Transcript Document

Integrasjon i vektorfelt
Vektorfelt
Innledning
F
F
r
b
 f (x)dx
a
 f (x, y, z)dV
V
 
 F  dr
b
a

   FdV
V
Matematikk som bl.a. ingeniører og fysikere
kan benytte til å beskrive / studere:
- Væskestrøm i rør, blodårer, hjertekamre
- Varmestrøm
- Transmisjonskabler
- Gravitasjon
- Elektromagnetisme
- Mobilkommunikasjon
- Statistikk
-…
Vektorfelt
Innhold
Linje-integral
Vektorfelt, arbeid, sirkulasjon of fluks
Vei-uavhengighet, potensial-funksjon, og konservative felt
Flate-integraler og flate-areal
Parameteriserte flater
Greens teorem
Stokes teorem
Divergens teorem
Et vektorfelt er en funksjon
som til hvert punkt i sitt domene (def.mengde)
tilordner en vektor
Vektorfelt
Def
Værkart
Skrått kast
Væskestrøm
Flyvinge
Gravistasjonsfelt
Elektrisk / Magnetisk felt
Vektorfelt
Maxwells ligninger
Kurve-integral
Def
b
z
C en kurve i rommet
C
a
r = r(t) en glatt parameterfremstilling av kurven C
r(t)
y
f en kontinuerlig funksjon på C
x
 fds  lim  f (x , y , z )s
C
P 0
i
i
i
i
i

ds
fds

f
dt

f
v
C
C dt C (t ) dt
Hvis f er massetetthet, så beregner vi massen av kurven
Hvis f er lik 1, så beregner vi lengden av kurven
Kurve-integral
Eks 1

r ( t )  t , t , t 
z
t  0,1
En glatt parameterisering av C
(1,1,1)
C
y
 fds   f
C
C

ds
dt   f v( t ) dt
dt
C
t 1
x





f
r
(
t
)
r ' ( t ) dt

t 0
Integrer f(x,y,z) = x –
over linjesegmentet C
som forbinder origo
med punktet (1,1,1)
3y2
+z
t 1

 t  3t

2
 t 1,1,1 dt
2
 t 3dt
t 0
t 1

 t  3t

t 0
t 1


 3  2 t  3t 2 dt
t 0

 3 t2  t3

t 1
t 0
0
Kurve-integral
Eks 2
 

r (t )  t, t 2
y
t  0,2
M   ds   
C
C
C

ds
dt    v( t ) dt
dt
C
t 2
x






r
(
t
)
r ' ( t ) dt

t 0
t 2
Finn massen av wiren
r(t) = [t,t2]

t 0
t  [0,2]
Massetettheten er (x,y) = 2x
 2t 1,2t dt
t 2

 2t
1  (2 t ) 2 dt
t 0
t 2

 2t
1  4 t 2 dt
t 0
t 2


3
1
1
2 2
  1  4 t   17 17  1
6
 t 0 6


Kurve-integral
Masse - Massesenter - Treghetsmoment
Masse
M   ds
C
Første moment
om koordinatplan
Massesenter
M yz   xds
M xz   yds
C
x
M yz
M
M xy   zds
C

 xds
C
 ds
y
C
M xz
M
z
M xy
M
C
Treghetsmoment


I x   y 2  z 2 ds
C
Gyrasjonsradius
RL 

C
IL
M

I y   x 2  z 2 ds


I z   x 2  y 2 ds
C
I L   r 2 ds
C
Kurve-integral
Massesenter - Eks
M   ds
x
C
M yz
M

 xds
C
 ds
M
y  xz
M
z
M xy
M

C
xy0
Symmetri
π
 
M   δds   (2  z)ds   δ(r (t)) r ' (t) dt
C
0
π
  (2  sint) 1dt  2t  cost  0  (2π  1)  1  2π  2
π
0
Bestem massesenteret
til en halvsirkel-periferi
π
π
0
0
M xy   zds   z(2  z)ds   sint(2  sint) 1dt   (2sint  sin 2 t)dt
C
C
π
π
y2+z2 = 1 z  0
Massetettheten er gitt ved:
(x,y,z) = 2 - z
1  cos(2t)
1
1
8 π


  (2sint 
)dt   2cost  t  sin(2t)  
2
2
2
2

0
0
8 π
8 π
z
 2 
M
2π  2 4(π  1)
M xy
C
 ds
C

r (t)  0, cost, sint 
0tπ


v(t)  r ' (t)  0 2  (sint) 2  (cost) 2  1
C
 zds
( 0.57)
Arbeid
 
W   F  dr
Innledning
C
F
W  Fs
Konstant kraft
i samme retning
som rettlinjet forflytning
s
   
W  F  s  F s cos   Fs cos 
F
Konstant kraft
danner en konstant vinkel
med rettlinjet forflytning
s
F
 
W   F  ds
b
a
ds
F
dr
r
Varierende kraft
danner en varierende vinkel
med rettlinjet forflytning
C
 
W   F  dr
C
Varierende kraft
danner en varierende vinkel
med forflytning
langs en kurve
Arbeid
Def
F
T
dr
r
C
 
 dr
 
W   F  Tds   F  ds   F  dr
ds
C
C
C
 
 
 dr
W   F  Tds   F  d r   F  dt
dt
C
C
C
Arbeid
  F1dx  F2 dy  F3dz
Alternative former
C
F = [ F1, F2, F3 ]
T
C
 
 dr
 
W   F  Tds   F  ds   F  dr
ds
C
C
C

 dr
 
 
  F  dt   F  r ' dt   F  v dt
dt
C
C
C
dr
r = [ x, y, z ]
 dx dy dz 
  F1 , F2 , F3   , ,  dt
 dt dt dt 
C
dy
dz 
 dx
   F1  F2
 F3 dt
dt
dt
dt 
C
  F1dx  F2 dy  F3 dz
C
 
 
 dr
W   F  Tds   F  d r   F  dt
dt
C
C
C
Arbeid
  F1dx  F2 dy  F3dz
Eks 1 - Alternativ 1
C

r (t )  t ,2t ,3t 

r ' (t )  1,2,3
z
(1,2,3)
t  0,1
En glatt parameterisering av C
C
y
x
Bestem arbeidet utført av
kraften
F = [ 2x, y, 3 ]
langs den rette linjen
fra (0,0,0) til (1,2,3)
 
 dr
 
W   F  dr   F  dt   F  r ' (t )dt
dt
C
C
C
  2 x, y,3 1,2,3dt
C
  2t ,2t ,3 1,2,3dt
C
  (2t 1  2t  2  3  3)dt
C
t 1


2
(
6
t

9
)
dt

3
t
 9t

t 0

t 1
t 0
 12
 
 
 dr
W   F  Tds   F  d r   F  dt
dt
C
C
C
Arbeid
  F1dx  F2 dy  F3dz
Eks 1 - Alternativ 2
C

r (t )  t ,2t ,3t 

r ' (t )  1,2,3
z
(1,2,3)
C
t  0,1
En glatt parameterisering av C
y
W   F1dx  F2 dy  F3dz
x
C
Bestem arbeidet utført av
kraften
F = [ 2x, y, 3 ]
langs den rette linjen
fra (0,0,0) til (1,2,3)
  2 xdx  ydy  3dz
C

x 1
y 2
z 3
x 0
y 0
z 0
 2 xdx   ydy   3dz
 
y 2
z 3
1 
 x
  y 2   3z  z 0  1  2  9  12
x 0
 2  y 0
2 x 1
 
 
 dr
W   F  Tds   F  d r   F  dt
dt
C
C
C
Arbeid
  F1dx  F2 dy  F3dz
Eks 1 - Alternativ 3
C

r ( t )  t ,2 t ,3t 

r ' ( t )  1,2,3
z
(1,2,3)
C
t  0,1
En glatt parameterisering av C
y

r (t )  t ,2t ,3t 

r ' (t )  1,2,3
W   F1dx  F2 dy  F3dz
x
C
Bestem arbeidet utført av
kraften
F = [ 2x, y, 3 ]
langs den rette linjen
fra (0,0,0) til (1,2,3)
  2 xdx  ydy  3dz
C
  2 t 1dt  2 t  2dt  3  3dt
C
  2 tdt  4 tdt  9dt
C
t 1


2
(
6
t

9
)
dt

3
t
 9t

t 0

t 1
t 0
 12
t  0,1
dx
 1 dx  1dt
dt
dy
 2 dy  2dt
dt
dz
 3 dz  3dt
dt
 
 
 dr
W   F  Tds   F  d r   F  dt
dt
C
C
C
Arbeid
  F1dx  F2 dy  F3dz
Eks 2 - Alternativ 1
C




r (t )  t , t 2 , t 3

r ' (t )  1,2t ,3t 2
z
(1,1,1)
C
y
x

t  0,1
En glatt parameterisering av C
 
 dr
 
W   F  dr   F  dt   F  r ' (t )dt
dt
C
C
C





  y  x 2 , z  y 2 , x  z 2  1,2t ,3t 2 dt
Bestem arbeidet utført av
kraften
C
C
F = [ y - x2, z - y2, x - z2 ]



  0, t 3  t 4 , t  t 6  1,2t ,3t 2 dt
C
langs kurven
r(t) = [ t, t2, t3 ]

  t 2  t 2 , t 3  t 4 , t  t 6  1,2t ,3t 2 dt
0 t 1
  (0 1  (t 3  t 4 )  2t  (t  t 6 )  3t 2 )dt
C
t 1
t 1
2
3
3 
29
2
  (2t 4  2t 5  3t 2  3t 8 )dt   t 5  t 6  t 4  t 9  
6
4
9  t 0 60
5
t 0
 
 
 dr
W   F  Tds   F  d r   F  dt
dt
C
C
C
Arbeid
  F1dx  F2 dy  F3dz
Eks 2 - Alternativ 2
C




r (t )  t, t 2 , t 3

r ' ( t )  1,2 t ,3t 2
z
(1,1,1)

t  0,1
En glatt parameterisering av C




r (t )  t , t 2 , t 3

r ' (t )  1,2t ,3t 2
C

t  0,1
y
x
Bestem arbeidet utført av
kraften
W   F1dx  F2 dy  F3dz
C
F = [ y - x2, z - y2, x - z2 ]
dx  1dt
dy  2tdt
dz  3t 2 dt
C
langs kurven
r(t) = [ t, t2, t3 ]
  ( y  x 2 )dx  (z  y 2 )dy  ( x  z 2 )dz
dx
1
dt
dy
 2t
dt
dz
 3t 2
dt
0 t 1
  ( t 2  t 2 )1dt  ( t 3  t 4 )2 tdt  ( t  t 6 )3t 2 dt
C
t 1
t 1
2
3
3 
29
2
  (2 t  2 t  3t  3t )dt   t 5  t 6  t 4  t 9  
6
4
9  t 0 60
5
t 0
4
5
2
8
Strømning og Fluks
2D - Innledning
Strømning
C
T
F
Studier av et vektorfelt F
i retning langs enhetstangentvektoren T
Fluks
C
F
n
Studier av et vektorfelt F
i retning langs enhetsnormalvektoren n
Strømning
2D - Def
F representerer et kontinuerlig vektorfelt
r en glatt parameterisering av C
F
Strømning
T
C
dr
r
 
 dr
 
S   F  Tds   F  ds   F  dr
ds
C
C
C
Strømningen S kalles en sirkulasjon
hvis kurven C er lukket
C
Strømning
2D - Alternative former
F representerer et kontinuerlig vektorfelt
r en glatt parameterisering av C
F
T
dr
r
C
Strømning
 
 dr
 
S   F  Tds   F  ds   F  d r
ds
C
C
C
 dr
  F  dt
dt
C
 dx dy dz 
  F1 , F2 , F3   , ,  dt
 dt dt dt 
C
  F1dx  F2 dy  F3dz
C
Fluks
2D - Def
F = [ F1, F2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt
C glatt kurve i domenet (def.mengden til F)
n normal (i planet) til C
k
C
Fluks i retning n
T
n
F
Fluks beskriver feltlinjers krysning
med en kurve C.
Når positiv retning på C er valgt ( T ),
bestemmes positiv fluks ved at
feltlinjene har komponent i retning
av enhetsnormalen n gitt ved:
n=Txk
 
   F  nds
C
Fluks
2D - Alternative former
F = [ F1, F2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt
C glatt kurve i domenet (def.mengden til F)
n normal (i planet) til C
k
C
T
n
F
Fluks beskriver feltlinjers krysning
med en kurve C.
Når positiv retning på C er valgt ( T ),
bestemmes positiv fluks ved at
feltlinjene har komponent i retning
av enhetsnormalen n gitt ved:
n=Txk
 dr  dx dy 
T

,
ds  ds ds 


i
j
   dx dy
n T k 
ds ds
0
0

k
 dy dx 
0   , 
 ds ds 
1
Fluks i retning n
 
 dy dx 
   F  nds   F1 , F2   ,  ds   F1dy  F2dx
 ds ds 
C
C
C
Fluks
2D - Lukket kurve
F = [ F1, F2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt
C glatt kurve i domenet (def.mengden til F)
n normal (i planet) til C
C
k
T
n
F
Med definisjon av fluks,
ser vi at for en lukket kurve i xy-planet
med positiv omløpsretning mot urviseren,
vil enhetsnormalen n alltid peke ut av
det omsluttede kurve-området.
Dermed vil nettofluksen som krysser
kurven være positiv når det går mer fluks
ut enn inn av det omsluttede kurve-området.
 dr  dx dy 
T

,
ds  ds ds 


i
j
   dx dy
n T k 
ds ds
0
0

k
 dy dx 
0   , 
 ds ds 
1
Fluks i retning n
 
 dy dx 
   F  nds   F1 , F2   ,  ds   F1dy  F2dx
 ds ds 
C
C
C
Strømning - Fluks
2D - Oppsummering
k
C
T
Strømning
F
C
F
Fluks
F
k
C
T
n
F
 
S   F  Tds   F1dx  F2dy
C
 
   F  nds   F1dy  F2dx
C
C
 
S   F  Tds
Strømning
Eks: Flytting av partikkel i tyngdefelt
g
m
C
Tyngdefelt (tyngdeakselerasjon)
Masse av partikkel som skal flyttes
g
T


F  mg
Vektorfelt:
s
C
Arbeid utført av tyngdefeltet
ved flytting av partikkelen
over en strekning s av linjestykket C:
g
T
 
 
W  mgt  s  mg  Ts  F  Ts
C
 
dW  F  Tds
 
S  W   F  Tds
C
C
s
g
g
Strømning:
Arbeid utført
av tyngdefeltet
ved flytting av partikkelen
langs kurven C
T
Strømning
Eks: Flytting av ladning i elektrisk felt
E
q
 
S   F  Tds
C
Elektrisk felt
Ladning på partikkel som skal flyttes


F  qE
Vektorfelt:
E
T
s C
Arbeid utført av det elektriske feltet
ved flytting av den ladde partikkelen
over en strekning s av linjestykket C:
 
 
W  q  V  qE t  s  qE  Ts  F  Ts
E
s
T
C
 
dW  F  Tds
 
S  W   F  Tds
C
E
Strømning:
Arbeid utført
av det elektriske feltet
ved flytting av partikkelen
langs kurven C
ds
T
C
 
   F  nds
Fluks
Eks: Vannmengde som passerer en linje / kurve
v

Vannhastighet
Vanntetthet (masse pr areal)
Vektorfelt:


F  v
 
 
m   l  s
l

  s  v n s  v  ns  F  ns
t
t
t
dm  
d 
 F  nds
dt
C
C
s
v
l = vt
Vannmengde som pr tidsenhet passerer
over en strekning s av linjestykket C:
 
   F  nds
C
v
C
s
n
l = vt
v
C
ds
Fluks:
Vannmengde
som pr tidsenhet
passerer en kurve C
n
  
 , , 
 x y z 
Del-operator
Definisjon og anvendelse
Gradient
Divergens
Curl
Del-operator
  
 , , 
 x y z 
Gradient
  
 f f f 
grad f  f   , ,   f   , , 
 x y z 
 x y z 
Divergens

   
F F F
div F    F   , ,   F1 , F2 , F3   1  2  3
x y z
 x y z 
Curl

i

   

curl F    F   , ,   F1 , F2 , F3  
x
 x y z 
F1

j

y
F2
Retningsderivert
Fluks
Sirkulasjon / Rotasjon

k
  F3 F2 F1 F3 F2 F1 


,

,

z  y z z x x y 
F3
  
 , , 
 x y z 
Curl


curl F    F
Sammenheng mellom curl og rotasjon
Posisjon
Hastighet

v

r  x, y, z 
  
v  r

i

j

k
 
   r  1 2 3  2 z  3 y, 3 x  1 z, 1 y  2 x
x
y
  
v  r



r  x, y, z 
z



i
j
k





curl v    v 
x
y
z
2 z  3 y 3 x  1 z 1 y  2 x







  (1 y  2 x)  (3 x  1 z ), (2 z  3 y )  (1 y  2 x), (3 x  1 z )  (2 z  3 y )
z
z
x
x
y
 y


 1  1 , 2  2 , 3  3   21 ,22 ,23   21 , 2 , 3   2


curl v  2
Konservativt vektorfelt
Vei-uavhengighet
F definert i et åpent område D i rommet.
 
 F  dr
B
B
La
A
være uavhengig av alle veier
mellom A og B for alle A,B  D.
A
Vi sier da at integralet er vei-uavhengig.
Vi sier videre at F er konservativ og at vektorfeltet er konservativt.
Potensial-funksjon
F definert i et åpent område D i rommet.
Hvis det finnes en skalar-funksjon f
som er slik at
F= f
så kalles f for en potensial-funksjon til F
og vektorfeltet kalles for et gradientfelt.
F er gradienten til f
Gradientfelt og vei-uavhengighet
F definert i et åpent område D i rommet.
Bevis del 1:
Anta at det finnes en f slik at F =  f.
Det finnes en f slik at F =  f

 
F
  dr
C
vei-uavhengig

 
dr
C F  dr  C f  dt dt
 f f f   dx dy dz 
   , ,    , ,  dt
x y z   dt dt dt 
C
 f dx f dy f dz 
dt
  



x
dt

y
dt

z
dt

C
df
  dt
dt
C
B
  df   df  f  A  f (B)  f (A)
B
C
A
dvs, integralet er vei-uavhengig,
kun avhengig av endepunktene.
Vei-uavhengighet og null-integral for lukkede kurver
F definert i et åpent område D i rommet.
 
F
  dr  0
Bevis:
 
F
  dr  0
 lukkede C i D
C
 
 
F

d
r

F

  dr  0
C
C1
C2
 
 
F

d
r


F

  dr

C1
F er konservativ på D (dvs vei-uavhengig)
 
 F  dr 
C1
C2
 
 F  dr
C 2
  B 
A F  d r  A F  d r
 
B
C2
B
Langs C1
A
C1
Langs C 2
Vei  uavhengig
Gradientfelt og curl
F definert i et åpent område D i rommet.
F gradientfelt  curl F = 0

F  F1 , F2 , F3 

 f f f 
F  f   , , 
 x y z 

F  f

 
curl F  0
 
curl F  0
Bevis 1:
 
curl F  0
F3   f   2 f
  f  F
  
    2
y y  z  yz z  y  z
F1   f   2 f
  f  F
  
   3
z z  x  zx z  x  x
F2
  f   2 f
  f  F
   
   1
x x  y  xy y  x  y
  F F F F F F  
curl F   3  2 , 1  3 , 2  1   0
 y z z x x y 
Gradientfelt og eksakt differentialform
F = [ F1, F2, F3]
definert i et åpent område D i rommet.
Uttrykket F1dx + F2dy + F3dz
er en differential form.
Differentialformen kalles eksakt
hvis det finnes en skalar funksjon f slik at
F1dx  F2dy  F3dz 
f
f
f
dx  dy  dz  df
x
y
z

F  f

F1dx  F2dy  F3dz er eksakt
Ekvivalens for konservativt (vei-uavhengig) felt
F definert i et åpent område D i rommet.

F  f


F konservati v (vei  uavhengig)

 
 F  dr  0
 lukkede C i D
C

 
curl F  0

F1dx  F2 dy  F3dz er eksakt
Konservativt vektorfelt
Eks 1 - Oppgave
F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ]
1. Vis at F er konservativ (vei-uavhengig)
2. Bestem en potensialfunksjon til F
3. Bestem vei-integralet til F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)
Konservativt vektorfelt
Eks 1 - Løsning [1/3]
F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ]
1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0

i



curl F    F 
x
F1

F  F1 , F2 , F3 
F3 
 xy  z   x 1  0  x
y y
F1  x

e cos y  yz  0  y 1  y
z z
F2 

xz  e x sin y  1 z  e x sin y  z  e x sin y
x x






j

x
F2

k
  F3 F2 F1 F3 F2 F1 


,

,

x  y
z z x x y 
F3
F2 

xz  e x sin y  x 1  0  x
z z
F3 
 xy  z   1  y  0  y
x x
F1  x

e cos y  yz  e x ( sin y )  1  z  z  e x
y y






  F3 F2 F1 F3 F2 F1 
x
x
curl F  

,

,

 x  x, y  y, ( z  e sin y )  ( z  e sin y )  0,0,0  0
z z z x y 
 y
Konservativt vektorfelt
Eks 1 - Løsning [2/3]
F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ]
2. Bestem en potensialfunksjon til F

Siden F er konservati v,
finnes en potensialf unksjon f

slik at F  f


F  e x cos y  yz , xz  e x sin y, xy  z

 f f f 
F  f   , , 
 x y z 
f
 e x cos y  yz
x
f
g
 e x sin y  xz 
y
y
!
 xz  e x sin y
g
0
y

g  h (z)
f ( x , y, z)  e x cos y  xyz  g ( y, z)
f ( x , y, z)  e x cos y  xyz  h (z)
f
dh
 0  xy 
z
dz
!
 xy  z
dh
z
dz
h
1 2
z c
2
1
f ( x , y, z)  e x cos y  xyz  z 2  c
2
Konservativt vektorfelt
Eks 1 - Løsning [3/3]
F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ]
3. Bestem vei-integralet av F
langs den rette linjen
fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)

Siden F er konservati v (dvs vei - uavhengig) ,

vil vei  integralet til F være vei  uavhengig
og lik differanse n f(B)  f(A)
hvor A og B er henholdsvi s start og sluttpunkt av veien

og hvor f er en potensialf unksjon ti l F.

F  f
f ( x, y, z )  e x cos y  xyz 
1 2
z c
2
 
F
  dr  f ( B)  f ( A)
B
A
( 7 , 9 , 1)

 
F
  dr  f (7,9,1)  f (1,2,3)
(1, 2 , 3)
1
 (e 7 cos 9  7  9  (1)   (1) 2  c)
2
1
 (e1 cos 2  1  2  3   32  c)
2
7
 e cos 9  e cos 2  73 ( 1.071 103 )
Konservativt vektorfelt
Eks 2 - Oppgave
1. Vis at ydx + xdy + 4z er eksakt
2. Bestem følgende integral langs den rette linjen mellom de gitte punktene:
( 2 , 3, 1)
 ydx  xdy  4dz
(1,1,1)
A (1,1,1)
B (2,3,-1)
Konservativt vektorfelt
Eks 2 - Løsning [1/4]

F  F1 , F2 , F3   y, x ,4
 
 F  d r   F1dx  F2dy  F3dz
C
1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0

F  F1 , F2 , F3 
  F F F F F F 
curl F   3  2 , 1  3 , 2  1 
 y z z x x y 
F3 
 4   0
y y
F1 
 y   0
z z
F2

x   1

x x
F2 
 x   0
z z
F3 
4  0

x x
F1 
 y   1
y y
C
  ydx  xdy  4dz
C
  F F F F F F 
curl F   3  2 , 1  3 , 2  1 
 y z z z x y 

 0  0,0  0,1  1  0,0,0  0
Herav: ydx + xdy + 4dz er eksakt
Konservativt vektorfelt
Eks 2 - Løsning [2/4]
2. Bestemmelse av potensialfunksjon f

F  F1 , F2 , F3   y, x ,4
 
F
  d r   F1dx  F2dy  F3dz
C
C
  ydx  xdy  4dz
C
Siden ydx  xdy  4dz er eksakt,
finnes en potensialf unksjon f

slik at F  f

F   y , x, 4

 f f f 
F  f   , , 
 x y z 
f
y
x
!
f
g 
 x
 x
y
y
g
0
g  h( z )
y
!
f
dh 
 0
 4
z
dz
dh
4
h  4z  c
dz
f ( x, y, z )  xy  g ( y, z )
f ( x, y, z )  xy  h( z )
f ( x, y, z )  xy  4 z  c
Konservativt vektorfelt
Eks 2 - Løsning [3/4]
F = [ y, x, 4]
A (1,1,1)
2. Bestem vei-integralet av F
langs den rette linjen
fra A = (1,1,1) til B = (2,3,-1)

Siden F er konservati v (dvs vei - uavhengig) ,

vil vei  integralet til F være vei  uavhengig
F
B (2,3,-1)

F  f
f ( x, y, z )  xy  4 z  c
og lik differanse n f(B)  f(A)
hvor A og B er henholdsvi s start og sluttpunkt av veien

og hvor f er en potensialf unksjon ti l F.
 
F
  dr  f ( B)  f ( A)
B
A
( 2 , 3, 1)

 
 F  dr  f (2,3,1)  f (1,1,1)
(1,1,1)
 (2  3  4  (1)  c)  (1 1  4 1  c)   3
Konservativt vektorfelt
Eks 2 - Løsning [4/4]
2. Integralet kan også løses direkte
A (1,1,1)
F
Retnings  vektor :
A

v  2  1,3  1,1  1  1,2,3
Glatt parameterf remstillin g av linjen AB :

 
r (t)  r0  tv
B
( 2 , 3, 1)
 ydx  xdy  4dz
(1,1,1)
 1,1,1  t 1,2,3
 1  t ,1  2t ,1  2t 
x  1 t
B (2,3,-1)
dx  dt
y  1  2t
dy  2dt
z  1  2t
dz  2dt
t 1

 (1  2t ) 1  (1  t )  2  4  (2)dt
t 0
t 1

  (4t  5)dt  2t  5t
t 0
2

t 1
t 0
 3
 
F
  nds
Divergens
Curl
(Flukstetthet)

 d
divF    F 
 lim C
dA A0 A

 dC
curl F    F 
 lim C
dA A0 A
(Sirkulasjonstetthet)
Fluks
 
   F  nds   F1dy  F2dx
C
k
C
Strømning
T
dA dC
C
k
T
n
C
F
Divergens
A
C
 
S   F  Tds   F1dx  F2dy
C
n
 
F
  nds
F
 
 F  nds

 d

divF    F 
 lim
 lim C
dA A0 A A0 A
Curl

 
 F  Tds

 dC
C
curl F    F 
 lim
 lim C
dA A0 A A0 A
 
 F  nds
dC
dA

 
 F  Tds
dC
dA

F( x, y)  F1 ( x, y), F2 ( x, y)
 
   F  nds   F1dy  F2dx
Divergens (Flukstetthet)
Def - 2D [1/3]
C

j

i


 4  F4  (i )  y
( x, y )


F4  F ( x, y )

j
 
3  F3  j  x
 
F3  F ( x, y  y)
 
F2  F ( x  x, y )
 
F1  F ( x, y)


1  F1  ( j )  x
C
( x  x, y  y)

i
 
 2  F2  i  y
y
y
x
x
Netto fluks ut av rektanglet
  1   2  3   4

 
 



 F1  ( j )  x  F2  i  y  F3  j  x  F4  (i )  y








 F ( x, y )  ( j )  x  F ( x  x, y )  i  y  F ( x, y  y )  j  x  F ( x, y )  (i )  y

F( x, y)  F1 ( x, y), F2 ( x, y)
Divergens (Flukstetthet)
Def - 2D [2/3]
Netto fluks ut av rektangele t
 
   F  nds   F1dy  F2dx
C
C

  
F F
div F    F   ,   F1 , F2   1  2
x y
 x y 
  1   2   3   4

 
 



 F1  ( j )  x  F2  i  y  F3  j  x  F4  (i )  y








 F ( x, y )  ( j )  x  F ( x  x, y )  i  y  F ( x, y  y )  j  x  F ( x, y )  (i )  y
  F2 ( x, y )  x
 F1 ( x  x, y )  y  F2 ( x, y  y )  x  F1 ( x, y )  y
 F2 ( x, y  y )  F2 ( x, y )x  F1 ( x  x, y )  F1 ( x, y )y
 F ( x, y  y )  F2 ( x, y ) F1 ( x  x, y )  F1 ( x, y ) 
 2

xy

y
x



F ( x, y  y )  F2 ( x, y ) F1 ( x  x, y )  F1 ( x, y )
 2

xy
y
x

 F2 ( x, y  y )  F2 ( x, y ) F1 ( x  x, y )  F1 ( x, y )  F2 F1 F1 F2
d

 lim
 lim

  y  x  x  y    F
dA x ,y 0 xy x ,y 0 
y
x

Divergens (Flukstetthet)
Def - 2D [3/3]
 
F
  nds
 d

divF 
 lim
 lim C


x
,

y

0
dA
xy x ,y 0 xy

 F
D
 
F
  nds
 d


 lim C
 lim
divF 
0

y

,
x

xy x ,y 0 xy
dA
 
F
  nds
dC
C
dy
dA
A
dx
dxdy
 
F
  nds
dC
dxdy

F

n
B

  
 
 
1 
1   

  ( F2 )dx   F1dy   F2 dx   ( F1 )dy 
  F  n ds   F  n ds   F  n ds   F  n ds  
dxdy
dxdy bunn
bunn
venstre
topp
høyre
venstre
topp
høyre



1 

  F2 dx   F1dy   F2 dx   F1dy 
dxdy  bunn
venstre
topp
høyre


1 

  F1dy   F1dy   F2 dx   F2 dx 
dxdy høyre
bunn
topp
venstre




F2
F1
1 
1 
dydx

dxdy

dx
)
F

F
(

dy
)
F

F
(

  1høyre 1venstre
 y
 x
 2topp 2bunn  dxdy vertikalt
dxdy vertikalt
horisontalt
horisontalt



F2
1  F1
dx
dy

dy
dx


y dx 
dxdy  x dy


F1 F2    
  ,   F1 , F2     F

x y  x y 


F
1  F1
dxdy  2 dydx 

y
dxdy  x

Divergens (Flukstetthet)
Eks 1 - Fortegn - 2D

  
d
F F
 div F    F   ,   F1 , F2   1  2
dA
x y
 x y 
Ekspanderende gass
i punktet (x0,y0)

div F ( x0 , y0 )  0
Komprimerende gass
i punktet (x0,y0)

div F ( x0 , y0 )  0
Divergens (Flukstetthet)
Eks 2 - 2D

  
F F
div F    F   ,   F1 , F2   1  2
x y
 x y 
Finn divergensen av F(x,y) = [ F1, F2] = [ x2 – y, xy – y2 ]

  
F F
div F    F   ,   F1 , F2   1  2
x y
 x y 
 2


( x  y)  ( xy  y 2 )
x
y
 2x  x  2 y
 3x  2 y

F( x, y)  F1 ( x, y), F2 ( x, y)
Curl (Sirkulasjonstetthet)
Def - 2D [1/3]
C


C3  F3  (i )  x
 
F3  F ( x, y  y)

i

j


C4  F4  ( j )  y


F4  F ( x, y )
 
C   F  Tds   Mdx  Ndy
C
C
( x, y )
 
S   F  Tds   F1dx  F2 dy

i
C
( x  x, y  y)

j
 
 

C

F
F2  F ( x  x, y )
2
2  j  y
 
F1  F ( x, y)
 
C1  F1  i  x
y
y
x
x
Sirkulasjo n rundt rektanglet (retning mot klokka) :
C  C1  C2  C3  C4
 
 




 F1  i  x  F2  j  y  F3  (i )  x  F4  ( j )  y








 F ( x, y )  i  x  F ( x  x, y )  j  y  F ( x, y  y )  (i )  x  F ( x, y )  ( j )  y

F( x, y)  F1 ( x, y), F2 ( x, y)
Curl (Sirkulasjonstetthet)
Def - 2D [2/3]
Sirkulasjo n rundt rektangele t
 
S   F  Tds   F1dx  F2 dy
C
C

  

F F 
curl F    F   ,   F1 , F2   0,0, 2  1 
x y 
 x y 

C  C1  C2  C3  C4
 
 




 F1  i  x  F2  j  y  F3  (i )  x  F4  ( j )  y








 F ( x, y )  i  x  F ( x  x, y )  j  y  F ( x, y  y )  (i )  x  F ( x, y )  ( j )  y
 F1 ( x, y )  x  F2 ( x  x, y )  y  F1 ( x, y  y )  x
  F1 ( x, y  y )  F1 ( x, y )x  F2 ( x  x, y )  F2 ( x, y )y
 F2 ( x, y )  y
  F ( x, y  y )  F1 ( x, y ) F2 ( x  x, y )  F2 ( x, y ) 
 1

 xy

y

x


C
F ( x  x, y )  F2 ( x, y ) F1 ( x, y  y )  F1 ( x, y )
 2

xy
x
y
 
 F2 ( x, y  y )  F2 ( x, y ) F1 ( x  x, y )  F1 ( x, y )  F2 F1
dC
C
 lim
 lim

  x  y  (  F )  k
dA x ,y 0 xy x ,y 0 
x
y


F( x, y)  F1 ( x, y), F2 ( x, y)
 
S   F  Tds   F1dx  F2 dy
Curl (Sirkulasjonstetthet)
Def - 2D [3/3]
C
C
D
 
F
  Tds
dC
C
 lim
 lim C

dA x ,y 0 xy x ,y 0 xy
 
F
  Tds
dC
dy
dA
A
dx
dxdy

F
C

T
B


 
 
  
1   
1 
F

T
ds

F

T
ds

F

T
ds

F

T
ds

F
dx

F
dy

(

F
)
dx

(

F
)
dy


 1



 2 topp
 1
 2 
dxdy bunn
dxdy bunn

høyre
topp
venstre
høyre
venstre



1 
  F1dx   F2 dy   F1dx   F2 dy 
dxdy bunn

høyre
topp
venstre



1 
1 
F2
F1
dxdy  
dydx 
  ( F2 høyre  F2venstre )dy   ( F1topp  F1bunn )dx  
 
dxdy vertikalt
y
horisontalt
horisontalt
 dxdy vertikalt x


1  F2
F1

dx dy 
dy dx 

dxdy  x dy
y dx 

 
F2 F1

 (  F )  k
x y



1 
  F2 dy   F2 dy  (  F1dx   F1dx)
dxdy  høyre

venstre
topp
bunn

1  F2
F1
dxdy

dydx

dxdy  x
y


  

F F 
curl F    F   ,   F1 , F2   0,0, 2  1 
x y 
 x y 

Curl (Sirkulalsjonstetthet)
Eks 1 - Fortegn - 2D

k

  

F F 
curl F    F   ,   F1 , F2   0,0, 2  1 
x y 
 x y 

Rotasjon mot klokka
i punktet (x0,y0)


curl F ( x0 , y0 )  k  0

k
Rotasjon med klokka
i punktet (x0,y0)


curl F ( x0 , y0 )  k  0
Divergens
Curl
Divergens
(Flukstetthet
(Sirkulasjonstetthet)


1  
div F    F  lim  F  nds
A 0 A
C
C
A
n
Curl
F
 
 
1  
(curl F)  k  (  F)  k  lim  F  Tds
A 0 A
C
C
A
T
F
Curl (Sirkulasjonstetthet)
Eks 2 - 2D
Finn curl F til

  

F F 
curl F    F   ,   F1 , F2   0,0, 2  1 
x y 
 x y 

F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x, y ]

  
curl F    F   ,   F1 , F2 
 x y 

 
i
j k



0
x y
F1 F2 0

F F 
 0,0, 2  1 
x y 





 0,0, ( y)  ( x )
x
y 

 0,0,0  0
 0,0,0

0
Ingen rotasjons-tendens
Curl (Sirkulasjonstetthet)
Eks 3 - 2D
Finn curl F til

  

F F 
curl F    F   ,   F1 , F2   0,0, 2  1 
x y 
 x y 

F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ -y, x ]

  
Finn
k-komponenten
curl til F(x,y) = [ M, N] = [ x2 – y, xy – y2 ]
curl F    F   ,   Fav
1 , F2 
 x y 

 

 
i
j k
i
j k
  

0   


N M
(curl
0 

x F ) yk    F   ,   M , N  

x

y

x

y

x
y


F1 F2 0
M N 0

F F 

 2
 0,0, 2  1 
2

(
xy

y
)

( x  y)
x y 

x
y




 y 1
 0,0, ( x )  ( y)
x
y


 0,0,1  1

 0,0,2  2k
Rotasjons-tendens
Curl (Sirkulasjonstetthet)
Eks 4 - 2D
Finn k-komponenten av curl F til
F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x2 – y, xy – y2 ]
 
 
(curl F)  k  (  F)  k
   
 

   ,   F1 , F2   k
  x y 


 
 i
j k 

 


F F 

0   k  0,0, 2  1   0,0,1
 x y

x y 

 F F 0
2
 1

F F
 2 1
x y



( xy  y 2 )  ( x 2  y)
x
y
 y 1

  

F F 
curl F    F   ,   F1 , F2   0,0, 2  1 
x y 
 x y 

Curl (Sirkulasjonstetthet)
Fysisk tolkning av curl - 2D

  

F F 
curl F    F   ,   F1 , F2   0,0, 2  1 
x y 
 x y 

 
     
  
dC
F F   F F
 (curl F)  k  (  F)  k    ,   F1 , F2   k  0,0, 2  1   k  2  1
dA
x y 
x y

  x y 

 
 
W  C   F  Tds   (curl F)  kdA
C
R

curl F  konstantve ktor
Ikke  konstant curl :
La R være liten og benytt
(iflg.midd elverdiset ningen)


(curl F(c, d))  k(c, d)  R
 
(curl F)  k 
R
C
k
T
W
Arealet av R
curl F er arbeid pr enhetsareal der F er bidraget til en rotasjon rundt randen til R.
curl F peker rett opp når arbeidet er positivt, rett ned når arbeidet er negavivt.
curl F sier noe om kraftfeltets tendens til å gi rotasjon (styrke og retning) i et gitt punkt.
F
Greens teorem
Def - 2D
Fluks - Divergens - Normalform
 


 F1 F2 
dxdy   div FdA     FdA
   F  nds   F1dy  F2 dx   


x

y

C
C
R 
R
R
Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
 
 
 
 F2 F1 
dxdy   (curl F)  kdA   (  F)  kdA
C   F  Tds   F1dx  F2 dy   


x

y

C
C
R 
R
R
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2.
C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.
Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.
Greens teorem
Def - 2D - Fig
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2.
C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.
Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.
Green - Fluks - Divergens - Normalform
 
   F  nds   F1dy  F2 dx
C


 F F 
   1  2 dxdy   divFdA     FdA
x
y 
R 
R
R
C
R
C
n
F
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
 
C   F  Tds   F1dx  F2 dy
C
C
 
 
 F F 
   2  1 dxdy   (curlF )  k dA   (  F )  k dA
x y 
R 
R
R
C
R
T
F
Greens teorem
Def - 2D
Normalform
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2.
C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.
Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.
Green - Fluks - Divergens - Normalform
 
   F  nds   F1dy  F2 dx
C
R
C


 F F 
   1  2 dxdy   divFdA     FdA
x
y 
R 
R
R
n
C
F
Normalformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av normalkomponenten av F langs C,
dvs fluksen av F ut av den lukkede kurven C,
er lik dobbeltintegralet av divergensen til F over det indre området R av kurven C,
dvs summen av fluksen ut av alle infinitesimale kurver i det indre området R.
Greens teorem
Def - 2D
Tangentiellform
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2.
C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.
Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
 
C   F  Tds   F1dx  F2 dy
C
C
 
 
 F2 F1 
dxdy   (curlF )  k dA   (  F )  k dA
  


x

y

R 
R
R
C
R
T
F
Tangentiellformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av tangentiellkomponenten av F langs C,
dvs sirkulasjonen av F langs den lukkede kurven C,
er lik dobbeltintegralet av k-komponenten til curlen til F over det indre området R av kurven C,
dvs summen av sirkulasjonen langs alle infinitesimale kurver i det indre området R.
Greens teorem
Def - 2D - Part
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2.
C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.
Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.
Green - Fluks - Divergens - Normalform
 
   F  nds   F1dy  F2 dx
C


 F F 
   1  2 dxdy   divFdA     FdA
x
y 
R 
R
R
C
R
C
n
F
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
 
C   F  Tds   F1dx  F2 dy
C
C
 
 
 F F 
   2  1 dxdy   (curlF )  k dA   (  F )  k dA
x y 
R 
R
R
C
R
T
F
Greens teorem
Bevis-skisse - Curl / Div - 2D
C
y
Ci,j+1
III
Ci+1,j+1
IV
RP
Ri,j
Ci,j
Ci+1,j
Ri,j
II
I
x
 
C   F  Tds  lim
C
P 0
 
   F  nds  lim
C
P 0
 
 F  Tds  lim
RP
P 0
 
 F  nds  lim
RP
P 0

i
j Ci , j

i
 
 F  Tds
 
 F  nds
j Ci , j


 
r  r ( x )  x, y j1
 
II r  r ( y)  x i , y
 
III r  r ( x )  x, y j
 
IV r  r ( y)  x i 1 , y
I


x i 1  x  x i
y j1  y  y j
x fra x i til x i 1
y fra x j til y j1
 
 F2 F1 
F

T
ds

C
R  x  y dA
Greens teorem
Bevis-skisse - Curl - 2D
 
 F  Tds 
Ci , j
 F dx  F dy
1
2
Ci , j
  F1dx   F2 dy   F1dx   F2 dy
I

II
III
 F ( x, y
1
j 1
)dx 
xi 1

 F ( x , y)dy   F ( x, y )dx   F ( x
2
i
 F ( x, y
1
j 1
1

xi 1
, y )dy
yj
 F ( x , y)  F ( x
2
i 1
2
yj
i
2
i 1
, y )dy
x
y j 1
yj
yj
i
F1
F
 
dydx    2 dxdy
y
x
xi 1 y j 1
y j 1 xi 1
xi
j
xi
)  F1 ( x, y j ) dx 

T
y j 1
xi 1
y j 1
xi

F
IV
yj
xi
C
y
 F F 
   2  1 dA
x y 
Rij 
x
 F2
 
i
j Ci , j
i
j R ij


 
 F F 
F
 Tds    2  1 dA


P 0
x y 
i
j Ci , j
R 
 
F
  Tds  lim
C
III
 
 F F 
F
C  Tds  R  x2  y1 dA
F1 
  F  Tds     x  y dA
IV
Ri,j
I
II


 
r  r ( x )  x, y j1
 
II r  r ( y)  x i , y
 
III r  r ( x )  x, y j
 
IV r  r ( y)  x i 1 , y
I


x i 1  x  x i
y j1  y  y j
x fra x i til x i 1
y fra x j til y j1
 
 F1 F2 
F

n
ds

C
R  x  y dA
Greens teorem
Bevis-skisse - Div - 2D
 
 F  nds 
Ci , j
 F dy  F dx
1
2
Ci , j
   F2 dx   F1dy   F2 dx   F1dy
I
II
III
xi
   F2 ( x, y j1 )dx 
x i1

 F (x , y)dy   F (x, y )dx   F (x
1
i
1
i
1
i 1
, y)dy 
y j1
y j xi

n
y j1
x i1
2
y j1
 F (x , y)  F (x

F
IV
yj
yj
C
y
j
xi
1
i 1
, y)dy
yj
 F (x, y )  F (x, y )dx
xi
2
j
2
x
j1
x i1
yj
i
F1
F
  
dxdy    2 dydx
x
y
y j1 x i1
x i1 y j1
x
 F F 
   1  2 dA
x y 
R ij 
 F1
 
i
j Ci , j
i
j R ij


 
 F F 
F
 nds    1  2 dA


P 0
x y 
i
j Ci , j
R 
 
F
  nds  lim
C
III
 
 F F 
F
C  nds  R  x1  y2 dA
F2 
  F  nds     x  y dA
IV
Ri,j
I
II


 
r  r ( x )  x, y j1
 
II r  r ( y)  x i , y
 
III r  r ( x )  x, y j
 
IV r  r ( y)  x i 1 , y
I


x i 1  x  x i
y j1  y  y j
x fra x i til x i 1
y fra x j til y j1
Greens teorem
Fysisk tolkning - Uten hull
 
 F1 F2 
F

n
ds

C
R  x  y dA
 
 F2 F1n hull
F

T
ds

C
R  x  y dA
Green - Fluks - Divergens - Normalform
 
   F  nds   F1dy  F2 dx
C
R
C


 F F 
   1  2 dxdy   divFdA     FdA
x
y 
R 
R
R
C
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
 
C   F  Tds   F1dx  F2 dy
C
R
C
 
 
 F F 
   2  1 dxdy   (curlF )  k dA   (  F )  k dA
x y 
R 
R
R
C
Positiv og negativ fluks
Def - 2D - Fig
Green - Fluks - Divergens - Normalform
 
   F  nds   F1dy  F2 dx
C
C


 F F 
   1  2 dxdy   divFdA     FdA
x
y 
R 
R
R
Flom
Positiv fluks
Uttapping av vann
Negativ fluks
Elektrisk felt
Positiv fluks / Negativ fluks
Elektrisk felt
Null fluks
E
Greens teorem
Eks 1 - 2D
 


 F1 F2 


F

n
ds

F
dy

F
dx


dA

div
F
dA



F
2
C
C 1
R  x y  R
R dA
 
 
 
 F2 F1 


F

T
ds

F
dx

F
dy


dA

(
curl
F
)

k
dA
(


F
)  kdA
2
C
C 1
R  x y  R
R
Verifiser Greens teorem for vektorfeltet F(x,y) = [ x – y, x ]
over området R begrenset av sirkelen C: r(t)
= [ cost, sint] 0  t  2
x  cos t
dx   sin tdt
y  sin t
dy  cos tdt
F1  x  y  cos t  sin t
F2  x
 cos t
F1
F1
1
 1
x
y
F2
F2
1
0
x
y
2
2
2
 
1  cos 2t
2
C F  nds  C F1dy  F2 dx  0 (cos t  sin t )(cos t )  (cos t )( sin t )dt  0 cos tdt  0 2 dt  


 F1 F2 
2
div
F
dA



F
dA

R
R
R  x  y dA  R (1  0)dxdy  R dxdy   1  
Normalform
Fluks
2
2
2
 
 1
2 
C F  Tds  C F1dx  F2dy  0 (cos t  sin t )( sin t )  (cos t )(cos t )dt  0 (1  sin t cos t )dt  t  2 cos t   2
0
 
 
 F2 F1 
2
(
curl
F
)

k
dA

(


F
)

k
dA

R
R
R  x  y dA  R (1  (1))dxdy  2R dxdy  2 1  2 Tangentialform
Sirkulasjon
Greens teorem
Områder med hull - 2D [1/2]
C1
y

R
?
C1
x

R
C1
y
C11
    
R1
R2

R1 C
21 C2
A
J2
R2
C22
J1






C11  J 2  C 21  J1
C11  C12
B

x


C1

C 21  C 22

C2
C1
C12

C12  J1  C 22  J 2


C2
Greens teorem
Områder med hull - 2D [2/2]
y
C1
C11
R1 C
21
J2
R2
C2
J1
C22
C12
 
 
 F1 F2 
F

n
ds

F

n
ds

C
C
R  x  y dA
1
2
 
 
 F2 F1 
F

T
ds

F

T
ds

C
C
R  x  y dA
1
2
1 hull
 
 
 F1 F2 

dA
F

n
ds

F

n
ds


i 
C

x y 
Ci
R 
 
 
 F2 F1 

dA
F

T
ds

F

T
ds


i 
C

x y 
Ci
R 
n hull
x
C
y
R
C1
C3
C2
x
Greens teorem
Fysisk tolkning - Med hull
 
 
 F1 F2 
dA



ds
n

F

ds
n

F
i 

C
y

x


R 
Ci
 
 
 F2 F1 n hull
dA



ds
T

F

ds
T

F



C
y

x

i Ci

R 
Green - Fluks - Divergens - Normalform
 
 
   F  nds    F  nds
C
R
i Ci


 F1 F2 
dxdy   divFdA     FdA
  


x

y

R 
R
R
C
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
 
 
C   F  Tds    F  Tds
C
R
i Ci
 
 
 F2 F1 


  

dxdy   (curlF )  k dA   (  F )  k dA

x

y

R 
R
R
C
Greens teorem
Områder med hull - Eks - 2D [1/3]
Gitt vekto rfeltet
Bestem

F ( x, y ) 
 
 F  Tds
1
 y, x
x2  y2
( x, y )  (0,0)
hull
C
når C er en enkel, lukket, glatt kurve (i planet)
som går rundt origo i positiv retning .
Siden (0,0) er et hull, får vi :
y
C
Ca
x
 
 
 F2 F1 
F

T
ds

F

T
ds

C
C
R  x  y dA
a
hvor Ca er en lukket kurve (rotasjon med klokka) om punktet (0,0).
Vi velger å la Ca være en sirkel med radius a om origo.
Greens teorem
Områder med hull - Eks - 2D [2/3]

F ( x, y ) 
y
C
Ca
x
1
 y, x
2
2
x y
( x, y )  (0,0)
hull
 
 
 F2 F1 
F

T
ds

F

T
ds

C
C
R  x  y dA
a
F1 
y
x 2  y2
F2 
x
x 2  y2


1
1
F2   x  

  2
x x 2  y 2  1 x 2  y 2  x  (1) x 2  y 2
2 
x x  x  y  x
1
2x 2
x 2  y2
2x 2
y2  x 2
 2




2
2
2 2
2
2 2
x  y2 x 2  y2 2
x y
x y
x 2  y2


 

 


 

F1    y 
  y 
x 2  y2
y2  x 2
    2

 

2
2
y y  x 2  y 2 
y  x  y 2 
x 2  y2
x 2  y2

F2 F1
y2  x 2
y2  x 2



0
2
2 2
2
2 2
x x
x y
x y

 

 


2
2x
(symmetri )
Greens teorem
Områder med hull - Eks - 2D [3/3]

F ( x, y ) 
y
C
Ca
1
 y, x
2
2
x y
( x, y )  (0,0)
hull
x

r (t )  a cos t, a sin t 
t  0,2
 
 
 F2 F1 
F

T
ds

F

T
ds

C
C
R  x  y dA  0
a

 
 
 
 F  Tds    F  Tds   F  Tds
C
Ca
 
  F  dr
Ca
Ca

1
C a 2  a sin t, a cos t   a sin t, a cos t dt
a

 sin
Ca
2

2
t  cos t dt   dt  2
2
0
 
 F1 F2 
F

n
ds

F
dy

F
dx

1
2
C
C
R  x  y dA
 
 F2 F1 
F

T
ds

F
dx

F
dy

1
2
C
C
R  x  y dA
Greens teorem
Eks - 2D [1/4]
Uten Greens teorem
Beregn både med og uten Greens teorem :
y
1
 xydy  y dx
2
III
C
II
IV
C
I
1
Uten Greens teorem :
2
2
2
2
xydy

y
dx

x
y
dy

y
dx

x
ydy

y
dx

x
y
dy

y
dx

x
ydy

y
dx
   



    1

0
0
0
2
C
I
0 0
0
II
III
  ydy
0
x 1
1
  (1)dx
II
y 1
1 0
III
y 1
1
3
x 1
1 
  ydy   dx   y 2   x  x 0   1 
2
2
 2  y 0
y 0
x 0
IV
0
x
Greens teorem
Eks - 2D [2/4]
Med Greens teorem (normal/tangential)
2
xydy

y
dx

Beregn
I tillegg til direkte beregning,
kan integralet beregnes
vha Greens teorem,
enten vha fluks- eller
sirkulasjons-betraktninger.
C
y
1
III
C
II
IV
I
1
 
 F1 F2 
F

n
ds

F
dy

F
dx

1
2
C
C
R  x  y dA
 
 F2 F1 
F

T
ds

F
dx

F
dy

1
2
C
C
R  x  y dA
x
Fluks
Sirkulasjon
 xydy  y dx
 xydy  y dx
C
C
F = [ xy, y2 ]
F = [ -y2,xy ]
2
2
 
 F1 F2 
F

n
ds

F
dy

F
dx

1
2
C
C
R  x  y dA
 
 F2 F1 
F

T
ds

F
dx

F
dy

1
2
C
C
R  x  y dA
Greens teorem
Eks - 2D [3/4]
Normalform
Beregn både med og uten Greens teorem :
2
xydy

y
dx

y
1
C
III
C
II
IV
1
I
Med Greens teorem - Normalform (fluks) :
2
xydy

y
dx

C
 F1 F2 
F
dy

F
dx

2
C 1
R  x  y dA


F  xy , y 2

  y  2 y dA
R
y 1 x 1
y 1
y 1
3
x 1
1 2 


ydx
dy

3
xy
dy

3
ydy

3
y




x 0
2 

 y 0 2
y 0 x 0
y 0
y 0
 3 ydA  3 
R
y 1
x
 
 F1 F2 
F

n
ds

F
dy

F
dx

1
2
C
C
R  x  y dA
 
 F2 F1 
F

T
ds

F
dx

F
dy

1
2
C
C
R  x  y dA
Greens teorem
Eks - 2D [4/4]
Tangentiellform
Beregn både med og uten Greens teorem :
2
xydy

y
dx

y
1
C
III
C
II
IV
1
I
Med Greens teorem - Tangentiel lform (sirkulasj on) :
2
xydy

y
dx

C
 F2 F1 
F
dx

F
dy

2
C 1
R  x  y dA



F   y 2 , xy
   y  2 y dA
R
y 1 x 1
y 1
y 1
3
x 1
1 2 


ydx
dy

3
xy
dy

3
ydy

3
y




x 0
2 

 y 0 2
y 0 x 0
y 0
y 0
 3 ydA  3 
R
y 1
x
 
 F1 F2 
F

n
ds

F
dy

F
dx

1
2
C
C
R  x  y dA
 
 F2 F1 
F

T
ds

F
dx

F
dy

1
2
C
C
R  x  y dA
Greens teorem
Eks - Kurve C [1/4]
Tangentiellform
Bestem hvilken lukket kurve C orientert i positiv retning (mot klokka) i planet
som gir minimumsverdi av følgende integral:
2
2
(
4
y
x

2
x
)
dy

(
x
y  3x  2 y)dx

C
C2
C1
C3
 
 F1 F2 
F

n
ds

F
dy

F
dx

1
2
C
C
R  x  y dA
 
 F2 F1 
F

T
ds

F
dx

F
dy

1
2
C
C
R  x  y dA
Greens teorem
Eks - Kurve C [2/4]
Tangentialform
2
2
(
4
y
x

2
x
)
dy

(
x
y  3x  2 y)dx

R2
C
C2
C1
Med Greens teorem - Tangentiel lform (sirkulasj on) :


F  F1 , F2    ( x 2 y  3 x  2 y ), 4 y 2 x  2 x
R1

C3
R3
2
2
(
4
y
x

2
x
)
dy

(
x
y  3 x  2 y )dx   F1dx  F2 dy

C
C
 F F 
   2  1 dA   (4 y 2  2)  ( x 2  2) dA   x 2  4 y 2  4 dA
x y 
R 
R
R

 (4 y x  2 x)dy  ( x
2
C

2




y  3x  2 y )dx   x 2  4 y 2  4 dA
R
 
 F1 F2 
F

n
ds

F
dy

F
dx

1
2
C
C
R  x  y dA
 
 F2 F1 
F

T
ds

F
dx

F
dy

1
2
C
C
R  x  y dA
Greens teorem
Eks - Kurve C [3/4]
Tangentialform
 (4 y x  2 x)dy  ( x
2
2


y  3x  2 y )dx   x  4 y  4 dA
C
2
2
R
Siden integranden i dobbeltintegralet over R
er null på ellipsen C, positiv utenfor ellipsen C
og negativ innenfor ellipsen C,
så vil dobbeltintegralet (summeringen) gi en minimum verdi
når området R er området innenfor den gitte ellipsen C.
R2
C2
C1
C3
x2  4 y2  4
x2 y2
 2 1
2
2
1
Ellipsen C
x2  4 y 2  4  0
R1
R3
x2  4 y2  4  0
C
R
x2  4 y 2  4  0
x2  4 y 2  4  0
 
 F1 F2 
F

n
ds

F
dy

F
dx

1
2
C
C
R  x  y dA
 
 F2 F1 
F

T
ds

F
dx

F
dy

1
2
C
C
R  x  y dA
Greens teorem
Eks - Kurve C [4/4]
Tangentialform
 (4 y x  2 x)dy  ( x
2
2


y  3x  2 y )dx   x  4 y  4 dA
C
2
2
x2  4 y2  4  0
x2 y2
 2 1
2
2
1
R


F  F1 , F2    ( x 2 y  3x  2 y),4 y 2 x  2 x
C

Ellipsen C
C
Greens teorem
Areal som sirkel-integral - Innledning
Arealet av et område R i planet er gitt ved:
A   dA
y
R
R
C
Vi skal se hvordan vi vha Greens teorem
kan finne en formel for areal som enkelt sirkel-integral
langs konturen av området.
Det finnes uendelig mange slike formler.
Dette betyr at det er mulig å bestemme arealet av et område ved å bevege seg rundt området
når vi til enhver tid kjenner til hvor langt vi beveger oss og i hvilken retning vi beveger oss.
x
A   dA   xdy
R
Greens teorem
C
Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 1
Greens teorem (tangentiell form):
 
 F2 F1 
F

T
ds

F
dx

F
dy

2
C
C 1
R  x  y dA
y
A   dA
Arealet av området R:
R
R
Greens teorem (tangentiell form)
beregner arealet av R hvis:
Mulig løsning:
F2
1
x
F2  x
F2 F1

1
x y
C
x
F1
0
y
F1  0


A   dA   xdy
R
A   dA   1  0dA   0  dx  xdy   xdy
R
R
C
C
C
A   dA    ydx
R
Greens teorem
C
Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 2
Greens teorem (tangentiell form):
 
 F2 F1 
F

T
ds

F
dx

F
dy

2
C
C 1
R  x  y dA
y
A   dA
Arealet av området R:
R
R
Greens teorem (tangentiell form)
beregner arealet av R hvis:
Mulig løsning:
F2
0
x
F2  0
F2 F1

1
x y
C
x
F1
 1
y
F1   y


A   dA    ydx
R
A   dA   0  (1) dA    y  dx  0  dy    ydx
R
R
C
C
C
A   dA 
Greens teorem
R
1
xdy  ydx
2 C
Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 3
Greens teorem (tangentiell form):
 
 F2 F1 
F

T
ds

F
dx

F
dy

2
C
C 1
R  x  y dA
Arealet av området R:
y
A   dA
R
R
Greens teorem (tangentiell form)
beregner arealet av R hvis:
Mulig løsning:
F2 1

x 2
1
F2  x
2
F2 F1

1
x y
F1
1


y
2
1
 F1   y
2
1
1 1
A   dA     dA   xdy  y  dx
2 2
2C
R
R 
C
x
A   dA 
R
1
xdy  ydx

2C
Greens teorem
A   dA   xdy    ydx 
R
C
C
Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 1
Beregn arealet av et rektangel
med sider a og b
A   xdy
C
  x dy
   x dy   x dy
   x dy
I
y
b
III
0
II
II
I
a
III
 0   ady  0  0
C
IV
II a
yb
x
 a  dy
y 0
 ay y 0
yb
 ab
0
IV 0
1
xdy  ydx
2 C
A   dA   xdy    ydx 
Greens teorem
R
C
C
1
xdy  ydx
2 C
Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 2
Beregn arealet av en sirkel med radius a
A
y
1

2
C
a
1
xdy - ydx
2 C
x
1

2

r (t)  acost, asint 
t  0,2
x  a cos t
dx  a sin tdt
y  a sin t
dy  a cos tdt
t 2
 a cos t  a cos t  a sin t  (a sin t )dt
t 0
t 2
 a
2

cos 2 t  a 2 sin 2 t dt
t 0
1
 a2
2
1
 a2
2
t 2
 cos
2

t  sin 2 t dt
t 0
t 2
 dt
t 0
1
1
t 2
 a 2  t  t 0  a 2  2  a 2
2
2
Flate-integral
Areal   dS  
Areal - Def
S
R
f
 dA
f  p
f
S beskrevet av nivåflaten f(x,y,z) = c
z
Planområdet R er projeksjonen av S
(på figuren projeksjonen ned i xy-planet)
S
p enhetsnormalvektor på planområdet R
p
y
R
x
Arealet av S er gitt ved:
Areal   dS  
S
R
f
 dA
f  p
Flate-integral
Areal   dS  
Areal - Bevis [1/2]
S

v
P
S

u
R
Q
P’
u'

v'
p
S’
A
Q’
R’
PQRS parallellogram
p enhetsnormalvektor på flaten A
  
A  (u  v)  p
R


 
u  PP' P' Q' Q' Q



 PP' u'  Q' Q



 
 
 
 
 u' PP' Q' Q  u' P' P  Q' Q  u' Q' Q P' P  u'sp


 
v  PP' P' S' S' S



 PP' v'  S' S
          
 v' PP' S' S  u' P' P  S' S  u' S' S P' P  v' tp
 
   
       
u  v  (u'sp)  ( v' tp)  u'v'sp  v'  t
u'p  stp  p





p
p
     
(u  v)  p  (u'v' )  p
  
     
 
(u  v)  p  (u'v' )  p  u'v' p cos
  u'v'  A

1
0
f
 dA
f  p
Flate-integral
Areal
A   dS
dS  
Areal - Bevis [2/2]
SS
f
 
u k  vk
p
S
Ak

uk
p

vk
Pk
R
     
ΔA k  (u k  v k )  p  u k  v k p cosγ k  ΔPk cosγ k


f  p  f p cosγ k  f cosγ k
Ak
ΔA k
cosγ k

ΔPk 


f  p
cosγ k 
f

Areal  

ΔPk 
f
ΔA k
  f  p ΔA k
f  p
f
R
f
 dA
f  p
RR

ff
dA
 dA

ff pp
Flate-integral
Areal   dS  
Areal - Eks
S
R
f
 dA
f  p
Finn arealet av paraboloideflaten x2 + y2 – z = 0
når paraboloiden kuttes av planet z = 4.
La f(x,y,z) = x2 + y2 – z.
Da er flaten S gitt ved nivåflaten f(x,y,z) = 0.
f(x, y, z)  x 2  y 2  z
 f f f 
f   , ,   2x,2y, 1
 x y z 
f  (2x) 2  (2y) 2  (1) 2  4x 2  4y 2  1

f  p  2x,2y, 1 0,0,1  2x  0  2y  0  (1) 1   1

f  p   1  1
4

p  0,0,1
S
x 2  y 2  22

R
A  
R
2π 2


0 0
f
 dA  
f  p
R
4x 2  4y 2  1
dA   4x 2  4y 2  1dxdy
1
R
2
2π
3
3

1  2
1
π
2
2
4r  1rdrdθ   (4r  1)  dθ   (17 2  1)dθ  (17 17  1)
12 
12 0
6

0
2π
0
Flate-integral
Areal   dS  
Areal - Spesialtilfeller
S
R
f
 dA
f  p
Flate z = f(x,y)
La F(x,y,z) = z – f(x,y)
S er da gitt ved nivåflate F(x,y,z) = 0
4
F(x, y, z)  z  f(x, y)
 F F F   f f 
F   , ,    , ,1   f x ,f y ,1
 x y z   x y 


x 2  y 2  22
F  (f x ) 2  (f y ) 2  12  1  f x  f y

F  p   f x ,f y ,1  0,0,1  (f x )  0  (f y )  0  11  1

F  p  1  1
2


p  0,0,1
S

R
2

z  f(x, y)
A   1  f x  f y dxdy
2
2
R
x  f(y, z)
z  f(x, y)
A  
R
F
 dA  
F  p
R
1 fx  fy
2
1
A   1  f y  f z dydz
2
2
R
2
dA   1  f x  f y dxdy
2
R
2
y  f(x, z)
A   1  f x  f z dxdz
2
R
2
Flate-integral
Flate - integral av g over S   gd S   g
Def
S
f
dS S
p
S
g
R
p
Flate gitt ved f(x,y,z) = c
Kontinuerlig funksjon på S
Projeksjonen av S
Enhetsnormal på R
R
dA
Flate  integral av g over S 
 gd S 
S
 g
R
f
 dA
f  p
dS 
f
 dA
f  p
R
f
 dA
f  p
 
  f
   F  ndS   F  n
 dA
f  p
S
R
Fluks
3D - Def
f
F
n
dS S
p
dA
S
F
R
p
Flate gitt ved f(x,y,z) = c
3-dim vektorfelt
Projeksjonen av S
Enhetsnormal på R
R

Fluks av et 3 - dim vektorfel t F

over en orientert flate S i retning n 
 
  f
   F  ndS   F  n
 dA

f

p
S
R
dS 
f
 dA
f  p
 
  f
   F  ndS   F  n
 dA
f  p
S
R
Fluks
3D - Eks
Finn fluksen av F = [ 0, yz, z2 ]
ut av flaten S
avkuttet fra sylinderen y2 + z2 = 1, z  0
og planene x = 0 og x = 1.
f(x, y, z)  y 2  z 2
S nivåflaten f(x, y, z)  1
 f f f 
f   , ,   0,2y,2z 
 x y z 
f  0 2  (2y) 2  (2z) 2  4y 2  4z 2  2 y 2  z 2  2 1  2
z
n
F
y
 f 0,2y,2z 
n

 0, y, z 
f
2
 
F  n  0, yz, z 2  0, y, z   y 2 z  z 3  z(y 2  z 2 )  z 1  z

f  p  0,2y,2z  0,0,1  2z

f  p  2z  2z


x
 
  f
2
   F  ndS   F  n
 dA   z dA   dA  2 1  2
f  p
2z
S
R
R
R
Masse, moment og massesenter til tynne skall
Def
Masse
M   dm   δdS
S
Moment
S
M yz   xδdS
M xz   xδdS
S
Massesenter
Treghetsmoment
x

S
M yz
M
I x   ( y 2  z 2 )dS
S
Gyrasjonsradius
RL 
M xy   zδdS
y

S
M xz
M
I y   ( x 2  z 2 )dS
S
IL
M
z

M xy
M
I z   ( x 2  y 2 )dS
S
I L   r 2 δdS
S
f
 dA
M xy

f

p
z
 S
 S
M
S δdS  δ f  dA
f  p
S
 zδdS
Massesenter til tynne skall
Eks
Finn massesenteret til
et tynt halvkuleskall
med radius a
og konstant massetetthet .
Symmetri
f(x, y, z)  x 2  y 2  z 2
S nivåflaten f(x, y, z)  a 2
 f f f 
f   , ,   2x,2y,2z 
 x y z 
z
S
R
x
xy0
 zδ
y
f  (2x) 2  (2y) 2  (2z) 2  4x 2  4y 2  4z 2  2 x 2  y 2  z 2  2a

f  p  2x,2y,2z  0,0,1  2z

f  p  2z  2z
M   δdS  δ
S
 dS
S

1
 δ 4a 2  δ2πa 2
2
Arealet av S
M xy   zδdS  δ  zdS  δ  z
S
S
R
f
2a
 dA  δ  z dA  aδ
f  p
2z
R
 dA
S


Arealet av R
δπa 3
a
z


M
δ2πa 2 2
M xy
 aδa 2  δπa 3
Parameteriserte flater
Kurve
Def
Flate
z
 
r  r (t)
 
r  r (u, v)
b
C
 
r  r (t)
a
r(t)
y
[
]
t
x
z
v
 
r  r (u, v)
S
r(u,v)
u
y
x
Parameteriserte flater
Areal   dS  
Areal
S
f
v

r (u, v)
v
D
(u,v)
u
 
 dA   ru  rv dudv
f  p
D
 
ru  rv
p
S
R
f
S
f
p

rv v
S

r (u, v)

ru u
u
A


 r (u  Δu, v)  r (u, v)
ru 
Δu


 r (u, v  Δv)  r (u, v)
rv 
Δv


 
ΔS  ru Δu  rv Δv  ru  rv ΔuΔv
A
R



r (u  Δu, v)  r (u, v)  ru Δu



r (u, v  Δv)  r (u, v)  rv Δv
Areal   dS  
S
R
f
 
 dA   ru  rv dudv
f  p
D
Flate  integral
Parameteriserte flater
 gdS   g
Flate-integral
S
f
v

r (u, v)
v
D
(u,v)
u
R
 
 dA   g ru  rv dudv
f  p
D
 
ru  rv
p
S
f
S

r (u, v)

ru u
f
p

rv v
S
u
A


 r (u  Δu, v)  r (u, v)
ru 
Δu


 r (u, v  Δv)  r (u, v)
rv 
Δv


 
ΔS  ru Δu  rv Δv  ru  rv ΔuΔv
A
R



r (u  Δu, v)  r (u, v)  ru Δu



r (u, v  Δv)  r (u, v)  rv Δv
 gdS   g
S
R
f
 
 dA   g ru  rv dudv
f  p
D
Flate  integral
Parameteriserte flater
 gdS   g
Flate-integral - Spesialtilfeller - Def
S
R
f
 
 dA   g ru  rv dudv
f  p
D
Kartesiske koordinater
z  f ( x , y)
 

r  r ( x, y)  x, y, f ( x, y)
rx  1,0, f x 
 
rx  ry  1,0, f x  0,1, f y   f x ,f y ,1
 
2
2
dS  rx  ry dxdy  1  f x  f y dxdy
Sylinder-koordinater
z  f (r, )
 
r  r (r, )  r cos , r sin , f (r, )
 
rr  r  f  sin ,f r r cos , f  cos   f r r sin , r 
 
2
2
rr  r  f   r 2 f r  r 2

 



ry  0,1, f y
 
1 2
2
dS  rr  r drd  1  f r  2 f  rdrd
r
Kule-koordinater
  f (, )
 
r  r (, )  f (, ) sin  cos , f (, ) sin  sin , f (, ) cos 

r  f  sin ,f r r cos , f  cos   f r r sin , r 
 
2
2
r  r  f 2 f   f 4 sin 2   f 2 f  sin 2 
 
2
2
dS  r  r dd  f   (f 2  f  ) sin 2 fd d

Flate  integral
Parameteriserte flater
 gdS   g
Eks 1 - Kjegle
S
Kjegle
z  x 2  y2
z  0,1
x  r cos 
y  r sin 
z  x 2  y 2  (r cos ) 2  (r sin ) 2  r
 
r  r (r, )  r cos , r sin , r 
z
1
r(t)
S
y

x
r  0,1
  0,2
R
f
 
 dA   g ru  rv dudv
f  p
D
Flate  integral
Parameteriserte flater
 gdS   g
Eks 2 - Kule
S
R
Kule
x 2  y2  z2  a 2
z
S
x  a sin  cos 
r(t)
y
  0, 
y  a sin  sin 
z  a cos 
x
 
r  r (, )  a sin  cos , a sin  sin , a cos 
z



x
  0,2
y
f
 
 dA   g ru  rv dudv
f  p
D
Flate  integral
Parameteriserte flater
 gdS   g
Eks 3 - Sylinder
S
Sylinder
x 2  ( y  3) 2  9
z  0,5
x  r cos 
z
y  r sin 
S
r(t)
zz
y
x 2  ( y  3) 2  9
x
x 2  y2  6y  9  9
x 2  y2  6y  0
z
r 2  6r sin   0
S
r(t)
r (r  6 sin )  0
y
3
x
r  0  r  6 sin   0
r  6 sin 
 
r  r (, z)  6 sin  cos ,6 sin  sin , z

 3 sin 2,6 sin 2 , z

R
f
 
 dA   g ru  rv dudv
f  p
D
Parameteriserte flater
Areal
Eks 4
Areal av kjegleflate [1/4]
 dS  
S
Kjegle
Beregn arealet av kjegleflaten
1
Nivåflate
R
f
 
2
2
 dA   1  f x  f y dxdy   ru  rv dudv
f  p
R
D
z  0,1
z  x 2  y2
f ( x, y, z)  z  x 2  y 2
A   dS  
S
R
f
 dA
f  p
z
2
Spesialtilfelle
1
r(t)
z  f ( x , y)
A   dS   1  f x  f y dxdy
2
S
S
R
y

x
r  0,1
  0,2
3
Parameterisering
 
 
r  r (r, )  r cos , r sin , r  A   dS   ru  rv dudv
S
D
2
Parameteriserte flater
Areal
Eks 4
Areal av kjegleflate [2/4]
 dS  
Kjegle
S
R
f
 
2
2
 dA   1  f x  f y dxdy   ru  rv dudv
f  p
R
D
1
2 2
f(x, y, z)  z  x  y  z  (x  y )
2
1 Nivåflate
2
2
S : f(x, y, z)  0
 f f f   1
1

1
1
f   , ,    ( x 2  y 2 ) 2  2 x , ( x 2  y 2 ) 2  2 y,1
2

 x y z   2

x
y
 
,
 x 2  y 2
x 2  y2
z

x
f   

x 2  y2

1
r(t)
S
y

x
r  0,1
z x y
2
  0,2
2
z  0,1
2
 
y
  
 
x 2  y2
 
 
x
y
f  p   
,
 x 2  y 2
x 2  y2

f  p  1  1
A   dS  
S
R
f

,1

2
2
2

 1  x  y 1  11  2

x 2  y2


,1  0,0,1  1

2
dA  2   dA  2   12   2
 dA  
f  p
1
R
R
Parameteriserte flater
Areal
Eks 4
Areal av kjegleflate [3/4]
 dS  
S
Kjegle
R
f
 
2
2
 dA   1  f x  f y dxdy   ru  rv dudv
f  p
R
D
z  f ( x , y)
2 Spesialtilfelle
1
2 2
z  f(x,.y)  x  y  (x  y )
2
2
2
A   dS   1  f x  f y dxdy
2
S
z
 
1
R
r(t)
S
y
R

x
 
r  0,1
  0,2
 
R
z x y
2
2
z  0,1
2
R
1
1


1 2
 1 2

2
2
2
1   (x  y )  2x    (x  y ) 2  2y dxdy
2
 2

x2
y2
1 2

dxdy
x  y2 x 2  y2
x 2  y2
1 2
dxdy
x  y2
 2   dA  2  π 12  π 2
R
Parameteriserte flater
Areal
Eks 4
Areal av kjegleflate [4/4]
 dS  
S
Kjegle
3 Parameterisering
R
f
 
2
2
 dA   1  f x  f y dxdy   ru  rv dudv
f  p
R
D
 
r  r (r,θ )  r cos θ,r sin θ,r 
r  0,1 θ  0,2π 



 r
 r
r  r cos θ,r sin θ,r 
rr 
 cos θ, sin θ,1
rθ 
 -r sin θ,r cos θ,0
r
θ



i
j
k
 
rr  rθ  cos θ
sin θ 1   r cos θ,  r sin θ,r 
-r sin θ r cos θ 0
z
 
rr  rθ  (  r cos θ) 2  (  r sin θ) 2  r 2  r 2  r 2  2r 2  2 r  r 2
1
r(t)
S
y

x
r  0,1
  0,2
 
A   dS   rr  rθ drdθ
S
D
 2  rdrdθ
D
2π 1
z  x 2  y2
z  0,1
θ  2 π r 1
r 1
θ2 π
2
2
1 
 2   rdrdθ  2     r 2  dθ 
  dθ 
 2π  π 2
2
2
2


0 0
θ 0 r 0
θ 0
r 0
Flate  integral
Parameteriserte flater
 gdS   g
Eks 5 - Flate-integral over kjegleflate
S
Kjegle
R
Bestem integralet av G(x,y,z) = x2 over kjeglen

 r
rr 
 cos θ,sin θ,1
r

k

r  r cos θ,r sin θ,r 

i

j
 
rr  rθ  cos θ
f
 
 dA   g ru  rv dudv
f  p
D
z  x 2  y2
z  0,1

 r
rθ 
 -r sin θ,r cos θ,0
θ
1   r cos θ,  r sin θ,r 
sin θ
-r sin θ r cos θ
0
 
rr  rθ  (  r cos θ)2  (  r sin θ)2  r 2  r 2  r 2  2r 2  2 r  r 2
z
1
r(t)
y

x
r  0,1
 x dS   (r cos  )
2
S
  0,2
S
2
 
rr  rθ drdθ   r 2 cos 2   r 2drdθ  2  r 3 cos 2 drdθ
D
D
θ  2 π r 1
D
θ  2 π r 1
r 1
θ 2π
2
1 
 2   r cos drdθ  2     r 4  dθ 
  cos 2 dθ
4  r 0
4 θ 0
θ 0 r 0
θ 0 r 0 
3
θ 2π
2
  2
2
1  cos 2
2 1
1
2


 
dθ 
    sin 2 


4 θ 0
2
4 2
4
4
  0
Green - Div
Greens teorem
Def - 2D
 
F
  nds 
C
Green - Curl



F
 dA
R
 
 F  Tds 
C
 
 (  F )  kdA
R
Green - Fluks - Divergens - Normalform
 
   F  nds   F1dy  F2 dx
C


 F F 
   1  2 dxdy   divFdA     FdA
x
y 
R 
R
R
C
R
C
n
F
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
 
C   F  Tds   F1dx  F2 dy
C
C
 
 
 F F 
   2  1 dxdy   (curlF )  k dA   (  F )  k dA
x y 
R 
R
R
C
R
T
F
Gauss
Gauss / Stokes teorem
Def - 3D
- Div
 
 F  ndS 
S
 
 F  Tds
Stokes - Curl
D
 
  (  F )  ndS
C
Gauss - Divergens
S
z
 
F
  ndS   F1dydz  F2dzdx  F3dxdy
S

   FdV
S
n
S
D
 F F F 
   1  2  3  dxdydz
x y z 
D 


  div FdV     FdV
D
F
y
x
D
Stokes - Curl
 
 
F

T
ds

F

  dr   F1dx  F2 dy  F3dz
C
C
S
C
 F F 
 F F 
 F F 
   3  2 dydz  1  3 dzdx   2  1 dxdy
y
z 
x 
 z
 x y 
S 
 
 
  curlF  n dS   (  F )  n dS
S
n
z
S
C
T
F
y
x
Gauss
Gauss / Stokes teorem
Bevis-skisse Gauss - 3D
- Div
 
 F  ndS 
S
Stokes - Curl

   FdV
D
 
 F  Tds
 
  (  F )  ndS
C
S

 
 
 

 F  ndS   F  ndS   F  k dS   F  (k )dS
St
Sb
St
Sb
z
  F3 dS   F3 dS
St
S
n
Sb
D
  F3 ( x, y, z  z )  F3 ( x, y, z )dS
F
S xy
 z  z F3 
   
dz  dS
z 
S xy  z
F
  3 dV
z
V
 
 F1 F2 F3 
F

n
dS

 x  y  z  dxdydz
S


D 


  divFdV     FdV
D
D
y
x
St
Sb
Gauss
- Div
 
 F  ndS 
S
Gauss / Stokes teorem
Stokes - Curl
Bevis-skisse Stokes - 3D
 
 F  Tds

   FdV
D
 
  (  F )  ndS
C
S
n
z
 
F
  Tds 
EABCDE
 
F
  Tds 
EAB

Green
 
F
  Tds 
BCE
 
F
  Tds
CDE
 
(


F
)  n dS 

 
(


F
)  n dS 

EAB
BCE
 
  (  F )  n dS
S
C
T
 
(


F
)  n dS

F
y
CDE
x
ABCDE
E
 
 
 F  Tds   (  F )  ndS
C
S
A
D
B
C
 
F
  nds 
C
Green
- 2D
Gauss / Stoke - 3D



F
 dA
 
 F  ndS 
R
 
 F  Tds 
C
S
 
 (  F )  kdA
R
 
 F  Tds
C

   FdV
D
 
  (  F )  ndS
S
Green’s teorem - Stoke’s teorem
2D
Green - Normalform
3D
1
C

Sirkulasjon
Areal
R
 F F F 
   1  2  3  dxdydz
x y
z 
D 

  divFdV
R

    FdV
 


C
  F1dx  F2 dy
C
 F F 
   2  1  dxdy
x y 
R 
 
  curlF  k dA
 
    F  k dA
R
D
Stoke
D
 F  Tds   F  dr
R
Gauss
Divergens
S

    FdA
C
Curl  Sirkulasjo nstetthet
S
 F F 
   1  2 dxdy
x y 
R 

  divFdA
Fluks
Areal
Green - Tangensialform
2
C
Divergens  Flukstetth et

 
F
  ndS   F1dydz  F2 dzdx  F3dxdy
 
 F  nds   F dy  F dx
 


 F  Tds   F  dr
C
C
  F1dx  F2 dy  F3 dz
C
 F F 
 F F 
 F F 
   3  2 dydz  1  3 dzdx   2  1 dxdy
y
z 
 z x 
 x y 
S 
 
  curlF  n dS
S
 
    F  n dS
S
Stokes
Curl
Green / Gauss / Stokes
Def - 2D - 3D
2D
Green - Divergens
 

   F  nds     FdA
C
Green - Curl
 
 
C   F  Tds   (  F)  kdA
C
3D
Gauss - Divergens
R
R
 

   F  ndS     FdV
S
Stokes - Curl
D
 
 
C   F  Tds   (  F)  ndS
C
S
Stokes
Maksimal sirkulasjon
Stokes - Curl
 
 
C   F  Tds   (  F)  ndS
C
S
Maksimal sirkulasjon
når n er parallell med curl F
Vektorfelt


curl F    F
Maksimal sirkulasjon
i dette planet
Stokes teorem
Eks 1 - Verifisering
 
 
 F  Tds   (  F )  ndS
C
S
Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data:
Vektorfelt : F = [ y, -x, 0 ]
Kuleflate : S : x2 + y2 + z2 = 9
z0
2
2
Rand
: C:x +y =9
z
S
C R
y
x
 
 
F

T
ds

(


F
)  ndS


C
S
F
Stokes teorem
Eks 1 - Sirkulasjon
 
 
 F  Tds   (  F )  ndS
C
S
Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data:
Vektorfelt : F = [ y, -x, 0 ]
Kuleflate : S : x2 + y2 + z2 = 9
z0
2
2
Rand
: C:x +y =9
z
S
C R
y
x
 
 
F

T
ds

F

  dr
C
C


r ( )  3 cos  ,3 sin  ,0
dr   3 sin  ,3 cos  ,0d

F   y, x,0  3 sin  ,3 cos  ,0
 
F  dr  3 sin  ,3 cos  ,0  3 sin  ,3 cos  ,0d
 (9 sin 2   9 cos 2  )d  9(sin 2   cos 2  )d  9d
  2
 
 
 F  Tds   F  dr   (9)d  9  d  9  2   18
C
C
C
 0
F
 
 
 F  Tds   (  F )  ndS
Stokes teorem
Eks 1 - Flateintegral 1
 
(


F
)  n dS

dS 
S
f
 dA
f  p
C
f ( x, y , z )  x 2  y 2  z 2
S : Nivåflaten
S
f ( x, y , z )  9
 f f f 
f   , ,   2 x,2 y,2 z 
f  ( 2 x ) 2  ( 2 y ) 2  ( 2 z ) 2  2 x 2  y 2  z 2  2 9  2  3  6
 x y z 


 f
2 x,2 y,2 z   1 x, y, z 
z

f  p  f  k  2 x,2 y,2 z  0,0,1  2 z  2 z
n

n
f
6
3
S



i
j
k




C R
 F 
 0,0,2
F
x y z
x
y x 0
 
  f
(


F
)

n
dS

(


F
)n
 dA
S
R
f  p
  0,0,2
R
1
x, y, z  6 dA
3
2z
2
6
  ( ) z  dA  2  dA  2    32   18
3 2z
R
R
f
 
pk
y
Stokes teorem
Eks 1 - Flateintegral 2
 
 
 F  Tds   (  F )  ndS
C
S
Velger S2: x2 + y2  9 som ny flate.
Også denne flaten har C som rand.
z
 
 
 (  F )  ndS   (  F )  ndS
S2
S
R
  0,0,2 0,0,1dS
R
  (2)dS
R
 2  dS  2    32   18
R
C R
 
nk
S2
x
y
F
 
 
 F  Tds   (  F )  ndS
Stokes teorem
Eks 2 - Sirkulasjon
C
Finn både direkte og vha Stokes teorem sirkulasjonen av F = [ x2-y, 4z, x2 ]
langs (mot klokka) kurven C
fremkommet ved skjæring av planet z = 2 med kjeglen z = x2 + y2
S
z
F
C
2
 
 
 F  Tds   F  d r
C
y
C


r ( t )  2 cos t ,2 sin t ,2
d r   2 sin t ,2 cos t ,0dt

F  x 2  y,4z, x 2  (2 cos t ) 2  2 sin t ,4  2, (2 cos t ) 2
 
F  d r  4 cos 2 t  2 sin t ,8,4 cos 2 t   2 sin t ,2 cos t ,0dt

 



 (8 sin t cos 2 t  4 sin 2 t  16 cos t )dt
 
   2 
2
2
t  16 cos t )dt
 F  Tds   F  d r   (8 sin t cos t  4sin
C
C
0
8
  cos 3 t  2 t  sin 2 t  16 sin
3
1 cos 2 t
2
t 2

t
 4
 t 0

x
r  0,1
  0,2
 
 
 F  Tds   (  F )  ndS
Stokes teorem
Eks 2 - Flateintegral 1 - S: Kjeglesideflate
 
r  r (r, )  r cos , r sin , r 
r  0,2   0,2

rr  cos , sin ,1

 
 
r   r sin , r cos ,0 rr  r   r cos , r sin , r  rr  r  r 2



i
j
k




F 
  4,2 x ,1   4,2r cos ,1
x
y z
x 2  y 4z x 2
 
 rr  r
1
 r cos ,r sin , r 
n   
rr  r r 2
 
dS  rr  r drd  r 2drd
  2 r  2
 
1


 r cos ,r sin , r r 2drd
(


F
)

n
dS


4
,

2
r
cos

,
1

S
0 r0
r 2
  2 r  2

  (4r cos   2r
0 r 0
2
sin cos   r )drd  4
C
S
z
2
n
S
F
y

x
r  0,2
  0,2
Stokes teorem
Eks 2 - Flateintegral 2 - S: Kjegletoppflate

i


F 
x
2
x y

j

y
4z
 
 
 F  Tds   (  F )  ndS
C

k

  4,2 x ,1
z
x2
S
n = [0,0,1]
z
S
2
F
y
 
(


F
)  ndS    4,2 x ,10,0,1dS   1  dS 

S
S
S
 dS
S

Arealet av S
   2  4
2

x
r  0,2
  0,2
 
 
 F  Tds   (  F )  ndS
Stokes teorem
Eks 3 - Oppgave
C
S
Bruk Stokes teorem til å beregne
 
 F  dr
z
(0,0,2)
F
C
C
for F = [ xz, xy, 3xz ]
(0,2,0)
(1,0,0)
hvor C er randen av den delen av planet 2x + y + z
som befinner seg i første oktant
og C gjennomløpes i retning mot klokka sett ovenfra.
x
y
Stokes teorem
Eks 3 - Løsning
 
 
 F  dr   (  F )  ndS
C
dS 
S
f ( x, y , z )  2 x  y  z
 
 
 F  Tds   (  F )  ndS
C
f
 dA
f  p
z
(0,0,2)
F
S : Nivåflaten f ( x, y, z )  2
C
 f f f 
2
2
2
f   , ,   2,1,1
f  2  1  1  6

x

y

z


(1,0,0)
 f
2,1,1  1 2,1,1
x
n

f
6
6


f  p  f  k  2,1,1 0,0,1  2  0  1 1  1 1  1
f  p  1  1



i
j
k




 F 
 0, x  3 z , y   0, x  3  (2  2 x  y ), y   0, x  7 x  3 y  6, y 
x y z
xz xy 3 xz
dS 
S
n
(0,2,0)
f
6
dA  6dA
 dA 
f  p
1
1 2 2 x
 
1
S (  F )  ndS  R 0, x  7 x  3 y  6, y  6 2,1,1 6dA  R (7 x  4 y  6)dA  0 y0(7 x  4 y  6)dydx   1
y
 


 F  ndS   div FdV     FdV
Gauss teorem
Eks 1
S
D
D
z
Kontroller Gauss teorem (divergens-teoremet)
for F = [ x, y, z ] over kula x2 + y2 + z2 = a2.
F
S
a
n
y
f ( x , y, z )  x 2  y 2  z 2
S : Nivåflate
f ( x , y, z)  a 2
x
 f f f 
f   , ,   2 x ,2 y,2z  f  (2 x ) 2  (2 y) 2  (2z) 2  2 x 2  y 2  z 2  2a
 x y z 
 f 2 x ,2 y,2z  1
n

 x , y, z 
f
2a
a
 
1
1 2




F

n
dS

x
,
y
,
z

x
,
y
,
z
dS

( x  y 2  z 2 )dS  a  dS  a  4a 2  4a 3
S
S

a
a
S
S

Overflaten av S

  
4 3




F
dV

,
,

x
,
y
,
z
dV

(
1

1

1
)
dV

3
dV

3

a  4a 3
 x y z 




3

D
D 
D
D


Volum av kula
 


 F  ndS   div FdV     FdV
Gauss teorem
Eks 2
S
D
D
z
Finn fluksen av F = [ xy, yz, xz ]
ut av kubus-flaten i første oktant
begrenset av planene x = 1, y = 1 og z = 1.
S
F
D
n
y
x
 

   F  ndS     FdV
S
D



 
Utgående fluks
Divergensintegral
  
  ( xy )  ( yz )  ( xz ) 
dV
   , ,   xy , yz , xz dV   


x y z 
x
y
z 
D 
D 
z 1 y 1 x 1
z 1 y 1
x 1
z 1 y 1
1
1

    ( x  y  z)dxdydz     x 2  xy  xz  dydz    (  y  z)dydz
2
2
 x 0
z 0 y 0 x 0
z 0 y 0 
z 0 y 0
z 1
y 1
z 1
z 1
1
1 1
1
1 
1 1 1 3
1

1
   y  y 2  yz  dz   (   z)dz   z  z  z 2     
2
2
2 2
2
2  z 0 2 2 2 2
 y 0
2
z 0 
z 0
END