнение вида
x a
y
2
y b R2, R 0
2
Множество точек, лежащих вне
круга, задается неравенством
x a y b R2, R 0
2
y
2
x
ГМТ на плоскости
Квадратным трехчленом
относительно переменной,
называется выражение
y
y
y
ax 2 bx c, a 0
Графиком квадратного трехчлена
является кривая, называемая
параболой.
Расположение параболы зависит
от знака старшего коэффициента
и знака дискриминанта
квадратного трехчлена D b 2 4 ac
Парабола разбивает плоскость на
часть, лежащую «над»
параболой и лежащую «под»
параболой. Первая задается
неравенством y ax 2 bx c , а
2
вторая – y ax bx c
x
x
y
y
y
x
x
x
x
Примеры
Постройте
неравенств:
Найдите
ГМТ, заданное системой
x2 y 2 16
x y0
площадь фигуры, координаты
точек которой, являются решением
системы неравенств
Решение:
y
6
5
4
3
2
1
2
1
0
1
2
3
x
ГМТ на плоскости
Дробно-линейной называется функция
ax b
вида
y
,c0
y
cx d
Графиком дробно-линейной функции
является кривая, называемая
гиперболой и состоящая из двух частей
– «ветвей» гиперболы.
y
x
0
Прямые cx d 0 и y a называются
c
асимптотами графика
Асимптоты разбивают координатную
плоскость на 4 части – четверти.
График расположен либо в 1 и 3, либо
во 2 и 4 четвертях. Для определения
расположения достаточно построить
асимптоты и хотя бы одну точку
графика.
a
c
cx d 0