Transcript Пример 1.

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
XXVI НАУЧНО – ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ
СЕКЦИЯ «МАТЕМАТИКА»
Выполнила : учащаяся
XI информационно-математического класса
МОУ Богучарский лицей
Шведова Мария Александровна
Руководитель: Кобелева Татьяна Васильевна
учитель математики
ВКК МОУ Богучарский лицей
Воронеж
2011 г.
◊ Использование монотонности и
четности функции
◊ Использование ограниченности
функции.
◊ Графический метод
◊ Нахождение области определения
и области значения.
Порядок решения уравнения функциональным
методом:

Определение свойств функции

Нахождение ОДЗ или промежутков
монотонности функции (в зависимости от
свойства функции).

Нахождение корня подбором, решение системы
уравнений
В обеих частях уравнения
стоят функции разного
вида;
Когда применяется:
В одной части уравнения
стоит функция,
ограниченная сверху или
снизу, а в другой –
конкретное число
В одной части уравнения
функция, ограниченная
сверху, а в другой –
ограниченная снизу;
Если в уравнении f(x)=g(x) f(x) – убывающая, а
g(x) – возрастающая, то уравнение имеет не
более 1 корня
Пример 1.
2X = 3 – x
x= 1 является корнем уравнения, т.к. 21=3 – 1
2 = 2 – верное равенство
А т.к. у = 2X – возрастающая, а у = 3 – х – убывающая, то уравнение
корней более не имеет.
Ответ: х=1
Пример 2.
log1/3 x= x – 4
x = 3 – является корнем уравнения, т.к. log1/3 3 = 3 – 4
-1 = - 1 – верное равенство
А т.к. у = log1/3 x – убывающая, а у = х – 4 – возрастающая, то
уравнение корней более не имеет.
Ответ: х = 3
Пример3.
Решить уравнение х²+1 = 2-Х²
х²+1 = 2-Х²
х=0 является корнем уравнения, т.к. 0+1=20
1=1 – верное равенство
А т.к. у= х²+1- возрастающая, а у=2-Х² - убывающая, то
уравнение больше не имеет корней.
Ответ: х=0.
Если в уравнении f(x) = c f(x) – монотонна, а с = const,
то уравнение имеет не более одного корня.
Пример 1.
Уравнение части С ЕГЭ – 2009 года.
Решить уравнение
+
=
Решение.
Заметим, что у=
+
- возрастающая (т.к. сумма двух возрастающих функций –
возрастающая),
=const (т.к. а есть некоторое число). Следовательно, данное
уравнение имеет не более одного корня.
Очевидно, что х =а является корнем уравнения, т.к.
+
=
+
=
=
- верное равенство.
Ответ: х=а.
Пример 2.
2x + 3x + 4x = 9x
2x + 3x = 9x - 4x
2x + 3x = (2x + 3x)(2x - 3x )
(2x + 3x) - (2x + 3x)(2x - 3x) = 0
(2x + 3x )(1 – (2x + 3x)) = 0
2x + 3x = 0
или
Т.к. ax > 0, то уравнение
корней не имеет.
Ответ: х = 1
1 – (2x + 3x)=0
1 - 2x - 3x =0
2x + 1 = 3x | : 3x ≠0
(2/3)x + (1/3)x = 1
x = 1 является корнем уравнения.
А т.к. y = (2/3)x – убывающая, у = (1/3)x –
убывающая, следовательно
у = (2/3)x + (1/3)x –убывающая и 1 = const,
то уравнение не имеет больше корней.
Пример3.
Решить уравнение
Решение.
Т.к. у=
+
- возрастающая, у=
= 1.
- возрастающая, а значит и
y=
+
– возрастающая (т.к. сумма возрастающих функций есть функция возрастающая) и 1=const, то уравнение
имеет не более одного корня.
х=1/2 – является корнем уравнения, т.к.
+
=1
+
=1
+
=1
1=1- верное равенство.
Ответ: х=1/2.
Аналитическое решение:
Преобразовав данное уравнение, получим:16х4-32х³+8х²-8х+5=0
Далее воспользуемся теоремой Безу:
Делители 16: ±1,±2,±8…
Делители 5: ±1, ±2, ±5 . . .
Свободный коэффициент 1/2
16х4-32х³+8х²-8х+5 х-1/2
16х4-8х³
16х³-24х²-4х-10
-24х³+8х²-8х+5
-24х³+12х²
-4х²-8х+5
-4х²+2х
-10х+5
-10х+5
0
Теперь уравнение можно представить следующим образом
(х- ½) (16х³-24х²-4х-10)=0
Ответ: х= ½.
Теоремы, связанные с областью определения и
областью значения функции.
Иногда знание области определения или области
значения позволяет быстро и легко найти верное
решение для уравнения.
Пример1.
Решить уравнение
Решение.
Найдем ОДЗ.
= log5(x-3)
3-х≥0
х-3>0
-х≥-3 | ·(-1)
х>3
x≤3
x>3
3
Решив ОДЗ, видим, что уравнение не имеет решений,
значит решать и само уравнение не имеет смысла.
Ответ: .
Пример2.
Решить уравнение
=
Решение.
Найдем ОДЗ данного уравнения.
sinx≥0
-sinx≥0
cosx≠0
sinx≥0
sinx≤0
cosx≠0
+ tgx
y
x
sinx=0
cosx≠0
Решением ОДЗ является х=πn, n Z.
Подставим это значение в уравнение:
=
+ tgπn , n Z.
=
+0
0 = 0 – верное равенство.
Значит, корнем уравнения является х=πn, n
Ответ: х=πn, n Z.
Z.
Если на множестве φ наибольшее значение одной
из функций y=f(x), y=g(x) равно φ и наименьшее
значение другой функции тоже равно φ, то
уравнение f(x)=g(x) равносильно на множестве
φ системе уравнений:
g(x)=φ
f(x) =φ
Пример 1.
x2+3 = cosx + 2
x2 +1 = cosx
y=x2 + 1 : E(f) х2≥0
х2+1≥1
y = cosx : E(f) -1≤cosx≤1
Ответ: x=0
x2 + 1=1
cosx=1
x=0
Пример 2.
Решить уравнение log3(x2 + 4x +13) = cosπx – sin
Решение.
Найдем области значений данных функций
log3(x2 + 4x +13) ≥2, т.к. x2 + 4x +13≥9, т.к. log39=2
cosπx – sin≤2, т.к. cosπx≤1 и – sin≤1
Т.к. первая функция больше или равна двух, а вторая меньше или
равна двух, то данное уравнение равносильно системе
уравнений
log3(x2 + 4x +13) =2
cosπx – sin≤2
Первое уравнение имеет только один корень х=-2, подставляя это
значение во второе уравнение, получаем верное числовое
равенство. Следовательно, корнем уравнения является -2.
Ответ: х=-2
Пример3. Решить уравнение sin5π=x2 – 4x + 5
4
Графически решим уравнение sin
=x2 – 4x + 5. Построим графики функций у= sin
и
у= x2 – 4x + 5. Графиком первой функции является синусоида с периодом 1,5, а графиком
второй функции является парабола, ветви которой направлены вниз.
Построим графики.
Корнем уравнения
У
у= x2 – 4x + 5
будет являться
абсцисса точки
пересечения этих
функций. Очевидно,
что это 2.
2
Х
Но в данное
1
уравнение проще
y = sin x
решить, если
использовать
теорему,
основанную на
ограниченности функции.
Ведь иногда не просто построить график.
Решим данное уравнение, применяя теорему, основанную на ограниченности функции.
1) у= x2 – 4x + 5 – парабола, ветви которой направлены вверх, значит своего минимума
парабола будет достигать в точке с координатами (Хвершины ; Увершины), т.е.
Хв=
Хв= =2, Ув=Х²в - 4Хв +5, Ув=4 -4*2+5 = 1 в точке с координатами (2;1).
2) -1≤sin
≤1
Таким образом, уравнение равносильно системе уравнений
x2 – 4x + 5=1
sin
=1
Второе уравнение имеет единственный корень равный 2. Подставляя это значение во
второе уравнение, получаем верное числовое равенство. Значит, корнем уравнения будет
являться х=2.
Ответ: х=2.
Четность функции
Пример1.
При решении уравнений иногда
очень полезно применять свойства
функции, учитывая
сформулированные теоремы.