Transcript Часть 8.
ИДЕНТИФИКАЦИЯ И
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ДИНАМИЧЕСКИМИ
ОБЪЕКТАМИ
Дискретные динамические модели
стохастических объектов
В динамическом режиме поведение объектов описывается различными
динамическими
уравнениями:
обыкновенными
дифференциальными,
интегральными, интегродифференциальными уравнениями; уравнениями с
запаздываниями; уравнениями в частных производных и их дискретными
аналогами. С целью упрощения будем рассматривать наиболее простые
дискретные модели. Последние выбраны именно потому, что получаемые
алгоритмы идентификации и управления напрямую реализуемы на цифровой
вычислительной технике (мини-,микро-ЭВМ, микропроцессоры).
Дискретные модели привязаны к номерам дискретных моментов времени и
поэтому основным аргументом для входных u(t) и выходных
x(t), y(t)
переменных является номер дискреты t = 0, 1, 2,…
Например:
x(t ) Ax(t 1) Bu(t 1), t 1, 2, ..., x(0) x0
x(t ) f ( x(t 1), u(t 1),(t 1), ), t 1, 2, ..., x(0) x0
Дискретные динамические модели
стохастических объектов
Считаем, что объект описывается дискретным уравнением:
x(t ) ax(t 1) bu(t 1) e(t ) ce(t 1), t 1, 2, ... .
Модель имеет вид:
y (t ) ax(t 1) b u (t 1) с ( x(t 1) y (t 1))
e( t )
q
c
u( t )
q
b
(t )
a
x (t )
q
Дискретные динамические модели
стохастических объектов
Если объект имеет вид:
x(t ) ax(t 1) b(u(t 1) e(t 1))
То оптимальная модель имеет вид:
y (t ) ay (t 1) b u(t 1), t 1, 2, ... .
e( t )
u( t )
q
b
x (t )
a
q
Подстройка параметров
с использованием функций чувствительности
Для примера рассмотрим модель:
y (t | (t )) a (t ) x (t 1) b (t )u(t 1) c (t )[ x (t 1) y (t 1 | (t ))]
T
Построим алгоритм расчета параметров: (t ) ( a (t ), b (t ), c (t ))
Линеаризуем модель относительно параметров α(t-1) , вычисленных в
предыдущий момент времени:
y(t | (t )) y(t | (t 1)) a (t )a (t ) b (t )b (t ) c (t )c (t ) y(t | (t 1)) T (t )(t )
Здесь y(t|α(t-1)) – выход модели в момент времени t при значениях
параметров, полученных в предыдущий момент времени t-1
y(t | (t 1)) a(t 1) x(t 1) b (t 1)u(t 1) c (t 1)[ x(t 1) y(t 1 | (t 1))]
ω(t) – вектор-столбец функций чувствительности выхода модели к
параметрам модели.
Подстройка параметров
с использованием функций чувствительности
Функции чувствительности удовлетворяют уравнениям чувствительности:
a (t ) c (t 1)a (t 1) x(t 1), a (0) 0
b (t ) c (t 1)b (t 1) u(t 1), b (0) 0
c (t ) c (t 1)c (t 1) ( x(t 1) y (t 1 (t 1))), c (0) 0
Каждое уравнение чувствительности получается дифференцированием
уравнения модели по соответствующему параметру.
Для расчета параметров α(t) можно использовать, например, простейший
адаптивный алгоритм:
(t )( x (t ) y (t ( (t 1))
(t ) (t 1)
T (t )(t )
Применение простейшего адаптивного
алгоритма
Рассчитаем параметры линейных и нелинейных динамических моделей на
основе простейшего адаптивного алгоритма.
(t )( x (t ) y (t ( (t 1))
(t ) (t 1)
T (t )(t )
Пример: Рассмотрим модель без обратной связи:
y ( t ) ai x ( t i ) b j u (t j )
n
m
i 1
j 1
Функциями чувствительности выхода модели к ее параметрам являются
измеренные значения выхода и входа объекта:
ai (t ) x(t i ), i 1, n, b j (t ) u(t j ), j 1, m
Применение простейшего адаптивного
алгоритма
В каждый текущий момент времени t на основе измерений x(t);
x(t-1), u(t-1); x(t-2), u(t-2) параметры корректируем по простейшему
адаптивному алгоритму:
x(t ) y (t | (t 1))
ai (t ) ai (t 1) n
x(t i ); i 1, n
m
2
2
(
t
)
ai
b (t )
i 1
j 1
j
x(t ) y (t | (t 1))
b j (t ) b j (t 1) n
u(t j ); j 1, m
m
2
2
(
t
)
ai
b (t )
i 1
j 1
j
m
y (t | (t 1) ai (t 1)x(t i ) b j (t 1)u(t j )
n
i 1
j 1
Применение простейшего адаптивного
алгоритма
Рассмотрим нелинейную модель без обратной связи:
y(t ) f ( x(t 1), u(t 1), 1 , 2 )
Получаем следующие выход модели и функции чувствительности:
y(t | (t 1) f ( x(t 1), u(t 1), 1 (t 1), 2 (t 1))
f ( x (t 1), u(t 1), 1 (t 1), 2 (t 1))
1
f ( x (t 1), u(t 1), 1 (t 1), 2 (t 1))
2 (t )
2
1 (t )
Алгоритм перестройки параметров:
x(t ) y (t | (t 1))
1 (t ) 1 (t 1)
1 (t )
2
2
1 (t ) 2 (t )
2 (t ) 2 (t 1)
x(t ) y (t | (t 1))
2 (t )
2
2
1 (t ) 2 (t )
Адаптивные системы обработки информации
В адаптивных системах обработки информации и управления
происходит приспособление к изменяющимся условиям и
неизвестным характеристикам объекта.
u
z
Объект
управления
x
Р егулятор
фиксированной
структуры
Блок перестройки
параметров
регулятора
Устройство управления
x
u
z
Объект
управления
x
x
Синтезируемый
регулятор
x*
Блок перестройки
параметров модели
Устройство управления
x*
Постановка задачи адаптивного
управления
Рассматриваем адаптивную систему с идентификацией (АСИ). Синтезируем алгоритм
расчета управления (алгоритм работы устройства управления) u(t) в каждый текущий
момент времени t. Исходными экспериментальными данными о входе и выходе объекта.
Необходимо рассчитать управляющее воздействие u(t) , обеспечивающее достижение
следующей цели: наименьшего уклонения выхода системы x от заданной траектории x*
в каждый текущий момент времени.
Считаем, что поведение объекта в динамическом режиме описывается разностным
уравнением:
x(t ) f ( x(t 1), u(t 1), a) (t ), t 1, 2,
Обозначим через y(k|α(t)) выход модели в момент времени k при значении вектора
параметров α(t), вычисленных в момент времени. Если шум – белый, то
y(k | (t )) f ( x(k 1), u(k 1), (t ))
Примеры синтеза устройств управления
для простейших линейных систем
Пример 1. Считаем, что объект описывается уравнением:
x(t ) x(t 1) u(t 1) h(t 1)
h(t )
Формируем модель объекта:
y(k | (t )) x(k 1) u(k 1) (t )
u(t )
q u(t 1)
Находим параметры:
Объект
(t ) x(t ) x(t 1) u(t 1)
I (u ) ( y (t 1 | (t )) x (t 1))
*
2
min
u1 ( t ) u ( t ) u 2 ( t )
Рассчитываем оптимальное управление:
u1 (t ), если v(t ) u1 (t ),
u (t ) v(t ), если u1 (t ) v(t ) u 2 (t ),
u (t ), если u (t ) v(t ).
2
2
x(t 1) q
v (t )
(t )
Из локального квадратичного критерия оптимальности
q
q
x* (t 1)
q
Устройство x(t 1)
управления
x (t )
Примеры синтеза устройств управления
для простейших линейных систем
Пример 2. Объект описывается уравнением:
x(t ) a0 a1x(t 1) a2u(t 1) e(t )
Модель объекта:
y(k | (t )) 0 (t ) 1 (t ) x(k 1) 2 (t )u(k 1)
Параметры:
x(t ) y (t | (t 1))
0 (t ) 0 (t 1)
0 (t 1) (t )
2
2
1 x (t 1) u (t 1)
1 (t ) 1 (t 1) (t ) x(t 1)
2 (t ) 2 (t 1) (t )u(t 1)
Находим управляющее воздействие :
v (t ) 21 (t )( x * | t 1) 0 (t ) 1 (t ) x (t ))
Синтез алгоритмов управления для
линейных систем
Объект:
n
m
i 1
j 1
x ( t ) a 0 a i x ( t i ) a n j u ( t j ) e( t )
e(t )
u(t )
q
q
an1
q
q
a1
q
q
an
1
0
x (t )
a0 1
an m
1
n 1
q
an2
x* (t 1)
1
n2
q
n m
Идентификатор
n
Алгоритмы адаптивного управления
для нелинейных систем
Объект описывается нелинейным разностным уравнением:
x(t ) f ( x(t 1), u(t 1), a, t 1) e(t ), t 1, 2, ... .
e(t )
e(t )
u(t )
q
f ()
x (t )
u(t )
q
a
q
x* (t 1)
q
v(t )
f
1
()
x* (t 1)
(t )
Идентификатор
x (t )
q
q
Управление динамическими системами
с чистыми запаздываниями
Рассматриваем объект, описываемый разностным уравнением:
x(t ) f ( x(t 1), u(t 1 ), a) e(t ), t 1, 2, ... .
Строим модель объекта:
y(k | (t )) f ( x(k 1), u(k 1 ), (t ))
Выход модели находим из критерия наименьших квадратов:
I (u ) ( y (t 1 | (t )) x * (t 1 )) 2
Решение получается в форме
u1, если v(t ) u1,
u (t ) v(t ), если u1 v(t ) u2 ,
u , если u v(t ),
2
2
min
u1 u ( t ) u2
Управление динамическими системами
с чистыми запаздываниями
x* , 5
x (t ),
80 o
60 o
40 o
20 o
0
100
20
40
60
80
100
t
80
100
t
u( t ) [ 0;100]
50
0
0
20
40
60
Пример: на примере гальванической ванны
одного из заводов при однопроцентном уровне
помех
приведены
входная
и
выходная
переменные замкнутой системы управления, а
также
кусочно-постоянный
заданный
температурный режим x*(t). В начальный момент
температура ванны равна 20 С. На первых
двадцати
тактах
происходит
основная
настройка параметров модели, хотя и далее
алгоритм коррекции параметров продолжает
непрерывно
работать.
Если
в
объекте
произойдут
какие-либо
изменения,
то
идентификатор отследит их. После основной
коррекции параметров алгоритм управления
обеспечивает перевод системы на новый
уровень стабилизации за минимальное время и
без перерегулирования.
ВОПРОСЫ ?