Transcript Relaciones_entre_la_Musica_y_las_Matematicas
Relaciones entre la Música y las Matemáticas
Víctor Martín García
1 .Introducción
• ¿Hay matemática en la Música?
• ¿Están relacionadas?
• ¿Qué relaciones son estas?
1 .Introducción SIMILITUDES:
• Lenguaje universal • Numeración en la música • Disciplinas abstractas • Materias imprescindibles
Pitágoras:
2 .Los Pitagóricos
Buscó unificar los fenómenos del mundo físico y del mundo espiritual en términos de números.
Estudió la naturaleza de los sonidos musicales.
- Consideraba que la esencia expresaba a última de la realidad se través de números.
- Las propiedades y relaciones de la armonía musical están determinadas por los números.
2 .Los Pitagóricos
Dividían las artes en:
2 .Los Pitagóricos
Teoría desarrollada: - Existe una proporción entre las notas musicales y las longitudes de las cuerdas que las producen.
Encontró una relación numérica entre tonos que sonaban “armónicos”.
- El mundo con físico y el emocional podían ser descritos números sencillos y existía una relación armónica entre todos los fenómenos perceptibles …
3 .Relaciones entre sonidos
- Intervalo: la relación que existe entre la frecuencia de los distintos sonidos: o Octava o Quinta o Cuarta
3 .Relaciones entre sonidos
Nota
Original Tercera menor Tercera mayor Cuarta justa Quinta mayor Octava justa
Frecuencia
f (6/5)f (5/4)f (4/3)f (3/2)f 2f
Long. cuerda
L (5/6)L (4/5)L (3/4)L (2/3)L (1/2)L
Ejemplo
Do Fa Sol Do (+alto)
3 .Relaciones entre sonidos
- Escala musical: sucesión de sonidos constitutivos de un sistema (tonalidad) que se suceden regularmente en sentido ascendente o descendente, y todos ellos con relación a una nota que da nombre a la escala, o tónica.
o Escala musical occidental (actual) o Escala temperada o Escala natural o Escala loudness
3 .Relaciones entre sonidos
- Pentagrama: pauta sobre la que se escribe la representación gráfica de los sonidos se hace por medio de unos símbolos (las notas).
- Redonda - Blanca - Negra - Corchea - Semicorchea - Fusa
4 .El sonido en términos matemáticos -
Sonido
: Resultado de las vibraciones de los cuerpos elásticos sometidos al efecto del choque o roce con un agente externo. Esta vibración transmitida en forma de movimiento ondulatorio impresiona el sentido del experimentándose la sensación sonora.
oído, - Cualidades del sonido: el oído distingue un sonido por su - Intensidad o sonoridad - Tono - Timbre
4 .El sonido en términos matemáticos •
La vibración fundamental de B.Taylor:
-
Vibración fundamental
representarse como: : en general, todo movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia f puede
y
(
t
)
A
sin 2
ft
0 en la práctica real estos movimientos son amortiguados, movimientos armónicos amortiguados o forzados
4 .El sonido en términos matemáticos •
Vibración de las cuerdas sonoras:
-
Wallis y Sauveur:
experimentaron que una cuerda tensada puede vibrar en parte con ciertos puntos a los que se denominó nodos, y entre ellos se producían movimientos dando origen a los vientres.
y
sin
x
cos
t
sin 2
x
cos 2
t
sin 3
x
cos 3
t
...,
4 .El sonido en términos matemáticos •
El método de D’Alembert. Reflexión de ondas:
D’Alembert prueba que la forma de la cuerda vibrante posee infinitas soluciones además de la fundamental.
2
y
t
2
c
2 2
y
x
2 - Condiciones iniciales:
v y y
0 , ,
t
y f L
, ;
t
y
t
; 0 ;
4 .El sonido en términos matemáticos •
El método de Fourier:
- Las funciones series periódicas pueden analizarse usando trigonométricas.
1 2
a
0
n
1
a n
cos
n
x L
b n
sin
n
x L
- La frecuencia f y el periodo T de un movimiento vibratorio sobre una cuerda no depende de su posición inical, ni de la velocidad inicial y vienen dados por:
f
1
T
1 2
L
d
r
2
4 .El sonido en términos matemáticos • -
El método de Fourier:
Concluyó movimientos vibratorios se denominan cual es el que los sonidos
y n
,
n
producidos por los , de una cuerda sonora armónicos. El correspondiente para n=1 el más grave de todos, se denomina fundamental.
•
NODOS:
n
x
sin 0
L
Demostró teóricamente la teoría de los nodos y los vientres.
4 .El sonido en términos matemáticos •
Leyes de Mersenne:
La frecuencia del sonido producido por una cuerda: -
es inversamente proporcional a la longitud de la misma
.
-
es directamente proprocional a la que está sometida.
raíz cuadrada de la tensión a la
-
es inversamente proporcional a la la misma.
raíz cuadrada de la densidad de - es inversamente proporcional a la misma, o lo que es los mismo a su raíz cuadrada de la sección de la diámetro.
5 .Simetría y Recursividad
- Un procedimiento una pieza de básico para obtener cohesión en música es la reafirmación de una secuencia de sonidos una y otra vez, de una forma variada, para evitar la composición.
monotonía y dar carácter a la o o o o Rotación Traslación Reflexión Repetición
5 .Simetría y Recursividad
Traslación
5 .Simetría y Recursividad
Inversión o movimiento contrario
5 .Simetría y Recursividad
Retrogradación
5 .Simetría y Recursividad
Inversión retrógrada
5 .Simetría y Recursividad
• Ejemplos:
“Quinta sinfonía”
Ludwig van Beethoven
“El bolero”
Joseph Maurice Ravel
6 .Ejemplo práctico
Teoría Musical de Conjuntos: MÚSICA: MATEMÁTICAS: (1,29,9),(2,27,9)
Duración:
6 .Ejemplo práctico
Altura:
6 .Ejemplo práctico
(1,29,9),(2,27,9),(3,32,8),… Funciones: o Transportar: (a, b, c) (a, b+k, c); con |k| < 12 o Octavar: (a, b, c) (a, b+k, c); con |k| = 12 o Invertir: (a, b, c) (n a+1, b, c); n=nº notas totales
Mozart
• Juego de los dados:
“Marcha turca”
Wolfgang Amadeus Mozart
3.797498335832 (10e14) valses diferentes ¡361 millones de años!
Fibonacci
• Razón áurea:
Bartok
• Desarrolló un método para integrar todos los elementos de la música (escalas, estructuras de acordes, etc.) basado en la razón áurea.
• Bartok escribió que seguía a la naturaleza en la composición y que fue guiado indirectamente por fenómenos naturales para descubrir estas regularidades.
“Allegro barbaro”
Bela Bartok
• El Allegro Bárbaro es una composición para piano en la cual Bartok utiliza los números de Fibonacci 2, 3, 5, 8, y 13