Transcript Powerpointslides

Vektorfelt
Vektorfelt
Innledning
F
F
r
b
 f (x )dx
a
 f ( x, y, z)dV
V
 
 F  dr
b
a

   FdV
V
Matematikk som bl.a. ingeniører og fysikere
kan benytte til å beskrive / studere:
- Væskestrøm i rør, blodårer, hjertekamre
- Varmestrøm
- Transmisjonskabler
- Gravitasjon
- Elektromagnetisme
- Mobilkommunikasjon
- Statistikk
-…
Vektorfelt
Innhold
Linje-integral
Vektorfelt, arbeid, sirkulasjon of fluks
Vei-uavhengighet, potensial-funksjon, og konservative felt
Flate-integraler og flate-areal
Parameteriserte flater
Greens teorem
Stokes teorem
Divergens teorem
Et vektorfelt er en funksjon
som til hvert punkt i sitt domene (def.mengde)
tilordner en vektor
Vektorfelt
Def
Værkart
Skrått kast
Væskestrøm
Flyvinge
Gravistasjonsfelt
Elektrisk / Magnetisk felt
Vektorfelt
Maxwells ligninger
Kurve-integral
Def
b
z
C en kurve i rommet
C
a
r = r(t) en glatt parameterfremstilling av kurven C
r(t)
y
f en kontinuerlig funksjon på C
x
 fds  lim  f (x , y , z )s
C
P 0
i
i
i
i
i

ds
fds

f
dt

f
v
C
C dt C (t ) dt
Hvis f er massetetthet, så beregner vi massen av kurven
Hvis f er lik 1, så beregner vi lengden av kurven
Kurve-integral
Eks 1

r ( t )  t , t , t 
z
t  0,1
En glatt parameterisering av C
(1,1,1)
C
y
 fds   f
C
C

ds
dt   f v( t ) dt
dt
C
t 1
x





f
r
(
t
)
r ' ( t ) dt

t 0
Integrer f(x,y,z) = x –
over linjesegmentet C
som forbinder origo
med punktet (1,1,1)
3y2
+z
t 1

 t  3t

2
 t 1,1,1 dt
2
 t 3dt
t 0
t 1

 t  3t

t 0
t 1


 3  2 t  3t 2 dt
t 0

 3 t2  t3

t 1
t 0
0
Kurve-integral
Eks 2
 

r (t )  t, t 2
y
t  0,2
M   ds   
C
C
C

ds
dt    v( t ) dt
dt
C
t 2
x






r
(
t
)
r ' ( t ) dt

t 0
t 2
Finn massen av wiren
r(t) = [t,t2]

t 0
t  [0,2]
Massetettheten er (x,y) = 2x
 2t 1,2t dt
t 2

 2t
1  (2 t ) 2 dt
t 0
t 2

 2t
1  4 t 2 dt
t 0
t 2


3
1
1
2 2
  1  4 t   17 17  1
6
 t 0 6


Kurve-integral
Masse - Massesenter - Treghetsmoment
Masse
M   ds
C
Første moment
om koordinatplan
Massesenter
M yz   xds
M xz   yds
C
x
M yz
M
M xy   zds
C

 xds
C
 ds
y
C
M xz
M
z
M xy
M
C
Treghetsmoment


I x   y 2  z 2 ds
C
Gyrasjonsradius
RL 

C
IL
M

I y   x 2  z 2 ds


I z   x 2  y 2 ds
C
I L   r 2 ds
C
Kurve-integral
Massesenter - Eks
M   ds
x
C
M yz
M

 xds
C
 ds
M
y  xz
M
z
M xy
M

C
xy0
Symmetri
π
 
M   δds   (2  z)ds   δ(r (t)) r ' (t) dt
C
0
π
  (2  sint) 1dt  2t  cost  0  (2π  1)  1  2π  2
π
0
Bestem massesenteret
til en halvsirkel-periferi
π
π
0
0
M xy   zds   z(2  z)ds   sint(2  sint) 1dt   (2sint  sin 2 t)dt
C
C
π
π
y2+z2 = 1 z  0
Massetettheten er gitt ved:
(x,y,z) = 2 - z
1  cos(2t)
1
1
8 π


  (2sint 
)dt   2cost  t  sin(2t)  
2
2
2
2

0
0
8 π
8 π
z
 2 
M
2π  2 4(π  1)
M xy
C
 ds
C

r (t)  0, cost, sint 
0tπ


v(t)  r ' (t)  0 2  (sint) 2  (cost) 2  1
C
 zds
( 0.57)
Arbeid
 
W   F  dr
Innledning
C
F
W  Fs
Konstant kraft
i samme retning
som rettlinjet forflytning
s
   
W  F  s  F s cos   Fs cos 
F
Konstant kraft
danner en konstant vinkel
med rettlinjet forflytning
s
F
 
W   F  ds
b
a
ds
F
dr
r
Varierende kraft
danner en varierende vinkel
med rettlinjet forflytning
C
 
W   F  dr
C
Varierende kraft
danner en varierende vinkel
med forflytning
langs en kurve
Arbeid
Def
F
T
dr
r
C
 
 dr
 
W   F  Tds   F  ds   F  dr
ds
C
C
C
 
 
 dr
W   F  Tds   F  d r   F  dt
dt
C
C
C
Arbeid
  F1dx  F2 dy  F3dz
Alternative former
C
F = [ F1, F2, F3 ]
T
C
 
 dr
 
W   F  Tds   F  ds   F  dr
ds
C
C
C

 dr
 
 
  F  dt   F  r ' dt   F  v dt
dt
C
C
C
dr
r = [ x, y, z ]
 dx dy dz 
  F1 , F2 , F3   , ,  dt
 dt dt dt 
C
dy
dz 
 dx
   F1  F2
 F3 dt
dt
dt
dt 
C
  F1dx  F2 dy  F3dz
C
 
 
 dr
W   F  Tds   F  d r   F  dt
dt
C
C
C
Arbeid
  F1dx  F2 dy  F3dz
Eks 1 - Alternativ 1
C

r (t )  t ,2t ,3t 

r ' (t )  1,2,3
z
(1,2,3)
t  0,1
En glatt parameterisering av C
C
y
x
Bestem arbeidet utført av
kraften
F = [ 2x, y, 3 ]
langs den rette linjen
fra (0,0,0) til (1,2,3)
 
 dr
 
W   F  dr   F  dt   F  r ' (t )dt
dt
C
C
C
  2 x, y,3 1,2,3dt
C
  2t ,2t ,3 1,2,3dt
C
  (2t 1  2t  2  3  3)dt
C
t 1


2
(
6
t

9
)
dt

3
t
 9t

t 0

t 1
t 0
 12
 
 
 dr
W   F  Tds   F  d r   F  dt
dt
C
C
C
Arbeid
  F1dx  F2 dy  F3dz
Eks 1 - Alternativ 2
C

r (t )  t ,2t ,3t 

r ' (t )  1,2,3
z
(1,2,3)
C
t  0,1
En glatt parameterisering av C
y
W   F1dx  F2 dy  F3 dz
x
C
Bestem arbeidet utført av
kraften
F = [ 2x, y, 3 ]
langs den rette linjen
fra (0,0,0) til (1,2,3)
  2 xdx  ydy  3dz
C

x 1
y 2
z 3
x 0
y 0
z 0
 2 xdx   ydy   3dz
 
y 2
z 3
1 
  y 2   3z  z 0  1  2  9  12
 x
x 0
 2  y 0
2 x 1
 
 
 dr
W   F  Tds   F  d r   F  dt
dt
C
C
C
Arbeid
  F1dx  F2 dy  F3dz
Eks 1 - Alternativ 3
C

r ( t )  t ,2 t ,3t 

r ' ( t )  1,2,3
z
(1,2,3)
C
t  0,1
En glatt parameterisering av C
y

r (t )  t ,2t ,3t 

r ' (t )  1,2,3
W   F1dx  F2 dy  F3dz
x
C
Bestem arbeidet utført av
kraften
F = [ 2x, y, 3 ]
langs den rette linjen
fra (0,0,0) til (1,2,3)
  2 xdx  ydy  3dz
C
  2 t 1dt  2 t  2dt  3  3dt
C
  2 tdt  4 tdt  9dt
C
t 1


2
(
6
t

9
)
dt

3
t
 9t

t 0

t 1
t 0
 12
t  0,1
dx
 1 dx  1dt
dt
dy
 2 dy  2dt
dt
dz
 3 dz  3dt
dt
 
 
 dr
W   F  Tds   F  d r   F  dt
dt
C
C
C
Arbeid
  F1dx  F2 dy  F3dz
Eks 2 - Alternativ 1
C




r (t )  t , t 2 , t 3

r ' (t )  1,2t ,3t 2
z
(1,1,1)
C
y
x

t  0,1
En glatt parameterisering av C
 
 dr
 
W   F  dr   F  dt   F  r ' (t )dt
dt
C
C
C





  y  x 2 , z  y 2 , x  z 2  1,2t ,3t 2 dt
Bestem arbeidet utført av
kraften
C
C
F = [ y - x2, z - y2, x - z2 ]



  0, t 3  t 4 , t  t 6  1,2t ,3t 2 dt
C
langs kurven
r(t) = [ t, t2, t3 ]

  t 2  t 2 , t 3  t 4 , t  t 6  1,2t ,3t 2 dt
0 t 1
  (0 1  (t 3  t 4 )  2t  (t  t 6 )  3t 2 )dt
C
t 1
t 1
2
3
3 
29
2
  (2t 4  2t 5  3t 2  3t 8 )dt   t 5  t 6  t 4  t 9  
6
4
9  t 0 60
5
t 0
 
 
 dr
W   F  Tds   F  d r   F  dt
dt
C
C
C
Arbeid
  F1dx  F2 dy  F3dz
Eks 2 - Alternativ 2
C




r (t )  t , t 2 , t 3

r ' (t )  1,2t ,3t 2
z
(1,1,1)

t  0,1
En glatt parameterisering av C
C




r (t )  t , t 2 , t 3

r ' (t )  1,2t ,3t 2

t  0,1
y
x
Bestem arbeidet utført av
kraften
W   F1dx  F2 dy  F3 dz
C
F = [ y - x2, z - y2, x - z2 ]
r(t) = [ t,
dx  1dt
dy  2tdt
dz  3t 2 dt
C
langs kurven
t2, t3
  ( y  x 2 )dx  ( z  y 2 )dy  ( x  z 2 )dz
dx
1
dt
dy
 2t
dt
dz
 3t 2
dt
]
0 t 1
  (t 2  t 2 )1dt  (t 3  t 4 )2tdt  (t  t 6 )3t 2 dt
C
t 1
t 1
2
3
3 
29
2
  (2t 4  2t 5  3t 2  3t 8 )dt   t 5  t 6  t 4  t 9  
6
4
9  t 0 60
5
t 0
Strømning og Fluks
2D - Innledning
Strømning
C
T
F
Studier av et vektorfelt F
i retning langs enhetstangentvektoren T
Fluks
C
F
n
Studier av et vektorfelt F
i retning langs enhetsnormalvektoren n
Strømning
2D - Def
F representerer et kontinuerlig vektorfelt
r en glatt parameterisering av C
F
Strømning
T
C
dr
r
 
 dr
 
S   F  Tds   F  ds   F  dr
ds
C
C
C
Strømningen S kalles en sirkulasjon
hvis kurven C er lukket
C
Strømning
2D - Alternative former
F representerer et kontinuerlig vektorfelt
r en glatt parameterisering av C
F
T
dr
r
C
Strømning
 
 dr
 
S   F  Tds   F  ds   F  d r
ds
C
C
C
 dr
  F  dt
dt
C
 dx dy dz 
  F1 , F2 , F3   , ,  dt
 dt dt dt 
C
  F1dx  F2 dy  F3dz
C
Fluks
2D - Def
F = [ F1, F2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt
C glatt kurve i domenet (def.mengden til F)
n normal (i planet) til C
k
C
Fluks i retning n
T
n
F
Fluks beskriver feltlinjers krysning
med en kurve C.
Når positiv retning på C er valgt ( T ),
bestemmes positiv fluks ved at
feltlinjene har komponent i retning
av enhetsnormalen n gitt ved:
n=Txk
 
   F  n ds
C
Fluks
2D - Alternative former
F = [ F1, F2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt
C glatt kurve i domenet (def.mengden til F)
n normal (i planet) til C
k
C
T
n
F
Fluks beskriver feltlinjers krysning
med en kurve C.
Når positiv retning på C er valgt ( T ),
bestemmes positiv fluks ved at
feltlinjene har komponent i retning
av enhetsnormalen n gitt ved:
n=Txk
 dr  dx dy 
T

,
ds  ds ds 


i
j
   dx dy
n T k 
ds ds
0
0

k
 dy dx 
0   , 
 ds ds 
1
Fluks i retning n
 
 dy dx 
   F  nds   F1 , F2   ,  ds   F1dy  F2 dx
 ds ds 
C
C
C
Fluks
2D - Lukket kurve
F = [ F1, F2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt
C glatt kurve i domenet (def.mengden til F)
n normal (i planet) til C
C
k
T
n
F
Med definisjon av fluks,
ser vi at for en lukket kurve i xy-planet
med positiv omløpsretning mot urviseren,
vil enhetsnormalen n alltid peke ut av
det omsluttede kurve-området.
Dermed vil nettofluksen som krysser
kurven være positiv når det går mer fluks
ut enn inn av det omsluttede kurve-området.
 dr  dx dy 
T

,
ds  ds ds 


i
j
   dx dy
n T k 
ds ds
0
0

k
 dy dx 
0   , 
 ds ds 
1
Fluks i retning n
 
 dy dx 
   F  nds   F1 , F2   ,  ds   F1dy  F2 dx
 ds ds 
C
C
C
Strømning - Fluks
2D - Oppsummering
k
C
T
Strømning
F
C
F
Fluks
F
k
C
T
n
F
 
S   F  Tds   F1dx  F2 dy
C
 
   F  nds   F1dy  F2 dx
C
C
 
S   F  Tds
Strømning
Eks: Flytting av partikkel i tyngdefelt
g
m
C
Tyngdefelt (tyngdeakselerasjon)
Masse av partikkel som skal flyttes
g
T


F  mg
Vektorfelt:
s
C
Arbeid utført av tyngdefeltet
ved flytting av partikkelen
over en strekning s av linjestykket C:
g
T
 
 
W  mgt  s  mg  Ts  F  Ts
C
 
dW  F  Tds
 
S  W   F  Tds
C
C
s
g
g
Strømning:
Arbeid utført
av tyngdefeltet
ved flytting av partikkelen
langs kurven C
T
Strømning
Eks: Flytting av ladning i elektrisk felt
E
q
 
S   F  Tds
C
Elektrisk felt
Ladning på partikkel som skal flyttes


F  qE
Vektorfelt:
E
T
s C
Arbeid utført av det elektriske feltet
ved flytting av den ladde partikkelen
over en strekning s av linjestykket C:
 
 
W  q  V  qE t  s  qE  Ts  F  Ts
E
s
T
C
 
dW  F  Tds
 
S  W   F  Tds
C
E
Strømning:
Arbeid utført
av det elektriske feltet
ved flytting av partikkelen
langs kurven C
ds
T
C
 
   F  nds
Fluks
Eks: Vannmengde som passerer en linje / kurve
v

Vannhastighet
Vanntetthet (masse pr areal)
Vektorfelt:


F  v
 
 
m   l  s
l

  s  v n s  v  ns  F  ns
t
t
t
dm  
d 
 F  nds
dt
C
C
s
v
l = vt
Vannmengde som pr tidsenhet passerer
over en strekning s av linjestykket C:
 
   F  nds
C
v
C
s
n
l = vt
v
C
ds
Fluks:
Vannmengde
som pr tidsenhet
passerer en kurve C
n
END