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半导体中载流子的统计分布
状态密度
费米能级和载流子的统计分布
本征半导体的载流子浓度
杂质半导体的载流子浓度
South China Normal University
1、状态密度
量子态按能量的分布；电子在量子态中分布的几率
g（E）=dZ/dE； Z：量子态在能带中的分布；
g（E）：状态密度，在能带中能量为E附近每单位能量间隔内的量子态数。
导带底附近的状态密度：
gC ( E ) 
(2mn )3/ 2
dZ
 4V
( E  EC )1/ 2
3
dE
h
（3-5）
价带顶附近的状态密度：
(2mp )3/ 2
dZ
gV ( E ) 
 4 V
( EV  E )1/ 2
3
dE
h
（3-8）
导带底附近单位能量间隔内的量子态数目，随着电子的能量
增加按抛物线关系增大。电子能量越高，状态密度越大。
价带顶附近单位能量间隔内的量子态数目，随着电子的能量
减小按抛物线关系增大。电子能量越低，状态密度越大。
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2、费米能级和载流子的统计分布
(1) 费米分布函数
在热平衡状态下，对于能量为E的一个量子态被电子占据的几率是一定的。
费米分布函数：能量为E的一个量子态被电子占据的几率的函数。
电子的费米分布函数：
f (E) 
1
E  EF
1  exp(
)
k0T
EF：费米能级，系统的化学势，与温度，半导体的导电类型、杂质
的含量有关。
T=0K：
E＜EF，ƒ（E）=1； E＞EF，ƒ（E）=0
T＞0K时： E＜EF，ƒ（E）＞1/2; E=EF，ƒ（E）=1/2;
E＞EF， ƒ（E）＜1/2
T常温时：E- EF＞5k0T （0.13eV）时， ƒ（E）＜0.007
E- EF＜-5k0T(0.13eV)时，ƒ（E）＞0.993
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2、费米能级和载流子的统计分布
(2) 玻耳兹曼分布函数
当E-EF 》k0T时，exp( E  E
k0T
有：
1  exp(
F
)
1
E  EF
E  EF
)  exp(
)
k0T
k0T
费米分布函数可简化为：f B ( E )  exp( E  EF )  exp( EF ) exp(
k0T
令A=e EF/(k0 T )，则：
f B ( E )  A exp(
k0T
E
)
k0T
E
)
k0T
在一定温度下，电子占据能量为E的量子态的几率由指数
因子exp（ -E /k0T ）决定。
导带中绝大部分电子分布在导带底附近
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2、费米能级和载流子的统计分布
(2)玻耳兹曼分布函数
量子态被空穴占据的几率为： 1  f ( E ) 
1
E E
1  exp( F
)
k0T
E  EF
)
k0T
在EF-E >>k0T时，有：
1  f ( E )  exp(
令 B=exp（-EF/k0T），有：
E
1  f ( E )  B exp(
)
k0T
价带中绝大部分空穴分布在价带顶附近。
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2、费米能级和载流子的统计分布
(3) 导带中电子浓度和价带中的空穴浓度
dN= ƒB（E）gC（E）dE
(2 mnk0T )3/ 2
Ec  EF
得：n0  2
exp(

)
h3
k0T
(2 mnk0T )3/ 2
令：NC  2
h3
Ec  EF
有： n0  NC exp(
)
k0T
Nc：导带有效状态密度
导带底的费米分布函数： f ( Ec)  exp(
EC  EF
)
k0T
电子浓度可以理解为把导带中的所有量子态都集中在导带底
Ec，它的状态密度为Nc，则导带中的电子浓度为Nc中有电子占
据的量子态数。
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2、费米能级和载流子的统计分布
(3) 导带中电子浓度和价带中的空穴浓度
价带中的空穴浓度： p0  2
令：
NV  2
(2 mp k0T )3/ 2
(2 mp k0T )3/ 2
h3
exp(
EV  EF
)
k0T
h3
Nv：价带有效状态密度
EV  EF
)
有： p0  NV exp(
k0T
价带顶的费米分布函数： f ( EV )  exp(
EV  EF
)
k0T
空穴浓度可以理解为把价带中的所有量子态都集中在导带底Ev，它
的状态密度为Nv，则价带中的空穴浓度为Nv中不被电子占
据的量子态数。
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2、费米能级和载流子的统计分布
(4)载流子浓度的乘积
Eg
EC  EV
)  NC NV exp(
)
载流子浓度的乘积： n0 p0  NC NV exp(
k0T
k0T
得：
n0 p0  2.33 10 (
31
mnmp
2
0
m
3
2
) T exp(
3
Eg
k0T
)
半导体中电子和空穴的乘积和费米能级无关，对一定的半导体材料，
乘积n0·p0只决定于温度T，与所含的杂质无关。在一定温度下，不同半
导体材料的禁带宽度不同，乘积n0·p0也不同。
适用于本征半导体和掺杂半导体。在一定温度下乘积n0·p0一定，电子
浓度增大，空穴浓度减少。
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3、本征半导体的载流子浓度
首先计算出费米能级，然后根据公式将载流子浓度计算出来。
本征半导体：没有掺杂和缺陷的半导体。在绝对0度时，价带中
全部填满电子，导带中量子态全空。没有自由电子和空穴。
本征激发：电子从价带激发到导带，电子和空穴成对产生。
n0= p0
EC  EF
E EF
)  NV exp( V
)
k0T
k0T
E E
kT N
得： Ei  EF  C V  0 ln V
2
2
NC

EC  EV 3k0T mp

ln 
将Nc，Nv代入，得： Ei  EF 
2
4
mn
有： NC exp(
Si： mp*/ mn* = 0.55， ln mp*/ mn* = -0.6；
Ge: mp*/ mn* = 0.66， ln mp*/ mn* = -0.4；
GaAs: mp*/ mn* = 7.0， ln mp*/ mn* = 1.9 。
EF约在禁带中心1.5 k0T范围内
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3、本征半导体的载流子浓度
将Ei （EF）的表达式代入n0，p0的表达式，得：
ni  n0  p0  ( NC NV )
1/ 2
ni  4.82 10 (
15
mp mn
2
0
m
3/ 4
exp(
) T
3/ 2
Eg
2k0T
exp(
)
Eg
2k0T
)
一定的半导体材料，其本征载流子浓度随温度升高迅速增
加；不同的半导体材料在同一温度下，禁带宽度越大，本征载
流子浓度越小。
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3、本征半导体的载流子浓度
本征载流子浓度计算：
得：
ni  4.82 10 (
15
niT
ln niT
作出 ln n T
i
禁带宽度
 3/ 2
 3/ 2
mp mn
2
0
m
3/ 4
) T
 C exp(
3/ 2
Eg
2k0T
exp(
Eg
2k0T
)
)
Eg
Eg 1
 ln C  exp(
)  ln C 
2k0T
2k0 T
 3/ 2
与1/T的关系直线，从直线的斜率可求出T=0K时的
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3、本征半导体的载流子浓度
表3-2：
半导体禁带宽度越大，本征激发要求的杂质浓度越小。
Ge：2.4×1013/cm3， 原子密度：4.5×1022/cm3，
杂质含量低于10-9，浓度低于1013/cm3
GaAs：2.3×107/cm3， 原子密度1022/cm3，
杂质含量低于10-15，浓度低于107/cm3
半导体器件的极限工作温度与禁带宽度有关，禁带宽度越小，极
限工作温度越低。
掺杂浓度
Si
Ge
1014
450K
270K
1015
530K
430K
1016
600K
510K
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4、杂质半导体的载流子浓度
(1) 杂质能级上的电子和空穴
杂质的量子态密度·几率；杂质的量子态密度就是杂质浓度。
电子占据施主能级的几率：
空穴占据受主能级的几率：
施主能级上的电子浓度：
受主能级上的空穴浓度：
电离施主浓度：
fD (E) 
f A (E) 
1
E E
1
1  exp( D F )
2
k0T
1
E E
1
1  exp( F A )
2
k0T
NA
E  EA
1
1  exp( F
)
2
k0T
NA
pA  N A f A ( E ) 
E  EA
1
1  exp( F
)
2
k0T
pA  N A f A ( E ) 
nD  N D  nD  N D [1  f D ( E )] 
ND
E E
1  2exp( D F )
k0T
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4、杂质半导体的载流子浓度
(1) 杂质能级上的电子和空穴
 电离受主浓度：
杂质能级与费米能级的相对位置决定了杂质电离程度大小。
 施主杂质：
当费米能级远在ED之下时，可以认为施主杂质几乎全部电离，当费米能级远
在ED之上时，可以认为施主杂质基本没有电离，
当费米能级与ED重合时，nD=2ND/3，有1/3的杂质电离。
 受主杂质：
当费米能级远在EA之上时，可以认为受主杂质几乎全部电离，当费米能级远
在EA之下时，可以认为受主杂质基本没有电离，
当费米能级与EA重合时，pA=2NA/3，有1/3的杂质电离。
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4、杂质半导体的载流子浓度
(2) n型半导体的载流子浓度
n0  nD  p0
电中性条件：
自由电子浓度=电离施主浓度+自由空穴浓度。
代入相关公式：
NC exp(
EC  EF
E E
ND
)  N D exp( F V ) 
E E
k0T
k0T
1  2exp( D F )
k0T
除EF外，其余各参量均为已知，因此在一定温度下可以将
EF计算出来。
a.低温弱电离区：大部分施主杂质没有电离，导带只有少数电子 ；
N
p0=0，有： N exp( E  E ) 
E E
C
C
k0T
F
D
1  2exp(
D
k0T
F
)
由于电离施主杂质少，EF远在ED之上，有：
NC exp(
EC  EF 1
E E
)  N D exp( D F )
k0T
2
k0T
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4、杂质半导体的载流子浓度
(2) n型半导体的载流子浓度
取对数简化得：EF 
EC  ED
k0T
ND
(
) ln(
)
2
2
2 NC
在极限温度T趋近0K时，费米能级位于
导带和施主能级间中线处。
低温弱电离区的电子浓度为： n0  (
由于NC

N D NC 1/ 2
EC  ED
N D NC 1/ 2
ED
) exp(
)(
) exp(
)
2
2k0T
2
2k0T
T3/2，因此，载流子浓度
n0  T
3/ 4
ED
exp(
)
2k0T
随温度上升，n0指数上升。
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4、杂质半导体的载流子浓度
(2) n型半导体的载流子浓度
b. 中间电离区：约1/3杂质电离的区域。EF =ED n0≈1/3ND
c. 强电离区：大部分杂质都电离的区域，电离施主浓度约等于施主浓度，由于
此区域载流子浓度随温度变化改变不大，称为饱和区。
EC  EF
有：
N exp(
)N
C
解得费米能级为：
k0T
D
ND
EF  EC  k0T ln( )
NC
在一定温度T时，ND越大，EF越向导带靠近，而在ND一定
时，温度越高，EF就越向本征费米能级Ei靠近。
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4、杂质半导体的载流子浓度
(2) n型半导体的载流子浓度
未电离杂质百分比： D  (
2ND
E
) exp( D )
NC
k0T
未电离施主浓度： nD  D N D
杂质电离的程度与杂质电离能和温度有关，还与杂质浓度有
关，杂质浓度越大，杂质全部电离的温度越高。
杂质全部电离的标准：90%的杂质电离。
根据未电离的杂质百分比，可计算出在一定温度下，杂质全
部电离时的最大浓度： N  ( D NC ) exp( ED )
D
2
k0T
确定在一定杂质浓度时，杂质全部电离所需温度：
ED 1
D (2 k0 mn )3/ 2
3
(
)( )  ( ) ln T  ln(
)
k0 T
2
ND
h3
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4、杂质半导体的载流子浓度
(2) n型半导体的载流子浓度
d.过渡区：半导体处于饱和区和完全本征激发区之间。
n0=ND+p0
e.高温本征激发区：n0 >> ND; p0>> ND； n0= p0；
费米能级接近禁带中央，载流子浓度随温度升高迅速增加。杂质浓度越
高，本征激发起作用的温度也越高。
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4、杂质半导体的载流子浓度
(3) p型半导体的载流子浓度
低温弱电离区；强电离区（饱和区）；过度区； 高温本征激发区。
强电离区：
2N A
E
电离杂质百分比： D  (
) exp( A )
NV
未电离杂质浓度：
k0T
pA  D N A
根据未电离的杂质百分比，可计算出在一定温度下，杂质全
部电离时的最大浓度，或在一定杂质浓度时，杂质全部电离所需
温度。
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4、杂质半导体的载流子浓度
(4) 少数载流子浓度
多数载流子： n型半导体中的电子，p型中的空穴，多子。
少数载流子：n型半导体中的空穴，P型中的电子，少子。
ni2 = n0·p0= Nc·Nv exp（-Eg/ k0T）
n型半导体中的空穴浓度：
pn0= ni2/n0
p型半导体中的电子浓度：
np0= ni2/p0
强电离时：n型半导体中空穴浓度：pn0 = ni2/ND
p型半导体中电子浓度：np0 = ni2/NA
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4、杂质半导体的载流子浓度
(5) 费米能级的意义
半 导体中的费米能级：反映了半导体的导电类型，掺杂浓度
和自由电子、空穴浓度。
某种意义下可认为费米能级反映了电子的填充水平。
费米能级越低，导带电子越少，价带电子越少；费米能级能
级越高，导带的电子越多，价带的电子也多。
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4、杂质半导体的载流子浓度
(6) 简并半导体
一般情况下，ND＜NC或NA ＜NV；费米能级处于禁带之中。
当ND≥NC或NA≥NV时，EF将与EC或EV重合，或进入导带或价
带，此时的半导体称为简并半导体。
简并半导体：费米能级位于导带之中或与导带重合；
费米能级位于价带之中或与价带重合。
选取EF = EC为简并化条件，得到简并时最小
施主杂质浓度：

N D  3.28 1015 (
mn 3/ 2
ED
)
T
[1

2exp(
)]

m0
k0T
选取EF = Ev为简并化条件，得到简并时最小受主杂质浓度：
N A  3.28 10 (
15
mp
EA
3/ 2
)
T
[1

2exp(
)]

m0
k0T
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4、杂质半导体的载流子浓度
(6) 简并半导体
半导体发生简并时：
（1）ND ≥ NC；NA ≥ NV；
（2）ΔED越小，简并所需杂质浓度越小。
（3）简并时施主或受主没有充分电离。
（4）发生杂质带导电，杂质电离能减小，禁带宽度变窄。
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