Transcript Document
Integrasjon i vektorfelt
Vektorfelt
Innledning
F
F
r
b
f (x)dx
a
f (x, y, z)dV
V
F dr
b
a
FdV
V
Matematikk som bl.a. ingeniører og fysikere
kan benytte til å beskrive / studere:
- Væskestrøm i rør, blodårer, hjertekamre
- Varmestrøm
- Transmisjonskabler
- Gravitasjon
- Elektromagnetisme
- Mobilkommunikasjon
- Statistikk
-…
Vektorfelt
Innhold
Linje-integral
Vektorfelt, arbeid, sirkulasjon of fluks
Vei-uavhengighet, potensial-funksjon, og konservative felt
Flate-integraler og flate-areal
Parameteriserte flater
Greens teorem
Stokes teorem
Divergens teorem
Et vektorfelt er en funksjon
som til hvert punkt i sitt domene (def.mengde)
tilordner en vektor
Vektorfelt
Def
Værkart
Skrått kast
Væskestrøm
Flyvinge
Gravistasjonsfelt
Elektrisk / Magnetisk felt
Vektorfelt
Maxwells ligninger
Kurve-integral
Def
b
z
C en kurve i rommet
C
a
r = r(t) en glatt parameterfremstilling av kurven C
r(t)
y
f en kontinuerlig funksjon på C
x
fds lim f (x , y , z )s
C
P 0
i
i
i
i
i
ds
fds
f
dt
f
v
C
C dt C (t ) dt
Hvis f er massetetthet, så beregner vi massen av kurven
Hvis f er lik 1, så beregner vi lengden av kurven
Kurve-integral
Eks 1
r ( t ) t , t , t
z
t 0,1
En glatt parameterisering av C
(1,1,1)
C
y
fds f
C
C
ds
dt f v( t ) dt
dt
C
t 1
x
f
r
(
t
)
r ' ( t ) dt
t 0
Integrer f(x,y,z) = x –
over linjesegmentet C
som forbinder origo
med punktet (1,1,1)
3y2
+z
t 1
t 3t
2
t 1,1,1 dt
2
t 3dt
t 0
t 1
t 3t
t 0
t 1
3 2 t 3t 2 dt
t 0
3 t2 t3
t 1
t 0
0
Kurve-integral
Eks 2
r (t ) t, t 2
y
t 0,2
M ds
C
C
C
ds
dt v( t ) dt
dt
C
t 2
x
r
(
t
)
r ' ( t ) dt
t 0
t 2
Finn massen av wiren
r(t) = [t,t2]
t 0
t [0,2]
Massetettheten er (x,y) = 2x
2t 1,2t dt
t 2
2t
1 (2 t ) 2 dt
t 0
t 2
2t
1 4 t 2 dt
t 0
t 2
3
1
1
2 2
1 4 t 17 17 1
6
t 0 6
Kurve-integral
Masse - Massesenter - Treghetsmoment
Masse
M ds
C
Første moment
om koordinatplan
Massesenter
M yz xds
M xz yds
C
x
M yz
M
M xy zds
C
xds
C
ds
y
C
M xz
M
z
M xy
M
C
Treghetsmoment
I x y 2 z 2 ds
C
Gyrasjonsradius
RL
C
IL
M
I y x 2 z 2 ds
I z x 2 y 2 ds
C
I L r 2 ds
C
Kurve-integral
Massesenter - Eks
M ds
x
C
M yz
M
xds
C
ds
M
y xz
M
z
M xy
M
C
xy0
Symmetri
π
M δds (2 z)ds δ(r (t)) r ' (t) dt
C
0
π
(2 sint) 1dt 2t cost 0 (2π 1) 1 2π 2
π
0
Bestem massesenteret
til en halvsirkel-periferi
π
π
0
0
M xy zds z(2 z)ds sint(2 sint) 1dt (2sint sin 2 t)dt
C
C
π
π
y2+z2 = 1 z 0
Massetettheten er gitt ved:
(x,y,z) = 2 - z
1 cos(2t)
1
1
8 π
(2sint
)dt 2cost t sin(2t)
2
2
2
2
0
0
8 π
8 π
z
2
M
2π 2 4(π 1)
M xy
C
ds
C
r (t) 0, cost, sint
0tπ
v(t) r ' (t) 0 2 (sint) 2 (cost) 2 1
C
zds
( 0.57)
Arbeid
W F dr
Innledning
C
F
W Fs
Konstant kraft
i samme retning
som rettlinjet forflytning
s
W F s F s cos Fs cos
F
Konstant kraft
danner en konstant vinkel
med rettlinjet forflytning
s
F
W F ds
b
a
ds
F
dr
r
Varierende kraft
danner en varierende vinkel
med rettlinjet forflytning
C
W F dr
C
Varierende kraft
danner en varierende vinkel
med forflytning
langs en kurve
Arbeid
Def
F
T
dr
r
C
dr
W F Tds F ds F dr
ds
C
C
C
dr
W F Tds F d r F dt
dt
C
C
C
Arbeid
F1dx F2 dy F3dz
Alternative former
C
F = [ F1, F2, F3 ]
T
C
dr
W F Tds F ds F dr
ds
C
C
C
dr
F dt F r ' dt F v dt
dt
C
C
C
dr
r = [ x, y, z ]
dx dy dz
F1 , F2 , F3 , , dt
dt dt dt
C
dy
dz
dx
F1 F2
F3 dt
dt
dt
dt
C
F1dx F2 dy F3 dz
C
dr
W F Tds F d r F dt
dt
C
C
C
Arbeid
F1dx F2 dy F3dz
Eks 1 - Alternativ 1
C
r (t ) t ,2t ,3t
r ' (t ) 1,2,3
z
(1,2,3)
t 0,1
En glatt parameterisering av C
C
y
x
Bestem arbeidet utført av
kraften
F = [ 2x, y, 3 ]
langs den rette linjen
fra (0,0,0) til (1,2,3)
dr
W F dr F dt F r ' (t )dt
dt
C
C
C
2 x, y,3 1,2,3dt
C
2t ,2t ,3 1,2,3dt
C
(2t 1 2t 2 3 3)dt
C
t 1
2
(
6
t
9
)
dt
3
t
9t
t 0
t 1
t 0
12
dr
W F Tds F d r F dt
dt
C
C
C
Arbeid
F1dx F2 dy F3dz
Eks 1 - Alternativ 2
C
r (t ) t ,2t ,3t
r ' (t ) 1,2,3
z
(1,2,3)
C
t 0,1
En glatt parameterisering av C
y
W F1dx F2 dy F3dz
x
C
Bestem arbeidet utført av
kraften
F = [ 2x, y, 3 ]
langs den rette linjen
fra (0,0,0) til (1,2,3)
2 xdx ydy 3dz
C
x 1
y 2
z 3
x 0
y 0
z 0
2 xdx ydy 3dz
y 2
z 3
1
x
y 2 3z z 0 1 2 9 12
x 0
2 y 0
2 x 1
dr
W F Tds F d r F dt
dt
C
C
C
Arbeid
F1dx F2 dy F3dz
Eks 1 - Alternativ 3
C
r ( t ) t ,2 t ,3t
r ' ( t ) 1,2,3
z
(1,2,3)
C
t 0,1
En glatt parameterisering av C
y
r (t ) t ,2t ,3t
r ' (t ) 1,2,3
W F1dx F2 dy F3dz
x
C
Bestem arbeidet utført av
kraften
F = [ 2x, y, 3 ]
langs den rette linjen
fra (0,0,0) til (1,2,3)
2 xdx ydy 3dz
C
2 t 1dt 2 t 2dt 3 3dt
C
2 tdt 4 tdt 9dt
C
t 1
2
(
6
t
9
)
dt
3
t
9t
t 0
t 1
t 0
12
t 0,1
dx
1 dx 1dt
dt
dy
2 dy 2dt
dt
dz
3 dz 3dt
dt
dr
W F Tds F d r F dt
dt
C
C
C
Arbeid
F1dx F2 dy F3dz
Eks 2 - Alternativ 1
C
r (t ) t , t 2 , t 3
r ' (t ) 1,2t ,3t 2
z
(1,1,1)
C
y
x
t 0,1
En glatt parameterisering av C
dr
W F dr F dt F r ' (t )dt
dt
C
C
C
y x 2 , z y 2 , x z 2 1,2t ,3t 2 dt
Bestem arbeidet utført av
kraften
C
C
F = [ y - x2, z - y2, x - z2 ]
0, t 3 t 4 , t t 6 1,2t ,3t 2 dt
C
langs kurven
r(t) = [ t, t2, t3 ]
t 2 t 2 , t 3 t 4 , t t 6 1,2t ,3t 2 dt
0 t 1
(0 1 (t 3 t 4 ) 2t (t t 6 ) 3t 2 )dt
C
t 1
t 1
2
3
3
29
2
(2t 4 2t 5 3t 2 3t 8 )dt t 5 t 6 t 4 t 9
6
4
9 t 0 60
5
t 0
dr
W F Tds F d r F dt
dt
C
C
C
Arbeid
F1dx F2 dy F3dz
Eks 2 - Alternativ 2
C
r (t ) t, t 2 , t 3
r ' ( t ) 1,2 t ,3t 2
z
(1,1,1)
t 0,1
En glatt parameterisering av C
r (t ) t , t 2 , t 3
r ' (t ) 1,2t ,3t 2
C
t 0,1
y
x
Bestem arbeidet utført av
kraften
W F1dx F2 dy F3dz
C
F = [ y - x2, z - y2, x - z2 ]
dx 1dt
dy 2tdt
dz 3t 2 dt
C
langs kurven
r(t) = [ t, t2, t3 ]
( y x 2 )dx (z y 2 )dy ( x z 2 )dz
dx
1
dt
dy
2t
dt
dz
3t 2
dt
0 t 1
( t 2 t 2 )1dt ( t 3 t 4 )2 tdt ( t t 6 )3t 2 dt
C
t 1
t 1
2
3
3
29
2
(2 t 2 t 3t 3t )dt t 5 t 6 t 4 t 9
6
4
9 t 0 60
5
t 0
4
5
2
8
Strømning og Fluks
2D - Innledning
Strømning
C
T
F
Studier av et vektorfelt F
i retning langs enhetstangentvektoren T
Fluks
C
F
n
Studier av et vektorfelt F
i retning langs enhetsnormalvektoren n
Strømning
2D - Def
F representerer et kontinuerlig vektorfelt
r en glatt parameterisering av C
F
Strømning
T
C
dr
r
dr
S F Tds F ds F dr
ds
C
C
C
Strømningen S kalles en sirkulasjon
hvis kurven C er lukket
C
Strømning
2D - Alternative former
F representerer et kontinuerlig vektorfelt
r en glatt parameterisering av C
F
T
dr
r
C
Strømning
dr
S F Tds F ds F d r
ds
C
C
C
dr
F dt
dt
C
dx dy dz
F1 , F2 , F3 , , dt
dt dt dt
C
F1dx F2 dy F3dz
C
Fluks
2D - Def
F = [ F1, F2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt
C glatt kurve i domenet (def.mengden til F)
n normal (i planet) til C
k
C
Fluks i retning n
T
n
F
Fluks beskriver feltlinjers krysning
med en kurve C.
Når positiv retning på C er valgt ( T ),
bestemmes positiv fluks ved at
feltlinjene har komponent i retning
av enhetsnormalen n gitt ved:
n=Txk
F nds
C
Fluks
2D - Alternative former
F = [ F1, F2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt
C glatt kurve i domenet (def.mengden til F)
n normal (i planet) til C
k
C
T
n
F
Fluks beskriver feltlinjers krysning
med en kurve C.
Når positiv retning på C er valgt ( T ),
bestemmes positiv fluks ved at
feltlinjene har komponent i retning
av enhetsnormalen n gitt ved:
n=Txk
dr dx dy
T
,
ds ds ds
i
j
dx dy
n T k
ds ds
0
0
k
dy dx
0 ,
ds ds
1
Fluks i retning n
dy dx
F nds F1 , F2 , ds F1dy F2dx
ds ds
C
C
C
Fluks
2D - Lukket kurve
F = [ F1, F2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt
C glatt kurve i domenet (def.mengden til F)
n normal (i planet) til C
C
k
T
n
F
Med definisjon av fluks,
ser vi at for en lukket kurve i xy-planet
med positiv omløpsretning mot urviseren,
vil enhetsnormalen n alltid peke ut av
det omsluttede kurve-området.
Dermed vil nettofluksen som krysser
kurven være positiv når det går mer fluks
ut enn inn av det omsluttede kurve-området.
dr dx dy
T
,
ds ds ds
i
j
dx dy
n T k
ds ds
0
0
k
dy dx
0 ,
ds ds
1
Fluks i retning n
dy dx
F nds F1 , F2 , ds F1dy F2dx
ds ds
C
C
C
Strømning - Fluks
2D - Oppsummering
k
C
T
Strømning
F
C
F
Fluks
F
k
C
T
n
F
S F Tds F1dx F2dy
C
F nds F1dy F2dx
C
C
S F Tds
Strømning
Eks: Flytting av partikkel i tyngdefelt
g
m
C
Tyngdefelt (tyngdeakselerasjon)
Masse av partikkel som skal flyttes
g
T
F mg
Vektorfelt:
s
C
Arbeid utført av tyngdefeltet
ved flytting av partikkelen
over en strekning s av linjestykket C:
g
T
W mgt s mg Ts F Ts
C
dW F Tds
S W F Tds
C
C
s
g
g
Strømning:
Arbeid utført
av tyngdefeltet
ved flytting av partikkelen
langs kurven C
T
Strømning
Eks: Flytting av ladning i elektrisk felt
E
q
S F Tds
C
Elektrisk felt
Ladning på partikkel som skal flyttes
F qE
Vektorfelt:
E
T
s C
Arbeid utført av det elektriske feltet
ved flytting av den ladde partikkelen
over en strekning s av linjestykket C:
W q V qE t s qE Ts F Ts
E
s
T
C
dW F Tds
S W F Tds
C
E
Strømning:
Arbeid utført
av det elektriske feltet
ved flytting av partikkelen
langs kurven C
ds
T
C
F nds
Fluks
Eks: Vannmengde som passerer en linje / kurve
v
Vannhastighet
Vanntetthet (masse pr areal)
Vektorfelt:
F v
m l s
l
s v n s v ns F ns
t
t
t
dm
d
F nds
dt
C
C
s
v
l = vt
Vannmengde som pr tidsenhet passerer
over en strekning s av linjestykket C:
F nds
C
v
C
s
n
l = vt
v
C
ds
Fluks:
Vannmengde
som pr tidsenhet
passerer en kurve C
n
, ,
x y z
Del-operator
Definisjon og anvendelse
Gradient
Divergens
Curl
Del-operator
, ,
x y z
Gradient
f f f
grad f f , , f , ,
x y z
x y z
Divergens
F F F
div F F , , F1 , F2 , F3 1 2 3
x y z
x y z
Curl
i
curl F F , , F1 , F2 , F3
x
x y z
F1
j
y
F2
Retningsderivert
Fluks
Sirkulasjon / Rotasjon
k
F3 F2 F1 F3 F2 F1
,
,
z y z z x x y
F3
, ,
x y z
Curl
curl F F
Sammenheng mellom curl og rotasjon
Posisjon
Hastighet
v
r x, y, z
v r
i
j
k
r 1 2 3 2 z 3 y, 3 x 1 z, 1 y 2 x
x
y
v r
r x, y, z
z
i
j
k
curl v v
x
y
z
2 z 3 y 3 x 1 z 1 y 2 x
(1 y 2 x) (3 x 1 z ), (2 z 3 y ) (1 y 2 x), (3 x 1 z ) (2 z 3 y )
z
z
x
x
y
y
1 1 , 2 2 , 3 3 21 ,22 ,23 21 , 2 , 3 2
curl v 2
Konservativt vektorfelt
Vei-uavhengighet
F definert i et åpent område D i rommet.
F dr
B
B
La
A
være uavhengig av alle veier
mellom A og B for alle A,B D.
A
Vi sier da at integralet er vei-uavhengig.
Vi sier videre at F er konservativ og at vektorfeltet er konservativt.
Potensial-funksjon
F definert i et åpent område D i rommet.
Hvis det finnes en skalar-funksjon f
som er slik at
F= f
så kalles f for en potensial-funksjon til F
og vektorfeltet kalles for et gradientfelt.
F er gradienten til f
Gradientfelt og vei-uavhengighet
F definert i et åpent område D i rommet.
Bevis del 1:
Anta at det finnes en f slik at F = f.
Det finnes en f slik at F = f
F
dr
C
vei-uavhengig
dr
C F dr C f dt dt
f f f dx dy dz
, , , , dt
x y z dt dt dt
C
f dx f dy f dz
dt
x
dt
y
dt
z
dt
C
df
dt
dt
C
B
df df f A f (B) f (A)
B
C
A
dvs, integralet er vei-uavhengig,
kun avhengig av endepunktene.
Vei-uavhengighet og null-integral for lukkede kurver
F definert i et åpent område D i rommet.
F
dr 0
Bevis:
F
dr 0
lukkede C i D
C
F
d
r
F
dr 0
C
C1
C2
F
d
r
F
dr
C1
F er konservativ på D (dvs vei-uavhengig)
F dr
C1
C2
F dr
C 2
B
A F d r A F d r
B
C2
B
Langs C1
A
C1
Langs C 2
Vei uavhengig
Gradientfelt og curl
F definert i et åpent område D i rommet.
F gradientfelt curl F = 0
F F1 , F2 , F3
f f f
F f , ,
x y z
F f
curl F 0
curl F 0
Bevis 1:
curl F 0
F3 f 2 f
f F
2
y y z yz z y z
F1 f 2 f
f F
3
z z x zx z x x
F2
f 2 f
f F
1
x x y xy y x y
F F F F F F
curl F 3 2 , 1 3 , 2 1 0
y z z x x y
Gradientfelt og eksakt differentialform
F = [ F1, F2, F3]
definert i et åpent område D i rommet.
Uttrykket F1dx + F2dy + F3dz
er en differential form.
Differentialformen kalles eksakt
hvis det finnes en skalar funksjon f slik at
F1dx F2dy F3dz
f
f
f
dx dy dz df
x
y
z
F f
F1dx F2dy F3dz er eksakt
Ekvivalens for konservativt (vei-uavhengig) felt
F definert i et åpent område D i rommet.
F f
F konservati v (vei uavhengig)
F dr 0
lukkede C i D
C
curl F 0
F1dx F2 dy F3dz er eksakt
Konservativt vektorfelt
Eks 1 - Oppgave
F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ]
1. Vis at F er konservativ (vei-uavhengig)
2. Bestem en potensialfunksjon til F
3. Bestem vei-integralet til F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)
Konservativt vektorfelt
Eks 1 - Løsning [1/3]
F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ]
1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0
i
curl F F
x
F1
F F1 , F2 , F3
F3
xy z x 1 0 x
y y
F1 x
e cos y yz 0 y 1 y
z z
F2
xz e x sin y 1 z e x sin y z e x sin y
x x
j
x
F2
k
F3 F2 F1 F3 F2 F1
,
,
x y
z z x x y
F3
F2
xz e x sin y x 1 0 x
z z
F3
xy z 1 y 0 y
x x
F1 x
e cos y yz e x ( sin y ) 1 z z e x
y y
F3 F2 F1 F3 F2 F1
x
x
curl F
,
,
x x, y y, ( z e sin y ) ( z e sin y ) 0,0,0 0
z z z x y
y
Konservativt vektorfelt
Eks 1 - Løsning [2/3]
F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ]
2. Bestem en potensialfunksjon til F
Siden F er konservati v,
finnes en potensialf unksjon f
slik at F f
F e x cos y yz , xz e x sin y, xy z
f f f
F f , ,
x y z
f
e x cos y yz
x
f
g
e x sin y xz
y
y
!
xz e x sin y
g
0
y
g h (z)
f ( x , y, z) e x cos y xyz g ( y, z)
f ( x , y, z) e x cos y xyz h (z)
f
dh
0 xy
z
dz
!
xy z
dh
z
dz
h
1 2
z c
2
1
f ( x , y, z) e x cos y xyz z 2 c
2
Konservativt vektorfelt
Eks 1 - Løsning [3/3]
F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ]
3. Bestem vei-integralet av F
langs den rette linjen
fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)
Siden F er konservati v (dvs vei - uavhengig) ,
vil vei integralet til F være vei uavhengig
og lik differanse n f(B) f(A)
hvor A og B er henholdsvi s start og sluttpunkt av veien
og hvor f er en potensialf unksjon ti l F.
F f
f ( x, y, z ) e x cos y xyz
1 2
z c
2
F
dr f ( B) f ( A)
B
A
( 7 , 9 , 1)
F
dr f (7,9,1) f (1,2,3)
(1, 2 , 3)
1
(e 7 cos 9 7 9 (1) (1) 2 c)
2
1
(e1 cos 2 1 2 3 32 c)
2
7
e cos 9 e cos 2 73 ( 1.071 103 )
Konservativt vektorfelt
Eks 2 - Oppgave
1. Vis at ydx + xdy + 4z er eksakt
2. Bestem følgende integral langs den rette linjen mellom de gitte punktene:
( 2 , 3, 1)
ydx xdy 4dz
(1,1,1)
A (1,1,1)
B (2,3,-1)
Konservativt vektorfelt
Eks 2 - Løsning [1/4]
F F1 , F2 , F3 y, x ,4
F d r F1dx F2dy F3dz
C
1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0
F F1 , F2 , F3
F F F F F F
curl F 3 2 , 1 3 , 2 1
y z z x x y
F3
4 0
y y
F1
y 0
z z
F2
x 1
x x
F2
x 0
z z
F3
4 0
x x
F1
y 1
y y
C
ydx xdy 4dz
C
F F F F F F
curl F 3 2 , 1 3 , 2 1
y z z z x y
0 0,0 0,1 1 0,0,0 0
Herav: ydx + xdy + 4dz er eksakt
Konservativt vektorfelt
Eks 2 - Løsning [2/4]
2. Bestemmelse av potensialfunksjon f
F F1 , F2 , F3 y, x ,4
F
d r F1dx F2dy F3dz
C
C
ydx xdy 4dz
C
Siden ydx xdy 4dz er eksakt,
finnes en potensialf unksjon f
slik at F f
F y , x, 4
f f f
F f , ,
x y z
f
y
x
!
f
g
x
x
y
y
g
0
g h( z )
y
!
f
dh
0
4
z
dz
dh
4
h 4z c
dz
f ( x, y, z ) xy g ( y, z )
f ( x, y, z ) xy h( z )
f ( x, y, z ) xy 4 z c
Konservativt vektorfelt
Eks 2 - Løsning [3/4]
F = [ y, x, 4]
A (1,1,1)
2. Bestem vei-integralet av F
langs den rette linjen
fra A = (1,1,1) til B = (2,3,-1)
Siden F er konservati v (dvs vei - uavhengig) ,
vil vei integralet til F være vei uavhengig
F
B (2,3,-1)
F f
f ( x, y, z ) xy 4 z c
og lik differanse n f(B) f(A)
hvor A og B er henholdsvi s start og sluttpunkt av veien
og hvor f er en potensialf unksjon ti l F.
F
dr f ( B) f ( A)
B
A
( 2 , 3, 1)
F dr f (2,3,1) f (1,1,1)
(1,1,1)
(2 3 4 (1) c) (1 1 4 1 c) 3
Konservativt vektorfelt
Eks 2 - Løsning [4/4]
2. Integralet kan også løses direkte
A (1,1,1)
F
Retnings vektor :
A
v 2 1,3 1,1 1 1,2,3
Glatt parameterf remstillin g av linjen AB :
r (t) r0 tv
B
( 2 , 3, 1)
ydx xdy 4dz
(1,1,1)
1,1,1 t 1,2,3
1 t ,1 2t ,1 2t
x 1 t
B (2,3,-1)
dx dt
y 1 2t
dy 2dt
z 1 2t
dz 2dt
t 1
(1 2t ) 1 (1 t ) 2 4 (2)dt
t 0
t 1
(4t 5)dt 2t 5t
t 0
2
t 1
t 0
3
F
nds
Divergens
Curl
(Flukstetthet)
d
divF F
lim C
dA A0 A
dC
curl F F
lim C
dA A0 A
(Sirkulasjonstetthet)
Fluks
F nds F1dy F2dx
C
k
C
Strømning
T
dA dC
C
k
T
n
C
F
Divergens
A
C
S F Tds F1dx F2dy
C
n
F
nds
F
F nds
d
divF F
lim
lim C
dA A0 A A0 A
Curl
F Tds
dC
C
curl F F
lim
lim C
dA A0 A A0 A
F nds
dC
dA
F Tds
dC
dA
F( x, y) F1 ( x, y), F2 ( x, y)
F nds F1dy F2dx
Divergens (Flukstetthet)
Def - 2D [1/3]
C
j
i
4 F4 (i ) y
( x, y )
F4 F ( x, y )
j
3 F3 j x
F3 F ( x, y y)
F2 F ( x x, y )
F1 F ( x, y)
1 F1 ( j ) x
C
( x x, y y)
i
2 F2 i y
y
y
x
x
Netto fluks ut av rektanglet
1 2 3 4
F1 ( j ) x F2 i y F3 j x F4 (i ) y
F ( x, y ) ( j ) x F ( x x, y ) i y F ( x, y y ) j x F ( x, y ) (i ) y
F( x, y) F1 ( x, y), F2 ( x, y)
Divergens (Flukstetthet)
Def - 2D [2/3]
Netto fluks ut av rektangele t
F nds F1dy F2dx
C
C
F F
div F F , F1 , F2 1 2
x y
x y
1 2 3 4
F1 ( j ) x F2 i y F3 j x F4 (i ) y
F ( x, y ) ( j ) x F ( x x, y ) i y F ( x, y y ) j x F ( x, y ) (i ) y
F2 ( x, y ) x
F1 ( x x, y ) y F2 ( x, y y ) x F1 ( x, y ) y
F2 ( x, y y ) F2 ( x, y )x F1 ( x x, y ) F1 ( x, y )y
F ( x, y y ) F2 ( x, y ) F1 ( x x, y ) F1 ( x, y )
2
xy
y
x
F ( x, y y ) F2 ( x, y ) F1 ( x x, y ) F1 ( x, y )
2
xy
y
x
F2 ( x, y y ) F2 ( x, y ) F1 ( x x, y ) F1 ( x, y ) F2 F1 F1 F2
d
lim
lim
y x x y F
dA x ,y 0 xy x ,y 0
y
x
Divergens (Flukstetthet)
Def - 2D [3/3]
F
nds
d
divF
lim
lim C
x
,
y
0
dA
xy x ,y 0 xy
F
D
F
nds
d
lim C
lim
divF
0
y
,
x
xy x ,y 0 xy
dA
F
nds
dC
C
dy
dA
A
dx
dxdy
F
nds
dC
dxdy
F
n
B
1
1
( F2 )dx F1dy F2 dx ( F1 )dy
F n ds F n ds F n ds F n ds
dxdy
dxdy bunn
bunn
venstre
topp
høyre
venstre
topp
høyre
1
F2 dx F1dy F2 dx F1dy
dxdy bunn
venstre
topp
høyre
1
F1dy F1dy F2 dx F2 dx
dxdy høyre
bunn
topp
venstre
F2
F1
1
1
dydx
dxdy
dx
)
F
F
(
dy
)
F
F
(
1høyre 1venstre
y
x
2topp 2bunn dxdy vertikalt
dxdy vertikalt
horisontalt
horisontalt
F2
1 F1
dx
dy
dy
dx
y dx
dxdy x dy
F1 F2
, F1 , F2 F
x y x y
F
1 F1
dxdy 2 dydx
y
dxdy x
Divergens (Flukstetthet)
Eks 1 - Fortegn - 2D
d
F F
div F F , F1 , F2 1 2
dA
x y
x y
Ekspanderende gass
i punktet (x0,y0)
div F ( x0 , y0 ) 0
Komprimerende gass
i punktet (x0,y0)
div F ( x0 , y0 ) 0
Divergens (Flukstetthet)
Eks 2 - 2D
F F
div F F , F1 , F2 1 2
x y
x y
Finn divergensen av F(x,y) = [ F1, F2] = [ x2 – y, xy – y2 ]
F F
div F F , F1 , F2 1 2
x y
x y
2
( x y) ( xy y 2 )
x
y
2x x 2 y
3x 2 y
F( x, y) F1 ( x, y), F2 ( x, y)
Curl (Sirkulasjonstetthet)
Def - 2D [1/3]
C
C3 F3 (i ) x
F3 F ( x, y y)
i
j
C4 F4 ( j ) y
F4 F ( x, y )
C F Tds Mdx Ndy
C
C
( x, y )
S F Tds F1dx F2 dy
i
C
( x x, y y)
j
C
F
F2 F ( x x, y )
2
2 j y
F1 F ( x, y)
C1 F1 i x
y
y
x
x
Sirkulasjo n rundt rektanglet (retning mot klokka) :
C C1 C2 C3 C4
F1 i x F2 j y F3 (i ) x F4 ( j ) y
F ( x, y ) i x F ( x x, y ) j y F ( x, y y ) (i ) x F ( x, y ) ( j ) y
F( x, y) F1 ( x, y), F2 ( x, y)
Curl (Sirkulasjonstetthet)
Def - 2D [2/3]
Sirkulasjo n rundt rektangele t
S F Tds F1dx F2 dy
C
C
F F
curl F F , F1 , F2 0,0, 2 1
x y
x y
C C1 C2 C3 C4
F1 i x F2 j y F3 (i ) x F4 ( j ) y
F ( x, y ) i x F ( x x, y ) j y F ( x, y y ) (i ) x F ( x, y ) ( j ) y
F1 ( x, y ) x F2 ( x x, y ) y F1 ( x, y y ) x
F1 ( x, y y ) F1 ( x, y )x F2 ( x x, y ) F2 ( x, y )y
F2 ( x, y ) y
F ( x, y y ) F1 ( x, y ) F2 ( x x, y ) F2 ( x, y )
1
xy
y
x
C
F ( x x, y ) F2 ( x, y ) F1 ( x, y y ) F1 ( x, y )
2
xy
x
y
F2 ( x, y y ) F2 ( x, y ) F1 ( x x, y ) F1 ( x, y ) F2 F1
dC
C
lim
lim
x y ( F ) k
dA x ,y 0 xy x ,y 0
x
y
F( x, y) F1 ( x, y), F2 ( x, y)
S F Tds F1dx F2 dy
Curl (Sirkulasjonstetthet)
Def - 2D [3/3]
C
C
D
F
Tds
dC
C
lim
lim C
dA x ,y 0 xy x ,y 0 xy
F
Tds
dC
dy
dA
A
dx
dxdy
F
C
T
B
1
1
F
T
ds
F
T
ds
F
T
ds
F
T
ds
F
dx
F
dy
(
F
)
dx
(
F
)
dy
1
2 topp
1
2
dxdy bunn
dxdy bunn
høyre
topp
venstre
høyre
venstre
1
F1dx F2 dy F1dx F2 dy
dxdy bunn
høyre
topp
venstre
1
1
F2
F1
dxdy
dydx
( F2 høyre F2venstre )dy ( F1topp F1bunn )dx
dxdy vertikalt
y
horisontalt
horisontalt
dxdy vertikalt x
1 F2
F1
dx dy
dy dx
dxdy x dy
y dx
F2 F1
( F ) k
x y
1
F2 dy F2 dy ( F1dx F1dx)
dxdy høyre
venstre
topp
bunn
1 F2
F1
dxdy
dydx
dxdy x
y
F F
curl F F , F1 , F2 0,0, 2 1
x y
x y
Curl (Sirkulalsjonstetthet)
Eks 1 - Fortegn - 2D
k
F F
curl F F , F1 , F2 0,0, 2 1
x y
x y
Rotasjon mot klokka
i punktet (x0,y0)
curl F ( x0 , y0 ) k 0
k
Rotasjon med klokka
i punktet (x0,y0)
curl F ( x0 , y0 ) k 0
Divergens
Curl
Divergens
(Flukstetthet
(Sirkulasjonstetthet)
1
div F F lim F nds
A 0 A
C
C
A
n
Curl
F
1
(curl F) k ( F) k lim F Tds
A 0 A
C
C
A
T
F
Curl (Sirkulasjonstetthet)
Eks 2 - 2D
Finn curl F til
F F
curl F F , F1 , F2 0,0, 2 1
x y
x y
F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x, y ]
curl F F , F1 , F2
x y
i
j k
0
x y
F1 F2 0
F F
0,0, 2 1
x y
0,0, ( y) ( x )
x
y
0,0,0 0
0,0,0
0
Ingen rotasjons-tendens
Curl (Sirkulasjonstetthet)
Eks 3 - 2D
Finn curl F til
F F
curl F F , F1 , F2 0,0, 2 1
x y
x y
F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ -y, x ]
Finn
k-komponenten
curl til F(x,y) = [ M, N] = [ x2 – y, xy – y2 ]
curl F F , Fav
1 , F2
x y
i
j k
i
j k
0
N M
(curl
0
x F ) yk F , M , N
x
y
x
y
x
y
F1 F2 0
M N 0
F F
2
0,0, 2 1
2
(
xy
y
)
( x y)
x y
x
y
y 1
0,0, ( x ) ( y)
x
y
0,0,1 1
0,0,2 2k
Rotasjons-tendens
Curl (Sirkulasjonstetthet)
Eks 4 - 2D
Finn k-komponenten av curl F til
F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x2 – y, xy – y2 ]
(curl F) k ( F) k
, F1 , F2 k
x y
i
j k
F F
0 k 0,0, 2 1 0,0,1
x y
x y
F F 0
2
1
F F
2 1
x y
( xy y 2 ) ( x 2 y)
x
y
y 1
F F
curl F F , F1 , F2 0,0, 2 1
x y
x y
Curl (Sirkulasjonstetthet)
Fysisk tolkning av curl - 2D
F F
curl F F , F1 , F2 0,0, 2 1
x y
x y
dC
F F F F
(curl F) k ( F) k , F1 , F2 k 0,0, 2 1 k 2 1
dA
x y
x y
x y
W C F Tds (curl F) kdA
C
R
curl F konstantve ktor
Ikke konstant curl :
La R være liten og benytt
(iflg.midd elverdiset ningen)
(curl F(c, d)) k(c, d) R
(curl F) k
R
C
k
T
W
Arealet av R
curl F er arbeid pr enhetsareal der F er bidraget til en rotasjon rundt randen til R.
curl F peker rett opp når arbeidet er positivt, rett ned når arbeidet er negavivt.
curl F sier noe om kraftfeltets tendens til å gi rotasjon (styrke og retning) i et gitt punkt.
F
Greens teorem
Def - 2D
Fluks - Divergens - Normalform
F1 F2
dxdy div FdA FdA
F nds F1dy F2 dx
x
y
C
C
R
R
R
Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
F2 F1
dxdy (curl F) kdA ( F) kdA
C F Tds F1dx F2 dy
x
y
C
C
R
R
R
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D R2.
C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.
Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.
Greens teorem
Def - 2D - Fig
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D R2.
C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.
Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.
Green - Fluks - Divergens - Normalform
F nds F1dy F2 dx
C
F F
1 2 dxdy divFdA FdA
x
y
R
R
R
C
R
C
n
F
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
C F Tds F1dx F2 dy
C
C
F F
2 1 dxdy (curlF ) k dA ( F ) k dA
x y
R
R
R
C
R
T
F
Greens teorem
Def - 2D
Normalform
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D R2.
C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.
Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.
Green - Fluks - Divergens - Normalform
F nds F1dy F2 dx
C
R
C
F F
1 2 dxdy divFdA FdA
x
y
R
R
R
n
C
F
Normalformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av normalkomponenten av F langs C,
dvs fluksen av F ut av den lukkede kurven C,
er lik dobbeltintegralet av divergensen til F over det indre området R av kurven C,
dvs summen av fluksen ut av alle infinitesimale kurver i det indre området R.
Greens teorem
Def - 2D
Tangentiellform
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D R2.
C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.
Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
C F Tds F1dx F2 dy
C
C
F2 F1
dxdy (curlF ) k dA ( F ) k dA
x
y
R
R
R
C
R
T
F
Tangentiellformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av tangentiellkomponenten av F langs C,
dvs sirkulasjonen av F langs den lukkede kurven C,
er lik dobbeltintegralet av k-komponenten til curlen til F over det indre området R av kurven C,
dvs summen av sirkulasjonen langs alle infinitesimale kurver i det indre området R.
Greens teorem
Def - 2D - Part
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D R2.
C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.
Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.
Green - Fluks - Divergens - Normalform
F nds F1dy F2 dx
C
F F
1 2 dxdy divFdA FdA
x
y
R
R
R
C
R
C
n
F
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
C F Tds F1dx F2 dy
C
C
F F
2 1 dxdy (curlF ) k dA ( F ) k dA
x y
R
R
R
C
R
T
F
Greens teorem
Bevis-skisse - Curl / Div - 2D
C
y
Ci,j+1
III
Ci+1,j+1
IV
RP
Ri,j
Ci,j
Ci+1,j
Ri,j
II
I
x
C F Tds lim
C
P 0
F nds lim
C
P 0
F Tds lim
RP
P 0
F nds lim
RP
P 0
i
j Ci , j
i
F Tds
F nds
j Ci , j
r r ( x ) x, y j1
II r r ( y) x i , y
III r r ( x ) x, y j
IV r r ( y) x i 1 , y
I
x i 1 x x i
y j1 y y j
x fra x i til x i 1
y fra x j til y j1
F2 F1
F
T
ds
C
R x y dA
Greens teorem
Bevis-skisse - Curl - 2D
F Tds
Ci , j
F dx F dy
1
2
Ci , j
F1dx F2 dy F1dx F2 dy
I
II
III
F ( x, y
1
j 1
)dx
xi 1
F ( x , y)dy F ( x, y )dx F ( x
2
i
F ( x, y
1
j 1
1
xi 1
, y )dy
yj
F ( x , y) F ( x
2
i 1
2
yj
i
2
i 1
, y )dy
x
y j 1
yj
yj
i
F1
F
dydx 2 dxdy
y
x
xi 1 y j 1
y j 1 xi 1
xi
j
xi
) F1 ( x, y j ) dx
T
y j 1
xi 1
y j 1
xi
F
IV
yj
xi
C
y
F F
2 1 dA
x y
Rij
x
F2
i
j Ci , j
i
j R ij
F F
F
Tds 2 1 dA
P 0
x y
i
j Ci , j
R
F
Tds lim
C
III
F F
F
C Tds R x2 y1 dA
F1
F Tds x y dA
IV
Ri,j
I
II
r r ( x ) x, y j1
II r r ( y) x i , y
III r r ( x ) x, y j
IV r r ( y) x i 1 , y
I
x i 1 x x i
y j1 y y j
x fra x i til x i 1
y fra x j til y j1
F1 F2
F
n
ds
C
R x y dA
Greens teorem
Bevis-skisse - Div - 2D
F nds
Ci , j
F dy F dx
1
2
Ci , j
F2 dx F1dy F2 dx F1dy
I
II
III
xi
F2 ( x, y j1 )dx
x i1
F (x , y)dy F (x, y )dx F (x
1
i
1
i
1
i 1
, y)dy
y j1
y j xi
n
y j1
x i1
2
y j1
F (x , y) F (x
F
IV
yj
yj
C
y
j
xi
1
i 1
, y)dy
yj
F (x, y ) F (x, y )dx
xi
2
j
2
x
j1
x i1
yj
i
F1
F
dxdy 2 dydx
x
y
y j1 x i1
x i1 y j1
x
F F
1 2 dA
x y
R ij
F1
i
j Ci , j
i
j R ij
F F
F
nds 1 2 dA
P 0
x y
i
j Ci , j
R
F
nds lim
C
III
F F
F
C nds R x1 y2 dA
F2
F nds x y dA
IV
Ri,j
I
II
r r ( x ) x, y j1
II r r ( y) x i , y
III r r ( x ) x, y j
IV r r ( y) x i 1 , y
I
x i 1 x x i
y j1 y y j
x fra x i til x i 1
y fra x j til y j1
Greens teorem
Fysisk tolkning - Uten hull
F1 F2
F
n
ds
C
R x y dA
F2 F1n hull
F
T
ds
C
R x y dA
Green - Fluks - Divergens - Normalform
F nds F1dy F2 dx
C
R
C
F F
1 2 dxdy divFdA FdA
x
y
R
R
R
C
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
C F Tds F1dx F2 dy
C
R
C
F F
2 1 dxdy (curlF ) k dA ( F ) k dA
x y
R
R
R
C
Positiv og negativ fluks
Def - 2D - Fig
Green - Fluks - Divergens - Normalform
F nds F1dy F2 dx
C
C
F F
1 2 dxdy divFdA FdA
x
y
R
R
R
Flom
Positiv fluks
Uttapping av vann
Negativ fluks
Elektrisk felt
Positiv fluks / Negativ fluks
Elektrisk felt
Null fluks
E
Greens teorem
Eks 1 - 2D
F1 F2
F
n
ds
F
dy
F
dx
dA
div
F
dA
F
2
C
C 1
R x y R
R dA
F2 F1
F
T
ds
F
dx
F
dy
dA
(
curl
F
)
k
dA
(
F
) kdA
2
C
C 1
R x y R
R
Verifiser Greens teorem for vektorfeltet F(x,y) = [ x – y, x ]
over området R begrenset av sirkelen C: r(t)
= [ cost, sint] 0 t 2
x cos t
dx sin tdt
y sin t
dy cos tdt
F1 x y cos t sin t
F2 x
cos t
F1
F1
1
1
x
y
F2
F2
1
0
x
y
2
2
2
1 cos 2t
2
C F nds C F1dy F2 dx 0 (cos t sin t )(cos t ) (cos t )( sin t )dt 0 cos tdt 0 2 dt
F1 F2
2
div
F
dA
F
dA
R
R
R x y dA R (1 0)dxdy R dxdy 1
Normalform
Fluks
2
2
2
1
2
C F Tds C F1dx F2dy 0 (cos t sin t )( sin t ) (cos t )(cos t )dt 0 (1 sin t cos t )dt t 2 cos t 2
0
F2 F1
2
(
curl
F
)
k
dA
(
F
)
k
dA
R
R
R x y dA R (1 (1))dxdy 2R dxdy 2 1 2 Tangentialform
Sirkulasjon
Greens teorem
Områder med hull - 2D [1/2]
C1
y
R
?
C1
x
R
C1
y
C11
R1
R2
R1 C
21 C2
A
J2
R2
C22
J1
C11 J 2 C 21 J1
C11 C12
B
x
C1
C 21 C 22
C2
C1
C12
C12 J1 C 22 J 2
C2
Greens teorem
Områder med hull - 2D [2/2]
y
C1
C11
R1 C
21
J2
R2
C2
J1
C22
C12
F1 F2
F
n
ds
F
n
ds
C
C
R x y dA
1
2
F2 F1
F
T
ds
F
T
ds
C
C
R x y dA
1
2
1 hull
F1 F2
dA
F
n
ds
F
n
ds
i
C
x y
Ci
R
F2 F1
dA
F
T
ds
F
T
ds
i
C
x y
Ci
R
n hull
x
C
y
R
C1
C3
C2
x
Greens teorem
Fysisk tolkning - Med hull
F1 F2
dA
ds
n
F
ds
n
F
i
C
y
x
R
Ci
F2 F1 n hull
dA
ds
T
F
ds
T
F
C
y
x
i Ci
R
Green - Fluks - Divergens - Normalform
F nds F nds
C
R
i Ci
F1 F2
dxdy divFdA FdA
x
y
R
R
R
C
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
C F Tds F Tds
C
R
i Ci
F2 F1
dxdy (curlF ) k dA ( F ) k dA
x
y
R
R
R
C
Greens teorem
Områder med hull - Eks - 2D [1/3]
Gitt vekto rfeltet
Bestem
F ( x, y )
F Tds
1
y, x
x2 y2
( x, y ) (0,0)
hull
C
når C er en enkel, lukket, glatt kurve (i planet)
som går rundt origo i positiv retning .
Siden (0,0) er et hull, får vi :
y
C
Ca
x
F2 F1
F
T
ds
F
T
ds
C
C
R x y dA
a
hvor Ca er en lukket kurve (rotasjon med klokka) om punktet (0,0).
Vi velger å la Ca være en sirkel med radius a om origo.
Greens teorem
Områder med hull - Eks - 2D [2/3]
F ( x, y )
y
C
Ca
x
1
y, x
2
2
x y
( x, y ) (0,0)
hull
F2 F1
F
T
ds
F
T
ds
C
C
R x y dA
a
F1
y
x 2 y2
F2
x
x 2 y2
1
1
F2 x
2
x x 2 y 2 1 x 2 y 2 x (1) x 2 y 2
2
x x x y x
1
2x 2
x 2 y2
2x 2
y2 x 2
2
2
2
2 2
2
2 2
x y2 x 2 y2 2
x y
x y
x 2 y2
F1 y
y
x 2 y2
y2 x 2
2
2
2
y y x 2 y 2
y x y 2
x 2 y2
x 2 y2
F2 F1
y2 x 2
y2 x 2
0
2
2 2
2
2 2
x x
x y
x y
2
2x
(symmetri )
Greens teorem
Områder med hull - Eks - 2D [3/3]
F ( x, y )
y
C
Ca
1
y, x
2
2
x y
( x, y ) (0,0)
hull
x
r (t ) a cos t, a sin t
t 0,2
F2 F1
F
T
ds
F
T
ds
C
C
R x y dA 0
a
F Tds F Tds F Tds
C
Ca
F dr
Ca
Ca
1
C a 2 a sin t, a cos t a sin t, a cos t dt
a
sin
Ca
2
2
t cos t dt dt 2
2
0
F1 F2
F
n
ds
F
dy
F
dx
1
2
C
C
R x y dA
F2 F1
F
T
ds
F
dx
F
dy
1
2
C
C
R x y dA
Greens teorem
Eks - 2D [1/4]
Uten Greens teorem
Beregn både med og uten Greens teorem :
y
1
xydy y dx
2
III
C
II
IV
C
I
1
Uten Greens teorem :
2
2
2
2
xydy
y
dx
x
y
dy
y
dx
x
ydy
y
dx
x
y
dy
y
dx
x
ydy
y
dx
1
0
0
0
2
C
I
0 0
0
II
III
ydy
0
x 1
1
(1)dx
II
y 1
1 0
III
y 1
1
3
x 1
1
ydy dx y 2 x x 0 1
2
2
2 y 0
y 0
x 0
IV
0
x
Greens teorem
Eks - 2D [2/4]
Med Greens teorem (normal/tangential)
2
xydy
y
dx
Beregn
I tillegg til direkte beregning,
kan integralet beregnes
vha Greens teorem,
enten vha fluks- eller
sirkulasjons-betraktninger.
C
y
1
III
C
II
IV
I
1
F1 F2
F
n
ds
F
dy
F
dx
1
2
C
C
R x y dA
F2 F1
F
T
ds
F
dx
F
dy
1
2
C
C
R x y dA
x
Fluks
Sirkulasjon
xydy y dx
xydy y dx
C
C
F = [ xy, y2 ]
F = [ -y2,xy ]
2
2
F1 F2
F
n
ds
F
dy
F
dx
1
2
C
C
R x y dA
F2 F1
F
T
ds
F
dx
F
dy
1
2
C
C
R x y dA
Greens teorem
Eks - 2D [3/4]
Normalform
Beregn både med og uten Greens teorem :
2
xydy
y
dx
y
1
C
III
C
II
IV
1
I
Med Greens teorem - Normalform (fluks) :
2
xydy
y
dx
C
F1 F2
F
dy
F
dx
2
C 1
R x y dA
F xy , y 2
y 2 y dA
R
y 1 x 1
y 1
y 1
3
x 1
1 2
ydx
dy
3
xy
dy
3
ydy
3
y
x 0
2
y 0 2
y 0 x 0
y 0
y 0
3 ydA 3
R
y 1
x
F1 F2
F
n
ds
F
dy
F
dx
1
2
C
C
R x y dA
F2 F1
F
T
ds
F
dx
F
dy
1
2
C
C
R x y dA
Greens teorem
Eks - 2D [4/4]
Tangentiellform
Beregn både med og uten Greens teorem :
2
xydy
y
dx
y
1
C
III
C
II
IV
1
I
Med Greens teorem - Tangentiel lform (sirkulasj on) :
2
xydy
y
dx
C
F2 F1
F
dx
F
dy
2
C 1
R x y dA
F y 2 , xy
y 2 y dA
R
y 1 x 1
y 1
y 1
3
x 1
1 2
ydx
dy
3
xy
dy
3
ydy
3
y
x 0
2
y 0 2
y 0 x 0
y 0
y 0
3 ydA 3
R
y 1
x
F1 F2
F
n
ds
F
dy
F
dx
1
2
C
C
R x y dA
F2 F1
F
T
ds
F
dx
F
dy
1
2
C
C
R x y dA
Greens teorem
Eks - Kurve C [1/4]
Tangentiellform
Bestem hvilken lukket kurve C orientert i positiv retning (mot klokka) i planet
som gir minimumsverdi av følgende integral:
2
2
(
4
y
x
2
x
)
dy
(
x
y 3x 2 y)dx
C
C2
C1
C3
F1 F2
F
n
ds
F
dy
F
dx
1
2
C
C
R x y dA
F2 F1
F
T
ds
F
dx
F
dy
1
2
C
C
R x y dA
Greens teorem
Eks - Kurve C [2/4]
Tangentialform
2
2
(
4
y
x
2
x
)
dy
(
x
y 3x 2 y)dx
R2
C
C2
C1
Med Greens teorem - Tangentiel lform (sirkulasj on) :
F F1 , F2 ( x 2 y 3 x 2 y ), 4 y 2 x 2 x
R1
C3
R3
2
2
(
4
y
x
2
x
)
dy
(
x
y 3 x 2 y )dx F1dx F2 dy
C
C
F F
2 1 dA (4 y 2 2) ( x 2 2) dA x 2 4 y 2 4 dA
x y
R
R
R
(4 y x 2 x)dy ( x
2
C
2
y 3x 2 y )dx x 2 4 y 2 4 dA
R
F1 F2
F
n
ds
F
dy
F
dx
1
2
C
C
R x y dA
F2 F1
F
T
ds
F
dx
F
dy
1
2
C
C
R x y dA
Greens teorem
Eks - Kurve C [3/4]
Tangentialform
(4 y x 2 x)dy ( x
2
2
y 3x 2 y )dx x 4 y 4 dA
C
2
2
R
Siden integranden i dobbeltintegralet over R
er null på ellipsen C, positiv utenfor ellipsen C
og negativ innenfor ellipsen C,
så vil dobbeltintegralet (summeringen) gi en minimum verdi
når området R er området innenfor den gitte ellipsen C.
R2
C2
C1
C3
x2 4 y2 4
x2 y2
2 1
2
2
1
Ellipsen C
x2 4 y 2 4 0
R1
R3
x2 4 y2 4 0
C
R
x2 4 y 2 4 0
x2 4 y 2 4 0
F1 F2
F
n
ds
F
dy
F
dx
1
2
C
C
R x y dA
F2 F1
F
T
ds
F
dx
F
dy
1
2
C
C
R x y dA
Greens teorem
Eks - Kurve C [4/4]
Tangentialform
(4 y x 2 x)dy ( x
2
2
y 3x 2 y )dx x 4 y 4 dA
C
2
2
x2 4 y2 4 0
x2 y2
2 1
2
2
1
R
F F1 , F2 ( x 2 y 3x 2 y),4 y 2 x 2 x
C
Ellipsen C
C
Greens teorem
Areal som sirkel-integral - Innledning
Arealet av et område R i planet er gitt ved:
A dA
y
R
R
C
Vi skal se hvordan vi vha Greens teorem
kan finne en formel for areal som enkelt sirkel-integral
langs konturen av området.
Det finnes uendelig mange slike formler.
Dette betyr at det er mulig å bestemme arealet av et område ved å bevege seg rundt området
når vi til enhver tid kjenner til hvor langt vi beveger oss og i hvilken retning vi beveger oss.
x
A dA xdy
R
Greens teorem
C
Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 1
Greens teorem (tangentiell form):
F2 F1
F
T
ds
F
dx
F
dy
2
C
C 1
R x y dA
y
A dA
Arealet av området R:
R
R
Greens teorem (tangentiell form)
beregner arealet av R hvis:
Mulig løsning:
F2
1
x
F2 x
F2 F1
1
x y
C
x
F1
0
y
F1 0
A dA xdy
R
A dA 1 0dA 0 dx xdy xdy
R
R
C
C
C
A dA ydx
R
Greens teorem
C
Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 2
Greens teorem (tangentiell form):
F2 F1
F
T
ds
F
dx
F
dy
2
C
C 1
R x y dA
y
A dA
Arealet av området R:
R
R
Greens teorem (tangentiell form)
beregner arealet av R hvis:
Mulig løsning:
F2
0
x
F2 0
F2 F1
1
x y
C
x
F1
1
y
F1 y
A dA ydx
R
A dA 0 (1) dA y dx 0 dy ydx
R
R
C
C
C
A dA
Greens teorem
R
1
xdy ydx
2 C
Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 3
Greens teorem (tangentiell form):
F2 F1
F
T
ds
F
dx
F
dy
2
C
C 1
R x y dA
Arealet av området R:
y
A dA
R
R
Greens teorem (tangentiell form)
beregner arealet av R hvis:
Mulig løsning:
F2 1
x 2
1
F2 x
2
F2 F1
1
x y
F1
1
y
2
1
F1 y
2
1
1 1
A dA dA xdy y dx
2 2
2C
R
R
C
x
A dA
R
1
xdy ydx
2C
Greens teorem
A dA xdy ydx
R
C
C
Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 1
Beregn arealet av et rektangel
med sider a og b
A xdy
C
x dy
x dy x dy
x dy
I
y
b
III
0
II
II
I
a
III
0 ady 0 0
C
IV
II a
yb
x
a dy
y 0
ay y 0
yb
ab
0
IV 0
1
xdy ydx
2 C
A dA xdy ydx
Greens teorem
R
C
C
1
xdy ydx
2 C
Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 2
Beregn arealet av en sirkel med radius a
A
y
1
2
C
a
1
xdy - ydx
2 C
x
1
2
r (t) acost, asint
t 0,2
x a cos t
dx a sin tdt
y a sin t
dy a cos tdt
t 2
a cos t a cos t a sin t (a sin t )dt
t 0
t 2
a
2
cos 2 t a 2 sin 2 t dt
t 0
1
a2
2
1
a2
2
t 2
cos
2
t sin 2 t dt
t 0
t 2
dt
t 0
1
1
t 2
a 2 t t 0 a 2 2 a 2
2
2
Flate-integral
Areal dS
Areal - Def
S
R
f
dA
f p
f
S beskrevet av nivåflaten f(x,y,z) = c
z
Planområdet R er projeksjonen av S
(på figuren projeksjonen ned i xy-planet)
S
p enhetsnormalvektor på planområdet R
p
y
R
x
Arealet av S er gitt ved:
Areal dS
S
R
f
dA
f p
Flate-integral
Areal dS
Areal - Bevis [1/2]
S
v
P
S
u
R
Q
P’
u'
v'
p
S’
A
Q’
R’
PQRS parallellogram
p enhetsnormalvektor på flaten A
A (u v) p
R
u PP' P' Q' Q' Q
PP' u' Q' Q
u' PP' Q' Q u' P' P Q' Q u' Q' Q P' P u'sp
v PP' P' S' S' S
PP' v' S' S
v' PP' S' S u' P' P S' S u' S' S P' P v' tp
u v (u'sp) ( v' tp) u'v'sp v' t
u'p stp p
p
p
(u v) p (u'v' ) p
(u v) p (u'v' ) p u'v' p cos
u'v' A
1
0
f
dA
f p
Flate-integral
Areal
A dS
dS
Areal - Bevis [2/2]
SS
f
u k vk
p
S
Ak
uk
p
vk
Pk
R
ΔA k (u k v k ) p u k v k p cosγ k ΔPk cosγ k
f p f p cosγ k f cosγ k
Ak
ΔA k
cosγ k
ΔPk
f p
cosγ k
f
Areal
ΔPk
f
ΔA k
f p ΔA k
f p
f
R
f
dA
f p
RR
ff
dA
dA
ff pp
Flate-integral
Areal dS
Areal - Eks
S
R
f
dA
f p
Finn arealet av paraboloideflaten x2 + y2 – z = 0
når paraboloiden kuttes av planet z = 4.
La f(x,y,z) = x2 + y2 – z.
Da er flaten S gitt ved nivåflaten f(x,y,z) = 0.
f(x, y, z) x 2 y 2 z
f f f
f , , 2x,2y, 1
x y z
f (2x) 2 (2y) 2 (1) 2 4x 2 4y 2 1
f p 2x,2y, 1 0,0,1 2x 0 2y 0 (1) 1 1
f p 1 1
4
p 0,0,1
S
x 2 y 2 22
R
A
R
2π 2
0 0
f
dA
f p
R
4x 2 4y 2 1
dA 4x 2 4y 2 1dxdy
1
R
2
2π
3
3
1 2
1
π
2
2
4r 1rdrdθ (4r 1) dθ (17 2 1)dθ (17 17 1)
12
12 0
6
0
2π
0
Flate-integral
Areal dS
Areal - Spesialtilfeller
S
R
f
dA
f p
Flate z = f(x,y)
La F(x,y,z) = z – f(x,y)
S er da gitt ved nivåflate F(x,y,z) = 0
4
F(x, y, z) z f(x, y)
F F F f f
F , , , ,1 f x ,f y ,1
x y z x y
x 2 y 2 22
F (f x ) 2 (f y ) 2 12 1 f x f y
F p f x ,f y ,1 0,0,1 (f x ) 0 (f y ) 0 11 1
F p 1 1
2
p 0,0,1
S
R
2
z f(x, y)
A 1 f x f y dxdy
2
2
R
x f(y, z)
z f(x, y)
A
R
F
dA
F p
R
1 fx fy
2
1
A 1 f y f z dydz
2
2
R
2
dA 1 f x f y dxdy
2
R
2
y f(x, z)
A 1 f x f z dxdz
2
R
2
Flate-integral
Flate - integral av g over S gd S g
Def
S
f
dS S
p
S
g
R
p
Flate gitt ved f(x,y,z) = c
Kontinuerlig funksjon på S
Projeksjonen av S
Enhetsnormal på R
R
dA
Flate integral av g over S
gd S
S
g
R
f
dA
f p
dS
f
dA
f p
R
f
dA
f p
f
F ndS F n
dA
f p
S
R
Fluks
3D - Def
f
F
n
dS S
p
dA
S
F
R
p
Flate gitt ved f(x,y,z) = c
3-dim vektorfelt
Projeksjonen av S
Enhetsnormal på R
R
Fluks av et 3 - dim vektorfel t F
over en orientert flate S i retning n
f
F ndS F n
dA
f
p
S
R
dS
f
dA
f p
f
F ndS F n
dA
f p
S
R
Fluks
3D - Eks
Finn fluksen av F = [ 0, yz, z2 ]
ut av flaten S
avkuttet fra sylinderen y2 + z2 = 1, z 0
og planene x = 0 og x = 1.
f(x, y, z) y 2 z 2
S nivåflaten f(x, y, z) 1
f f f
f , , 0,2y,2z
x y z
f 0 2 (2y) 2 (2z) 2 4y 2 4z 2 2 y 2 z 2 2 1 2
z
n
F
y
f 0,2y,2z
n
0, y, z
f
2
F n 0, yz, z 2 0, y, z y 2 z z 3 z(y 2 z 2 ) z 1 z
f p 0,2y,2z 0,0,1 2z
f p 2z 2z
x
f
2
F ndS F n
dA z dA dA 2 1 2
f p
2z
S
R
R
R
Masse, moment og massesenter til tynne skall
Def
Masse
M dm δdS
S
Moment
S
M yz xδdS
M xz xδdS
S
Massesenter
Treghetsmoment
x
S
M yz
M
I x ( y 2 z 2 )dS
S
Gyrasjonsradius
RL
M xy zδdS
y
S
M xz
M
I y ( x 2 z 2 )dS
S
IL
M
z
M xy
M
I z ( x 2 y 2 )dS
S
I L r 2 δdS
S
f
dA
M xy
f
p
z
S
S
M
S δdS δ f dA
f p
S
zδdS
Massesenter til tynne skall
Eks
Finn massesenteret til
et tynt halvkuleskall
med radius a
og konstant massetetthet .
Symmetri
f(x, y, z) x 2 y 2 z 2
S nivåflaten f(x, y, z) a 2
f f f
f , , 2x,2y,2z
x y z
z
S
R
x
xy0
zδ
y
f (2x) 2 (2y) 2 (2z) 2 4x 2 4y 2 4z 2 2 x 2 y 2 z 2 2a
f p 2x,2y,2z 0,0,1 2z
f p 2z 2z
M δdS δ
S
dS
S
1
δ 4a 2 δ2πa 2
2
Arealet av S
M xy zδdS δ zdS δ z
S
S
R
f
2a
dA δ z dA aδ
f p
2z
R
dA
S
Arealet av R
δπa 3
a
z
M
δ2πa 2 2
M xy
aδa 2 δπa 3
Parameteriserte flater
Kurve
Def
Flate
z
r r (t)
r r (u, v)
b
C
r r (t)
a
r(t)
y
[
]
t
x
z
v
r r (u, v)
S
r(u,v)
u
y
x
Parameteriserte flater
Areal dS
Areal
S
f
v
r (u, v)
v
D
(u,v)
u
dA ru rv dudv
f p
D
ru rv
p
S
R
f
S
f
p
rv v
S
r (u, v)
ru u
u
A
r (u Δu, v) r (u, v)
ru
Δu
r (u, v Δv) r (u, v)
rv
Δv
ΔS ru Δu rv Δv ru rv ΔuΔv
A
R
r (u Δu, v) r (u, v) ru Δu
r (u, v Δv) r (u, v) rv Δv
Areal dS
S
R
f
dA ru rv dudv
f p
D
Flate integral
Parameteriserte flater
gdS g
Flate-integral
S
f
v
r (u, v)
v
D
(u,v)
u
R
dA g ru rv dudv
f p
D
ru rv
p
S
f
S
r (u, v)
ru u
f
p
rv v
S
u
A
r (u Δu, v) r (u, v)
ru
Δu
r (u, v Δv) r (u, v)
rv
Δv
ΔS ru Δu rv Δv ru rv ΔuΔv
A
R
r (u Δu, v) r (u, v) ru Δu
r (u, v Δv) r (u, v) rv Δv
gdS g
S
R
f
dA g ru rv dudv
f p
D
Flate integral
Parameteriserte flater
gdS g
Flate-integral - Spesialtilfeller - Def
S
R
f
dA g ru rv dudv
f p
D
Kartesiske koordinater
z f ( x , y)
r r ( x, y) x, y, f ( x, y)
rx 1,0, f x
rx ry 1,0, f x 0,1, f y f x ,f y ,1
2
2
dS rx ry dxdy 1 f x f y dxdy
Sylinder-koordinater
z f (r, )
r r (r, ) r cos , r sin , f (r, )
rr r f sin ,f r r cos , f cos f r r sin , r
2
2
rr r f r 2 f r r 2
ry 0,1, f y
1 2
2
dS rr r drd 1 f r 2 f rdrd
r
Kule-koordinater
f (, )
r r (, ) f (, ) sin cos , f (, ) sin sin , f (, ) cos
r f sin ,f r r cos , f cos f r r sin , r
2
2
r r f 2 f f 4 sin 2 f 2 f sin 2
2
2
dS r r dd f (f 2 f ) sin 2 fd d
Flate integral
Parameteriserte flater
gdS g
Eks 1 - Kjegle
S
Kjegle
z x 2 y2
z 0,1
x r cos
y r sin
z x 2 y 2 (r cos ) 2 (r sin ) 2 r
r r (r, ) r cos , r sin , r
z
1
r(t)
S
y
x
r 0,1
0,2
R
f
dA g ru rv dudv
f p
D
Flate integral
Parameteriserte flater
gdS g
Eks 2 - Kule
S
R
Kule
x 2 y2 z2 a 2
z
S
x a sin cos
r(t)
y
0,
y a sin sin
z a cos
x
r r (, ) a sin cos , a sin sin , a cos
z
x
0,2
y
f
dA g ru rv dudv
f p
D
Flate integral
Parameteriserte flater
gdS g
Eks 3 - Sylinder
S
Sylinder
x 2 ( y 3) 2 9
z 0,5
x r cos
z
y r sin
S
r(t)
zz
y
x 2 ( y 3) 2 9
x
x 2 y2 6y 9 9
x 2 y2 6y 0
z
r 2 6r sin 0
S
r(t)
r (r 6 sin ) 0
y
3
x
r 0 r 6 sin 0
r 6 sin
r r (, z) 6 sin cos ,6 sin sin , z
3 sin 2,6 sin 2 , z
R
f
dA g ru rv dudv
f p
D
Parameteriserte flater
Areal
Eks 4
Areal av kjegleflate [1/4]
dS
S
Kjegle
Beregn arealet av kjegleflaten
1
Nivåflate
R
f
2
2
dA 1 f x f y dxdy ru rv dudv
f p
R
D
z 0,1
z x 2 y2
f ( x, y, z) z x 2 y 2
A dS
S
R
f
dA
f p
z
2
Spesialtilfelle
1
r(t)
z f ( x , y)
A dS 1 f x f y dxdy
2
S
S
R
y
x
r 0,1
0,2
3
Parameterisering
r r (r, ) r cos , r sin , r A dS ru rv dudv
S
D
2
Parameteriserte flater
Areal
Eks 4
Areal av kjegleflate [2/4]
dS
Kjegle
S
R
f
2
2
dA 1 f x f y dxdy ru rv dudv
f p
R
D
1
2 2
f(x, y, z) z x y z (x y )
2
1 Nivåflate
2
2
S : f(x, y, z) 0
f f f 1
1
1
1
f , , ( x 2 y 2 ) 2 2 x , ( x 2 y 2 ) 2 2 y,1
2
x y z 2
x
y
,
x 2 y 2
x 2 y2
z
x
f
x 2 y2
1
r(t)
S
y
x
r 0,1
z x y
2
0,2
2
z 0,1
2
y
x 2 y2
x
y
f p
,
x 2 y 2
x 2 y2
f p 1 1
A dS
S
R
f
,1
2
2
2
1 x y 1 11 2
x 2 y2
,1 0,0,1 1
2
dA 2 dA 2 12 2
dA
f p
1
R
R
Parameteriserte flater
Areal
Eks 4
Areal av kjegleflate [3/4]
dS
S
Kjegle
R
f
2
2
dA 1 f x f y dxdy ru rv dudv
f p
R
D
z f ( x , y)
2 Spesialtilfelle
1
2 2
z f(x,.y) x y (x y )
2
2
2
A dS 1 f x f y dxdy
2
S
z
1
R
r(t)
S
y
R
x
r 0,1
0,2
R
z x y
2
2
z 0,1
2
R
1
1
1 2
1 2
2
2
2
1 (x y ) 2x (x y ) 2 2y dxdy
2
2
x2
y2
1 2
dxdy
x y2 x 2 y2
x 2 y2
1 2
dxdy
x y2
2 dA 2 π 12 π 2
R
Parameteriserte flater
Areal
Eks 4
Areal av kjegleflate [4/4]
dS
S
Kjegle
3 Parameterisering
R
f
2
2
dA 1 f x f y dxdy ru rv dudv
f p
R
D
r r (r,θ ) r cos θ,r sin θ,r
r 0,1 θ 0,2π
r
r
r r cos θ,r sin θ,r
rr
cos θ, sin θ,1
rθ
-r sin θ,r cos θ,0
r
θ
i
j
k
rr rθ cos θ
sin θ 1 r cos θ, r sin θ,r
-r sin θ r cos θ 0
z
rr rθ ( r cos θ) 2 ( r sin θ) 2 r 2 r 2 r 2 2r 2 2 r r 2
1
r(t)
S
y
x
r 0,1
0,2
A dS rr rθ drdθ
S
D
2 rdrdθ
D
2π 1
z x 2 y2
z 0,1
θ 2 π r 1
r 1
θ2 π
2
2
1
2 rdrdθ 2 r 2 dθ
dθ
2π π 2
2
2
2
0 0
θ 0 r 0
θ 0
r 0
Flate integral
Parameteriserte flater
gdS g
Eks 5 - Flate-integral over kjegleflate
S
Kjegle
R
Bestem integralet av G(x,y,z) = x2 over kjeglen
r
rr
cos θ,sin θ,1
r
k
r r cos θ,r sin θ,r
i
j
rr rθ cos θ
f
dA g ru rv dudv
f p
D
z x 2 y2
z 0,1
r
rθ
-r sin θ,r cos θ,0
θ
1 r cos θ, r sin θ,r
sin θ
-r sin θ r cos θ
0
rr rθ ( r cos θ)2 ( r sin θ)2 r 2 r 2 r 2 2r 2 2 r r 2
z
1
r(t)
y
x
r 0,1
x dS (r cos )
2
S
0,2
S
2
rr rθ drdθ r 2 cos 2 r 2drdθ 2 r 3 cos 2 drdθ
D
D
θ 2 π r 1
D
θ 2 π r 1
r 1
θ 2π
2
1
2 r cos drdθ 2 r 4 dθ
cos 2 dθ
4 r 0
4 θ 0
θ 0 r 0
θ 0 r 0
3
θ 2π
2
2
2
1 cos 2
2 1
1
2
dθ
sin 2
4 θ 0
2
4 2
4
4
0
Green - Div
Greens teorem
Def - 2D
F
nds
C
Green - Curl
F
dA
R
F Tds
C
( F ) kdA
R
Green - Fluks - Divergens - Normalform
F nds F1dy F2 dx
C
F F
1 2 dxdy divFdA FdA
x
y
R
R
R
C
R
C
n
F
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
C F Tds F1dx F2 dy
C
C
F F
2 1 dxdy (curlF ) k dA ( F ) k dA
x y
R
R
R
C
R
T
F
Gauss
Gauss / Stokes teorem
Def - 3D
- Div
F ndS
S
F Tds
Stokes - Curl
D
( F ) ndS
C
Gauss - Divergens
S
z
F
ndS F1dydz F2dzdx F3dxdy
S
FdV
S
n
S
D
F F F
1 2 3 dxdydz
x y z
D
div FdV FdV
D
F
y
x
D
Stokes - Curl
F
T
ds
F
dr F1dx F2 dy F3dz
C
C
S
C
F F
F F
F F
3 2 dydz 1 3 dzdx 2 1 dxdy
y
z
x
z
x y
S
curlF n dS ( F ) n dS
S
n
z
S
C
T
F
y
x
Gauss
Gauss / Stokes teorem
Bevis-skisse Gauss - 3D
- Div
F ndS
S
Stokes - Curl
FdV
D
F Tds
( F ) ndS
C
S
F ndS F ndS F k dS F (k )dS
St
Sb
St
Sb
z
F3 dS F3 dS
St
S
n
Sb
D
F3 ( x, y, z z ) F3 ( x, y, z )dS
F
S xy
z z F3
dz dS
z
S xy z
F
3 dV
z
V
F1 F2 F3
F
n
dS
x y z dxdydz
S
D
divFdV FdV
D
D
y
x
St
Sb
Gauss
- Div
F ndS
S
Gauss / Stokes teorem
Stokes - Curl
Bevis-skisse Stokes - 3D
F Tds
FdV
D
( F ) ndS
C
S
n
z
F
Tds
EABCDE
F
Tds
EAB
Green
F
Tds
BCE
F
Tds
CDE
(
F
) n dS
(
F
) n dS
EAB
BCE
( F ) n dS
S
C
T
(
F
) n dS
F
y
CDE
x
ABCDE
E
F Tds ( F ) ndS
C
S
A
D
B
C
F
nds
C
Green
- 2D
Gauss / Stoke - 3D
F
dA
F ndS
R
F Tds
C
S
( F ) kdA
R
F Tds
C
FdV
D
( F ) ndS
S
Green’s teorem - Stoke’s teorem
2D
Green - Normalform
3D
1
C
Sirkulasjon
Areal
R
F F F
1 2 3 dxdydz
x y
z
D
divFdV
R
FdV
C
F1dx F2 dy
C
F F
2 1 dxdy
x y
R
curlF k dA
F k dA
R
D
Stoke
D
F Tds F dr
R
Gauss
Divergens
S
FdA
C
Curl Sirkulasjo nstetthet
S
F F
1 2 dxdy
x y
R
divFdA
Fluks
Areal
Green - Tangensialform
2
C
Divergens Flukstetth et
F
ndS F1dydz F2 dzdx F3dxdy
F nds F dy F dx
F Tds F dr
C
C
F1dx F2 dy F3 dz
C
F F
F F
F F
3 2 dydz 1 3 dzdx 2 1 dxdy
y
z
z x
x y
S
curlF n dS
S
F n dS
S
Stokes
Curl
Green / Gauss / Stokes
Def - 2D - 3D
2D
Green - Divergens
F nds FdA
C
Green - Curl
C F Tds ( F) kdA
C
3D
Gauss - Divergens
R
R
F ndS FdV
S
Stokes - Curl
D
C F Tds ( F) ndS
C
S
Stokes
Maksimal sirkulasjon
Stokes - Curl
C F Tds ( F) ndS
C
S
Maksimal sirkulasjon
når n er parallell med curl F
Vektorfelt
curl F F
Maksimal sirkulasjon
i dette planet
Stokes teorem
Eks 1 - Verifisering
F Tds ( F ) ndS
C
S
Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data:
Vektorfelt : F = [ y, -x, 0 ]
Kuleflate : S : x2 + y2 + z2 = 9
z0
2
2
Rand
: C:x +y =9
z
S
C R
y
x
F
T
ds
(
F
) ndS
C
S
F
Stokes teorem
Eks 1 - Sirkulasjon
F Tds ( F ) ndS
C
S
Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data:
Vektorfelt : F = [ y, -x, 0 ]
Kuleflate : S : x2 + y2 + z2 = 9
z0
2
2
Rand
: C:x +y =9
z
S
C R
y
x
F
T
ds
F
dr
C
C
r ( ) 3 cos ,3 sin ,0
dr 3 sin ,3 cos ,0d
F y, x,0 3 sin ,3 cos ,0
F dr 3 sin ,3 cos ,0 3 sin ,3 cos ,0d
(9 sin 2 9 cos 2 )d 9(sin 2 cos 2 )d 9d
2
F Tds F dr (9)d 9 d 9 2 18
C
C
C
0
F
F Tds ( F ) ndS
Stokes teorem
Eks 1 - Flateintegral 1
(
F
) n dS
dS
S
f
dA
f p
C
f ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2
S : Nivåflaten
S
f ( x, y , z ) 9
f f f
f , , 2 x,2 y,2 z
f ( 2 x ) 2 ( 2 y ) 2 ( 2 z ) 2 2 x 2 y 2 z 2 2 9 2 3 6
x y z
f
2 x,2 y,2 z 1 x, y, z
z
f p f k 2 x,2 y,2 z 0,0,1 2 z 2 z
n
n
f
6
3
S
i
j
k
C R
F
0,0,2
F
x y z
x
y x 0
f
(
F
)
n
dS
(
F
)n
dA
S
R
f p
0,0,2
R
1
x, y, z 6 dA
3
2z
2
6
( ) z dA 2 dA 2 32 18
3 2z
R
R
f
pk
y
Stokes teorem
Eks 1 - Flateintegral 2
F Tds ( F ) ndS
C
S
Velger S2: x2 + y2 9 som ny flate.
Også denne flaten har C som rand.
z
( F ) ndS ( F ) ndS
S2
S
R
0,0,2 0,0,1dS
R
(2)dS
R
2 dS 2 32 18
R
C R
nk
S2
x
y
F
F Tds ( F ) ndS
Stokes teorem
Eks 2 - Sirkulasjon
C
Finn både direkte og vha Stokes teorem sirkulasjonen av F = [ x2-y, 4z, x2 ]
langs (mot klokka) kurven C
fremkommet ved skjæring av planet z = 2 med kjeglen z = x2 + y2
S
z
F
C
2
F Tds F d r
C
y
C
r ( t ) 2 cos t ,2 sin t ,2
d r 2 sin t ,2 cos t ,0dt
F x 2 y,4z, x 2 (2 cos t ) 2 2 sin t ,4 2, (2 cos t ) 2
F d r 4 cos 2 t 2 sin t ,8,4 cos 2 t 2 sin t ,2 cos t ,0dt
(8 sin t cos 2 t 4 sin 2 t 16 cos t )dt
2
2
2
t 16 cos t )dt
F Tds F d r (8 sin t cos t 4sin
C
C
0
8
cos 3 t 2 t sin 2 t 16 sin
3
1 cos 2 t
2
t 2
t
4
t 0
x
r 0,1
0,2
F Tds ( F ) ndS
Stokes teorem
Eks 2 - Flateintegral 1 - S: Kjeglesideflate
r r (r, ) r cos , r sin , r
r 0,2 0,2
rr cos , sin ,1
r r sin , r cos ,0 rr r r cos , r sin , r rr r r 2
i
j
k
F
4,2 x ,1 4,2r cos ,1
x
y z
x 2 y 4z x 2
rr r
1
r cos ,r sin , r
n
rr r r 2
dS rr r drd r 2drd
2 r 2
1
r cos ,r sin , r r 2drd
(
F
)
n
dS
4
,
2
r
cos
,
1
S
0 r0
r 2
2 r 2
(4r cos 2r
0 r 0
2
sin cos r )drd 4
C
S
z
2
n
S
F
y
x
r 0,2
0,2
Stokes teorem
Eks 2 - Flateintegral 2 - S: Kjegletoppflate
i
F
x
2
x y
j
y
4z
F Tds ( F ) ndS
C
k
4,2 x ,1
z
x2
S
n = [0,0,1]
z
S
2
F
y
(
F
) ndS 4,2 x ,10,0,1dS 1 dS
S
S
S
dS
S
Arealet av S
2 4
2
x
r 0,2
0,2
F Tds ( F ) ndS
Stokes teorem
Eks 3 - Oppgave
C
S
Bruk Stokes teorem til å beregne
F dr
z
(0,0,2)
F
C
C
for F = [ xz, xy, 3xz ]
(0,2,0)
(1,0,0)
hvor C er randen av den delen av planet 2x + y + z
som befinner seg i første oktant
og C gjennomløpes i retning mot klokka sett ovenfra.
x
y
Stokes teorem
Eks 3 - Løsning
F dr ( F ) ndS
C
dS
S
f ( x, y , z ) 2 x y z
F Tds ( F ) ndS
C
f
dA
f p
z
(0,0,2)
F
S : Nivåflaten f ( x, y, z ) 2
C
f f f
2
2
2
f , , 2,1,1
f 2 1 1 6
x
y
z
(1,0,0)
f
2,1,1 1 2,1,1
x
n
f
6
6
f p f k 2,1,1 0,0,1 2 0 1 1 1 1 1
f p 1 1
i
j
k
F
0, x 3 z , y 0, x 3 (2 2 x y ), y 0, x 7 x 3 y 6, y
x y z
xz xy 3 xz
dS
S
n
(0,2,0)
f
6
dA 6dA
dA
f p
1
1 2 2 x
1
S ( F ) ndS R 0, x 7 x 3 y 6, y 6 2,1,1 6dA R (7 x 4 y 6)dA 0 y0(7 x 4 y 6)dydx 1
y
F ndS div FdV FdV
Gauss teorem
Eks 1
S
D
D
z
Kontroller Gauss teorem (divergens-teoremet)
for F = [ x, y, z ] over kula x2 + y2 + z2 = a2.
F
S
a
n
y
f ( x , y, z ) x 2 y 2 z 2
S : Nivåflate
f ( x , y, z) a 2
x
f f f
f , , 2 x ,2 y,2z f (2 x ) 2 (2 y) 2 (2z) 2 2 x 2 y 2 z 2 2a
x y z
f 2 x ,2 y,2z 1
n
x , y, z
f
2a
a
1
1 2
F
n
dS
x
,
y
,
z
x
,
y
,
z
dS
( x y 2 z 2 )dS a dS a 4a 2 4a 3
S
S
a
a
S
S
Overflaten av S
4 3
F
dV
,
,
x
,
y
,
z
dV
(
1
1
1
)
dV
3
dV
3
a 4a 3
x y z
3
D
D
D
D
Volum av kula
F ndS div FdV FdV
Gauss teorem
Eks 2
S
D
D
z
Finn fluksen av F = [ xy, yz, xz ]
ut av kubus-flaten i første oktant
begrenset av planene x = 1, y = 1 og z = 1.
S
F
D
n
y
x
F ndS FdV
S
D
Utgående fluks
Divergensintegral
( xy ) ( yz ) ( xz )
dV
, , xy , yz , xz dV
x y z
x
y
z
D
D
z 1 y 1 x 1
z 1 y 1
x 1
z 1 y 1
1
1
( x y z)dxdydz x 2 xy xz dydz ( y z)dydz
2
2
x 0
z 0 y 0 x 0
z 0 y 0
z 0 y 0
z 1
y 1
z 1
z 1
1
1 1
1
1
1 1 1 3
1
1
y y 2 yz dz ( z)dz z z z 2
2
2
2 2
2
2 z 0 2 2 2 2
y 0
2
z 0
z 0
END