Transcript Чудеса в квантовой механике

Чудеса квантовой механики
Владислав Курин
“Лекция для аспирантов”,
ИФМ РАН, 25 октября 2012 г.
Что за чудеса?
•
•
•
•
Измерения без взаимодействия
Квантовый эффект Зенона
Парадокс ЭПР
Квантовая телепортация
Это квантовая механика индивидуальных систем,
а не ансамблей!
Нобелевская премия по физике 2012
David J. Wineland
Serge Haroche (right) and
assistant Igor Dotsenko (left)
Serge Haroche and David J. Wineland
"for ground-breaking experimental methods that enable
measuring and manipulation of individual quantum systems"
Чем я пользовался при подготовке?
•
•
•
•
Оригинальная литература
Л.И. Мандельштам, Лекции по квантовой механике
R. Penrose, The Road to Reality
Википедия
• М.Г. Иванов (МФТИ),http://www.intuit.ru/video
2 Лекции по квантовой механике
Основы квантовой механики
• Вектор состояния или волновая функция
  (q )
• Уравнение Шредингера
i   ( q )  Hˆ   ( q )
 , q  дискретные и непрерывные переменные
Это полностью детерминированная
часть квантовой механики!
Однако,  ( q ) называется амплитудой вероятности!
  (q )
2
плотность вероятности q и вероятность ν!
Статистическая часть. Правило Борна
Дискретный спектр
 (q ) 
с
n
n
( q ), где Aˆ n ( q )   n n ( q )
n
p ( n ) | сn |
2
вероятность, что при измерении физической
величины A мы получим собственное значение λn
Сплошной спектр
 (q ) 
p ( a ) | сa |
сa
 с a a ( q )da ,
Aˆ a ( q )  a  a ( q )
сейчас это плотность вероятности
физической величины A
2
амплитуда вероятности – комплексное число!
a2

p ( a )da 
 | с a | da
2
a1
вероятность-интеграл
Измерение как проекция
Измеритель физической величины
это проектор
Tˆa  a
a
a
 Tˆ
Сумма всех проекторов
a


a  1ˆ
a
вероятность исхода измерения с результатом a
2
2
ˆ
Pa  |  | Ta |   |  |  |  a  |   a
2
Редукция волновой функции при измерении
 

a
a
a
Если получен результат a, то волновая
функция после измерения есть
a
a 
Измерение, как взаимодействие
Hˆ  Hˆ x  Hˆ y  Vˆ ( x , y , t )
x
До взаимодействия
 ( x , y )   0 ( x ) 0 ( y )
y
После взаимодействия
 ( x, y ) 
 c
i
i
( x ) i ( y )
i
Измерение, это выбор какого-то одного
члена этой суммы
Как это работает. Примеры.
Поляризация фотона.
Измеритель поляризации-призма Глана
 cos  
  E

sin



y
k
x
Вертикальная поляризация испытывает полное внутреннее
отражение, а горизонтальная-проходит
Фотон – всегда целая частица!
 Ex 

  cos 
 Ey 
1
   sin 
0
0
 
1
cos 
вероятность того, что на выходе
будет фотон x поляризации
sin 
вероятность того, что на выходе
будет фотон y поляризации
2
2
Призма Глана-Тейлора
Полупрозрачное зеркало
|R|
|T |
1
с вероятностью
а с вероятностью
2
|T |
2
2
фотон летит вправо,
2
фотон летит вверх,
|R|
Прибор Штерна-Герлаха
Анализатор поляризации частиц с магнитным моментом
m 
z
e
gs
2mc
F  m   B
Измеритель Z проекции спина
S
z
N
 1 
1
0
 
   1    2  
0
1
 2 
с вероятностью
| 1 |
а с вероятностью
| 2 |
2
2
электрон летит вверх,
вниз
Эксперимент Штерна-Герлаха
Квантовая интерференция
x
1
R1
D
S
 1  2 ~
R2
e
ikR1
R1

e
ikR 2
R2
2
Амплитуда попадания из S в D
  D S  D 1 1 S  D 2
D S  D G S 
2 S   1  2
Принцип Гюйгенса-Френеля
Вероятность попадания из S в D

2
  1  2
2
 1
2
2
2
Измерение без взаимодействия
|R|

2
S
2
|T |
2
D2

D1
Если сработал детектор 1 и не сработал детектор 2, то фотон полетел вверх,
и ни с чем не взаимодействовал!
Avshalom C. Elitzur, Lev Vaidman, Quantum Mechanical InteractionFree Measurements, Foundations of Physics, Vol. 23, No. 7, 1993
Продвинутый вариант
Интерферометр Маха-Цандера
D2
Настраиваем так, чтобы
D2 S  0
D1
D3
S
R
i
,T 
1
2
2
Детектор 3 нарушает когерентность!
Если сработал детектор 2, то это значит, что в плече есть детектор 3.
Но сам детектор 3 может и не сработать.
Мы обнаруживаем объект не взаимодействуя с ним!
Модификация Пенроуза
Интерферометр Маха-Цандера
D2
D1
Фактически, исправная
бомба-это детектор 3
D3
S
Если бомба исправна, то плечи интерферометра некогерентны!
Если сработал детектор 2 и бомба не взорвалась,
то, мы утверждаем, что бомба исправная!
Теория эффекта
Интерферометр с глухим зеркалом или неисправной бомбой. Пути когерентны!
D2 S    R  T
2
e
2
2 ikL
 0,
D1 S   2 R T e
1
2 ikL
Интерферометр с исправной бомбой. Пути некогерентны!
Появилось новое квантовое число – состояние бомбы
S , B
B
начальное состояние, фотон в источнике, бомба не взорвана
D1 , B  , D 2 , B  , D 2 , B  , D 2 , B 
D1 , B  S , B    R T e
2 ikL
2
D2 , B S , B   R e
2 i kL
D1 , B  S , B    R T e
i ( k  k ') L
2
D 2 , B  S , B   T e
2
Конечных состояний 4
i ( k  k ') L
D2 , B S , B
 0.25
Увеличение эффективности обнаружения
D1
y
x
D2
B
D1
D2
Paul Kwiat, Harald Weinfurter, Thomas Herzog, Anton Zeilinger, Mark
A. Kasevich Interaction-Free Measurements, PRL, 74, No. 24, 1995
Теория. Трансфер-матрица
x
 x n 1 
ˆ  n ,

T




 y n 1 
 yn 
R
Tˆ  
T
T 
,
R
1 1
N 1
N 1  1
Tˆ
 STd S , S 

2 1
x
 x N 1 
ˆ N 1  0 

T


 
 y N 1 
 y0 
1
R T
1  1 1
1
,
S

,
T

S
TS



 d

1 
2  1 1
 0


R T 
0
Чтобы ничего не попадало в D2
1
2
N 1
1

1
1   R  T

1 
0


N 1
R  i cos
  1 1  R   0 

    
N 1 

 R  T    1 1  T   1 
0

2 N  2
; T  sin

2 N  2
Ставим бомбу и вычисляем вероятность того, что фотон пройдет по нижнему пути в D2
Pbot  R
2N
 cos
2N

2  N  2
; Ptop  1  P  1  cos
2N

2

 
 1  1 
2 
2  N  2
8
N


2N

вероятность взрыва бомбы (фотон пройдет по верхнему пути)→0 !

2
4N
Эффект Зенона-заморозка состояния
Парадокс Зенона Элейского «Стрела»
Сначала «Антизенон»
N поляроидов
На одном поляроиде
Ptr  cos   ; Pabs  sin   ;
2
2
Выйдет фотон с поляризацией последнего поляроида.
1
  
В осях последнего поляроида это будет чистое состояние
0
Вероятность поглощения на N поляроидах
Pabs  1  cos
2N
2

  
  1  1 

2





2N
 0 
2
0
2
 N    N 
 0
 
N
 N 
2
Эффект Зенона
Пример. Фотон в среде с естественной оптической активностью.
1  1  ik1 z
1  1  ik 2 z
 
 e 
 e
i
2 
2  i 
две циркулярно поляризованные
волны с разными скоростями
Вероятность сохранения состояния после N измерений
P  cos
2N
2

  
  1 

2





2N
 1  N     1 
2
0
2
1
N
Измерение может заморозить временную эволюцию системы!
ЭПР парадокс
Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена в модификации Бома
Пусть есть сложная нестабильная частица,
состоящая из двух частиц со спином 1/2
 
    
синглет
s  0
ЭПР пара
2
  
  
  
  
Эйнштейна думал, что здесь парадокс !
Сейчас это квантовые корреляции!
Телепортация 1
t
Bob
Alice
Friend
1      

 2 ,3 
Классический канал
2
3  2
3
2
Волновая функция 3 частиц

 1, 2 ,3    1    1
2

1
3

2
3  2
3
2
 2 ,3
1
x
Bennett C., Brassard G., et al., Teleporting of unknown quantum state via classical
and EPR channels, PRL , 70, 1895 (1993).
Телепортация 2
Alice делает измерения над 1 и 2 проектируя их на

 1, 2

1  2  1  2

1  2  1  2
 1, 2


 1, 2
2
2
 1, 2 ,3 
1
  1, 2
2
 
3   3

 1, 2


3   3

 
3   3

 1, 2


3   3
 
Алиса получает один из 4 результатов и сообщает их Бобу.
Теперь Боб знает квантовое состояние своей частицы. Это, одно из
 3

 


;

 1

 0
0
 3 ;
1
0

1
1
 3 ;
0
Применяя оператор конечного вращения,
Боб восстанавливает состояние частицы 1
0

1
1
 3 ;
0 


Uˆ  cos  i ( n σ ) sin ;
2
2
Есть ещё много чего в КМ
• Парадоксы
– кот Шредингера
– мышь Эйнштейна
– друг Вигнера
• Квантовая информация
– криптография
– вычисления
Спасибо за внимание.