Transcript Идентификация динамических моделей объектов
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ
Дискретные динамические модели стохастических объектов
В динамическом режиме поведение объектов описывается различными динамическими уравнениями: обыкновенными дифференциальными, интегральными, интегродифференциальными уравнениями; уравнениями с запаздываниями; уравнениями в частных производных и их дискретными аналогами. С целью упрощения будем рассматривать наиболее простые дискретные модели. Последние выбраны именно потому, что получаемые алгоритмы идентификации и управления напрямую реализуемы на цифровой вычислительной технике (мини-,микро-ЭВМ, микропроцессоры).
Дискретные модели привязаны к номерам дискретных моментов времени и поэтому основным аргументом для входных
u(t)
и выходных
x(t), y(t)
переменных является номер дискреты
t
= 0, 1, 2,… Например:
x
(
t
)
Ax
(
t
1 )
Bu
(
t
1 ),
t
1 , 2 , ...,
x
( 0 )
x
0
x
(
t
)
f
(
x
(
t
1 ),
u
(
t
1 ), (
t
1 ), ),
t
1 , 2 , ...,
x
( 0 )
x
0
Дискретные динамические модели стохастических объектов
Считаем, что объект описывается дискретным уравнением:
x
(
t
)
ax
(
t
1 )
bu
(
t
1 )
e
(
t
)
ce
(
t
1 ),
t
1 , 2 , ...
.
Модель имеет вид:
y
(
t
)
a x
(
t
1 )
b u
(
t
1 ) (
x
(
t
1 )
y
(
t
1 ))
q q c b
(
t
)
a q
Дискретные динамические модели стохастических объектов
Если объект имеет вид:
x
(
t
)
ax
(
t
1 )
b
(
u
(
t
1 )
e
(
t
1 )) То оптимальная модель имеет вид:
y
(
t
)
a y
(
t
1 )
b u
(
t
1 ),
t
1 , 2 , ...
.
q b
a q
Подстройка параметров с использованием функций чувствительности
Для примера рассмотрим модель:
y
(
t
| (
t
)) (
t
)
x
(
t
1 )
b
(
t
)
u
(
t
1 ) Построим алгоритм расчета параметров: (
t
)[
x
(
t
1 )
y
(
t
1 | (
t
))] (
t
) (
a
(
t
),
b
(
t
),
c
(
t
))
T
Линеаризуем модель относительно параметров α(t-1) , вычисленных в предыдущий момент времени:
y
(
t
| (
t
))
y
(
t
| (
t
1 ))
a
(
t
)
a
(
t
)
b
(
t
)
b
(
t
)
c
(
t
)
c
(
t
)
y
(
t
| (
t
1 ))
T
(
t
) (
t
) Здесь y(t|α(t-1)) – выход модели в момент времени t при значениях параметров, полученных в предыдущий момент времени t-1
y
(
t
| (
t
1 ))
a
(
t
1 )
x
(
t
1 )
b
(
t
1 )
u
(
t
1 )
c
(
t
1 )[
x
(
t
1 )
y
(
t
1 | (
t
1 ))] ω(t) – вектор-столбец функций чувствительности выхода модели к параметрам модели.
Подстройка параметров с использованием функций чувствительности
Функции чувствительности удовлетворяют уравнениям чувствительности:
a
(
t
)
c
(
t
1 )
a
(
t
1 )
x
(
t
1 ),
a
( 0 ) 0
b
(
t
)
c
(
t
(
t
) (
t
1 )
b
1 ) ( (
t t
1 )
u
(
t
1 ) (
x
(
t
1 ), 1 )
b
( 0 ) 0
y
(
t
1 (
t
1 ))),
c
( 0 ) 0 Каждое уравнение чувствительности получается дифференцированием уравнения модели по соответствующему параметру.
Для расчета параметров α(t) можно использовать, например, простейший адаптивный алгоритм: (
t
) (
t
1 ) (
t
)(
x
(
t
)
T
y
(
t
( (
t
(
t
) (
t
) 1 ))
Применение простейшего адаптивного алгоритма
Рассчитаем параметры линейных и нелинейных динамических моделей на основе простейшего адаптивного алгоритма.
(
t
) (
t
1 ) (
t
)(
x
(
t
)
T
y
(
t
( (
t
(
t
) (
t
) 1 ))
Пример
: Рассмотрим модель без обратной связи:
y
(
t
)
i n
1
a
i x
(
t
i
)
j m
1
b
j u
(
t
j
) Функциями чувствительности выхода модели к ее параметрам являются измеренные значения выхода и входа объекта:
i
(
t
)
x
(
t
i
),
i
1 ,
n
,
b j
(
t
)
u
(
t
j
),
j
1 ,
m
Применение простейшего адаптивного алгоритма
В каждый текущий момент времени
t
на основе измерений
x(t)
;
x(t-1), u(t-1); x(t-2), u(t-2)
параметры корректируем по простейшему адаптивному алгоритму:
a i
(
t
)
a i
(
t
1 )
x
(
t
)
i n
1 2
a i y
(
t
| (
t
1 )) (
t
)
j m
1 2
b j
(
t
)
x
(
t
i
);
i
1 ,
n
b j
(
t
)
b j
(
t
1 )
x
(
t
)
y
(
t i n
1 2
a i
(
t
) | (
t
1 ))
j m
1 2
b j
(
t
)
u
(
t
j
);
j
1 ,
m y
(
t
| (
t
1 )
i n
1
a i
(
t
1 )
x
(
t
i
)
j m
1
b j
(
t
1 )
u
(
t
j
)
Применение простейшего адаптивного алгоритма
Рассмотрим нелинейную модель без обратной связи:
y
(
t
)
f
(
x
(
t
1 ),
u
(
t
1 ), 1 , 2 ) Получаем следующие выход модели и функции чувствительности:
y
(
t
| (
t
1 )
f
(
x
(
t
1 ),
u
(
t
1 ), 1 (
t
1 ), 2 (
t
1 )) 1 (
t
) 2 (
t
)
f
f
(
x
(
t
(
x
(
t
1 ), 1 ),
u
(
t u
(
t
1 ), 1 1 ), 1 1 2 (
t
(
t
1 ), 2 1 ), 2 (
t
(
t
1 )) 1 )) Алгоритм перестройки параметров: 1 (
t
) 2 (
t
) 1 (
t
2 (
t
1 ) 1 )
x x
(
t
) (
t
) 2 1 ( 2 1
t y
(
t y
) ( ) (
t
t
| | 2 2 (
t
(
t
) 1 )) ( 2
t
2 (
t
1 ) )) 1 2 (
t
(
t
) )